Pure Mathematics
Vol.08 No.03(2018), Article ID:24811,5 pages
10.12677/PM.2018.83025

Study on Properties of Big Hankel Operator on Harmonic Bergman Space

Jing Yang

College of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang Liaoning

Received: Apr. 18th, 2018; accepted: May 1st, 2018; published: May 10th, 2018

ABSTRACT

This article mainly discusses some of the properties of the Big Hankel operator whose symbol is a radial function on the Bergman space. It constructs a series { φ k } related to its symbolic function and obtains some conclusions about the nature of the big Hankel operator. The boundedness of the big Hankel operator is equivalent to the boundedness of { φ k } . The compactness of the big Hankel operator converges to zero with { φ k } , and the positivity of the big Hankel operator is equivalent to the bounded sequence with { φ k } greater than zero.

Keywords:Big Hankel Operators, Harmonic Bergman Spaces, Boundedness, Compactness, Positivity

调和Bergman空间上大Hankel算子性质的研究

杨静

沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁 沈阳

收稿日期:2018年4月18日;录用日期:2018年5月1日;发布日期:2018年5月10日

摘 要

本篇文章主要讨论了调和Bergman空间上以径向函数为符号的大Hankel算子的一些性质,构造了一个与其符号函数相关的数列 { φ k } ,得到了一些有关大Hankel算子的性质的一些结论。其有界性与 { φ k } 的有界性等价,其紧性与 { φ k } 收敛到0等价,其正定性与 { φ k } 为大于0的有界数列等价。

关键词 :大 算子,Bergman调和空间,有界性,紧性,正定性

Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本节中将给出一些基本的概念以及符号,方便后续使用。

为复平面, D = { z : | z | < 1 } 中的单位开圆盘,使用dA定义D上的面积测度,所以规范D的面积是1,按照直角坐标和极坐标,有 d A ( z ) = 1 π d x d y = r π d r d θ ,其中 z = x + i y

定义1.1:设 L 2 ( D , d A ) 表示D上所有勒贝格平方可积的函数构成的集合,定义内积

u , v = D u v ¯ d A

L 2 ( D , d A ) 为一个Hilbert空间。

定义1.2: L 2 ( D , d A ) 中的全体解析函数构成了Bergman空间 L a 2 ( D )

定义1.3:我们设P为 L 2 ( D , d A ) L a 2 ( D ) 的正交投影,众所周知 L a 2 ( D ) L 2 ( D , d A ) 的闭子空间。则有 ( P f ) ( z ) = f , K z = D f ( w ) 1 ( 1 z w ¯ ) 2 d A ( w ) ,其中 K z ( w ) = 1 ( 1 z ¯ w ) 2 = k = 1 ( k + 1 ) z ¯ k w k 为Bergman空间的再生核。

定义1.4:调和Bergman空间 L h 2 ( D ) 为D上所有调和函数构成的集合。

定义1.5:设Q表示 L 2 ( D , d A ) L h 2 ( D ) 的正交投影,显然是为 L 2 ( D , d A ) 的闭子空间。容易验证对任意的 z D ,存在 L h 2 ( D ) 中唯一一个函数 R z ,使得 f ( z ) = f , R z f L h 2 ( D ) ,通过计算可知 R z = K z + K z ¯ 1 ,因此有

( Q f ) ( z ) = f , R z = D f ( w ) ( K z + K z ¯ 1 ) d A ( w ) = P f + P f ¯ ¯ P f ( 0 ) .

定义1.6:设 U : L 2 ( D , d A ) L 2 ( D , d A ) 为一个酉算子,定义为

U f ( z ) = f ( z ) ˜ = f ( z ¯ ) f L 2 ( D , d A ) .

定义1.7:设 φ L ( D , d A ) M φ 是定义在 L 2 ( D , d A ) 的乘法算子,即 M φ ( f ) = φ f

定义1.8: f L h 2 ( D , d A ) ,以φ为符号的大Hankel算子定义为 Γ φ ( f ) = Q M φ U f

定义1.9:若函数φ满足 φ ( u ) = φ ( | u | ) ,则称φ为径向函数。下文中将用 R F ( D ) 表示D上全体径向函数构成的集合。

本篇论文主要研究以调和函数φ为符号的大Hankel算子的一些性质, [1] 中给出了调和函数以及调和Bergman空间的一些结论, [2] 中给出了以调和函数φ为符号的Toeplitz算子的一些性质的结论, [3] 研究了正定性的一些结论,本文主要根据 [4] [5] 给出的大小Hankel算子的一些性质结论为研究前提,结合 [2] 中讨论的以调和函数φ为符号Toeplitz算子来研究以调和函数φ为符号的大Hankel算子的一些性质。

2. 主要结论

本文主要讨论以径向函数为符号的大Hankel算子的一些性质。

定理2.1:设函数 φ L 2 ( D ) R F ( D ) ,函数 f ( z ) = k = 0 f k z k + k = 0 f k ˜ z ¯ k H + H ¯ 0 < | w | = r < 1 ,令 φ k = ( k + 1 ) D φ r 2 k d A ( w ) ,则有 Γ φ f ( z ) = k = 0 φ k f k ˜ z k + k = 0 φ k f k z ¯ k

证明:显然 Γ φ f L 2

Γ φ f ( z ) = Q M φ ( U f ) = D M φ ( U f ( w ) ) R ( z , w ) d A ( w ) = D φ ( w ) f ( w ¯ ) ( K z ( w ) + K z ( w ) ¯ 1 ) d A ( w ) = D φ ( w ) f ( w ¯ ) K z ( w ) d A ( w ) + D φ ( w ) f ( w ¯ ) K z ( w ) ¯ d A ( w ) D φ ( w ) f ( w ¯ ) d A (w)

因为 φ ( ω ) 为径向函数,故当 n k 时, D φ ( w ) w n k d A ( w ) = 0

又因为 K ( z , w ) = k = 0 z k w ¯ k ( k + 1 ) f ( z ¯ ) = k = 0 f k z ¯ k + k = 0 f k ˜ z k

D φ ( w ) f ( w ¯ ) K z ( w ) d A ( w ) = D φ ( w ) f ( w ¯ ) ( k = 0 ( k + 1 ) z k w ¯ k ) d A ( w ) = k = 0 z k D φ ( w ) w ¯ k ( k + 1 ) ( k = 0 f k w ¯ k + k = 0 f k ˜ w k ) d A ( w ) = k = 0 z k D [ φ ( w ) ( k + 1 ) w ¯ k k = 0 f k w ¯ k + φ ( w ) ( k + 1 ) w ¯ k k = 0 f k ˜ w k ] d A ( w ) = φ 0 f 0 + k = 0 φ k f k ˜ z k

D φ ( w ) f ( w ¯ ) K z ( w ) ¯ d A ( w ) = D φ ( w ) f ( w ¯ ) ( k = 0 ( k + 1 ) z ¯ k w k ) d A ( w ) = k = 0 z k D φ ( w ) w k ( k + 1 ) ( k = 0 f k w ¯ k + k = 0 f k ˜ w k ) d A ( w ) = k = 0 z k D [ φ ( w ) ( k + 1 ) w k k = 0 f k w ¯ k + φ ( w ) ( k + 1 ) w ¯ k k = 0 f k ˜ w k ] d A ( w ) = φ 0 f k ˜ + k = 0 φ k f k z ¯ k

D φ ( w ) f ( w ¯ ) K z ( w ) ¯ d A ( w ) = D φ ( w ) ( k = 0 f k w ¯ k + k = 0 f k ˜ w k ) d A ( w ) = φ 0 f 0 + φ 0 f 0 ˜

因此得到 Γ φ f ( z ) = k = 0 φ k f k ˜ z k + k = 0 φ k f k z ¯ k

引理2.1 [1] :设 e k = z k k + 1 e n ˜ = z n n + 1 k Z k 0 n Z n 0 ,则的正规正交基。

2.1. 大Hankel算子的有界性

定理2.2:设函数,则有界当且仅当有界。

证明:先证明必要性:假设为有界线性算子。

由引理2.1我们知

,同理,故有有界。

接下来证明充分性:假设有界,且,由定理2.1

又因为中稠密,故为有界算子。

2.2. 大Hankel算子的紧性

定理2.3:设函数,则有为紧算子当且仅当

证明:先证明必要性:假设为紧算子,而正规正交基弱收敛于0,;且弱收敛于0,。因此有

下面证明充分性:,有为紧算子。

若有,可以证明

因为中稠密,因此存在序列,使

因此。由定理2.1我们知道

因此

对于正整数K,定义上算子,对

显然为一个有限秩算子,因此为一个紧算子。

,且时,故因此为紧算子。

2.3. 大Hankel算子的正定性

定理2.4:设函数,则为正定的当且仅当为正项数列,即,都有

证明:先证明必要性:设为正定的,由正定的定义我们知道,对于,我们有;则对于则一定有

下面证明充分性:为正项数列,即,都有

任意

为正定。

文章引用

杨 静. 调和Bergman空间上大Hankel算子性质的研究
Study on Properties of Big Hankel Operator on Harmonic Bergman Space[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 203-207. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83025

参考文献

  1. 1. Axler, S., Bourdon, P. and Ramey, W. (2001) Harmonic Function Theory. Springer, New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-8137-3

  2. 2. 王晓峰, 高崇志. 调和Bergman空间上特殊符号的Toeplitz算子[J]. 四川理工学院学报(自然科学版), 2006, 19(4): 1-4.

  3. 3. Shu, Y.L. and Zhao, X.F. (2016) Positivity of Toeplitz Operators on Harmonic Bergman Space. Acta Mathematica Sinica, 32, 175-186. https://doi.org/10.1007/s10114-016-5138-7

  4. 4. 黄辉斥. Bergman空间上小Hankel算子的代数性质(英文) [J]. 复旦学报(自然科学版), 2005, 44(3): 370-374+381.

  5. 5. Osawa, T. (2006) Finite Rank Intermediate Hankel Operators and the Big Hankel Operator. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2006, Article ID: 51705. https://doi.org/10.1155/IJMMS/2006/51705

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