Pure Mathematics
Vol.08 No.01(2018), Article ID:23325,6
pages
10.12677/PM.2018.81002
Some Properties of the Strongly h-Convex Function
Xinlong Zhang, Qiaoshi Zheng, Jianmiao Ruan*
Department of Mathematics, Zhejiang International Studies University, Hangzhou Zhejiang
Received: Dec. 14th, 2017; accepted: Dec. 27th, 2017; published: Jan. 4th, 2018
ABSTRACT
The strongly h-convex function is a generation of the convex function and the h-convex function, and the latter is also a common generalization of the convexity, s-convexity, the Godunova-Levin function and the P-function. In this paper, we discuss some basic properties of strongly h-convex functions, and make some presentations of them involving the notations of sup-multiplicative functions, convergence of sequence, etc.
Keywords:Strongly h-Convex Function, h-Convex Function, Sup-Multiplicative Function
强h-凸函数的若干性质
张欣隆,郑乔诗,阮建苗*
浙江外国语学院数学系,浙江 杭州
收稿日期:2017年12月14日;录用日期:2017年12月27日;发布日期:2018年1月4日
摘 要
强h-凸函数是强凸函数和h-凸函数的推广,而后者又是凸函数、s-凸函数、Godunova-Levin函数以及P-函数等的推广。本文讨论了强h-凸函数的一些基本性质,并结合上积函数,函数列收敛等概念,对强h-凸函数的性质进行更深入的讨论。
关键词 :强h-凸函数,h-凸函数,上积函数
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This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
凸型函数在纯粹数学和应用数学等众多领域中具有广泛的应用,譬如它已成为数学规划、对策论、数理经济,最优控制等学科的理论基础和有力工具。2007年Varosanec [1] 提出了h-凸函数的概念。h-凸函数是凸函数、s-凸函数 [2] 、Godunova-Levin函数 [3] 以及P-函数 [4] 等函数类的推广。我们熟知这些函数类在数学的各个分支中有大量的应用,因此h-凸函数引起了学者们广泛的兴趣与关注(如见文献 [5] [6] [7] 等)。2011年Angulo等 [8] 在强凸函数 [9] 和h-凸函数的基础上引进了强h-凸函数。和h-凸函数类似,当 取不同值时可分别得到强凸函数 [9] 、强s-凸函数、强Godunova-Levin函数以及强P-函数等(见文献 [8] )。本文主要结合函数(列)的上积性、单调性、收敛性等概念,对强h-凸函数的性质进行更深入的分析和讨论。
2. h-凸函数和强h-凸函数的定义
2007年Varosanec [1] 引进了一类推广了的凸型函数:h-凸函数,即
定义1:设 是 内的一个区间,且 ,函数 。若函数 满足, ,
(1)
则称f为定义在区间I上的h-凸函数。若(1)式中不等号反向成立,则称f为I上h-凹函数。
特别地,当 时,则f为凸函数;当 ( )时,f为s凸函数; 时,f为Godunova-Levin函数; 时,f为p函数。
2011年Angulo [8] 进一步推广了h-凸函数,引入了强h-凸函数的概念。
定义2:设 是实赋范线性空间,I是 中的一个凸子集,J是 内的一个区间,且 ,函数 。若函数 满足:存在常数 , ,不等式
(2)
成立,那么我们就称函数f是I上的模c强h-凸函数。若上述不等式反向成立,那么我们就称函数f是I上的模c强h-凹函数。在不引起混淆的情况下,我们分别简称为f是I上的强h-凸函数与强h-凹函数。
类似地,当 时,我们称f是I上的模c强凸函数;当 ( )时,称f是I上的模c强s-凸函数;当 时,称f是I上的模c强Godunova-Levin凸函数;当 时,称f是I上的模c强p凸函数。
为方便起见,在下文中我们约定符号 , , 表示实赋范线性空间 中的凸子集(有时它们也会表示特殊的实赋范线性空间- 中的区间),符号 , , 表示 中包含 的区间。
3. 强h-凸函数的基本性质
受文献 [9] 的启发,本节主要讨论强h-凸函数的一些基本性质,如可加性,复合函数的性质等,并且也比较了强h-凸函数和h-凸函数两者之间的关系。
定理1:设非负函数h满足 , ,若f是I上的模c强凸函数,则f也为I上的模c强h-凸函数。设非负函数h满足 , ,若f是I上的模c强凹函数,则f也为I上的模c强h-凹函数。
证明:若 , ,且若f为定义在I上模c强凸函数,则 , ,
有
.
即f为I上的模c强h-凸函数。
若 , ,且若f为I上的非负模c强凹函数,则 , ,有
.
即f为I上的模c强h-凹函数。
定理2:设非负函数 满足 , 。若f是I上的模c强h2-凸函数,则f为I上模c强h1-凸函数;若f是I上的模c强h1-凹函数,则f为I上模c强h2-凹函数。
证明:若f为模为c强h2-凸函数,则对于任意的 ,有
.
即f为模为c的强h1-凸函数。同理可证凹函数的情况。
类似定理2的证明,我们容易得到下面的结论。
定理3:设h为定义在区间I上的非负函数。已知 ,若f模为 强h凸函数,则f为模为 的强h凸函数;若f模为 强h凹函数,则f为模为 的强h凹函数。
定理4:设常数 。若 , 分别为定义在I上的模为 , 的强h-凸(凹)函数,则 为I上的模 强h-凸(凹)函数, 为I上的模 强h-凸(凹)函数。
证明:若 , 分别为I上模为 , 的强h-凸函数,则有
,
.
因此
,
强h-凹函数的情形可类似的证明。
注:特别地,当 时,定理1~4恰是Varosanec [1] 关于h-凸函数性质研究的结论。
4. 上积函数,单调性与强h-凸函数的关系
定义3 [1] :若函数 满足
,
那么我们称h为J上的上积函数。若上述不等号反向,则称h为J上的下积函数。
定理5:设f为I上的模c强h-凸函数,且h为J上的上积函数。若 ,则 ,且 ,有
(3)
证明:记 。令 ,则 。
.
定理6:设h是区间 上的非负函数,且对某个 ,有 。若f是定义在I上的非负函数,且 , ,满足不等式
(4)
那么有 。
证明:我们用反证法来证明。若 ,即 。将 代入不等式(4)中得到
.
因为 ,不妨取 ,那么
.
则有
.
这与条件 相矛盾。所以假设不成立,故 。
单调性是函数的一个重要性质。下面结合单调性讨论复合函数的强凸性。
定义4:设f是定义在区间I上的一个实函数,若存在常数 , 有
,
则称f在I上满足逆Lipschitz条件,且称 为逆Lipschitz常数,记为 。
定理7:设 , 满足逆Lipschitz条件 ,且 。若g是凸(凹)函数,f是单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数,那么复合函数 是定义在 上的模 强h-凸函数;若 是凸(凹)函数,f是单调递减(单调递增)模c强h-凹函数,那么复合函数 是定义在 上的模 强h-凹函数。
证明:我们仅证明复合函数是强h-凸函数情形。不妨设g是凸函数,f是单调递增的模c强h-凸函数,那么, ,有
.
定理8:设函数 ,且 是 上的上积函数, , 。若函数f是定义在 上的单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数,且有 , ,函数g为定义在 上的h2-凸(凹)函数,且满足逆Lipschitz条件 与 ,那么复合函数 是 上的模 强h-凸函数。
证明:不失一般性,我们仅考虑g是 上的h2-凸函数,f在 上单调递增的情形。由假设可知, , 有
(5)
又因为 ,则由定理4知
(6)
注意到 满足逆Lipschitz条件 及 ,则由(5)与(6)得
.
定理得证。
定理9:设h为J上的非负上积函数。若f为定义在I上的模c强h-凸函数,那么 ,有
,
其中 为任意正数, 。
证明:我们利用数学归纳法来证明。当 时,注意到 ,根据f是模c强h-凸函数的定义,易知道结论成立。假设结论对 成立,则对一般的 有,
定理得证。
5. 函数列收敛和强h-凸函数
在本节我们主要讨论当强h-凸函数列 收敛时,它的极限函数 是否也是强h-凸函数?
定理10:设函数列 的每一项分别为模 的强h-凸函数, 。若函数列 在I上收敛于函数 , 在 上收敛于函数 ,那么 是模c强h-凸函数。
证明:由于 为 上的非负函数列,故其收敛函数 也是非负函数。由已知条件可知, ,
.
因此
.
即
.
推论:设函数列 :的每一项分别为模 的强h-凸函数, 。若函数列 在I上收敛于函数 , 在 上收敛于函数 ,那么 是模c强h-凸函数。
基金项目
浙江省自然科学基金(No. LY18A010015),国家级大学生创新创业训练计划项目(No. 201714275002),浙江外国语学院2017年大学生创新创业训练计划项目。
文章引用
张欣隆,郑乔诗,阮建苗. 强h-凸函数的若干性质
Some Properties of the Strongly h-Convex Function[J]. 理论数学, 2018, 08(01): 8-13. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2018.81002
参考文献 (References)
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