ABSTRACT

We will use Nevanlinna distribution theory to discuss a power of meromorphic functions of differential polynomials sharing two values. The results generalize many results on value sharing of meromorphic functions.

Keywords:Meromorphic Function; Shared Value; Uniqueness

亚纯函数微分多项式分担两个值的唯一性

石新华

中国民航大学理学院，天津

Email: xhshi2000@163.com

收稿日期：2014年2月13日；修回日期：2014年3月2日；录用日期：2014年3月12日

摘  要

本文运用Nevanlinna理论讨论了一类亚纯函数微分多项式分担两个值的唯一性问题，得到的结果改进或推广了亚纯函数分担值的许多唯一性结果。

关键词

亚纯函数；分担值；唯一性

1. 引言

设是复平面上的亚纯函数，假设读者熟知Nevanlinna值分布理论中通用的记号[1] -[3] 例如。如果，则称是的小函数。现在假设和是两个非常数亚纯函数，。如果与有相同的零点并且零点

重数也相同(不计重数)，我们称与分担CM (IM)。用表示的重数不超过的零点的计数函数(记重数)，用表示的重数不超过的零点的精简计数函数(不记重数)，并且令。

为了方便，定义

(*)

其中且。

2010年，徐俊峰等人[4] 证明了下面两个定理：

定理A：设和是两个非常数数亚纯函数，是两个正整数且。如果与分担1 CM，和分担IM，则或者，其中和是三个常数且满足，或者，其中是个常数且有。

定理B：设和是两个非常数数亚纯函数且，是两个正整数且。 如果与分担1 CM，和分担IM，则。

更多相关结果参考文献[5] -[8] ，本文中，我们推广并改进了定理A和定理B。主要结果如下：

定理1：设和是两个非常数亚纯函数，，是三个整数且，由(*)定义。如果和分担1 CM，和分担IM，则

(1) 当，；

(2) 当，下面两种情形必有一种成立：

(3)，其中是个常数且有，

(4)，其中和是三个常数且满足。

推论1：设和是两个非常数数亚纯函数，是两个正整数且。如果与分担1 CM，和分担IM，则或者，其中和是三个常数且满足，或者，其中是个常数且有。

推论2：设和是两个非常数数亚纯函数且，是两个正整数且。如果与分担1 CM，和分担IM，则。

2. 主要引理

定义：

(1)

其中是非常数亚纯函数。

(2)

(3)

引理2.1[9] ：设是非常数亚纯函数，是的小函数，那么 

引理2.2[7] ：设是非常数亚纯函数，是两个正整数，则

引理2.3[3] ：设是个非常数亚纯函数，是个正整数，若，则

类似于文献[5] 中引理3的证明，我们可以得到下面的引理。

引理2.4：假设由(1)，(2)定义。如果分担1 CM以及IM，则有

对有同样的不等式成立。

引理2.5[10] ：设和由(1)中所定义，如果和分担IM，且，则。

引理2.6：假设,是两个非常数亚纯函数，假设由(1)，(3)定义。由(*)定义，，，是三个整数。如果，和分担1 CM，和分担IM，则

(4)

证明：由于，和分担IM，假设是的重极点，是的重极点，则是的重极点，从而是的重极点，同理也是的重极点，故而至少是的重零点。因此

(5)

由对数导数引理，，注意到和分担1 CM，故得到

(6)

由(5)，(6)即得(4)，这就证明了引理2.6。

引理2.7[4] ：假设,是两个非常数亚纯函数，是两个正整数。如果，则其中是个常数且有。

仿照文献[4] 中引理5的证明可得

引理2.8：假设,是两个非常数亚纯函数，由(*)定义，是三个整数且。如果，则。

引理2.9[11] ：假设,是两个非常数亚纯函数，由(*)定义，是两个正整数且，是的小函数且有有限个零点和极点，如果，和分担IM，则退化为一个单项式。

利用文献[11] 中定理3的证明可得

引理2.10：假设,是两个非常数亚纯函数，由(*)定义，是两个正整数。如果，和分担IM，则，其中和是三个常数且满足。

3. 定理1的证明

假设和由(1)~(3)定义，再设，，则和分担1 CM以及IM。

假设，则，且。

情形1：。由引理2.4得

(7)

由引理2.2，并令可得

(8)

以及

(9)

由(7)~(9)得到

由引理2.1和上面的不等式得到

(10)

类似可得

(11)

由(10)和(11)得到

(12)

注意到，我们得到(4)。利用引理2.2并令，得到

(13)

以及

(14)

注意到,由(4)，(13)和(14)得到

(15)

由(12)~(15)得到

(16)

这与矛盾。因此。仿照文献[5] (Lemma 3)的证明，可得

(i)，或者

(ii)。

注意到为多项式，由引理2.9，情形(i)不可能发生。根据引理2.8，从(ii)即得。

情形2：。仿照情形1的证明得到，

(17)

这与矛盾。因此且有

(iii)，或者

(iv)。

对于(iii)，根据引理2.10，得到，其中和是三个常数且满足。

对于(iv)，由引理2.7得到，其中是个常数且。

这就完成了定理1的证明。

基金项目

天津市自然科学基金(13JCQNJC04400)。

参考文献 (References)