Pure Mathematics
Vol.4 No.04(2014), Article ID:13779,3 pages
DOI:10.12677/PM.2014.44016

Zabreǐko Lemma Does Not Extend to the Incomplete Normed Space

Xiaomeng Niu

Department of Mathematics and Statistics, Chifeng College, Chifeng

Email: ndnxm@126.com

Copyright © 2014 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Received: May 26th, 2014; revised: Jun. 21st, 2014; accepted: Jun. 30th, 2014

ABSTRACT

In this paper, two incomplete normed spaces justify that the Zabreǐko lemma does not extend to the incomplete normed space.

Keywords:Normed Space, Incomplete, Seminorm

Zabreǐko引理不能扩展到不完备的
赋范空间上去

牛潇萌

赤峰学院数学与统计学院,赤峰

Email: ndnxm@126.com

收稿日期:2014年5月26日;修回日期:2014年6月21日;录用日期:2014年6月30日

摘  要

在两个不完备的赋范空间上证明了Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去。

关键词

赋范空间,不完备,半范数

1. 引言

开映射定理,闭图像定理和一致有界原理是泛函分析中的三个重要定理。Banach空间的许多理论都是以开映射定理,闭图像定理和一致有界原理这三个相关结果为基础的。它们的结论并不是对任意赋范空间都成立的了。开映射定理,闭图像定理和一致有界原理不能扩展到不完备的赋范空间上去[1] 。一般来说,在泛函分析教材中,这三个定理是直接用Baire纲定理来推导。文献[2] 给出了一致有界原理的一个没有利用Baire纲定理任何其他形式去推导的证明。Zabreǐko引理是Baire纲定理的一个弱描述,在文献[3] 中利用Zabreǐko引理给出了这三个定理的又一种证明方法。

2. Zabreǐko引理

定义1[3] 向量空间上的半范数或准范数是上的一个实值函数,使得对的所有元素以及每一个纯量都满足下列条件:

1)

2)

条件(2)可以推广为任意有限个元素的形式:任取,有

例如,如果是赋范空间并且是从的线性算子,则从中的函数上的一个半范数,称为由诱导的半范数。

引理1[3] 设是向量空间,上的半范数,则

1)

2)

3)

4)是凸的,吸收的,平衡的。

从上面的论述可以看出,一个半范数未必是一个范数,但是当一个半范数满足条件:当,则是一个范数。显然,一个向量空间上的范数总是一个半范数,且事实上是由该赋范空间上的恒等算子诱导的半范数。

定义2[3] 从赋范空间到非负实数集中的函数,称为是可数次可加的,如果对中的每一个收敛级数,有

引理2[3] (Zabreǐko引理) Banach空间上的每一个可数次可加的半范数都是连续的。

3. Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去

引理3[1] 设是有限非零序列的全体按坐标定义线性运算构成的向量空间。用表示范数,表示范数。记赋范空间,赋范空间。则是不完备的赋范空间。

下面定理中所提到的赋范空间,指的是引理3中所定义的

定理1 (Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去)范数是赋范空间上的一个可数次可加半范数,但是它不是连续的。

证明 首先证明上的一个半范数。

任取,任取。则存在,当时,。因为,

所以,上的一个半范数。

下面证明上是可数次可加的。

中的收敛级数,所以其部分和范数收敛。即存在,使得

只要证明了中收敛(即也是中的收敛级数),由引理3可知范数的范数,根据赋范空间中的范数总是可数次可加的。可以得到

对于每一个n,由于,则,存在,当时,,则,存在,当时,。取,则当时,

对于每一个n,

因为当时,。即对任意的,存在,当时,

因此当时,

故对任意的,存在正整数,当时,

,所以也是中的收敛级数,因此。从而由定义2可得出上是可数次可加的。

综上可知,是赋范空间上的一个可数次可加半范数。

在赋范空间上不连续,这是因为取,有

但是不趋于。因此在赋范空间上不连续。

4. 结束语

定理1说明了Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去,同时也说明了赋范空间上的可数次可加半范数的连续性是区分Banach空间与不完备赋范空间的一种重要方式。

参考文献 (References)

  1. 牛潇萌 (2012) 两个不完备赋范空间上的一些结论. 赤峰学院学报, 6, 6-7.

  2. 牛潇萌 (2013) 一致有界原理的另一种证法论. 赤峰学院学报, 1, 10-11.

  3. Robert, E. (1998) Megginson, An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, New York.

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