ABSTRACT

In this paper, we investigate the growth of linear order meromorphic solution of higher order homogeneous and no-homogeneous linear differential equation, and we obtain some precise estimates for their zeros and hyper-orders.

Keywords:Linear Differential Equation, Meromorphic Functions, Hyper-Order, Hyper-Exponent of Convergence

线性微分方程亚纯解的零点和增长级的 定量估计

黄  惠，陈宗煊

华南师范大学数学科学学院，广州

Email: huanghui201209@126.com, chzx@vip.sina.com

收稿日期：2014年2月25日；修回日期：2014年3月30日；录用日期：2014年4月10日

摘  要

本文研究了高阶齐次和非齐次线性微分方程无穷极亚纯解的增长性问题，使方程的零点和增长性得到了精确估计。

关键词

线性微分方程，亚纯函数，超级，二级收敛指数

1. 引言和结果

本文使用值分布的标准记号(见[1] [2] )，对于亚纯函数，用分别表示亚纯函数的级，零点收敛指数和极点收敛指数，并引入以下定义：

定义1：(见[2] )亚纯函数的超级定义为。

定义2：(见[3] )亚纯函数的二级零点收敛指数定义为，二级不同零点收敛指数定义为。

陈宗煊和杨重骏在文献[4] 中证明了：

定理A：设是整函数，满足。

则微分方程

(1.1)

每一个不恒为零的解满足。

定理B：设满足定理A的假设，是整函数，且。则微分方程

(1.2)

所有解满足，至多有一个例外解。

廖莉和陈宗煊在文献[5] 中证明了：

定理C：设是亚纯函数，满足存在某个是超越的，并满足和。

而对于其它满足

如果(1.2)中的亚纯解极点重数一致有界，那么至少有一个亚纯解满足

本文将定理A，B中方程的系数推广到了亚纯系数，将定理C的条件减弱，得到如下定理

定理1：假设是亚纯函数，，满足。若是(1.1)的任一亚纯解，且极点阶数有界，则。

定理2：假设满足定理1的假设，是亚纯函数，且。若是(1.2)的任一亚纯解，且极点阶数有界，则，至多除去一个例外解。

定理3：假设，是亚纯函数，存在某个满足及

如果(1.2)中的亚纯解极点重数一致有界，那么至少有一个亚纯解满足。

2. 引理

引理1：(见[6] )假设是超越亚纯函数，。设表示一个整数对的有限集合，满足。假定是任给常数，那么存在子集具有有穷对数测度，对满足的所有和，有

引理2：(见[6] )假设是一个无穷级整函数，超级。为的中心指标，则有

引理3：设为无穷级亚纯函数，其中和为整函数，且，

,若是线测度和对数测度均有穷的集合，则存在一列，且，当满足且时，有

证明：由归纳法，有

(2.1)

其中是常数，。因此

(2.2)

由Wiman-Valiron定理(见[7] -[9] )，存在一个对数测度有穷的集合，当z满足及时，

(2.3)

将(2.3)代入(2.2)有

(2.4)

由引理1，对任给的，存在一个对数测度有穷的集合，当满足时，有

(2.5)

由和(2.5)得

(2.6)

由引理2可知，存在一序列，满足。令的对数测

度为，取，有

. (2.7)

又

(2.8)

由(2.7)知，当充分大时，有

. (2.9)

由(2.7)，(2.8)知

. (2.10)

由(2.6)，(2.9)有

. (2.11)

结合(2.4)，(2.10)，(2.11)知本定理得证。

引理4：(见[10] )假设为亚纯函数，，那么对任意给定的，存在一个线测度和对数测度都为有穷的集合，当，时

.

引理5：(见[11] )假设微分方程

被个线性无关的亚纯解所满足，那么是亚纯函数，且对于有

3. 定理1的证明

把(1.1)改写成

(3.1)

由(3.1)和对数导数引理可知，从而有，结合(3.1)可得

(3.2)

可能除去一个线测度有穷的集合，使得。

由于，即，则对任意，存在，对任意的有

(3.3)

由(3.2)，(3.3)得

(3.4)

由(3.4)及知

(3.5)

另一方面，由于，由引理4知，对任意，存在一个对数测度为有穷的集合，当时，有

(3.6)

设为的阶极点，但不是的极点，在(1.1)中仅有一项即有最高阶极点，其阶数为，显然矛盾，所以的极点仅发生在的极点处，由于的极点阶数是有限的，所以

由Hadamard定理，可表示为

其中为整函数，是极点构成的典型乘积(或多项式)，且满足

由引理3知，存在一列，且，当满足时，有

(3.7)

当时，把(3.6)，(3.7)代入(1.1)有

即

. (3.8)

由引理3，(3.8)及的任意性知

. (3.9)

由(3.5)和(3.9)知。

4. 定理2的证明

假设是方程(1.2)的任意两个解，且极点阶数均有界，下面证至少存在一个不妨设为，有。

由微分方程的基本定理知是方程(1.2)对应的齐次方程(1.1)的解，由定理1知

则至少存在一个，不妨设为，满足

(4.1)

另一方面，由于。则由引理4知，对任意，存在一个对数测度为有穷的集合，当时，有

(4.2)

(4.3)

由(4.1)知，假设为的阶极点，但不是的极点，则在(1.2)中仅有一项

即有最高阶极点，其阶数为，显然是矛盾的。所以的极点仅发生在的极点处，由于的极点阶数是有限的，所以。Hadamard定理，可表示为

其中为整函数，是极点构成的典型乘积(或多项式)，且满足

(4.4)

由引理3知，存在一列，且，当满足时，有

. (4.5)

由(4.4)知，当充分大时，对上述的，有

(4.6)

由(4.2)，(4.6)知，当，且充分大时，有

(4.7)

由于(1.2)可改写成

(4.8)

当时，把(4.3)，(4.5)，(4.7)代入(4.8)有

即

(4.9)

由(4.9)及引理3有

(4.10)

由的任意性及(4.1)，(4.10)有

(4.11)

把方程(1.2)改写成

(4.12)

若是的大于阶零点，则是的阶零点，从而有

(4.13)

由对数导数引理和(4.12)，最多除去一个线测度有限的集合，当时，有

(4.14)

由(4.13)，(4.14)

(4.15)

由于。则存在，当充分大时，有

(4.16)

又，则对任给的有，从而有

(4.17)

因为当充分大时

(4.18)

从而由(4.15)~(4.18) ，当时，有

(4.19)

由(4.19)得

(4.20)

由(4.11)，(4.20)知本定理得证。

5. 定理3的证明

运用与定理2相同的证明可得到

(5.1)

其中为有穷测度集。

由于即，则对任意，当充分大时，有

(5.2)

由(5.2)知

(5.3)

我们断言存在一个线测度为无穷的集合，使得

(5.4)

事实上由(5.3)知存在一系列，有

令。显然(5.4)在上成立，且的线测度。

取任意实数使得，则由(5.4)知，当时，有

(5.5)

又，当充分大时，有

(5.6)

从而由(5.5)知

(5.7)

由(5.1)~(5.2)，(5.5)~(5.7)知, 当，且充分大时，有

(5.8)

现在分两种情况讨论：

情况1：假设满足条件：除去一个线测度有穷的集合外有

(5.9)

由知是超越的，则由(5.9)可知是无穷极亚纯函数，从而存在一系列

满足。令，则存在点，使得

从而有

(5.10)

由(5.8)~(5.9)知，当，且充分大时，有

(5.11)

又当充分大时，有

(5.12)

由(5.11)~(5.12)，当，时，有

(5.13)

由(5.4)，(5.9)，(5.13)有

(5.14)

运用与定理2相同的证明方法可得结合(5.14)有

情况2：假设是的解，且不满足情况1的条件，即存在线测度为无穷的集合，当时，有

(5.15)

其中为常数。

假设为方程(1.2)所对应的齐次方程(1.1)的基础解，由引理4，有

即对上述的，有

(5.16)

令则及的线测度，知至少存在一个集合，不妨设为，满足的线测度，且当时，有

(5.17)

因此当时，由(5.15)，(5.17)有

其中是(1.2)的解.

由上式知

(5.18)

即

(5.19)

又当充分大时，有

(5.20)

所以由(5.8)，(5.19)，(5.20)知

(5.21)

由(5.4)，(5.18)，(5.21)得

(5.22)

运用类似于情况1的证明知。所以

致  谢

感谢陈宗煊教授的指导，他严谨细致，一丝不苟，在我论文写作过程中指点了我的思路和给了我启迪，同时感谢我的同门们对我的帮助和指导，正由于他们的帮助和提供资料我的论文才能写得如此的顺利，最后感谢审稿人对我文章提出的宝贵意见。

参考文献 (References)