Pure Mathematics
Vol.07 No.04(2017), Article ID:21475,7 pages
10.12677/PM.2017.74045

Oscillate Criteria of Third Order Semi-Linear Neutral Differential Equations with Delay Argument

Quandi Li, Ju Yang, Xiaoxian Li, Quanwen Lin*

Department of Mathematics, Science of School, Guangdong University of Petrochemical Technology, Maoming Guangdong

Received: Jul. 4th, 2017; accepted: Jul. 19th, 2017; published: Jul. 25th, 2017

ABSTRACT

We study the oscillatory of third order semi-linear neutral differential equations with delay argument. Using a generalized Riccati substitution and inequation technique, and consulting some results in recent literature, a new oscillation criterion is established and proved, also a number of examples are given to prove their efficiency.

Keywords:Oscillation Criterion, Third Order Semi-Linear Neutral Differential Equations with Delay Argument, Generalized Riccati Substitution

一类三阶中立型半线性时滞微分方程振动准则

李全娣,杨菊,黎小贤,林全文*

广东石油化工学院理学院数学系,广东 茂名

收稿日期:2017年7月4日;录用日期:2017年7月19日;发布日期:2017年7月25日

摘 要

本文研究一类三阶中立型半线性时滞微分方程振动性质,利用广义Riccati变换和经典不等式技巧,参考最近论文结果,建立了一个新的振动性准则,并给出证明和例子。

关键词 :振动准则,三阶中立型半线性时滞微分方程,广义Riccati变换

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

考虑一类三阶中立型半线性时滞微分方程

(E)

其中为两个奇数商,任意,有。若(E)有无穷多个零点,则它为振动的;否则称它为非振动的。

最近,二阶、三阶函数微分方程的振动性受到很大关注,许多文献给出一系列振动准则如文 [1] - [11] 。但关于三阶中立函数微分方程的振动性准则较少。我们注意到文 [3] 和文 [4] 对方程(E0)

作了若干个振动性或若振动性准则。本文是研究方程(E)的振动性准则,参考了文 [5] 中二阶微分方程振动准则及文 [1] 和文 [2] 的引理及条件,给出了新的振动准则,并应用新的Riccati变换及经典不等式证明了准则。

为了方便证明引用并保留了以下引理:

引理1 [1] :设是方程(E)的最终正解,则只有以下两种可能:

(I)

(II)

引理2 [1] :设存在函数,则

2. 主要结果

定理2.1:若,且,满足

(2.1)

(2.2)

其中

,

则方程(E)是振动的。

证明:设方程有一个非振动解,且

, , , ,

因为

是非增函数,且满足引理1 [1] ,故分两种情况讨论:

(I) 假设

即有

方程(E)去绝对值,则变成

,则有

由广义Riccati变换得

, (2.3)

(2.4)

由于,且,即得

(2.5)

对(2.3)两边对求导,由式(2.4)和式(2.5)得到下式

(2.6)

由经典不等式,令

式(2.6)变为

对上式在上积分,即有

(2.7)

显然,式(2.7)与条件(2.1)矛盾

(II) 假设

易知

则有

由广义Riccati变换得

(2.8)

(2.9)

对(2.8)两边对求导,由式(2.5)和式(2.9)得到下式

由经典不等式,令

(2.10)

对式(2.10)从上积分有

(2.11)

又因为,则

时,有

(2.12)

对式(2.12)从上对积分有

即有

得到

,得

那么

(2.13)

因为,且,得

(2.14)

由式(2.13)及(2.14)得

(2.15)

则由式(2.15),式(2.11)变成下式

(2.16)

显然,式(2.16)与条件(2.2)相矛盾,因此,我们说满足定理2.1,方程(E)是振动的。

3. 例子

考虑三阶微分方程

, (3.1)

其中,

显然

,

,

,

时,

,式(3.1)满足定理2.1,故方程(3.1)是振动。

基金项目

广东省大学生2017年创新创业校级培养项目(No.2017pyA034)。

文章引用

李全娣,杨 菊,黎小贤,林全文. 一类三阶中立型半线性时滞微分方程振动准则
Oscillate Criteria of Third Order Semi-Linear Neutral Differential Equations with Delay Argument[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 356-362. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74045

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