Statistics and Application
Vol.
08
No.
02
(
2019
), Article ID:
29914
,
5
pages
10.12677/SA.2019.82041
The Local Asymptotics of the Overshoot of a Delay Random Walk
Tiantian Hu, Zhengmin Ji, Yanzhu Mao, Kaiyong Wang*
School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou Jiangsu
Received: Apr. 4th, 2019; accepted: Apr. 19th, 2019; published: Apr. 26th, 2019
ABSTRACT
This paper investigates a delay random walk. Using the renewal equation and the results of random walk with zero delay, when the distribution of the increment of the random walk has a heavy tail, the paper obtains the local asymptotics of the overshoot of the delay random walk.
Keywords:Random Walk, Delay, Overshoot, Local Asymptotics
延迟随机游动的超出的局部渐近性质
胡甜甜,吉正敏,毛砚竹,王开永*
苏州科技大学数理学院,江苏 苏州
收稿日期:2019年4月4日;录用日期:2019年4月19日;发布日期:2019年4月26日
摘 要
本文讨论带有延迟的随机游动,利用建立的更新方程,借助零延迟的结果,在随机游动增量的分布具有重尾情形下,得到了延迟随机游动超出的局部渐近性质。
关键词 :随机游动,延迟,超出,局部渐近性质
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
设 为独立同分布 的随机变量具有共同的分布 及有限的负均值 。随机变量 与 独立且具有分布 。由 定义了随机游动 ,其中,设 , , ,称 为由 产生的随机游动。当 与 具有不同分布时,称此随机游动为延迟的随机游动,否则称为零延迟的随机游动。记
, ,
为随机游动 首次上穿水平 的时刻,其中约定 。称 为随机游动 在水平 处的超出。
记 , 为首次上穿梯高。周知,当 时, 和 为亏损随机变量,即
。
设 为 的分布,记
。
从而,
,
其中 。
随机游动的超出是随机游动中的重要对象,在风险理论、排队论、分支过程等领域中有广泛的应用。
对于零延迟的随机游动,有较多的文献研究了随机游动超出的性质,如Janson [1] ,Borovkov和Foss [2] ,Klüppelberg等 [3] ,Tang [4] ,Chen等 [5] ,Cui等 [6] ,等。本文将讨论延迟随机游动超出的局部渐近性质。在给出主要结果之前,先给出一些记号和概念。本文无特殊说明,所有极限关系为 。设 和 为两个非负函数,若 ,则记 ;若 ,则记 ;若 ,则记 。对于一分布函数 ,记其尾为 ,对任 ,记 及 ;若 ,则记 及 。
下面给出一些常用的分布族。设 是支撑在 上的分布,称 属于长尾分布族,记作 ,若对任 ,有
。
长尾分布族的一个子族为次指数分布族,记作 。设 是支撑在 上的分布,称 ,若
。
此处, 为 的二重卷积。一个常用的次指数分布族的子族为 族,它是由Klüppelberg [7] 提出的。设 是支撑在 上的分布,称 ,若
。
设 是支撑在 上的分布,称 属于某一分布族,若 属于某一分布族,其中 为 的示性函数。
上述分布族具有如下关系
。
可见Cline和Samorodnitsky [8] ,Klüppelberg [9] ,Embrechts等 [10] ,等。
下面结果为本文的主要结果。
定理1.1:设 , 且 ,则对任 ,
(1.1)
2. 主要结果的证明
下面的引理给出了长尾分布族的一个等价条件,可见Gao和Wang [11] Proposition A.1。在给出他们的结果之前,先给出一个符号,对于一个支撑在 上的分布 ,定义
引理2.1:设 是一个支撑在 上的分布,则
。
对于上述随机游动 ,当 为零延迟时,Cui等 [6] 的(2.5)式给出了如下随机游动超出的局部渐近性质。
引理2.2:设 为 随机变量,具有支撑在 上的分布 。若 则对任 ,
。
下面证明主要结果。
定理1.1的证明:
记 , ,
, 。
从而,由强马氏性知,对任 及 ,
由于 , 及引理2.1知,存在函数 。从而对充分大的 ,有
(2.1)
由于 且 ,则
(2.2)
由于 为零延迟的随机游动且 ,从而由引理2.2知
(2.3)
其中, 。从而由(2.3)及 知
(2.4)
对于 ,由于 ,从而由(2.3),引理2.1,分部积分及 知,
(2.5)
对于 ,由 及 知,对充分大的 ,
(2.6)
从而由(2.1),(2.2),(2.4)~(2.6)知,(1.1)成立。
基金项目
江苏省大学生实践创新训练计划项目资助(项目号:201710332029Y)。
文章引用
胡甜甜,吉正敏,毛砚竹,王开永. 延迟随机游动的超出的局部渐近性质
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NOTES
*通讯作者。