Statistics and Application
Vol. 08  No. 02 ( 2019 ), Article ID: 29914 , 5 pages
10.12677/SA.2019.82041

The Local Asymptotics of the Overshoot of a Delay Random Walk

Tiantian Hu, Zhengmin Ji, Yanzhu Mao, Kaiyong Wang*

School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou Jiangsu

Received: Apr. 4th, 2019; accepted: Apr. 19th, 2019; published: Apr. 26th, 2019

ABSTRACT

This paper investigates a delay random walk. Using the renewal equation and the results of random walk with zero delay, when the distribution of the increment of the random walk has a heavy tail, the paper obtains the local asymptotics of the overshoot of the delay random walk.

Keywords:Random Walk, Delay, Overshoot, Local Asymptotics

延迟随机游动的超出的局部渐近性质

胡甜甜,吉正敏,毛砚竹,王开永*

苏州科技大学数理学院,江苏 苏州

收稿日期:2019年4月4日;录用日期:2019年4月19日;发布日期:2019年4月26日

摘 要

本文讨论带有延迟的随机游动,利用建立的更新方程,借助零延迟的结果,在随机游动增量的分布具有重尾情形下,得到了延迟随机游动超出的局部渐近性质。

关键词 :随机游动,延迟,超出,局部渐近性质

Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

{ X i , i 2 } 为独立同分布 ( i . i . d ) 的随机变量具有共同的分布 K 及有限的负均值 μ k = m 。随机变量 X 1 { X i , i 2 } 独立且具有分布 K 1 。由 { X i , i 1 } 定义了随机游动 { S n , n 0 } ,其中,设 S 0 = 0 S n = i = 1 n X i n 1 ,称 { S n , n 0 } 为由 { X i , i 1 } 产生的随机游动。当 X 1 { X i , i 2 } 具有不同分布时,称此随机游动为延迟的随机游动,否则称为零延迟的随机游动。记

η ( x ) = inf { n 1 : S n > x } x 0

为随机游动 { S n , n 0 } 首次上穿水平 x 的时刻,其中约定 inf ϕ = 。称 S η ( x ) x 为随机游动 { S n , n 0 } 在水平 x 处的超出。

Z + = η ( 0 ) S Z + 为首次上穿梯高。周知,当 0 < m < 时, Z + S Z + 为亏损随机变量,即

P ( S Z + < ) = P ( Z + < ) = q ( 0 , 1 )

K + S Z + 的分布,记

K P + ( x ) = P ( S Z + x | Z + < ) = K + ( x ) q , x 0

从而,

K P + ¯ ( x ) = 1 K + ( x ) q = q 1 ( q K + ( x ) ) = q 1 K + ¯ ( x ) , x 0

其中 K + ¯ ( x ) = q K + ( x ) , x 0

随机游动的超出是随机游动中的重要对象,在风险理论、排队论、分支过程等领域中有广泛的应用。

对于零延迟的随机游动,有较多的文献研究了随机游动超出的性质,如Janson [1] ,Borovkov和Foss [2] ,Klüppelberg等 [3] ,Tang [4] ,Chen等 [5] ,Cui等 [6] ,等。本文将讨论延迟随机游动超出的局部渐近性质。在给出主要结果之前,先给出一些记号和概念。本文无特殊说明,所有极限关系为 x 。设 a ( x ) b ( x ) 为两个非负函数,若 lim a ( x ) / b ( x ) = 1 ,则记 a ( x ) ~ b ( x ) ;若 lim sup a ( x ) / b ( x ) < ,则记 a ( x ) = O ( 1 ) b ( x ) ;若 lim a ( x ) / b ( x ) = 0 ,则记 a ( x ) = o ( 1 ) b ( x ) 。对于一分布函数 V ,记其尾为 V ¯ = V ( ) V ,对任 0 < T ,记 Δ T = ( 0 , T ] x + Δ T = ( x , x + T ] ;若 T = ,则记 Δ = ( 0 , ) x + Δ = ( x , )

下面给出一些常用的分布族。设 V 是支撑在 ( 0 , ) 上的分布,称 V 属于长尾分布族,记作 V L ,若对任 y ( , ) ,有

V ¯ ( x + y ) ~ V ¯ ( x )

长尾分布族的一个子族为次指数分布族,记作 S 。设 V 是支撑在 ( 0 , ) 上的分布,称 V S ,若

V * 2 ¯ ( x ) ~ 2 V ¯ ( x )

此处, V * 2 V 的二重卷积。一个常用的次指数分布族的子族为 S * 族,它是由Klüppelberg [7] 提出的。设 V 是支撑在 ( 0 , ) 上的分布,称 V S * ,若

0 x V ¯ ( x y ) V ¯ ( y ) d y ~ 2 V ¯ ( x ) 0 x V ¯ ( y ) d y

V 是支撑在 ( , ) 上的分布,称 V 属于某一分布族,若 V ( x ) Ι { x > 0 } 属于某一分布族,其中 Ι A A 的示性函数。

上述分布族具有如下关系

S * S L

可见Cline和Samorodnitsky [8] ,Klüppelberg [9] ,Embrechts等 [10] ,等。

下面结果为本文的主要结果。

定理1.1:设 K 1 L K S * K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) ,则对任 0 < T <

P ( S η ( x ) x + Δ T ) ~ ( ( 1 q ) 1 0 T K + ¯ ( y ) d y + T ) m 1 K ¯ ( x ) (1.1)

2. 主要结果的证明

下面的引理给出了长尾分布族的一个等价条件,可见Gao和Wang [11] Proposition A.1。在给出他们的结果之前,先给出一个符号,对于一个支撑在 ( , ) 上的分布 V ,定义

H V = { h : [ 0 , ) [ 0 , ) : h ( x ) , x 1 h ( x ) 0 V ¯ ( x y ) ~ V ¯ ( x ) | y | h ( x ) } .

引理2.1:设 V 是一个支撑在 ( , ) 上的分布,则

V L H V ϕ

对于上述随机游动 { S n , n 0 } ,当 { S n , n 0 } 为零延迟时,Cui等 [6] 的(2.5)式给出了如下随机游动超出的局部渐近性质。

引理2.2:设 { X i , i 1 } i . i . d 随机变量,具有支撑在 ( , ) 上的分布 K 。若 K S * 则对任 0 < T <

P ( S η ( x ) x + Δ T ) ~ ( ( 1 q ) 1 0 T K + ¯ ( y ) d y + T ) m 1 K ¯ ( x )

下面证明主要结果。

定理1.1的证明:

S n = S n X 1 n 1

η ( x ) = inf { n 1 : S n > x } x 0

从而,由强马氏性知,对任 x > 0 0 < T <

由于 K S * L K 1 L 及引理2.1知,存在函数 h H K H K 1 。从而对充分大的 x ,有

P ( S η ( x ) x + Δ T ) = K 1 ( x + Δ T ) + ( h ( x ) + h ( x ) x h ( x ) + x h ( x ) x ) P ( S η ( x y ) x y + Δ T ) K 1 ( d y ) = : K 1 ( x + Δ T ) + i = 1 3 J i ( x ) (2.1)

由于 K 1 L K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) ,则

K 1 ( x + Δ T ) = o ( 1 ) K 1 ¯ ( x ) = o ( 1 ) K ¯ ( x ) (2.2)

由于 { S n , n 1 } 为零延迟的随机游动且 K S * ,从而由引理2.2知

P ( S η ( x ) x + Δ T ) ~ C 1 K ¯ ( x ) (2.3)

其中, C 1 = ( ( 1 q ) 1 0 T K + ¯ ( y ) d y + T ) m 1 。从而由(2.3)及 K L

J 1 ( x ) ~ C 1 h ( x ) K ¯ ( x y ) K 1 ( d y ) ~ C 1 K ¯ ( x ) . (2.4)

对于 J 2 ( x ) ,由于 K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) ,从而由(2.3),引理2.1,分部积分及 K S * S 知,

J 2 ( x ) ~ C 1 h ( x ) x h ( x ) K ¯ ( x y ) K 1 ( d y ) C 1 ( K ¯ ( x h ( x ) ) K 1 ¯ ( h ( x ) ) + h ( x ) x h ( x ) K 1 ¯ ( x y ) K ( d y ) ) = O ( 1 ) ( K ¯ ( x h ( x ) ) K 1 ¯ ( h ( x ) ) + h ( x ) x h ( x ) K ¯ ( x y ) K ( d y ) ) = o ( 1 ) K ¯ ( x ) (2.5)

对于 J 3 ( x ) ,由 K 1 L K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) 知,对充分大的 x

J 3 ( x ) K 1 ¯ ( x h ( x ) ) K 1 ¯ ( x ) = o ( 1 ) K 1 ¯ ( x ) = o ( 1 ) K ¯ ( x ) (2.6)

从而由(2.1),(2.2),(2.4)~(2.6)知,(1.1)成立。

基金项目

江苏省大学生实践创新训练计划项目资助(项目号:201710332029Y)。

文章引用

胡甜甜,吉正敏,毛砚竹,王开永. 延迟随机游动的超出的局部渐近性质
The Local Asymptotics of the Overshoot of a Delay Random Walk[J]. 统计学与应用, 2019, 08(02): 370-374. https://doi.org/10.12677/SA.2019.82041

参考文献

  1. 1. Janson, S. (1986) Moments for First-Passage and Last-Exit Times, the Minimum, and Related Quantities for Random Walks with Positive Drift. Advances in Applied Probability, 18, 865-879. https://doi.org/10.2307/1427253

  2. 2. Borovkov, A.A. and Foss, S. (2000) Estimates for Overshooting an Arbi-trary Boundary by a Random Walk and Their Applications. Theory of Probability & Its Applications, 44, 231-253. https://doi.org/10.1137/S0040585X97977537

  3. 3. Klüppelberg, C., Kyprianou, A.E. and Maller, R.A. (2004) Ruin Probabilities and Overshoots for General Lévy Insurance Risk Process. The Annals of Applied Probability, 14, 1766-1801. https://doi.org/10.1214/105051604000000927

  4. 4. Tang, Q. (2007) The Overshoot of a Random Walk with Negative Drift. Statistics & Probability Letters, 77, 158-165. https://doi.org/10.1016/j.spl.2006.06.005

  5. 5. Chen, G., Wang, Y. and Cheng, F. (2009) The Uniform Local Asymptotics of the Overshoot of a Random Walk with Heavy-Tailed Increments. Stochastic Models, 25, 508-521. https://doi.org/10.1080/15326340903088859

  6. 6. Cui, Z., Wang, Y. and Wang, K. (2009) Asymptotics for the Moments of the Overshoot and Undershoot of a Random Walk. Advances in Applied Probability, 41, 469-494. https://doi.org/10.1239/aap/1246886620

  7. 7. Klüppelberg, C. (1989) Subexponential Distributions and Charac-terizations of Related Classes. Probability Theory and Related Fields, 82, 259-269. https://doi.org/10.1007/BF00354763

  8. 8. Cline, D.B.H. and Samorodnitsky, G. (1994) Subexponentiality of the Product of Independent Random Variables. Stochastic Processes and their Applications, 49, 75-98. https://doi.org/10.1016/0304-4149(94)90113-9

  9. 9. Klüppelberg, C. (1988) Subexponential Distributions and In-tegrated Tails. Journal of Applied Probability, 25, 132-141. https://doi.org/10.1017/S0021900200040705

  10. 10. Embrechts, P., Klüppelberg, C. and Mikosch, T. (1997) Mod-elling Extremal Events. Springer, Berlin. https://doi.org/10.1007/978-3-642-33483-2

  11. 11. Gao, Q. and Wang, Y. (2009) Ruin Probability and Local Ruin Probability in the Random Multi-Delayed Renewal Risk Model. Statistics & Probability Letters, 79, 588-596. https://doi.org/10.1016/j.spl.2008.10.001

  12. NOTES

    *通讯作者。

期刊菜单