青岛大学数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2020年9月28日；录用日期：2020年10月13日；发布日期：2020年10月20日

摘要

令 $\mathfrak{L}=-{\Delta }_{{ℍ}^n}+V$ 为海森堡群 ${ℍ}^n$ 上具有Gaussian核上界的Schrödinger算子，其中非负位势V属于逆Hölder类 $B_q$，$q\ge Q/2$。对于 $0<\alpha <Q$，令 ${\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}$ 为 $\mathfrak{L}$ 的分数次积分算子。假设b属于比经典BMO型空间大的 $BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$ 空间。该文证明了交换子 $\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]$ 从 $L^{p_1}\left({ℍ}^n\right)$ 到 $L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)$ 是有界的，其中 $1<p_1<Q/\alpha$，$1/p_2=1/p_1-\alpha /Q$。

关键词

海森堡群，Gaussian上界，交换子，新BMO函数

The Boundedness of Commutators Associated with Fractional Integrals on the Heisenberg Group

Chunfang Gao

School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Sep. 28^th, 2020; accepted: Oct. 13^th, 2020; published: Oct. 20^th, 2020

ABSTRACT

Let $\mathfrak{L}=-{\Delta }_{{ℍ}^n}+V$ be the Schrödinger operator on ${ℍ}^n$ with Gaussian kernel bounds, where the nonnegative potential V belongs to the reverse Hölder class $B_q$,$q\ge Q/2$. Let ${\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}$ be the fractional integrals of $\mathfrak{L}$ for $0<\alpha <Q$. Suppose $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$, which is larger than classical $BMO\left({ℍ}^n\right)$. We obtain the boundedness of the commutator $\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]$ from $L^{p_1}\left({ℍ}^n\right)$ to $L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)$, where $1<p_1<Q/\alpha$,$1/p_2=1/p_1-\alpha /Q$.

Keywords:Heisenberg Group, Gaussian Bound, Commutator, New BMO Function

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

令 ${ℍ}^n$ 为海森堡群， $Q=2n+2$ 为其齐次维数。令 $\mathfrak{L}=-{\Delta }_{{ℍ}^n}+V$ 为 ${ℍ}^n$ 上的Schrödinger算子，其中 ${\Delta }_{{ℍ}^n}$ 为 ${ℍ}^n$ 上的次Laplace算子且非负位势V属于逆Hölder类 $B_q$，$q\ge Q/2$。

现在，我们考虑 $L^2\left({ℍ}^n\right)$ 上的Schrödinger算子 $\mathfrak{L}$，假设 $\mathfrak{L}$ 生成一个收缩半群 $\left\{T_t^{\mathfrak{L}}:t>0\right\}=\left\{{\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}:t>0\right\}$。令 $P_t\left(g,h\right)$ 表示收缩半群 ${\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}$ 的核。 $P_t\left(g,h\right)$ 满足Gaussian上界(参见 [1] Page 4)，即当 $g,h\in {ℍ}^n$ 且 $t>0$ 时，

$\left|p_t\left(g,h\right)\right|\le C{t}^{-Q/2}{\text{e}}^{-c{t}^{-1}{\left|g{h}^{-1}\right|}^2}$ (1.1)

近几年，一些与分数次积分相关的问题被许多学者广泛研究(参见 [2] - [7] )。其中X. Duong和L. Yan [3] 研究的交换子 $\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]$ 从 $L^p\left({ℝ}^n\right)$ 到 $L^q\left({ℝ}^n\right)$ 的有界性引起了我们的兴趣，这里 $b\in BMO\left({ℝ}^n\right)$。E. Bongioanni，E. Harboure和O. Salinas [8] 引入了一类新BMO型空间 $BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℝ}^n\right)$，它是 $BMO\left({ℝ}^n\right)$ 的推广。本文的目的是将 $BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℝ}^n\right)$ 从 ${ℝ}^n$ 上推广到 ${ℍ}^n$ 上，证明交换子 $\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]$ 从 $L^{p_1}\left({ℍ}^n\right)$ 到 $L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)$ 是有界的，其 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$，$1/p_2=1/p_1-\alpha /Q$。

在本文中，我们用c和C表示独立于函数的未知正常数，在不同的情况下可能代表不同的值。 $A\approx B$ 表示存在一个常数c使得 $c^{-1}A\le B\le cA$。

我们回顾一些有关海森堡群 ${ℍ}^n$ 的基本知识。 ${ℍ}^n$ 是具有底流行 ${ℝ}^n\times {ℝ}^n\times ℝ$ 的李群，乘积为 $\left(x,y,t\right)\left(x^{\prime },y^{\prime },t^{\prime }\right)=\left(x+x^{\prime },y+y^{\prime },t+t^{\prime }+2x^{\prime }y-2x{y}^{\prime }\right)$。它的李代数由如下左不变向量场给出

$X_j=\frac{\partial }{\partial x_j}+2y_j\frac{\partial }{\partial t},Y_j=\frac{\partial }{\partial y_j}+2x_j\frac{\partial }{\partial t},T=\frac{\partial }{\partial t},j=1,2,\cdots ,n$。

它们满足 $\left[X_j,Y_j\right]=-4T,j=1,2,\cdots ,n$。次Laplace算子 ${\Delta }_{{ℍ}^n}$ 定义为 ${\Delta }_{{ℍ}^n}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left(X_j^2+Y_j^2\right)}$。梯度算子 ${\nabla }_{{ℍ}^n}$ 定义为 ${\nabla }_{{ℍ}^n}=\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n,Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n\right)$。 ${ℍ}^n$ 上的伸缩变换为 ${\delta }_{\lambda }\left(x,y,t\right)=\left(\lambda x,\lambda y,{\lambda }^{2}t\right),\lambda >0$。 ${ℍ}^n$ 上的Harr测度与 ${ℝ}^n\times {ℝ}^n\times ℝ$ 上的Lebesgue测度是一致的。我们用 $\left|E\right|$ 表示任意可测集E上的测度，那么有 $\left|{\delta }_{\lambda }E\right|={\lambda }^Q\left|E\right|$，其中 $Q=2n+2$ 称为 ${ℍ}^n$ 的齐次维数。我们用 $\left|g\right|={\left(\left({\left|x\right|}^2+{\left|y\right|}^2\right)+{\left|t\right|}^2\right)}^{1/4}$，$g=\left(x,y,t\right)\in {ℍ}^n$ 定义 ${ℍ}^n$ 上的一个齐次范数。该范数满足三角不等式且可导出左不变距离 $d\left(g,h\right)=\left|g^{-1}h\right|$。 ${ℍ}^n$ 上以g为中心，r为半径的球定义为 $B\left(g,r\right)=\left\{h\in {ℍ}^n:\left|g^{-1}h\right|<r\right\}$。球 $B\left(0,r\right)$ 左平移g得到球 $B\left(g,r\right)$，所以我们有 $\left|B\left(g,r\right)\right|={\alpha }^1{r}^Q$，其中 ${\alpha }^1=\left|B\left(0,1\right)\right|$。

2. 准备工作

2.1. 分数次积分和辅助函数

定义2.1 对 $0<\alpha <Q$，Schrödinger算子 $\mathfrak{L}$ 的分数次积分 ${\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}$ 定义为

${\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\left(g\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha /2\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}}\left(f\right)\frac{\text{d}t}{t^{-\alpha /2+1}}\left(h\right)$。

引理2.2 对 $0<\alpha <Q$，如果 $1<p_1<Q/\alpha$，$1/p_2=1/p_1-\alpha /Q$，那么

${\Vert {\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(f\right)\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{p_1}\left({ℍ}^n\right)}$。

证明：令 $0<\alpha <Q$，经典的分数次积分 $I_{\alpha }$ 定义为

$I_{\alpha }\left(f\right)\left(g\right)={\displaystyle {\int }_{{ℍ}^n}\frac{f\left(h\right)}{{\left|g{h}^{-1}\right|}^{Q-\alpha }}\text{d}h}$。

因为半群 ${\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}$ 的核 $p_t\left(g,h\right)$ 满足Gaussian上界(1.1)，容易验证，对于任意的 $g\in {ℍ}^n$，$\left|{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(f\right)\left(g\right)\right|\le C{I}_{\alpha }\left(\left|f\right|\right)\left(g\right)$。根据 $I_{\alpha }$ 的 $L^p$ 有界性，我们可以得到

${\Vert {\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(f\right)\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}\le C{\Vert I_{\alpha }\left(\left|f\right|\right)\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{p{}_1}\left({ℍ}^n\right)}$，

其中 $1<p_1<Q/\alpha$ 且 $1/p_2=1/p_1-\alpha /Q$。因此，引理2.2得证。

定义2.3 令 $f\in L_{loc}^q\left({ℍ}^n\right)$ 和 $B=B\left(g,r\right)\subset {ℍ}^n$。Hardy-Littlewood极大函数 $Mf$ 及其变式 $M_{\sigma ,s}f$ 分别定义为

$Mf\left(g\right)=\underset{g\in B}{\sup }\frac{1}{B}{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(h\right)\right|\text{d}h}$，$M_{\sigma ,s}f\left(g\right)=\underset{g\in B}{\sup }{\left(\frac{1}{{\left|B\right|}^{1-\sigma s/Q}}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(h\right)\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}$。

如果 $\sigma =0$，那么 $M_{0,s}f\left(g\right)$ 记为 $M_{s}f\left(g\right)$。

定义2.4 令 $f\in L^p\left({ℍ}^n\right)$ 和 $p\ge 1$。与收缩半群 $\left\{{\text{e}}^{-t\mathfrak{L}},t>0\right\}$ 相关的Sharp极大函数 $M_{\mathfrak{L}}^{\#}f$ 定义为

$M_{\mathfrak{L}}^{\#}f\left(g\right)=\underset{g\in B}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(h\right)-{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}f\left(h\right)\right|\text{d}h}$，

其中 $t_B=r_B^2$ 且 $r_B$ 为球 $B\subset {ℍ}^n$ 的半径。

引理2.5 假设收缩半群 ${\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}$ 的核 $P_t\left(g,h\right)$ 满足Gaussian上界(1.1)。令 $\lambda >0$ 和 $f\in L^p\left({ℍ}^n\right)$ $\left(1<p<\infty \right)$。那么对于每一个 $0<\eta <1$，我们可以找到独立于 $\lambda$ 和f的 $\gamma >0$，使得 $\left|\left\{g\in {ℍ}^n:Mf\left(g\right)>A\lambda ,M_{\mathfrak{L}}^{\#}f\left(g\right)\le \gamma \lambda \right\}\right|$ $\le \eta \left|g\in {ℍ}^n:Mf\left(g\right)>\lambda \right|$，其中 $A>1$ 是依赖于Q的适当常数。

作为一个结果，对于任意 $f\in L^p\left({ℍ}^n\right)$，$1<p<\infty$，我们有下述不等式：

${\Vert f\Vert }_{L^p\left({ℍ}^n\right)}\le {\Vert Mf\Vert }_{L^p\left({ℍ}^n\right)}\le C{\Vert M_{\mathfrak{L}}^{\#}f\Vert }_{L^p\left({ℍ}^n\right)}$。

证明：证明过程参见 [9]，命题4.1。

定义2.6 ${ℍ}^n$ 上的一个非负局部 $L^q$ 可积函数V被称为属于逆Hölder类 $B_q$ $\left(1<q<\infty \right)$，如果存在 $C>0$，对于 ${ℍ}^n$ 上的任意球B，如下逆Hölder不等式成立：

${\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}V{\left(g\right)}^q\text{d}g}\right)}^{1/q}\le \frac{C}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}V\left(g\right)\text{d}g}$。

定义2.7 对于 $g\in {ℍ}^n$，辅助函数 $\rho \left(g\right)$ 定义为

$\rho \left(g\right)=\underset{r>0}{\sup }\left\{r:\frac{1}{r^{Q-2}}{\displaystyle {\int }_{B\left(g,r\right)}V\left(h\right)\text{d}h\le 1}\right\}$。

引理2.8 ( [1]，引理4)假设 $V\in B_q$，$q>Q/2$。对任意 $g,h\in {ℍ}^n$，存在常数 $C>0$ 和 $k_0>0$ 使得

$1/C{\left(1+\left|g^{-1}h\right|/\rho \left(g\right)\right)}^{-k_0}\le \rho \left(h\right)/\rho \left(g\right)\le C{\left(1+\left|g^{-1}h\right|/\rho \left(g\right)\right)}^{K_0/\left(K_0+1\right)}$ (2.1)

一个以g为中心， $\rho \left(g\right)$ 为半径的球称为临界球。我们用 $\mathbb{Q}=B\left(g,\rho \left(g\right)\right)$ 表示临界球。

2.2. 新BMO型空间

定义2.9 新BMO型空间 $BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$ $\left(0<\theta <\infty \right)$ 定义为 ${ℍ}^n$ 上所有局部可积函数b的集合，对任意 $g\in {ℍ}^n$ 和 $r>0$，b满足如下条件

$\frac{1}{\left|B\left(g,h\right)\right|}{\displaystyle {\int }_{B\left(g,h\right)}\left|b\left(h\right)-b_B\right|\text{d}h}\le C{\left(1+r/\rho \left(g\right)\right)}^{\theta }$， (2.2)

其中 $b_B=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}b\left(h\right)\text{d}h}$。 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$ 的范数由满足(2.2)的常数的下确界给出，记为 ${\left[b\right]}_{\theta }$。

下面，我们给出一些关于函数 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$ 的引理。

引理2.10 令 $\theta >0$ 和 $1\le s<\infty$。如果 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$，那么

${\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|b\left(h\right)-b_B\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\le C{\left[b\right]}_{\theta }{\left(1+\frac{r}{\rho \left(g\right)}\right)}^{{\theta }^{\prime }}$ (2.3)

对所有 $B=B\left(g,r\right)$，$g\in {ℍ}^n$ 及 $r>0$ 均成立，其中 ${\theta }^{\prime }=\left(k_0+1\right)\theta$ 且 $k_0$ 为(2.1)中出现的常数。

证明：根据经典的John-Nirenberg不等式可知，给定一个球 $B_0$ 和一个函数 $f\in BMO\left(B_0\right)$，对于任意球 $B\subset B_0$，当 $1\le s<\infty$ 时，我们有

${\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(h\right)-f_B\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\le C{\Vert f\Vert }_{BMO\left(B_0\right)}$， (2.4)

其中C是独立于球 $B_0$ 的常数。

因此，为了证明(2.3)，我们只需证明如下假设：如果 $R\ge 1$ 且 $\mathbb{Q}$ 为临界球，那么我们可以得到 $b\in BMO\left(R\mathbb{Q}\right)$ 和 ${\Vert b\Vert }_{BMO\left(R\mathbb{Q}\right)}\le C{\left[b\right]}_{\theta }{\left(1+R\right)}^{\left(k_0+1\right)\theta }$。如果这个假设是正确的，那么对于任意的球 $B\subset R\mathbb{Q}$，由(2.4)可得

${\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|b\left(h\right)-b_B\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\le C{\left[b\right]}_{\theta }{\left(1+R\right)}^{\left(k_0+1\right)\theta }$。 (2.5)

现在，令 $B=B\left(g,r\right)$ 和 $\mathbb{Q}=B\left(g,\rho \left(g\right)\right)$，这里的 $g\in {ℍ}^n$ 且 $r>0$。如果 $r\le \rho \left(g\right)$，选择 $R=1$。

通过(2.5)，我们得到(2.3)。如果 $r>\rho \left(g\right)$，注意到 $B=\left(r/\rho \left(g\right)\right)\mathbb{Q}$。那么，当 $R=r/\rho \left(g\right)$ 时，由(2.5)可得(2.3)。

接下来，我们证明上述假设成立。令 $B=B\left(z,r\right)\subset R\mathbb{Q}$，$z\in {ℍ}^n$ 和 $r>0$。由(2.1)可知 $\rho \left(g\right){\left(1+R\right)}^{-k_0}\le C\rho \left(z\right)$，又 $r<R\rho \left(g\right)$，因此 $r/\rho \left(z\right)\le C{\left(1+R\right)}^{k_0+1}$。由 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$ 可得

$\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|b\left(h\right)-b_B\right|\text{d}h}\le C{\left[b\right]}_{\theta }{\left(1+R\right)}^{\left(k_0+1\right)\theta }$。

综上，我们完成了引理2.10的证明。

引理2.11 令 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$，$B=B\left(g,r\right)$ 和 $s\ge 1$。那么

${\left(\frac{1}{\left|2^{k}B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{k}B}{\left|b\left(h\right)-b_B\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\le C{\left[b\right]}_{\theta }k{\left(1+\frac{2^{k}r}{\rho \left(g\right)}\right)}^{{\theta }^{\prime }}$

对所有 $k\in \mathbb{N}$ 及 $r>0$ 均成立，其中 ${\theta }^{\prime }=\left(k_0+1\right)\theta$ 且 $k_0$ 为(2.1)中出现的常数。

证明：根据引理2.10，可得

$\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{\left|2^{k}B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{k}B}{\left|b\left(h\right)-b_B\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\\ \le C{\left(\frac{1}{\left|2^{k}B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{k}B}{\left|b\left(h\right)-b_{2^{k}B}\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}+C{\displaystyle {\sum }_{j=1}^k\left|b_{2^{j}B}-b_{2^{j-1}B}\right|}\\ \le C{\left[b\right]}_{\theta }{\displaystyle {\sum }_{j=1}^k{\left(1+\frac{2^{j}r}{\rho \left(g\right)}\right)}^{{\theta }^{\prime }}}\le C{\left[b\right]}_{\theta }k{\left(1+\frac{2^{k}r}{\rho \left(g\right)}\right)}^{{\theta }^{\prime }}\end{array}$

引理2.12如果收缩半群 ${\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}$ 的核 $p_t\left(g,h\right)$ 满足Gaussian上界(1.1)且 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$，那么，对于任意 $f\in L^p\left({ℍ}^n\right)$，$p>1$，$g\in {ℍ}^n$ 和 $1<r<\infty$，我们有

$\underset{g\in B}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}\left(b-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h}\le C{\left[b\right]}_{\theta }{\left(M{\left(\left|f\right|\right)}^s\right)}^{1/s}\left(g\right)$，

其中 $t_B=r_B^2$。

证明：对于 $f\in L^p\left({ℍ}^n\right)$，$p>1$，$g\in {ℍ}^n$ 以及 $g\in B$，我们有

$\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}\left(b-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h}\le C\left(M_1+M_2\right)$，

其中

$\{\begin{array}{l}{M}_1:=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\displaystyle {\int }_{2B}\left|P_t\left(g,h\right)\right|}\left|\left(b-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}\hfill \\ M_2:={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B\backslash 2^{k}B}\left|P_t\left(g,h\right)\right|}\left|\left(b-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}}\hfill \end{array}$

对于 $M_1$，应用(1.1)和引理2.10，我们通过Hölder不等式可以推出

$\begin{array}{c}{M}_1\le \frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\displaystyle {\int }_{2B}\frac{C}{t_B^{Q/2}}{\text{e}}^{-c{\left|g{h}^{-1}\right|}^2/t_B}\left|\left(b\left(h\right)-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}}\\ \le \frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\displaystyle {\int }_{2B}\frac{C}{r_B^Q}{\text{e}}^{-c}\left|\left(b\left(h\right)-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}}\\ \le \frac{C}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\displaystyle {\int }_{2B}\left|\left(b\left(h\right)-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}}\\ \le C{\left(\frac{1}{\left|2B\right|}{\displaystyle {\int }_{2B}{\left|b\left(h\right)-b_B\right|}^{s^{\prime }}\text{d}h}\right)}^{1/s^{\prime }}{\left(\frac{1}{\left|2B\right|}{\displaystyle {\int }_{2B}{\left|f\left(h\right)\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\\ \le C{\left[b\right]}_{\theta }{\left(1+r/\rho \left(g\right)\right)}^{{\theta }^{\prime }}\cdot M_{s}f\left(g\right)\le C{\left[b\right]}_{\theta }{M}_{s}f(\; g\; )\end{array}$

对于 $M_2$，因为 $g\in B\left(g_0,r_B\right)$，$h\in 2^{k+1}B\backslash 2^{k}B$，所以 $\left|g{h}^{-1}\right|\approx 2^k{r}_B$。根据(1.1)和引理2.11，由Hölder不等式可以得到

$\begin{array}{c}{M}_2\le {\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B\backslash 2^{k}B}\frac{C}{t_B^{Q/2}}{\text{e}}^{-c{\left|g{h}^{-1}\right|}^2/t_B}\left|\left(b\left(h\right)-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}}}\\ \le {\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B\backslash 2^{k}B}\frac{C}{r_B^Q}{\text{e}}^{-c{2}^{2k}{r}_B^2/r_B^2}\left|\left(b\left(h\right)-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}}}\\ \le C{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{\text{e}}^{-c{2}^{2k}}\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B}\left|\left(b\left(h\right)-b_B\right)f\left(h\right)\right|\text{d}h\text{d}g}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{\text{e}}^{-c{2}^{2k}}{\left(\frac{1}{\left|2^{k+1}B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B}{\left|b\left(h\right)-b_{2^{k+1}B}\right|}^{s^{\prime }}\text{d}h}\right)}^{1/s^{\prime }}}{\left(\frac{1}{\left|2^{k+1}B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B}{\left|f\left(h\right)\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\\ +C{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{\text{e}}^{-c{2}^{2k}}\left|b_{2^{k+1}B}-b_B\right|{\left(\frac{1}{\left|2^{k+1}B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B}{\left|f\left(h\right)\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}}\\ \le C{\left[b\right]}_{\theta }{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{\text{e}}^{-c{2}^{2k}}{\left(1+2^{k}r/\rho \left(g\right)\right)}^{{\theta }^{\prime }}\cdot M_{s}f\left(g\right)}+C{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{\text{e}}^{-c{2}^{2k}}{M}_{s}f\left(g\right)}\\ \le C{M}_{s}f(\; g\; )\end{array}$

综上，我们完成了引理2.12的证明。

3. 主要结果的证明

我们首先给出微分算子 ${\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}-{\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}$ 的核估计，它对于证明主要结果有很重要的作用。

引理3.1 假设收缩半群 ${\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}$ 的核 $P_t\left(g,h\right)$ 满足Gaussian上界(1.1)。那么对于 $0<\alpha <1$，与微分算子 ${\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}-{\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}$ 相关的核 $K_{\alpha ,t}\left(g,h\right)$ 满足

$\left|K_{\alpha ,t}\left(g,h\right)\right|\le \frac{Ct}{{\left|g{h}^{-1}\right|}^{Q-\alpha +2}}$。

证明：根据 [10] Page 258，令 $f_{\alpha ,t}\left(z\right)=z^{-\alpha /2}\left(1-{\text{e}}^{-tz}\right)$。我们首先用半群 ${\text{e}}^{-z\mathfrak{L}}$ 表示算子 $f_{\alpha ,t}\left(\mathfrak{L}\right)$。 $f_{\alpha ,t}(\; L\; )$

定义为 $f_{\alpha ,t}\left(\mathfrak{L}\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\gamma }{\left(\mathfrak{L}-\lambda I\right)}^{-1}}{f}_{\alpha ,t}\left(\lambda \right)\text{d}\lambda$，其中 $\gamma ={\gamma }_{+}\cup {\gamma }_{-}$，当 $t\ge 0$ 时， ${\gamma }_{+}\left(t\right)=t{\text{e}}^{iv}$，当 $t<0$ 时， ${\gamma }_{-}\left(t\right)=-t{\text{e}}^{-iv}$，并且 $v>\pi /2$。

对于 $\lambda \in \gamma$，令 ${\left(\mathfrak{L}-\lambda I\right)}^{-1}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{\lambda s}{\text{e}}^{-s\mathfrak{L}}\text{d}s}$。改变积分顺序得 $f_{\alpha ,t}\left(\mathfrak{L}\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-s\mathfrak{L}}n\left(s\right)\text{d}s}$，其中 $n\left(s\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\gamma }{\text{e}}^{\lambda s}{f}_{\alpha ,t}\left(\lambda \right)\text{d}\lambda }$。因此， $f_{\alpha ,t}\left(\mathfrak{L}\right)$ 的核 $K_{\alpha ,t}\left(g,h\right)$ 可以表示为 $K_{\alpha ,t}\left(g,h\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{P}_s\left(g,h\right)n\left(s\right)\text{d}s}$。

由(1.1)可得

$\left|K_{\alpha ,t}\left(g,h\right)\right|\le C{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{s}^{-Q/2}{\text{e}}^{-c\left|g{h}^{-1}\right|/s}\left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left|{\text{e}}^{s\lambda }{\lambda }^{-\alpha /2}\left(1-{\text{e}}^{-t\lambda }\right)\right|\text{d}\left|\lambda \right|}\right)\text{d}s}$。 (3.1)

注意到，当 $t\left|\lambda \right|>1$ 时， $\left|1-{\text{e}}^{-t\lambda }\right|\le c$ 且当 $t\left|\lambda \right|\le 1$ 时， $\left|1-{\text{e}}^{-t\lambda }\right|\le ct\left|\lambda \right|$。对应于 $t\left|\lambda \right|>1$ 和 $t\left|\lambda \right|\le 1$ 上的积分，我们将(3.1)中右边积分分为第一部分 $A_1$ 和第二部分 $A_2$。那么， $A_1\le C{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{s}^{-Q/2}{\text{e}}^{-c\left|g{h}^{-1}\right|/s}{\displaystyle {\int }_{1/t}^{\infty }{\text{e}}^{-\beta sv}{v}^{-\alpha /2}\text{d}v\text{d}s}}$，$\beta >0$。令 $u=tv$ 和 $h=s/t$，我们有

$\begin{array}{c}{A}_1\le C{t}^{-Q/2}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{h}^{-Q/2}{\text{e}}^{-c{\left|g{h}^{-1}\right|}^2/th}}{\displaystyle {\int }_1^{\infty }{\text{e}}^{-\beta hu}{u}^{-\alpha /2}{t}^{\alpha /2}\text{d}u\text{d}h}\\ \le C{t}^{\left(\alpha -Q\right)/2}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{h}^{\left(\alpha -Q-2\right)/2}{\text{e}}^{-c{\left|g{h}^{-1}\right|}^2/th}}\frac{\text{d}h}{h}\\ \le \frac{Ct}{{\left|g{h}^{-1}\right|}^{Q-\alpha +2}}\end{array}$。

与 $A_1$ 相类似，我们得到

$\begin{array}{c}{A}_2\le C{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{s}^{-Q/2}{\text{e}}^{-c{\left|g{h}^{-1}\right|}^2/s}}{\displaystyle {\int }_0^{1/t}{\text{e}}^{-\beta sv}{v}^{-\alpha /2}\left(tv\right)\text{d}v\text{d}s}\\ \le C{t}^{\left(\alpha -Q\right)/2}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{h}^{-Q/2}{\text{e}}^{-c{\left|g{h}^{-1}\right|}^2/th}}{\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-\beta hu}{u}^{\left(2-\alpha \right)/2}\text{d}u}\text{d}h\\ \le C{t}^{\left(\alpha -Q\right)/2}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{h}^{\left(\alpha -Q-2\right)/2}{\text{e}}^{-c{\left|g{h}^{-1}\right|}^2/th}}\frac{\text{d}h}{h}\\ \le \frac{Ct}{{\left|g{h}^{-1}\right|}^{Q-\alpha +2}}\end{array}$。

结合 $A_1$ 和 $A_2$，我们完成了引理3.1的证明。

下面，我们给出主要结果及其证明。

定理3.2 假设收缩半群 ${\text{e}}^{-t\mathfrak{L}}$ 的核 $P_t\left(g,h\right)$ 满足Gaussian上界(1.1)。令 $b\in BM{O}_{\rho }^{\theta }\left({ℍ}^n\right)$。那么对于 $0<\alpha <Q$，$1<1/p_1<Q/\alpha$ 以及 $1/p_2=1/p_1-\alpha /Q$，我们有

${\Vert \left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}\le C{\left[b\right]}_{\theta }{\Vert f\Vert }_{L^{p_1}\left({ℍ}^n\right)}$。

证明：我们分两种情形来证明此定理。

情形一：我们考虑 $0<\alpha <1$ 的情形。选择两个大于1的实数r和s使得 $rs<p<Q/\alpha$。我们将证明存在一个常数C使得对于所有的 $g\in {ℍ}^n$ 和 $g\in B$，如下不等式成立：

$\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|\left(1-{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}\right)\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f\left(h\right)\right|\text{d}h}\le C{\left[b\right]}_{\theta }\left(M_s\left({\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\right)\left(g\right)+M_{\alpha ,rs}\left(f\right)\left(g\right)\right)$， (3.2)

其中 $t_B=r_B^2$ 且 $r_B$ 为球B的半径。

由(1.1)，(3.2)和极大函数的有界性可得

$\begin{array}{c}{\Vert \left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}\\ \le C{\Vert M_{\mathfrak{L}}^{\#}\left(\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f\right)\left(g\right)\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}\\ \le C{\left[b\right]}_{\theta }{\Vert M_s\left({\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\right)\left(g\right)\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}+C{\left[b\right]}_{\theta }{\Vert M_{\alpha ,rs}f\left(g\right)\Vert }_{L^{p_2}\left({ℍ}^n\right)}\\ \le C{\left[b\right]}_{\theta }{\Vert f\Vert }_{L^{p_1}({ℍ}^n)}\end{array}$，

其中 $1/p_2=1/p_1-\alpha /Q$ 且 $1<1/p_1<Q/\alpha$。

我们现在证明(3.2)。对于 $g\in {ℍ}^n$ 和 $B=B\left(g_0,r_B\right)$，令 $f_1=f{\chi }_{2B}$ 和 $f_2=f-f_1$。我们有

$\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f=\left(b-b_B\right){\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f-{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(b-b_B\right)f_1-{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(b-b_B\right)f_2$

和

${\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}\left(\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f\right)={\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}\left\{\left(b-b_B\right){\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f-{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(b-b_B\right)f_1-{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(b-b_B\right)f_2\right\}$。

那么

$\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f\left(h\right)-{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}\left[b,{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right]f\left(h\right)\right|\text{d}h}\le M_1+M_2+M_3+M_4+M_5$，

其中

$\{\begin{array}{l}{M}_1:=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|\left(b\left(h\right)-b_B\right){\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\left(h\right)\right|\text{d}h}\hfill \\ M_2:=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(b\left(h\right)-b_B\right)f_1\left(h\right)\right|\text{d}h}\hfill \\ M_3:=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}\left(b\left(h\right)-b_B\right){\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\left(h\right)\right|\text{d}h}\hfill \\ M_4:=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\left(b\left(h\right)-b_B\right){\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}{f}_1\left(h\right)\right|\text{d}h}\hfill \\ M_5:=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|\left({\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}-{\text{e}}^{-t_B\mathfrak{L}}{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}\right)\left(b\left(h\right)-b_B\right)f_2\left(h\right)\right|\text{d}h}\hfill \end{array}$

令 $s^{\prime }$ 为s的共轭使得 $1/s+1/s^{\prime }=1$。由Hölder不等式和引理2.10可得

$\begin{array}{c}{M}_1\le {\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|b\left(h\right)-b_B\right|}^{s^{\prime }}\text{d}h}\right)}^{1/s^{\prime }}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|{\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\left(h\right)\right|}^s\text{d}h}\right)}^{1/s}\\ \le C{\left[b\right]}_{\theta }{\left(1+r/\rho \left(g\right)\right)}^{{\theta }^{\prime }}{M}_s\left({\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\right)\left(g\right)\\ \le C{\left[b\right]}_{\theta }{M}_s\left({\mathfrak{L}}^{-\alpha /2}f\right)\left(g\right)\end{array}$。