ABSTRACT

Matrix and determinant are often encountered in science and engineering. The characteristic polynomial and eigenvalues of a matrix require computing its determinant. Aiming at some special matrices, this paper discusses the calculation problems of some determinants, including the characteristic polynomials of some special matrices.

Keywords:Matrix, Determinant, Characteristic Polynomial

特殊矩阵行列式的计算

丁瀛帆

北京工业大学自动化学院，北京

收稿日期：2019年4月3日；录用日期：2019年4月18日；发布日期：2019年4月25日

摘 要

矩阵和行列式在科学与工程中经常遇到。矩阵的特征多项式、特征值都需要计算其行列式。本文针对一些特殊矩阵，讨论其行列式的计算问题，包括特殊矩阵的特征多项式的计算。

关键词 :矩阵，行列式，特征多项式

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1. 引言

矩阵、行列式、特征值、特征多项式是线性代数和矩阵论中的基本内容。矩阵特征多项式与特征值的计算与矩阵的行列式密切相关。友矩阵是一类特殊矩阵，在现代控制理论中经常用到，友矩阵中的非零元与其特征值多项式的系数有一一对应关系。友矩阵有四种基本类型，最近文献 [1] 讨论了友矩阵间的变换关系，文献 [2] 研究了特殊矩阵的矩阵指数的计算方法。严坤妹讨论了一类矩阵特征值多项式的计算问题 [3] 。冯纯伯研究了矩阵多项式特征值的计算 [4] 。

本文章侧重于讨论特殊矩阵的行列式计算以及特殊矩阵的特征多项式的求法。使用不同技巧和方法，从不同的角度进行分析，合理地利用行列式的运算性质以及特殊的求解方法，比如归纳法等，从而对一些特殊的行列式的求解方法进行探究与比较，还包含从求解方法当中提炼出来的引申与思考。

2. 计算友矩阵特征多项式和行列式

在现代控制理论中，友矩阵(companion matrix)在传递函数的状态空间规范型实现中非常有用，其特征多项式的计算非常重要。友矩阵有四种形式。n阶友矩阵具有下列形式：

$A_n=\left(\begin{array}{ccccc}-a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}& -a_n\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& 0\end{array}\right)$ ，

它的转置矩阵也是友矩阵，沿斜对角线转置矩阵也是友矩阵。这四个友矩阵具有相同的特征值多项式。

设 $I_n$ 是n阶单位阵。友矩阵的特征值多项式

$f_n\left(s\right):=\left|s{I}_n-A_n\right|=\left|\begin{array}{ccccc}s+a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}& a_n\\ -1& s& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1& s\end{array}\right|$

展开之后得到关于s的n次多项式。采用归纳法，先计算 $n=1$ 时的特征值多项式 $f_1\left(s\right)=s+a_1$ ；当 $n=2$ 时的特征值多项式为

$f_2\left(s\right)=\left|\begin{array}{cc}s+a_1& a_2\\ -1& s\end{array}\right|=s{f}_1\left(s\right)+a_2=s\left(s+a_1\right)+a_2$

展开时先从右下角的s开始展开，然后向左上方推移得到

$f_3\left(s\right)=\left|\begin{array}{ccc}s+a_1& a_2& a_3\\ -1& s& 0\\ 0& -1& s\end{array}\right|=s{f}_2\left(s\right)-\left(-1\right)\left|\begin{array}{cc}s+a_1& a_3\\ -1& 0\end{array}\right|=s{f}_2\left(s\right)+a_3$

$\begin{array}{c}{f}_4\left(s\right)=\left|\begin{array}{cccc}s+a_1& a_2& a_3& a_4\\ -1& s& 0& 0\\ 0& -1& s& 0\\ 0& 0& -1& s\end{array}\right|=s{f}_3\left(s\right)-\left(-1\right)\left|\begin{array}{ccc}s+a_1& a_2& a_4\\ -1& s& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right|\\ =s{f}_3\left(s\right)+\left|\begin{array}{cc}s+a_1& a_4\\ -1& 0\end{array}\right|=s{f}_3\left(s\right)+a_4\end{array}$

由此猜测： $f_5\left(s\right)=s{f}_4\left(s\right)+a_5,\cdots ,f_n\left(s\right)=s{f}_{n-1}\left(s\right)+a_n$ ，代入化简得到

$\begin{array}{l}{f}_1\left(s\right)=s+a_1\\ f_2\left(s\right)=s\left(s+a_1\right)+a_2=s^2+s{a}_1+a_2\\ f_3\left(s\right)=s\left(s^2+s{a}_1+a_2\right)+a_3=s^3+s^2{a}_1+s{a}_2+a_3\\ f_4\left(s\right)=s\left(s^3+s^2{a}_1+s{a}_2+a_3\right)+a_4=s^4+s^3{a}_1+s^2{a}_2+s{a}_3+a_4\\ ⋮\\ f_n\left(s\right)=s^n+s^{n-1}{a}_1+s^{n-2}{a}_2+s^{n-3}{a}_3+\cdots +a_n=s^n+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{s}^{n-i}{a}_i}\end{array}$

下面加以证明：当 $n=1$ 时， $f_1\left(s\right)=s+a_1$ ，

$\begin{array}{c}{f}_{n+1}\left(s\right)=s{f}_n\left(s\right)+\left(-1\right){\left(-1\right)}^{2n+1}\left|\begin{array}{cccccc}s+a_1& a_2& \cdots & a_{n-2}& a_{n-1}& a_{n+1}\\ -1& s& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1& s& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& -1& 0\end{array}\right|\\ =s{f}_n\left(s\right)+\left(-1\right){\left(-1\right)}^{2n-1}\left|\begin{array}{cccccc}s+a_1& a_2& \cdots & a_{n-3}& a_{n-2}& a_{n+1}\\ -1& s& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1& s& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& -1& 0\end{array}\right|\end{array}$

由于每一个行列式中元素−1所在位置的行数与列数之和为奇数，且该行其他元素的值均为0，因此只需要一步步地去算它的代数余子式即可。最后

$\begin{array}{c}{f}_{n+1}\left(s\right)=s{f}_n\left(s\right)+\left|\begin{array}{cc}s+a_1& a_{n+1}\\ -1& 0\end{array}\right|=s{f}_n\left(s\right)+a_{n+1}\\ =s\left(s^n+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i{s}^{n-i}}\right)+a_{n+1}=s^{n+1}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n+1}{\sum }}{a}_i{s}^{n+1-i}}\end{array}$

得证。

归纳有从k到 $k+1$ 的归纳，有时还需要隔项进行归纳，比如从k到 $k+2$ 进行归纳。这时往往需要进行奇偶分析，因为奇数和偶数在化简时可能出现不同的递推公式。下面的两个例子，都是从k到 $k+2$ 项进行归纳。

3. 计算十字叉形壹矩阵的特征多项式

n阶十字叉形壹矩阵具有下列形式：

$A_n={\left(\begin{array}{ccccc}1& & & & 1\\ & 1& & 1& \\ & & \ddots & & \\ & 1& & 1& \\ 1& & & & 1\end{array}\right)}_{n\times n}$ (未写出部分的值均为0)，

$A_n$ 的特征多项式为

$f_n\left(s\right)=\left|s{I}_n-A_n\right|=\left|\begin{array}{ccccc}s-1& & & & -1\\ & s-1& & -1& \\ & & \ddots & & \\ & -1& & s-1& \\ -1& & & & s-1\end{array}\right|$

其中 $f_1\left(s\right)=s-1$ ， $f_2\left(s\right)=\left|\begin{array}{cc}s-1& -1\\ -1& s-1\end{array}\right|={\left(s-1\right)}^2-1=s^2-2s$ 。

此行列式 $f_n\left(s\right)$ 的对称性比较好，应该首先寻找关于 $f_n\left(s\right)$ 的递推公式。由于此n阶行列式和居中的 $n-2$ 阶行列式的结构非常相似，所以更倾向于去寻找 $f_n\left(s\right)$ 与 $f_{n-2}\left(s\right)$ 的递推关系。因为 $f_1\left(s\right)$ 与 $f_2\left(s\right)$ 均为已知，这样就能够得到递推关系式。当n的奇偶性不同时，行列式最中心的结构不同，所以需要分奇偶进行讨论。

① 当n为奇数时，

$\begin{array}{c}{f}_n\left(s\right)=\left(s-1\right)\left|\begin{array}{cccc}s-1& \cdots & -1& 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ -1& \cdots & s-1& 0\\ 0& \cdots & 0& s-1\end{array}\right|+\left(-1\right)\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& -1\\ s-1& \cdots & -1& 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ -1& \cdots & s-1& 0\end{array}\right|\\ ={\left(s-1\right)}^2{f}_{n-2}\left(s\right)+\left(-1\right)\left(-1\right){\left(-1\right)}^n{f}_{n-2}\left(s\right)\\ =\left(s^2-2s\right)f_{n-2}(s)\end{array}$

② 当n为偶数时，

$\begin{array}{c}{f}_n\left(s\right)=\left(s-1\right)\left|\begin{array}{cccc}s-1& \cdots & -1& 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ -1& \cdots & s-1& 0\\ 0& \cdots & 0& s-1\end{array}\right|-\left(-1\right)\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& -1\\ s-1& \cdots & -1& 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ -1& \cdots & s-1& 0\end{array}\right|\\ ={\left(s-1\right)}^2{f}_{n-2}\left(s\right)-\left(-1\right)\left(-1\right){\left(-1\right)}^n{f}_{n-2}\left(s\right)\\ =\left(s^2-2s\right)f_{n-2}(s)\end{array}$

所以当 $n\ge 3$ 时，有 $f_n\left(s\right)=\left(s^2-2s\right)f_{n-2}\left(s\right)$ ，又因为 $f_1\left(s\right)=s-1$ ， $f_2\left(s\right)=s^2-2s$ ，所以当n为奇数时， $f_n\left(s\right)=\left(s-1\right){\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n-1}{2}}$ ；当n为偶数时， $f_n\left(s\right)={\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n}{2}}$ 。所以

$f_n\left(s\right)=\{\begin{array}{l}\left(s-1\right){\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n-1}{2}},n为奇数\\ {\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n}{2}},n为偶数\end{array}$

对于呈中心对称型的行列式，也有其特殊的简化算法。

4. 计算块单位阵的特征值多项式

2n阶块单位阵 $A_{2n}={\left[\begin{array}{cc}{I}_n& I_n\\ I_n& I_n\end{array}\right]}_{2n\times 2n}$ 的特征多项式为

$f_{2n}\left(s\right):=\left|s{I}_{2n}-A_{2n}\right|=\left|\begin{array}{cccccc}s-1& & & -1& & \\ & \ddots & & & \ddots & \\ & & s-1& & & -1\\ -1& & & s-1& & \\ & \ddots & & & \ddots & \\ & & -1& & & s-1\end{array}\right|$

当 $n=1$ 时， $f_2\left(s\right)=\left|\begin{array}{cc}s-1& -1\\ -1& s-1\end{array}\right|=s\left(s-2\right)$ 。注意到此行列式为中心对称行列式，可以进行操作： $r_1+r_{2n}$ ， $r_2+r_{2n-1}$ ， $\cdots$ ， $r_n+r_{n+1}$ ( $r_i$ 表示第i行)，即把最后一行的值加到第1行上，把倒数第2行的值加到第2行上，依次类推，一直加到最中间的那两行。但此时也需要对n进行奇偶讨论。

① 当n为奇数时，

$f_{2n}\left(s\right)=\left|\begin{array}{cccccccccc}s-1& & & & -1& -1& & & & s-1\\ & \ddots & & ⋰& & & \ddots & & ⋰& \\ & & s-2& & & & & s-2& & \\ & ⋰& & \ddots & & & ⋰& & \ddots & \\ -1& & & & s-1& s-1& & & & -1\\ -1& & & & & s-1& & & & \\ & \ddots & & & & & \ddots & & & \\ & & -1& & & & & s-1& & \\ & & & \ddots & & & & & \ddots & \\ & & & & -1& & & & & s-1\end{array}\right|$

② 当n为偶数时，

$f_{2n}\left(s\right)=\left|\begin{array}{cccccccccccc}s-1& & & & & -1& -1& & & & & s-1\\ & \ddots & & & ⋰& & & \ddots & & & ⋰& \\ & & s-1& -1& & & & & -1& s-1& & \\ & & -1& s-1& & & & & s-1& -1& & \\ & ⋰& & & \ddots & & & ⋰& & & \ddots & \\ -1& & & & & s-1& s-1& & & & & -1\\ & & -I_n& & & & & & \left(s-1\right)I_n& & & \end{array}\right|$

但无论n为奇数还是偶数，对于整个行列式的每一列的上半列来说，都有 $c_1=c_{2n}$ ， $c_2=c_{2n-1}$ ， $\cdots$ ， $c_n=c_{n+1}$ ( $c_i$ 表示第i列)。此时可对此行列式进行如下变换： $c_{2n}-c_1$ ， $c_{2n-1}-c_2$ ， $\cdots$ ， $c_{n+1}-c_n$ 。这样整个行列式右上角的所有元均为零了，然后再利用行列式的计算性质进行化简。

① 当n为奇数时，

$\begin{array}{c}{f}_{2n}\left(s\right)=\left|\begin{array}{cccccccccc}s-1& & & & -1& & & & & \\ & \ddots & & ⋰& & & & & & \\ & & s-2& & & & & 0& & \\ & ⋰& & \ddots & & & & & & \\ -1& & & & s-1& & & & & \\ -1& & & & & s-1& & & & 1\\ & \ddots & & & & & \ddots & & ⋰& \\ & & -1& & & & & s& & \\ & & & \ddots & & & ⋰& & \ddots & \\ & & & & -1& 1& & & & s-1\end{array}\right|\\ =\left|\begin{array}{ccccc}s-1& & & & -1\\ & \ddots & & ⋰& \\ & & s-2& & \\ & ⋰& & \ddots & \\ -1& & & & s-1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{ccccc}s-1& & & & 1\\ & \ddots & & ⋰& \\ & & s& & \\ & ⋰& & \ddots & \\ 1& & & & s-1\end{array}\right|\end{array}$

这时可以利用上一例题结论，分别去寻找这两个行列式的n阶与其对应的 $n-2$ 阶行列式的关系进行求解，最终发现，无论是左边还是右边的行列式，都满足关系式： $g_n\left(s\right)=\left(s^2-2s\right)g_{n-2}\left(s\right)$ 。这种方法和结论在n为偶数时同样也适用。所以当n为奇数时，有

$\begin{array}{c}{f}_n\left(s\right)=\left(s-2\right){\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n-1}{2}}\cdot s{\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n-1}{2}}\\ ={\left(s^2-2s\right)}^n\end{array}$

② 当n为偶数时，

$\begin{array}{c}{f}_{2n}\left(s\right)=\left|\begin{array}{cccccccccccc}s-1& & & & & -1& & & & & & \\ & \ddots & & & ⋰& & & & & & & \\ & & s-1& -1& & & & & \begin{array}{l}\\ 0\end{array}& & & \\ & & -1& s-1& & & & & & & & \\ & ⋰& & & \ddots & & & & & & & \\ -1& & & & & s-1& & & & & & \\ -1& & & & & & s-1& & & & & 1\\ & \ddots & & & & & & \ddots & & & ⋰& \\ & & -1& & & & & & s-1& 1& & \\ & & & -1& & & & & 1& s-1& & \\ & & & & \ddots & & & ⋰& & & \ddots & \\ & & & & & -1& 1& & & & & s-1\end{array}\right|\\ =\left|\begin{array}{cccccc}s-1& & & & & -1\\ & \ddots & & & ⋰& \\ & & s-1& -1& & \\ & & -1& s-1& & \\ & ⋰& & & \ddots & \\ -1& & & & & s-1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cccccc}s-1& & & & & 1\\ & \ddots & & & ⋰& \\ & & s-1& 1& & \\ & & 1& s-1& & \\ & ⋰& & & \ddots & \\ 1& & & & & s-1\end{array}\right|\\ =\left(s^2-2s\right){\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n-2}{2}}\cdot \left(s^2-2s\right){\left(s^2-2s\right)}^{\frac{n-2}{2}}\\ ={\left(s^2-2s\right)}^n\end{array}$

所以矩阵 $A$ 的特征值多项式为 $f_n\left(s\right)={\left(s^2-2s\right)}^n$ 。

以上是对归纳法的一些分析，下面是一些对不同型行列式计算的特殊方法的举例。

对于每一行(列)的和都相同的行列式，可以把每一行(列)的和全部都加到第一行(列)上，然后将这一行(列)的公因式进行提取，从而简化行列式的计算。

5. 计算壹矩阵的特征值多项式

n阶壹矩阵具有下列形式：

$A={\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& \cdots & 1& 1\\ 1& 1& \cdots & 1& 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1& 1\\ 1& 1& \cdots & 1& 1\end{array}\right)}_{n\times n}$

壹矩阵的特征多项式为

把每一列的值全部加到第1列上，即 $c_1+c_2$ ， $c_1+c_3$ ， $\cdots$ ， $c_1+c_n$ ：

$f_n\left(s\right)=\left|\begin{array}{ccccc}s-n& -1& \cdots & -1& -1\\ s-n& s-1& \cdots & -1& -1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ s-n& -1& \cdots & s-1& -1\\ s-n& -1& \cdots & -1& s-1\end{array}\right|=\left(s-n\right)\cdot \left|\begin{array}{ccccc}1& -1& \cdots & -1& -1\\ 1& s-1& \cdots & -1& -1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 1& -1& \cdots & s-1& -1\\ 1& -1& \cdots & -1& s-1\end{array}\right|$

再把每1列加到其它列上，即 $c_2+c_1$ ， $c_3+c_1$ ， $\cdots$ ， $c_n+c_1$ ：

$f_n\left(s\right)=\left(s-n\right)\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& s& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 1& 0& \cdots & s& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& s\end{array}\right|=\left(s-n\right)s^{n-1}$

如果行列式的上三角和下三角的值不相同，那么这种方法就不适用了。对于这样的问题，需要先对行列式进行变形，然后才能利用原来的模型进行归纳或化简。

6. 计算斜对称矩阵的行列式

计算下列n阶斜对称矩阵的行列式( $b\ne c$ ) [5] ：

$A_n={\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ c& a& b& \cdots & b\\ c& c& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c& c& c& \cdots & a\end{array}\right|}_{n\times n}$ ，

从第n行开始，将此行列式的每一行减去前一行，直到第一行，即 $r_n-r_{n-1}$ ， $r_{n-1}-r_{n-2}$ ， $\cdots$ ， $r_3-r_2$ ， $r_2-r_1$ ：

$\begin{array}{c}{A}_n=\left|\begin{array}{cccccc}a& b& b& \cdots & b& b\\ c& a& b& \cdots & b& b\\ c& c& a& \cdots & b& b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ c& c& c& \cdots & a& b\\ c& c& c& \cdots & c& a\end{array}\right|\begin{array}{c}\underset{\_}{\underset{\_}{r}}\\ \end{array}\left|\begin{array}{cccccc}a& b& b& \cdots & b& b\\ c-a& a-b& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& c-a& a-b& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a-b& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & c-a& a-b\end{array}\right|\\ =a{\left(a-b\right)}^{n-1}+\left(a-c\right)\cdot b\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& \cdots & 1& 1\\ c-a& a-b& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& c-a& a-b& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a-b& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & c-a& a-b\end{array}\right|\end{array}$

令上述等式中的行列式的值为 $x_{n-1}$ ，代入上式于是有 $x_n=a{\left(a-b\right)}^{n-1}+b\left(a-c\right)x_{n-1}$ ，这样就把原来的问题转化为去求解一个新行列式的值的问题，与前面介绍的友矩阵的形式类似。

将此行列式按第一列进行展开，不难得到关于的递推公式

$x_{n-1}={\left(a-b\right)}^{n-2}+\left(a-c\right)x_{n-2}$

这样可以通过归纳来写出的表达式，进而求出 $x_n$ ，从而得到行列式的值。

$\begin{array}{l}{x}_1=1,\\ x_2=\left(a-b\right)+\left(a-c\right),\\ x_3={\left(a-b\right)}^2+\left(a-b\right)\left(a-c\right)+{\left(a-c\right)}^2,\\ x_4={\left(a-b\right)}^3+{\left(a-b\right)}^2\left(a-c\right)+\left(a-b\right){\left(a-c\right)}^2+{\left(a-c\right)}^3,\cdots \end{array}$

通过归纳，不难得到

$\begin{array}{c}{x}_{n-1}={\left(a-b\right)}^{n-2}+{\left(a-b\right)}^{n-3}\left(a-c\right)+\cdots +\left(a-b\right){\left(a-c\right)}^{n-3}+{\left(a-c\right)}^{n-2}\\ =\frac{{\left(a-b\right)}^{n-1}-{\left(a-c\right)}^{n-1}}{\left(a-b\right)-\left(a-c\right)}=\frac{{\left(a-b\right)}^{n-1}-{\left(a-c\right)}^{n-1}}{c-b}\end{array}$

即

$\begin{array}{c}{x}_n=a{\left(a-b\right)}^{n-1}+b\left(a-c\right)\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^{n-1}-{\left(a-c\right)}^{n-1}}{c-b}\\ =\frac{a\left(c-b\right){\left(a-b\right)}^{n-1}+b\left(a-c\right){\left(a-b\right)}^{n-1}-b{\left(a-c\right)}^n}{c-b}\\ =\frac{c{\left(a-b\right)}^n-b{\left(a-c\right)}^n}{c-b}\end{array}$

7. 计算对称矩阵的行列式

1) 计算n阶行列式 [5] ：

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1+a_2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$ ，其中 $a_1{a}_2\cdots a_n\ne 0$ ；

2) $F_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1& a_1& \cdots & a_1\\ a_2& 1+a_2& \cdots & a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_n& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$ 。

行列式有一条加法的性质，即行列式的某一行是两组数的和，则这个行列式等于两个行列式的和。这两个行列式分别以其中某一组数作为该行，而其它行均与原行列式相同。如果用算式表达，即

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_1+c_1& b_2+c_2& \cdots & b_n+c_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_1& b_2& \cdots & b_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_1& c_2& \cdots & c_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

在解决问题时，很多行列式不只有一行的形式较为复杂，可以多次运用此公式来进行化简。如果行列式的每一行都有一些元素是多项之和时，那么此时可以用上述公式n次，让这个较复杂的行列式的每一行都利用上述公式进行展开。每利用公式展开一次，行列式的个数就会比原来多一倍。经过n次展开后，会得到 $2^n$ 个形式较为简单的子行列式。

对于(1)，不妨设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right)$ ， $B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n\end{array}\right)$ ，则 $D_n=\left|A+B\right|$ 。等价于求一个所有元素全是1的矩阵和一个对角阵的和矩阵的行列式。

如果从横向的角度去分析，从第一行开始拆成两个行列式，一直到最后一行，不仅工作量大，而且不好找出规律。因此我们可以从纵向的角度去分析，也就是从按照上述公式拆完之后的 $2^n$ 个行列式的性质进行分析。

也就是说从 $A$ 的第一列或者从 $B$ 的第一列当中任取一列，当做子行列式的第一列；从 $A$ 的第二列或者从 $B$ 的第二列当中任取一列，当做子行列式的第二列……一直到第n列为止。对于子行列式当中的每一列都有2种取法，所以最后会有 $2^n$ 种形式不同的子行列式，也刚好符合最初的判断。但对于这 $2^n$ 个子行列式，只要其中有大于等于两列来自于 $A$ 中，那么这个子行列式的值为零，剩下值不为零的子行列式要么只有一列来自 $A$ ，或者全来自于 $B$ 。从而使问题大大简化。因此有

$\begin{array}{c}{D}_n=\left(a_2{a}_3\cdots a_n+a_1{a}_3{a}_4\cdots a_n+a_1{a}_2{a}_4{a}_5\cdots a_n+\cdots +a_1{a}_2\cdots a_{n-1}\right)+a_1{a}_2\cdots a_n\\ =a_1{a}_2\cdots a_n\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}+1\right)\\ =a_1{a}_2\cdots a_n\left(1+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{a_i}}\right)\end{array}$

基于上述分析与(1)的结果，问题(2)就易于求解了。不妨设

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right)$ ， $B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a{}_1& \cdots & a_1\\ a_2& a_2& \cdots & a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_n& \cdots & a_n\end{array}\right)$ ，

则 $F_n=\left|A+B\right|$ 。同样对于展开之后的 $2^n$ 个子行列式来说，其中值不为零的行列式只包含两种情况：

① 子行列式中的每一列均来自于 $A$ ；

② 子行列式中有且只有一列来自于 $B$ 。

只有单位阵的行列式满足于第①种情况。现将第②种情况的子行列式的求法做一般项分析。假设子行列式中来自于 $B$ 的那一列是第i列，则

$\left|\begin{array}{cccccc}1& & & a_1& & \\ ⋮& 1& & a_2& & \\ ⋮& & \ddots & ⋮& & \\ 0& \cdots & \cdots & a_i& & \\ & & & ⋮& \ddots & \\ & & & a_n& & 1\end{array}\right|\begin{array}{c}\underset{\_}{\underset{\_}{c_1\leftrightarrow c_i}}\\ \end{array}-\left|\begin{array}{cccccc}{a}_1& & & 1& & \\ a_2& 1& & ⋮& & \\ ⋮& & \ddots & ⋮& & \\ a_i& \cdots & \cdots & 0& & \\ ⋮& & & & \ddots & \\ a_n& & & & & 1\end{array}\right|\begin{array}{c}\underset{\_}{\underset{\_}{r_1\leftrightarrow r_i}}\\ \end{array}\left|\begin{array}{cccccc}{a}_i& & & & & \\ a_2& 1& & & & \\ ⋮& & \ddots & & & \\ a_1& \cdots & \cdots & 1& & \\ ⋮& & & & \ddots & \\ a_n& & & & & 1\end{array}\right|=a_i$

所以所有满足于第二种情况的行列式之和为 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ ，因此有

$F_n=1+a_1+a_2+\cdots +a_n$

8. 计算带状矩阵的行列式

还有一类特殊的行列式叫做带状行列式，下面计算一个特殊的带状矩阵的行列式 [6] 。

1) 试证： $\left|\begin{array}{cccccc}a+b& ab& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& a+b& ab& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& a+b& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& a+b\end{array}\right|=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$ $\left(a\ne b\right)$ 。

证：可以用数学归纳法证明。

当 $n=1$ 时，原式 $=a+b$ ；当 $n=2$ 时，原式 $=a^2+ab+b^2$ ，等式均成立。

假设当 $n=k$ 时等式成立；当 $n=k+1$ 时，

$\begin{array}{c}原式=\left(a+b\right)\cdot \left|\begin{array}{cccccc}a+b& ab& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& a+b& ab& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& a+b& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& a+b\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccccc}ab& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& a+b& ab& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& a+b& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& a+b\end{array}\right|\\ =\left(a+b\right)\cdot \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}-ab\cdot \frac{a^n-b^n}{a-b}=\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}\end{array}$

所以当 $n=k+1$ 时，等式成立，证毕。

但对于一般形式的带状行列式，可能结果得到的式子就不会有这么好的对称性了，却很有研究价值。

2) 计算下列n阶带状矩阵的行列式：

$X_n=\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& \cdots & 0& 0\\ c& a& b& \cdots & 0& 0\\ 0& c& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b\\ 0& 0& 0& \cdots & c& a\end{array}\right|$

不难得到关于 $X_n$ 的三项递推关系式：，其中 $X_1=a$ ， $X_2=a^2-bc$ 。 $X_n$ 实质上就是一个数列，对于这样的数列可以用特征方程去求解。

它的特征方程为 $y^2-ay+bc=0$ ，设此方程的两个根为 $y_1$ 和 $y_2$ ，有

$y_1=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\sqrt{a^2-4bc}$ ， $y_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{a^2-4bc}$

对于 $y_1$ 和 $y_2$ 的取值，需要做以下三类讨论：

① 当 $a^2-4bc>0$ 时， $y_1$ 和 $y_2$ 是两个不同的实根，则 $X_n=C_1{y}_1^n+C_2{y}_2^n$ ( $C_1$ 和 $C_2$ 为待定系数，它们的值取决于整个数列的前两项的值，即 $X_1$ 和 $X_2$ 的值，下同)。分别令 $n=1$ 和2，得到

$\{\begin{array}{l}{C}_1{y}_1+C_2{y}_2=X_1\\ C_1{y}_1^2+C_2{y}_2^2=X_2\end{array}$ ，解得 $C_1=\frac{X_2-X_1{y}_2}{y_1\left(y_1-y_2\right)}$ ， $C_2=\frac{X_2-X_1{y}_1}{y_2\left(y_2-y_1\right)}$ 。