Pure Mathematics
Vol.05 No.04(2015), Article ID:15619,6
pages
10.12677/PM.2015.54020
A New Semi-Topological Space and Its Separation Property
Xichao Hu, Peiyong Zhu
School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu Sichuan
Email: 540435650@qq.com, zpy6940@uestc.edu.cn
Received: Jun. 18th, 2015; accepted: Jul. 1st, 2015; published: Jul. 8th, 2015
Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
In 2002, the concept of a generalized topological space was introduced by A. Csaszar. But it contains only half of the conditions in the definition of a topological space. Therefore, a generalized topology is a kind of semi-topologies actually. If we use the other condition of a topology which is contrary to the generalized topology as another semi-topology, can this new semi-topology be of some good properties, just like a generalized topology? This thesis is about this problem, and several results are obtained for the theories of point set and separation properties of this semi-topological space.
Keywords:Generalized Topology (Sup-Semi-Topology), Inf-Semi-Topology, Separation Property
一类新型半拓扑空间及其分离性质
胡西超,朱培勇
电子科技大学数学科学学院,四川 成都
Email: 540435650@qq.com, zpy6940@uestc.edu.cn
收稿日期:2015年6月18日;录用日期:2015年7月1日;发布日期:2015年7月8日
摘 要
2002年,A. Csaszar引入的广义拓扑空间定义仅包含拓扑空间定义条件的一半。因此,广义拓扑实际上是一类半拓扑。如果把广义拓扑相对于拓扑的另一半条件作为另一类半拓扑,那么这类半拓扑能否像广义拓扑那样具有一些良好的特征性质?本文就此问题进行研究,在这类半拓扑的点集理论和分离性质获得了一系列结果。
关键词 :广义拓扑(上半拓扑),下半拓扑,分离性
1. 引言与预备知识
广义拓扑空间的概念由匈牙利数学家A. Csaszar于2002在文献[1] 中引入。近些年来,不少学者积极投入,取得了不少的研究成果(参见文献[1] -[7] 等)。然而,广义拓扑定义中条件仅是拓扑定义中条件的一半,即广义拓扑实际上是一类半拓扑。在此,下列问题自然被提出:
问题1:如果把广义拓扑相对于拓扑的另一半条件作为另一类半拓扑,那么这类半拓扑能否像广义拓扑那样可以进行研究?
本文首先引入上述半拓扑(称为下半拓扑)及其相关的点集概念;然后,类比拓扑空间的点集理论,讨论下半拓扑空间对拓扑空间中的一系列点集性质的保持性;最后,引入下半拓扑空间的分离性质,得到了与拓扑空间的分离性质相同和相异的一系列结果。
首先,回忆广义拓扑的概念:
定义1.1 [8] :设是任一非空集合,
是
的一些子集构成的集族,如果下列两个条件被满足:(GO1)
;(GO2)若
,其中
为任意指标集,则
。则称
为集合
上的一个广义拓扑,并且称有序偶
为一个广义拓扑空间,集族
中的每一个集合都称为广义拓扑空间
的广义开集。
不难看出:广义拓扑的条件只有拓扑条件的一半。因此,广义拓扑实际上就是一个半拓扑。为了引入新的半拓扑,本文也称广义拓扑为上半拓扑(Sup-semi-topology),新引入的半拓扑称为下半拓扑(Inf-semi-topology),如下:
定义1.2:设是任一非空集合,
是
的一些子集构成的集族,如果下列两个条件被满足:(IO1)
;(IO2)若
,则
。则称
为
上的一个下半拓扑(Inf-semi-topology),并称
为下半拓扑空间(Inf-semi-topological space),简记为ISTS。集族
中的每一个元都称为
中的下半开集。下半开集的余集称为下半闭集。
显然,下一结论是不证自明的:
定理1.1:设是任一非空集合,则
的一些子集构成的集族
是
上的一个拓扑当且仅当
既是
上的广义拓扑(上半拓扑)又是
上的下半拓扑。
根据定理1.1,下面问题自然被提出:
问题2:在一般拓扑学中,拓扑的哪些是由上半拓扑导出的,哪些又是由下半拓扑导出的呢?
本文就此问题展开讨论。首先,对下半拓扑引入如下相关概念:
定义1.3:设是一个ISTS,
称为是
上的一个强下半拓扑,如果
。这时也称下半拓扑空间
为强下半拓扑空间,简记为S-ISTS。
从上面的定义可以看出,强下半拓扑空间是一类特殊的下半拓扑空间。
定义1.4:设是一个ISTS,
,
,如果
使得
,则称
为点
的一个下半邻域。点
的下半邻域的全体称为
的下半邻域系,记为
。
定义1.5:设是一个ISTS,
,
,若
使得
,则称
为点集
的下半内点;点集
的下半内点的全体称为
的下半内部,记为
。
定义1.6:设是一个ISTS,
,
,如果
,有
,则称
为点集
的下半聚点;点集
的下半聚点的全体称为
的下半导集,记为
;记
,并称
为
的下半闭包。
定义1.7:设是下半拓扑空间
中的一个网,
,若
,
,使得
,当
时,恒有
,则称网
(按下半拓扑
)收敛于
或称
以
为下半极限,通常记为
或
。
类比拓扑空间的分离性质,在下半拓扑中引入IS-分离性质如下:
定义1.8:设是一个ISTS。
(1) 称为
空间,如果
,若
,则
,使得
,或者
使得
;
(2) 称为
空间,如果
,若
,则
,
,使得
并且
。
定义1.9:设是一个S-ISTS。
(1) 称为
空间,如果
,若
,则
,
,使得
;
(2) 称为
-正则空间,如果对
,
下半闭于
且
,则
,
,使得
;
(3) 称为
-正规空间,如果
下半闭于
且
,则
,
,使得
。
此外,本文中所有没定义的关于拓扑空间的概念、术语和记号,如果没有特殊声明都选自文献[9] 。在不引起混淆的情况下,本文也将下半开集、下半闭集、下半闭包等称为开集、闭集、闭包等。
2. 下半拓扑空中基本点集性质
命题2.1:设是一个ISTS,
,
,则:
(1) 若为
中的开集,则
;
(2) 若是
中的闭集,则
。
证明:(1) 由内部的定义得,下证
。事实上,
,由
,故
,取
,则
,
,故
,
。
(2) 由闭包的定义,下证
。事实上,由于
为闭集,故
为开集,故
,
使
,故
,即
。所以,
。从而
。
在§4中,我们将通过例4.1和例4.2说明上述命题的逆命题是不成立的。
命题2.2:设是一个ISTS,
,则
当且仅当对
,有
。
证明:必要性:设,因为
,则
或者
。若
,则对
,
;若
,则
,由聚点的定义,对
,
,故
。
充分性:假设,则
。故
,
。又因为
,故
,这与
,有
矛盾。因此,
。
命题2.3:设是一个ISTS,
是
的任意子集,则
。
证明:由闭包的定义知,下证
。
事实上,对,
,有
。因
是点
的邻域,故
,使
,因为
,故
,取
,则
,故
,从而
。于是
,故
。
3. 关于分离性质的一些结果
由定义1.8和定义1.9,显然有:
定理3.1:空间
空间
空间。
在§4中,例4.3与例4.4将说明上述定理的不可逆性。关于这三类分离性质,我们有如下等价刻画:
定理3.2:设是一个ISTS,则
为
空间当且仅当对
:
,
。
证明:充分性:(反证)。假设不是
空间,则
:
,使得
有
,并且对
有
,故
且
。命题2.2知,
并且
。再由命题2.3,有
并且
,故
。这与对
:
,
矛盾,故
是
空间。
必要性:设为
空间,
,若
,则
使得
,或者
。
使。不妨设
使得
,则
使
,且
。因此,
。故
,即
。因此,
。
定理3.3:设是一个ISTS,则
为
空间当且仅当对
的每个单点集
,都有
。
证明:充分性:,
,则
,则
,由引理2.2知,
,使得
,故
。同理,
,使得
,故
为
空间。
必要性:对的每个单点集
,由闭包的定义知
成立,下证
成立。事实上,对
,有
,由
为
空间,则
使得
,故
,从而,
,即
,故
。从而,
,
。
定理3.4:设是一个S-ISTS,则
为
空间当且仅当
中的每个收敛网都有唯一极限。
证明:必要性:(反证),假设是
中的一个网,并且
,
,其中
。
由,对
,
,
有
;同理
。
,
有。取
且
,则当
时,有
。这与
是
空间矛盾。
充分性:(反证)。若不是
空间,则
,
使得
,
,有
。取
,并且定义:
在上定义半序关系“
”:
当且仅当
且
,则
是一个定向集。因此,
为
中的网并且
,
,这与
中的每个收敛网都有唯一极限矛盾。
在§4中,将用例4.5~例4.8四个反例来说明:、
-正则与
-正规三者是互相不蕴含的,而且关于
-正则与
-正规,至今还没能类似于定理3.2~定理3.4的任何等价刻画。关这两种分离性质,我们仅得到如下两个类似于拓扑空间的定理:
定理3.5:设是S-ISTS,若
为
-正则空间,则
,
,
,使得
。
证明:对,
,
,使得
,
闭于
且
,因为
为
-正则空间,则
,存在开集
,使得
。因此,
由于是开集,故
为闭集。因此,
。
定理3.6:设是一个S-ISTS,若
为
-正规空间,则对
中的任意闭集
,
,
,使得
。
证明:设是
的任一闭集,
,
,使得
。则
为
中的闭集并且
,则存在
,存在开集
,使得
。故
并且
。故
。
上述两个定理的逆命题是不成立的,关于这点在例4.9说明。
4 下半拓扑空间中的反例
首先用下面两例分别说明:命题2.1(1)与命题2.1(2)的逆命题是不真的。
例4.1:存在下半拓扑空间,
并且
成立,但
。
事实上,可取,
,则
是一个下半拓扑空间。又取
,则
。这是因为
,
使得
。故
,但
。
例4.2:存在下半拓扑空间,
且
成立,
不是
中的闭集。
事实上,设,
,则
是一个下半拓扑空间。由定理2.2推得,
。但
,从而
不是
中的闭集。
现在,用如下两例说明定理3.1的每个逆命题都是不成立的:
例4.3:存在空间不是
空间。事实上,取
,
,易知
是一个下半拓扑空间,则
是
空间,但不是
空间。
例4.4:存在空间不是
空间。设
为实数集,
{
至多可数},易知
是一个下半拓扑空间,则
是
空间,但
不是
空间。
事实上,,若
,则
为
的一个不包含
邻域,
为
的一个不包含
邻域。因此,
是
空间。若
是
空间,则对
,
,
使得
。因为
,
,故存在至多可数集
使得
,
。故
。因此,
。这与
,
是不可数集矛盾。从而,
不是
空间。
问题3:与
-正则和
-正规之间是否存在蕴含关系呢?
下面的两个例子分别说明:与
-正则以及
与
-正规之间均不存在蕴含关系。
例4.5:存在空间不是
-正则的,也不是
-正规的。设
,
,则
是一个
空间。但
不是
-正则空间,也不是
-正规空间。
事实上,可取,
,则
是
的闭集且
,
是唯一包含
的开集。故
,
有
。因此,
不是
-正则空间。此外,取
,
,则
,
是
中闭集,并且
。因为
,
都有
,并且
,故
。因此,
不是
-正规空间。
例4.6:存在-正则空间、
-正规空间不是
空间。
设,
,则
为
上的一个下半拓扑并且
也是
中闭集全体,所以
是
-正则空间,也是
-正规空间。但
不是
空间。从而,也不是
空间和
空间。事实上,对于
:
,不存在
的邻域
使得
,也不存在
的邻域
,使得
。故
不是
空间。
问题4: -正则空间和
-正规空间是否有相互蕴含关系呢?
下面的两个例子说明:它们两者也没有蕴含关系。
例4.7:存在-正则空间不是
-正规空间。设
,并令
又{
使得
},则
是以
为基的拓扑,且
是正则空间,但不是正规空间[10] 。故
是
-正则空间,但不是
-正规空间。
例4.8:存在-正规空间不是
-正则空间。设
,
,则
是一个
- 正规空间,但不是
-正则空间。
事实上,中的闭集全体为
,故
没有不相交的非空闭集。因此,是一个
-正规空间。此外,取
闭于
,
,由于
是包含
的唯一开集,则
,
有
。所以,
不是
-正则空间。
虽然,空间、
-正则空间与
-正规空间之间不存在任何蕴含关系,但是根据定义1.8,下面结论成立是显然的:
定理4.1:设是一个S-ISTS,如果
,单点集
是下半闭集,则有
-正规空间
-正则空间
空间。
最后,我们用下面两个例子分别说明:定理3.5和定理3.6的逆命题都是不成立的。
例4.9:存在下半拓扑空间,对
,
,
使
成立,但
不是
-正则空间;也存在下半拓扑空间
,对
中的任意闭集
,
,
使得
,但
不是
-正规的。
事实上,可取,
,由命题2.3推知,
,都有
。这是因为
,
,都有
,但
,故
。因此,对
,
,
,使得
,因为
,所以
且
。对于
中的任意闭集
,
,
,使得
。因为
,所以
且
。
但由例4.5知,既不是
-正则空间,也不是
-正规空间。
5. 小结
本文首先相对于广义拓扑(上半拓扑),对偶地引入下半拓扑的概念。然后类比拓扑空间的点集理论与分离性质,引入下半拓扑空间中相应的基本点集与分离性质。进而使拓扑空间的分离性质:、
、
以及正则性和正规性分别被推广为下半拓扑空间中的
、
、
、
-正规和
-正则空间,并且先后给出了上述5种分离性质之间的蕴含关系以及
、
和
三种分离性质的等价刻画。此外,还分别给出了
-正规和
-正则分离性质的必要条件,并且分别通过反例指出:所得到的
-正规和
-正则的必要条件的逆命题不真。
致谢
感谢电子科技大学科研实训创新项目基金的经费资助。
文章引用
胡西超,朱培勇, (2015) 一类新型半拓扑空间及其分离性质
A New Semi-Topological Space and Its Separation Property. 理论数学,04,129-135. doi: 10.12677/PM.2015.54020
参考文献 (References)
- 1. Csaszar, A. (2005) Generalized open sets in generalized topologies. Acta Mathematica Hungarica, 106, 53-66. http://dx.doi.org/10.1007/s10474-005-0005-5
- 2. Min, W.K. (2009) Weak continuity on generalized topological spaces. Acta Mathematica Hungarica, 124, 73-81. http://dx.doi.org/10.1007/s10474-008-8152-0
- 3. Min, W.K. (2009) Almost continuity on generalized topological spaces. Acta Mathematica Hungarica, 125, 121-125. http://dx.doi.org/10.1007/s10474-009-8230-y
- 4. Csaszar, A. (2008) On generalized neighbourhood systems. Acta Mathematica Hungarica, 121, 395-400. http://dx.doi.org/10.1007/s10474-008-7224-5
- 5. Sarma, R.D. (2010) On convergence in generalized topology. In-ternational Journal of Pure and Applied Mathematics, 60, 51-56.
- 6. Sarm, R.D. (2012) On extremely disconnected generalized topologies. Acta Mathematica Hungarica, 134, 583-588. http://dx.doi.org/10.1007/s10474-011-0153-8
- 7. Wu, X. and Zhu, P. (2013) A note on β-connectedness. Acta Ma-thematica Hungarica, 139, 252-254. http://dx.doi.org/10.1007/s10474-012-0276-6
- 8. Csaszar, A. (2002) Generalized topology, generalized continuity. Acta Mathematica Hungarica, 96, 351-357. http://dx.doi.org/10.1023/A:1019713018007
- 9. 朱培勇, 雷银彬 (2009) 拓扑学导论. 科学出版社, 北京.
- 10. 熊金城 (2011) 点集拓扑讲义. 第四版, 高等教育出版社, 北京.