关于不定方程5x(x 1)(x 2)(x 3) = 42y(y 1)(y 2)(y 3) On the Diophantine Equation 5x(x 1)(x 2)(x 3) = 42y(y 1)(y 2)(y 3)

doi:10.12677/aam.2024.135198

Advances in Applied Mathematics
Vol. 13 No. 05 ( 2024 ), Article ID: 87681 , 5 pages
10.12677/aam.2024.135198

关于不定方程 5x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 42y(y + 1)(y + 2)(y + 3)

张艺宝

●How to Cite this Article

西南大学数学与统计学院，重庆

收稿日期：2024年4月23日；录用日期：2024年5月17日；发布日期：2024年5月29日

摘要

本文运用同余式、递推序列和Pell方程等初等方法，证明了不定方程5x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 42y(y + 1)(y + 2)(y + 3)仅有唯一正整数解(x, y) = (6, 3)，并找出了该方程的所有整数解。

关键词

不定方程，同余式，Pell方程，正整数解

On the Diophantine Equation 5x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 42y(y + 1)(y + 2)(y + 3)

Yibao Zhang

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing

Received: Apr. 23^rd, 2024; accepted: May 17^th, 2024; published: May 29^th, 2024

ABSTRACT

This article uses elementary methods such as congruence formula, recursive sequences, and Pell equation to prove that indefinite Diophantine equation 5x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 42x(x + 1)(x + 2)(x + 3) has a unique positive integer (x, y) = (6, 3). Also, All 20 groups of integer solutions of the equation are found.

Keywords:Diophantine Equation, Congruence Formula, Pell Equation, Positive Integer Solution

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言与结论

对于 $p x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = q y (y + 1) (y + 2) (y + 3)$ ，其中 $(p, q) = 1, p, q \in N^{*}$ 这类的不定方程正整数解的研究 [1] - [11] ，已有许多重要的结论。1971年Cohn证明了当 $p = 1, q = 2$ 时，不定方程仅有一组正整数解 $(x, y) = (5, 4)$ [1] ；1982年宣体佐证明了当 $p = 1, q = 5$ 时，不定方程仅有一组正整数解 $(x, y) = (1, 2)$ [2] ；1991年罗明证明了当 $p = 1, q = 7$ 时，不定方程仅有正整数解 $(x, y) = (4, 2)$ [3] ；2022年谢耀兵证明了当 $p = 5, q = 9$ 时，不定方程仅有正整数解 $(x, y) = (6, 5)$ [4] 。但对于 $(p, q) = (5, 42)$ 时的不定方程正整数解的问题仍未解决。因此本文将在以前的基础上讨论 $(p, q) = (5, 42)$ 的情形，证明了：

定理不定方程

$5 x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 42 y (y + 1) (y + 2) (y + 3)$ (1)

仅有正整数解 $(x, y) = (6, 3)$ 。

2. 预备知识

先将方程(1)化为

${[5 (x^{2} + 3 x + 1)]}^{2} - 210 {(y^{2} + 3 y + 1)}^{2} = - 185$ (2)

易知方程 $X^{2} - 210 Y^{2} = - 185$ 的全部整数解可由以下两个结合类给出：

$x_{n} + y_{n} \sqrt{210} = \pm (5 + \sqrt{210}) (u_{n} + v_{n} \sqrt{210}) = \pm (5 + \sqrt{210}) {(29 + 2 \sqrt{210})}^{n} n \in ℕ$

${\bar{x}}_{n} + {\bar{y}}_{n} \sqrt{210} = \pm (- 5 + \sqrt{210}) (u_{n} + v_{n} \sqrt{210}) = \pm (- 5 + \sqrt{210}) {(29 + 2 \sqrt{210})}^{n} n \in ℕ$

其中 $5 + \sqrt{210}$ 是方程 $X^{2} - 210 Y^{2} = - 185$ 的最小正整数解， $29 + 2 \sqrt{210}$ 是Pell方程 $u^{2} - 210 v^{2} = 1$ 的基本解 [11] 。易知 ${\bar{y}}_{n} = y_{- n}$ ，于是方程(2)的解应该满足

${(2 y + 3)}^{2} = \pm 4 y_{n} + 5 n \in ℕ$ (3)

容易验证不定方程(1)满足下列关系式：

$y_{n + 1} = 58 y_{n} - y_{n - 1}, y_{0} = 1, y_{1} = 39$ (4)

$u_{n + 1} = 58 u_{n} - u_{n - 1}, u_{0} = 1, u_{1} = 29$ (5)

$v_{n + 1} = 58 v_{n} - v_{n - 1}, v_{0} = 0, v_{1} = 2$ (6)

$u_{2 n} = u_{n}^{2} + 210 v_{n}^{2} = 2 u_{n}^{2} - 1, v_{2 n} = 2 u_{n} v_{n}$ (7)

$y_{n} = u_{n} + 5 v_{n}$ (8)

$u_{n + 2 k m} \equiv {(- 1)}^{k} u_{n} (\mod u_{m})$ (9)

$v_{n + 2 k m} \equiv {(- 1)}^{k} v_{n} (\mod u_{m})$ (10)

$y_{n + 2 k m} \equiv {(- 1)}^{k} y_{n} (\mod u_{m})$ (11)

下面本文将分两种情况讨论(3)式在 $n = 0, - 1$ 成立，由此求得(2)的全部整数解，进而求得方程(1)的全部正整数解。

3. 分类讨论

3.1. 当(2y + 3)² = 4y_n + 5时

此节主要是为了讨论n为何值时， $4 y_{n} + 5$ 为完全平方数，为此本文先介绍以下的几个引理。

引理1 设 $2 | m$ 且 $m > 0$ ，则 $(\frac{\pm 20 v_{2 m} + 5}{u_{2 m}}) = - (\frac{u_{m} \pm 4 v_{m}}{113})$ 。

证明当 $2 | m$ 且 $m > 0$ 时，由(5)式可知 $2 ∤ u_{m}$ ，且由(7)式可知 $u_{2 m} = 2 u_{m}^{2} - 1 \equiv 1 (\mod 8)$ ； $u_{m} \equiv 1 (\mod 4)$ ，于是有 $(\frac{- 1}{u_{m}}) = 1$ ， $(\frac{2}{u_{2 m}}) = 1$ ， $(\frac{5}{u_{2 m}}) = 1$ ，

因此

$\begin{array}{l} (\frac{\pm 20 v_{2 m} + 5}{u_{2 m}}) = (\frac{\pm 20 v_{2 m} + 10 u_{m}^{2}}{u_{2 m}}) = (\frac{\pm 40 u_{m} v_{m} + 10 u_{m}^{2}}{u_{2 m}}) \\ = (\frac{2}{u_{2 m}}) (\frac{5}{u_{2 m}}) (\frac{u_{m}}{u_{2 m}}) (\frac{u_{m} \pm 4 v_{m}}{u_{2 m}}) = (\frac{- 1}{u_{m}}) (\frac{u_{2 m}}{u_{m} \pm 4 v_{m}}) \\ = (\frac{u_{m}^{2} + 210 v_{m}^{2}}{u_{m} \pm 4 v_{m}}) = (\frac{210 v_{m}^{2} + {(\pm 4 v_{m})}^{2}}{u_{m} \pm 4 v_{m}}) \\ = (\frac{226}{u_{m} \pm 4 v_{m}}) = (\frac{2}{u_{m} \pm 4 v_{m}}) (\frac{113}{u_{m} \pm 4 v_{m}}) = - (\frac{u_{m} \pm 4 v_{m}}{113}) \end{array}$

引理2 若 $4 y_{n} + 5$ 为平方数，则 $n \equiv 0, - 1 (\mod 2^{3} \times 3^{2} \times 5)$ 。

证明对序列 ${4 y_{n} + 5}$ 取不同的模来证明。

mod 311，排除 $n \equiv 1, 3 (\mod 5)$ ，这是因为此时 $4 y_{n} + 5 \equiv 161, 55 (\mod 311)$ ，而161、55为mod 311的平方非剩余，故可排除 $n \equiv 1, 3 (\mod 5)$ 的情形，剩余 $n \equiv 0, 2, 4 (\mod 5)$ 。为节省篇幅，下面不再重复排除的原因。

mod 41，排除 $n \equiv 1, 2, 3, 5, 6 (\mod 8)$ ，剩余 $n \equiv 0, 4, 7, 12, 15, 20, 24, 32, 39 (\mod 40)$ 。

mod 661，排除 $n \equiv 3, 4, 6, 8 (\mod 10)$ ，剩余 $n \equiv 0, 7, 12, 15, 20, 32, 39 (\mod 40)$ 。

mod 239，47279，排除 $n \equiv 7, 12, 15 (\mod 20)$ ，剩余 $n \equiv 0, 20, 39 (\mod 40)$ 。

mod 17，11467，排除 $n \equiv 2, 4, 5, 6, 7 (\mod 9)$ ，剩余 $n \equiv 0, 39, 80, 100, 120, 180, 199, 260, 279, 280, 300, 359$ $(\mod 360)$ 。

mod 61，排除 $n \equiv 5 (\mod 15)$ ，剩余 $n \equiv 0, 120, 180, 300, 359 (\mod 360)$ 。

mod 37 ，排除 $n \equiv 12 (\mod 36)$ ，剩余 $n \equiv 0, 180, 359 (\mod 360)$ 。

下面本文将利用计算的方法排除 $n \equiv 180 (\mod 360)$ 。对于 $n \equiv 180 (\mod 360)$ ，可令 $n = 360 k + 180$ ，若 $k = 2 k_{1}$ ，则 $n = 720 k_{1} + 180$ 故 $n \equiv 4 (\mod 16)$ ，而对于序列 ${4 y_{n} + 5}$ 取mod 1231就可排除 $n \equiv 4 (\mod 16)$ ，若 $k = 2 k_{1} + 1$ ，则 $n \equiv 12 (\mod 16)$ ，同理对于序列 ${4 y_{n} + 5}$ 取mod 1231也可排除 $n \equiv 12 (\mod 16)$ 。

综上所述 $n \equiv 0, - 1 (\mod 2^{3} \times 3^{2} \times 5)$ 。

引理3 设 $n \equiv 0 (\mod 2^{3} \times 3^{2} \times 5)$ ，则 $4 y_{n} + 5$ 为平方数当且仅当 $n = 0$ 。

证明若 $n \neq 0$ ，因为 $n \equiv 0 (\mod 2^{3} \times 3^{2} \times 5)$ ，则可令 $n = 2 \times (4 k \pm 1) \times 3^{2} \times 5 \times 2^{t}$ ， $t \geq 2$ 。若现取m为 $2^{t}, 3 \times 2^{t}, 5 \times 2^{t}$ 之一，则由(8)和(11)以及引理2可得

$4 y_{n} + 5 \equiv 4 u_{n} + 20 v_{n} + 5 \equiv \pm 20 v_{2 m} + 5 (\mod u_{2 m})$

所以 $(\frac{4 y_{n} + 5}{u_{2 m}}) = (\frac{\pm 20 v_{2 m} + 5}{u_{2 m}}) = - (\frac{u_{m} \pm 4 v_{m}}{113})$ 。

${u_{m} \pm 4 v_{m}}$ 对mod 113的剩余序列周期为56，而 ${2^{t}}$ 对mod 56的剩余序列周期为3。

情况1 对 ${u_{m} + 4 v_{m}}$ ，选择具体的m如下：

$m = {\begin{array}{l} 2^{t}, t \equiv 0 (\mod 3) \\ 5 \times 2^{t}, t \equiv 1 (\mod 3) \\ 3 \times 2^{t}, t \equiv 2 (\mod 3) \end{array}$

则有表1。

Table 1. The situation of u m + 4 v m ( mod 113 )

表1. $u_{m} + 4 v_{m} (\mod 113)$ 的情形

表1中所有的 $u_{m} + 4 v_{m}$ 均为mod 113的平方剩余，即以上所有的m均有 $(\frac{u_{m} + 4 v_{m}}{113}) = 1$ ，故 $(\frac{4 y_{n} + 5}{u_{2 m}}) = - 1$ ，由此可知 $4 y_{n} + 5$ 不是平方数。

情况2 对 ${u_{m} - 4 v_{m}}$ ，选择具体的m如下：

$m = {\begin{array}{l} 2^{t}, t \equiv 1, 2 (\mod 3) \\ 5 \times 2^{t}, t \equiv 0 (\mod 3) \end{array}$

同理可知此时所有 $u_{m} - 4 v_{m}$ 均为mod 113的平方剩余，由此得 $4 y_{n} + 5$ 不是平方数。综上情况1和情况2可知与条件 $4 y_{n} + 5$ 为平方数矛盾。故 $n = 0$ 。

反之当 $n = 0$ 时，显然 $4 y_{n} + 5 = 3^{2}$ 是一个平方数。因此，引理4得证。

引理4 设 $n \equiv - 1 (\mod 2^{3} \times 3^{2} \times 5)$ ，则 $4 y_{n} + 5$ 为平方数当且仅当 $n = - 1$ 。

证明若 $n \neq - 1$ ，因为 $n \equiv - 1 (\mod 2^{3} \times 3^{2} \times 5)$ ，则可令 $n = - 1 + 2 \times (4 k \pm 1) \times 3^{2} \times 5 \times 2^{t}$ ， $t \geq 2$ 。又由(11)式可得

$4 y_{n} + 5 = 4 y_{- 1 + 2 \times (4 k \pm 1) \times 3^{2} \times 5 \times 2^{t}} + 5 \equiv - 4 y_{- 1} + 5 (\mod u_{m})$

而其中 $y_{- 1} = 19$ ，则 $(\frac{4 y_{n} + 5}{u_{m}}) = (\frac{- 71}{u_{m}}) = (\frac{u_{m}}{71})$ 。对于序列 ${u_{m}}$ 对mod 71的剩余周期为36， ${2^{t}}$ 对mod 36的剩余序列周期为6，于是对于序列 ${u_{m}}$ ，我们可以选择具体的m如下：

$m = 2^{t}$

此时 $t \equiv 0, 1, 2, 3, 4, 5 (\mod 6)$ ，，对应的 $u_{m} \equiv 56, 23, 63, 56, 23 (\mod 71)$ 均为mod 71的平方非剩余；由此可知 $4 y_{n} + 5$ 必不可能为平方数，这与 $4 y_{n} + 5$ 为平方数矛盾。因此 $n = - 1$ 。反之，若 $n = - 1$ ，则显然 $4 y_{n} + 5 = 9^{2}$ 是一个平方数。引理5得证。

3.2. 当(2y + 3)² = −4y_n + 5时

引理5 $- 4 y_{n} + 5$ 是平方数当且仅当 $n = 0$ 。

证明当 $n \neq 0$ 时，此时 $y_{n} > 1$ ，故 $- 4 y_{n} + 5 < 0$ ，这与 $- 4 y_{n} + 5$ 是一个平方数矛盾；若 $n = 0$ ，则此时 $- 4 y_{n} + 5 = - 4 y_{0} + 5 = 1^{2}$ 是一个平方数。

4. 定理证明

定理不定方程 $5 x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 42 y (y + 1) (y + 2) (y + 3)$ 仅有一组正整数解 $(x, y) = (6, 3)$ 。

证明由引理1知 ${(2 y + 3)}^{2} = - 4 y_{0} + 5 = 1$ ，因此 $y = - 1$ 或者−2，此时相应的整数解为 $(- 3, - 2), (- 2, - 2),$ $(- 1, - 2), (0, - 2), (- 3, - 1), (- 2, - 1), (- 1, - 1), (0, - 1)$ 。

由引理4知 ${(2 y + 3)}^{2} = 4 y_{0} + 5 = 9$ ，因此 $y = 0$ 或者−3，此时相应的整数解为 $(- 3, - 3), (- 2, - 3), (- 1, - 3),$ $(0, - 3), (- 3, 0), (- 2, 0), (- 1, 0), (0, 0)$ 。

由引理5知 ${(2 y + 3)}^{2} = 4 y_{- 1} + 5 = 81$ ，因此 $y = 3$ 或者−6，此时相应的整数解为 $(- 9, - 6), (- 9, 3), (6, - 6),$ $(6, 3)$ 。

综上所述，不定方程 $5 x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 42 y (y + 1) (y + 2) (y + 3)$ 仅有一组正整数解 $(x, y) = (6, 3)$ ，定理得证。

文章引用

张艺宝. 关于不定方程5x(x 1)(x 2)(x 3) = 42y(y 1)(y 2)(y 3)
On the Diophantine Equation 5x(x 1)(x 2)(x 3) = 42y(y 1)(y 2)(y 3)[J]. 应用数学进展, 2024, 13(05): 2105-2109. https://doi.org/10.12677/aam.2024.135198

参考文献

1. 柯召, 孙琦. 谈谈不定方程[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2011: 15-29.

2. 卢安然. 关于不定方程3x(x 1)(x 2)(x 3) = 10y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 数学实践与认识, 2023, 53(11): 265-270.

3. 刘海丽, 罗明. 关于不定方程x(x 1)(x 2)(x 3) = 35y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 西南大学学报(自然科学报), 2016, 38(10): 42-46.

4. 林丽娟, 罗明. 关于不定方程x(x 1)(x 2)(x 3) = 35y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 数学实践与认识, 2020, 50(15): 307-313.

5. 孙浩久. 关于不定方程3x(x 1)(x 2)(x 3) = 14y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 西南师范大学学报(自然科学报), 2017, 42(4): 1-6

6. 李妮. 关于不定方程5x(x 1)(x 2)(x 3) = 14y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 广西师范学院学报(自然科学版), 2017, 34(4): 41-45.

7. 王聪. 关于不定方程3x(x 1)(x 2)(x 3) = 10y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 重庆工商大学学报(自然科学报), 2016, 33(1): 29-32

8. 谢耀兵. 关于不定方程5x(x 1)(x 2)(x 3) = 9y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 数学实践与认识, 2022, 52(5): 246-249.

9. 罗明. 关于不定方程x(x 1)(x 2)(x 3) = 7y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 重庆师范学院学报(自然科学版), 1991(1): 1-8.

10. 宣体佐. 关于不定方程5x(x 1)(x 2)(x 3) = y(y 1)(y 2)(y 3) [J]. 北京师范大学学报(自然科学版), 1982(3): 27-34.

11. Cohn, J.H.E. (1971) The Diophantine Equation x(x 1)(x 2)(x 3) = 2y(y 1)(y 2)(y 3). Pacific Journal of Mathematics, 37, 331-335. https://doi.org/10.2140/pjm.1971.37.331

期刊菜单