Advances in Applied Mathematics
Vol.
11
No.
01
(
2022
), Article ID:
48055
,
7
pages
10.12677/AAM.2022.111018
Bergman空间上Toeplitz算子的拟正规性和 双正规性
李佳
辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连
收稿日期:2021年12月13日;录用日期:2022年1月3日;发布日期:2022年1月18日
摘要
本文主要研究Bergman空间上以非调和函数为符号的Toeplitz算子的拟正规性和双正规性:1) 以
为符号的Toeplitz算子的拟正规性和双正规性;2) 以
为符号的Toeplitz算子的拟正规性和双正规性。
关键词
Bergman空间,Toeplitz算子,拟正规,双正规
Quasi-Normality and Binormality of Toeplitz Operators on Bergman Spaces
Jia Li
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
Received: Dec. 13th, 2021; accepted: Jan. 3rd, 2022; published: Jan. 18th, 2022
ABSTRACT
In this paper, we mainly study the quasi-normality and binormality of Toeplitz operators in Bergman space with non-harmonic functions: 1) The quasi-normality and binormality of Toeplitz operators with
as symbols; 2) Quasi-normality and binormality of Toeplitz operators with
as symbols.
Keywords:Bergman Spaces, Toeplitz Operators, Quasi-Normality, Binormality
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
Toeplitz算子是算子理论的组成之一,Toeplitz算子理论在概率论、控制论和物理等领域中的许多问题上都有着广泛的应用。正规算子起源于正规矩阵。如今,正规算子的理论较完备,许多学者将正规性的概念推广得到拟正规性、亚正规性、次正规性、双正规性等概念。
2019年,Gu [1] 等人介绍了Hardy空间上以解析函数或余解析函数为符号的双正规算子。进一步,对于以三角多项式和有理函数为符号的Toeplitz算子,他们证明了这些Toeplitz算子是双正规的当且仅当他们是正规的。
Bergman空间上关于Toeplitz算子的相关性质见 [2] [3] [4] [5]。1989年,Nazih [6] 证明了对于有界解析函数
,如果
或者
是拟正规的,则
是一个常数。2010年,Guediri [7] 证明了若以有界解析函数或余解析函数为符号的对偶Toeplitz算子是拟正规的,则符号函数是一个常数。2020年Sumin [8] 等人给出了Bergman空间上以调和函数和非调和函数为符号的正规Toeplitz算子相关结论。
2. 预备知识
设H为无穷维复可分Hilbert空间上,
为H上一切有界线性算子所构成的Banach代数。设
是复数域上的单位圆盘,设
是
上的规范化面积测度。Bergman空间
是
上全体解析函数构成的空间。定义
上的内积为
Bergman空间
上的再生核
设P是
到
的正交投影,积分算子P表示为
设
是
上全体本质有界可测函数构成的空间。对
,以
为符号的算子
定义为
则
被称为Bergman空间
上的Toeplitz算子。以
定义
的共轭算子。对
,如果
,则
是正规的;如果
,则
是拟正规的;如果
,则
是双正规的。这三类算子之间的关系如下
设a和b是复数,
和
是上的有界函数。则Toeplitz算子有如下性质:
a)
。
b)
。
如果
,则
c)
。
d)
。
3. 以非调和函数为符号的Toeplitz算子的拟正规性和双正规性
本节主要研究了两个非调和函数,分别是
和
,并给出了Toeplitz算子拟正规和双正规的充要条件。首先介绍本文常用的一个引理:
引理3.1 [9] 如果
并且
,则
1)
,
2)
。
命题3.2 设
,其中
,,,。则
1)
不是拟正规的;
2)
是双正规的当且仅当
。
证明:1) 由引理2.1,有
,进一步
,,再次运用引理2.1,可得
相似地,
若
是拟正规的,则
。若
,对比
的系数,有
,矛盾;若
,对比
的系数,有
,矛盾。因此不论
为何值,
都不是拟正规的。
2) 证明过程同1),其中
同理可得,
若
是双正规的,则
。若
,则等式成立。若
,对比
的系数,可得
。
当
时,
,此时对
,有
因此
是双正规的当且仅当
。结论得证。
当
时,得到一个简单的实例如下:
例3.3 设
,其中
,。则
1)
不是拟正规的;
2)
是双正规的当且仅当
。
为了讨论以
为符号的Toeplitz算子的拟正规性和双正规性,首先给出一个必要的引理:
引理3.4 [8] 设
,其中
,, 且非零。则
是正规的当且仅当
有形式
命题3.5 设
,其中
且非零,则
1)
是拟正规的当且仅当
,
2)
是双正规的当且仅当
。
证明:1) 根据引理2.4和
是正规的则
是拟正规的可得充分性,下证必要性。
由引理2.1可知
再次利用引理2.1,
进一步,
同样地,
若
是拟正规的,则
。对比常数项,有
即
因为
,所以
,由此可得
。
2) 同样容易得到充分性,下证必要性。通过直接的计算可得
和
对比
的系数,可得
其中
,由于
非零,可得
。
4. 研究结论
本文研究Bergman空间上Toeplitz算子的拟正规性和双正规性,并给出两个以非调和函数为符号函数的Toeplitz算子的拟正规性和双正规性的充分必要条件。
文章引用
李 佳. Bergman空间上Toeplitz算子的拟正规性和双正规性
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