Pure Mathematics
Vol.
10
No.
10
(
2020
), Article ID:
38133
,
10
pages
10.12677/PM.2020.1010108
海森堡群上与分数次积分相关的交换子的 有界性
高春芳
青岛大学数学与统计学院,山东 青岛
收稿日期:2020年9月28日;录用日期:2020年10月13日;发布日期:2020年10月20日
摘要
令
为海森堡群
上具有Gaussian核上界的Schrödinger算子,其中非负位势V属于逆Hölder类
,。对于
,令
为
的分数次积分算子。假设b属于比经典BMO型空间大的
空间。该文证明了交换子
从
到
是有界的,其中
,。
关键词
海森堡群,Gaussian上界,交换子,新BMO函数
The Boundedness of Commutators Associated with Fractional Integrals on the Heisenberg Group
Chunfang Gao
School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong
Received: Sep. 28th, 2020; accepted: Oct. 13th, 2020; published: Oct. 20th, 2020
ABSTRACT
Let
be the Schrödinger operator on
with Gaussian kernel bounds, where the nonnegative potential V belongs to the reverse Hölder class
,. Let
be the fractional integrals of
for
. Suppose
, which is larger than classical
. We obtain the boundedness of the commutator
from
to
, where
,.
Keywords:Heisenberg Group, Gaussian Bound, Commutator, New BMO Function
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
令
为海森堡群,
为其齐次维数。令
为
上的Schrödinger算子,其中
为
上的次Laplace算子且非负位势V属于逆Hölder类
,。
现在,我们考虑
上的Schrödinger算子
,假设
生成一个收缩半群
。令
表示收缩半群
的核。
满足Gaussian上界(参见 [1] Page 4),即当
且
时,
(1.1)
近几年,一些与分数次积分相关的问题被许多学者广泛研究(参见 [2] - [7] )。其中X. Duong和L. Yan [3] 研究的交换子
从
到
的有界性引起了我们的兴趣,这里
。E. Bongioanni,E. Harboure和O. Salinas [8] 引入了一类新BMO型空间
,它是
的推广。本文的目的是将
从
上推广到
上,证明交换子
从
到
是有界的,其
,。
在本文中,我们用c和C表示独立于函数的未知正常数,在不同的情况下可能代表不同的值。
表示存在一个常数c使得
。
我们回顾一些有关海森堡群
的基本知识。
是具有底流行
的李群,乘积为
。它的李代数由如下左不变向量场给出
。
它们满足
。次Laplace算子
定义为
。梯度算子
定义为
。
上的伸缩变换为
。
上的Harr测度与
上的Lebesgue测度是一致的。我们用
表示任意可测集E上的测度,那么有
,其中
称为
的齐次维数。我们用
, 定义
上的一个齐次范数。该范数满足三角不等式且可导出左不变距离
。
上以g为中心,r为半径的球定义为
。球
左平移g得到球
,所以我们有
,其中
。
2. 准备工作
2.1. 分数次积分和辅助函数
定义2.1 对
,Schrödinger算子
的分数次积分
定义为
。
引理2.2 对
,如果
,,那么
。
证明:令
,经典的分数次积分
定义为
。
因为半群
的核
满足Gaussian上界(1.1),容易验证,对于任意的
,。根据
的
有界性,我们可以得到
,
其中
且
。因此,引理2.2得证。
定义2.3 令
和
。Hardy-Littlewood极大函数
及其变式
分别定义为
,。
如果
,那么
记为
。
定义2.4 令
和
。与收缩半群
相关的Sharp极大函数
定义为
,
其中
且
为球
的半径。
引理2.5 假设收缩半群
的核
满足Gaussian上界(1.1)。令
和
。那么对于每一个
,我们可以找到独立于
和f的
,使得
,其中
是依赖于Q的适当常数。
作为一个结果,对于任意
,,我们有下述不等式:
。
证明:证明过程参见 [9],命题4.1。
定义2.6
上的一个非负局部
可积函数V被称为属于逆Hölder类
,如果存在
,对于
上的任意球B,如下逆Hölder不等式成立:
。
定义2.7 对于
,辅助函数
定义为
。
引理2.8 ( [1],引理4)假设
,。对任意
,存在常数
和
使得
(2.1)
一个以g为中心,
为半径的球称为临界球。我们用
表示临界球。
2.2. 新BMO型空间
定义2.9 新BMO型空间
定义为
上所有局部可积函数b的集合,对任意
和
,b满足如下条件
, (2.2)
其中
。
的范数由满足(2.2)的常数的下确界给出,记为
。
下面,我们给出一些关于函数
的引理。
引理2.10 令
和
。如果
,那么
(2.3)
对所有
, 及
均成立,其中
且
为(2.1)中出现的常数。
证明:根据经典的John-Nirenberg不等式可知,给定一个球
和一个函数
,对于任意球
,当
时,我们有
, (2.4)
其中C是独立于球
的常数。
因此,为了证明(2.3),我们只需证明如下假设:如果
且
为临界球,那么我们可以得到
和
。如果这个假设是正确的,那么对于任意的球
,由(2.4)可得
。 (2.5)
现在,令
和
,这里的
且
。如果
,选择
。
通过(2.5),我们得到(2.3)。如果
,注意到
。那么,当
时,由(2.5)可得(2.3)。
接下来,我们证明上述假设成立。令
, 和
。由(2.1)可知
,又
,因此
。由
可得
。
综上,我们完成了引理2.10的证明。
引理2.11 令
, 和
。那么
对所有
及
均成立,其中
且
为(2.1)中出现的常数。
证明:根据引理2.10,可得
引理2.12如果收缩半群
的核
满足Gaussian上界(1.1)且
,那么,对于任意
,, 和
,我们有
,
其中
。
证明:对于
,, 以及
,我们有
,
其中
对于
,应用(1.1)和引理2.10,我们通过Hölder不等式可以推出
对于
,因为
,,所以
。根据(1.1)和引理2.11,由Hölder不等式可以得到
综上,我们完成了引理2.12的证明。
3. 主要结果的证明
我们首先给出微分算子
的核估计,它对于证明主要结果有很重要的作用。
引理3.1 假设收缩半群
的核
满足Gaussian上界(1.1)。那么对于
,与微分算子
相关的核
满足
。
证明:根据 [10] Page 258,令
。我们首先用半群
表示算子
。
定义为
,其中
,当
时,
,当
时,
,并且
。
对于
,令
。改变积分顺序得
,其中
。因此,
的核
可以表示为
。
由(1.1)可得
。 (3.1)
注意到,当
时,
且当
时,
。对应于
和
上的积分,我们将(3.1)中右边积分分为第一部分
和第二部分
。那么,
,。令
和
,我们有
。
与
相类似,我们得到
。
结合
和
,我们完成了引理3.1的证明。
下面,我们给出主要结果及其证明。
定理3.2 假设收缩半群
的核
满足Gaussian上界(1.1)。令
。那么对于
, 以及
,我们有
。
证明:我们分两种情形来证明此定理。
情形一:我们考虑
的情形。选择两个大于1的实数r和s使得
。我们将证明存在一个常数C使得对于所有的
和
,如下不等式成立:
, (3.2)
其中
且
为球B的半径。
由(1.1),(3.2)和极大函数的有界性可得
,
其中
且
。
我们现在证明(3.2)。对于
和
,令
和
。我们有
和
。
那么
,
其中
令
为s的共轭使得
。由Hölder不等式和引理2.10可得
。
令
。根据引理2.2和引理2.10,我们有
。
类似的,我们根据引理2.2,引理2.10和极大函数的有界性可得
。
因为
,,所以
。由引理3.1可得
结合以上五部分,我们得到(3.2)。
情形二:我们考虑
的情形。对于任意的
,我们将
, 和
记为
,,。
注意到,
。由引理2.1和情形一,我们得到
,
因为对于任意的
,有
,即
。
综上,我们完成了定理3.2的证明。
基金项目
山东省自然科学基金(ZR2017JL008)资助。
致谢
作者衷心感谢导师李澎涛教授以及各位学者研究文献的帮助。
文章引用
高春芳. 海森堡群上与分数次积分相关的交换子的有界性
The Boundedness of Commutators Associated with Fractional Integrals on the Heisenberg Group[J]. 理论数学, 2020, 10(10): 928-937. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1010108
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