 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 97-98 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12020 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Partial Fraction Decompositions and to Trigonometric Sum Identities Xin Wang Dalian Naval Academy, Dalian Email: wangxbb2006@yahoo.com.cn Received: Mar. 31st, 2011; revised: Apr. 27th, 2011; accepted: May 10th, 2011. Abstract: By partial fraction decomposition method, we prove a general summation formula on trigonometric sum, which contains several interesting trigonometric identities as special cases. Keywords: Partial Fraction; Trigonometric Sum; Combinatorial Identities 部分分式方法与有限三角和的计算 王 欣 海军大连舰艇学院基础部，大连 Email: wangxbb2006@yahoo.com.cn 收稿日期：2011年3月31 日；修回日期：2011年4月27 日；录用日期：2011年5月10 日 摘 要：本文利用部分分式方法，证明了一类含有参变量的有限三角函数求和公式，从而推广了 Chu 和Marini(1999)的相关结论。 关键词：部分分式；三角函数和；组合恒等式 1. 引言 部分分式方法是一种非常基本却又相当重要的数 学方法。经过有理式的恒等变形，任何有理式总能化 为某个既约分式。如果这个既约分式是只含有一个自 变数的真分式，还可进一步化为若干个既约真分式之 和。这几个分式便称为原来那个既约分式的部分分式。 下面简要介绍一下。 部分分式定理 设 px Qx 是一个真分式，如果 12 ,,, m aa a分别是多项式 Qx的 重根，那 12 ,,, m kk k 么存在常数 1 11 1,, k A A； 2 22 1,, k A A； 1,,m mm k A A， 使得 11 ii k mj j ij i A Px Qx x a 。 由拉格朗日插值公式可推出化有理真分式为部分 分式的一般方法[3,§8.2]。Chu 等广泛使用部分分式 方法([1,2] 等)研究 了双边超几何级数、三角和计算 及 Harmonic数恒等式此三类中的困难问题，得到了许多 漂亮的组合恒等式。本文将使用这一方法来推证某些 含参变量的三角函数恒等式。 2. 主要结果 定理 已知n是一个偶数， P 表示一个关于 cos 的次数小于或等于 n的多项式，y是一个实参数，满足 条件： 0πy n则有 1 21 022 π 12cos sin π sincos 2cos 2π 4 coscoscos k n k k Py nP Pn ny nk nny y n (1a)  王欣 部分分式方法与有限三角和的计算 98 | 1 21 022 ππ 12cos sin π sincos2cos2π 4 coscoscos k n k kk yPy nP Pn ny nk nny y n n (1b) 证明 将三角函数 sin sin n 看作是以 cos 为自变数 的 次多项式，并且已知1n P 为一个关于 cos 的 次数小于或等于n的多项式，故 sin sin nP 是关于 cos 的次数小于 的多项式；而另一个三角函数2n cos 2ny cos 2n 可看作 cos 的次多项式，则 2n sin sincos 2cos2 nP ny n 就是以 cos 为自变数的真分 式。不妨设 cos 2cos2ny n 的个不同的零点为 2n 21 0 n kk ，其中 π kk yn 。利用部分分式定理，可以 得到下面的三角函数展开式： 21 0 sin sincos 2cos2coscos nk kk nP ny n (2) 将上式两边同乘以 coscos k 并取极限 , k 系 数 k 可由下面的式子所确定 sincoscos1 sincos cos limlim , sincos 2cos 2sincos 2cos2 k k k kk k kk nPnyP ny nny n 使用洛比达法则求上述极限，可得 k 的表达式 1π 1 4cos k k k Py n nny 。 (3) 在(2)中令 π ，可以得到与之相似的另外一个 公式 21 0 sin π sincos2cos2coscos nk kk nP ny n 。 (4) 令(2) ± (4)，并将(3)代入得到定理结论。 特别要指出的是，当 n是一个奇数时，有类似结 论成立。 3. 三角函数恒等式的例子 当 P 取不同函数时，相应的会得到不同的三角 函数恒等式。 (1) 在定理中取 ，得到 1P 1 22 0 1cos 2sincos sincos 2cos 2 cos cos k n k nn ny nn ykn y 。 (5) (2) 在定理中取 cosPn ，得到 1 22 0 cossin 2 sincos2cos 2 cos cos n k nn nn ykn y 。 (6) 值得注意的是，在上述定理和例子中，变量 y的 选取是任意的。特别地，取，将会得到 Chu 和 Marini [1]中的结果。因而从本质上推广了 Chu 和 Marini 的相关结论。 0y 上述有限三角和的显式求值是研究数值逼近、积 分变换、 Fourier 级数和数学物理方程解等问题的有效 工具，在理论物理及工程计算等领域也具有广泛的应 用价值。 参考文献 (References) [1] W. Chu, A. Marini. Partial fractions and trigonometric identities. Advanced in Applied Mathematics, 1999, 23(2): 115-175. [2] W. Chu. Partial fraction decompositions and trigonometric sum identities. Proceedings of the American Mathematical Society, 2008, 136(1): 229-237. [3] R. Kress. Numerical Analysis: Graduate Texts in Mathematics (GTM181). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. Copyright © 2011 Hanspub PM |