菏泽学院数学与统计学院，山东 菏泽

收稿日期：2021年2月11日；录用日期：2021年3月11日；发布日期：2021年3月18日

摘要

论文利用法曲率、测地曲率的概念，结合空间曲线的投影柱面、投影曲线的性质，对测地曲率的几何意义给出了一个较详细的证明。

关键词

测地曲率，几何意义，投影柱面，投影曲线

Proof of the Geometric Meaning of Geodesic Curvature

Debao Yan

School of Mathematics and Statistics, Heze University, Heze Shandong

Received: Feb. 11^th, 2021; accepted: Mar. 11^th, 2021; published: Mar. 18^th, 2021

ABSTRACT

This work gives a detailed proof for the geometric meaning of geodesic curvature by using the definitions of normal curvature and geodesic curvature, and combining the characters of projective cylinder and projective cure.

Keywords:Geodesic Curvature, Geometric Meaning, Projective Cylinder, Projective Cure

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

测地曲率是微分几何中一个重要概念，由它可以引出曲面上的测地线、短程性和高斯–波捏(博内)公式等重要内容。文献 [1] [2] [3] 对测地曲率的几何意义都给出了证明，但证明过程都过于简单、笼统，学习者、读者很难完全理解。本文结合测地线几何意义的证明过程涉及到的知识点，如法曲率、测地曲率的概念，曲面上两曲线相切的证明等内容，给出了一个较完整、详细的证明过程。希望这一证明能让读者对测地曲率几何意义有较清晰、完整的理解，从而促进测地线、短程性和高斯–波捏相关内容的学习 [4] [5] [6]。

2. 预备知识

设空间中有一C²类的曲面 $\Sigma :r=r\left(u,v\right)$。 $P=P\left(u,v\right)$ 是 $\Sigma$ 上一点， $\Gamma$ 为 $\Sigma$ 上经过P点的任一曲线，其方程为： $u=u\left(s\right),v=v\left(s\right)$，或 $r=r\left(u\left(s\right),v\left(s\right)\right)=r\left(s\right)$，其中，s是自然参数。记 $\alpha =\alpha \left(s\right),\beta =\beta \left(s\right)$ 为曲线 $\Gamma$ 的切向量和主法向量， $n=n\left(u,v\right)$ 为曲面 $\Sigma$ 上的单位法向量， $\theta$ 为 $\Gamma$ 的主法向量 $\beta$ 与 $\Sigma$ 的法向量 $n$ 的夹角。

定义1 [1] [2] [3] 任取曲面 $\Sigma$ 在点P处的一方向 $\left(d\right)=du:dv$，$n$ 为 $\Sigma$ 在点 $P\left(u,v\right)$ 处的法向量。称由 $n$ 与(d)所确定的平面为 $\Sigma$ 在点P沿方向(d)的法截面。法截面与曲面 $\Sigma$ 的交线称为 $\Sigma$ 在点P处沿方向(d)的法截线。

在本文中，法截面记为 ${\pi }^{*}$，法截线记为 ${\Gamma }^{*}$，${\Gamma }^{*}$ 上各点处的曲率记为 $k^{*}=k^{*}\left(s\right)$。

定义2 [1] [2] [3] 曲面 $\Sigma$ 在点P沿方向(d)的法曲率定义为

$k_n=\{\begin{array}{l}{k}^{*},法截线{\Gamma }^{*}向的n的正向弯曲\\ -k^{*},法截线{\Gamma }^{*}向的n的反向弯曲\end{array}$

引理1 [1] [2] [3] 设曲面 $\Sigma$ 上的曲线 $\Gamma$ 与 $\Sigma$ 在P点沿方向 $\left(d\right)=du:dv$ 的法截线 ${\Gamma }^{*}$ 相切，则有

$k_n=k\cos \theta =kn\cdot \beta$。

其中， $k_n$ 为 $\Sigma$ 沿(d)的法曲率，k为 $\Gamma$ 在P点的曲率， $\theta$ 为 $\Sigma$ 在P点的法向量 $n$ 与 $\Gamma$ 在P点的主法向量 $\beta$ 的夹角。

注1 曲率 $k=k\left(s\right)$ 反映的是空间曲线在其上一点处的弯曲程度；法曲率反映的是曲面在一点处沿某一方向的弯曲程度；曲面在其上一点处沿任一方向均存在一法截面、法截线和法曲率。

再引入一个新的向量。令 $\epsilon =n\times \alpha$，则 $n,\alpha ,\epsilon$ 是两两垂直的单位向量，且构成一右手系。显然，由 $\Sigma$ 上一点P处的单位法向量 $n$ 与 $\Sigma$ 上的过P点的曲线 $\Gamma$ 在该点的单位切向量 $\alpha$ 确定的向量 $\epsilon$ 位于 $\Sigma$ 在P点的切平面内。

定义3 [1] [2] [3] 曲线 $\Gamma$ 在P点的曲率向量 $\ddot{r}=k\beta$ 在 $\epsilon$ 上的投影(也就是在 $\Sigma$ 于P点的切平面内的投影)

$k_g=\ddot{r}\cdot \epsilon =k\beta \cdot \epsilon$，

称为曲线 $\Gamma$ 在P点的测地曲率。其中，k为曲线 $\Gamma$ 在P点的曲率， $\beta$ 为 $\Gamma$ 在P点的主法向量。

定义4 [1] [2] [3] 设曲线 $\Gamma$ 为曲面 $\Sigma$ 上过点P的曲线， $\pi$ 为 $\Sigma$ 在P点的切平面。过 $\Gamma$ 上每一点作切平面 $\pi$ 的垂线，这些垂线组成一柱面 ${\Sigma }^{*}$，称 ${\Sigma }^{*}$ 为 $\Gamma$ 关于 $\pi$ 的投影柱面。 ${\Sigma }^{*}$ 与 $\pi$ 的交线，称为 $\Gamma$ 关于 $\pi$ 的(正)投影曲线，记为 ${\Gamma }^{*}$。

注2 由定义4可知，曲线 $\Gamma$ 与 ${\Gamma }^{*}$ 都在投影柱面 ${\Sigma }^{*}$ 上，且投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 是平面 $\pi$ 内的曲线。

引理2 在定义4的条件下，曲线 $\Gamma$ 与 ${\Gamma }^{*}$ 在P点相切。

证 由定义4知，曲面 $\Sigma$ 在P点的法线是柱面 ${\Sigma }^{*}$ 的一条直母线。由于 $\Gamma$ 在 ${\Sigma }^{*}$ 上，故 $\Gamma$ 在P点的切线L也是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的一条切线。因此， ${\Sigma }^{*}$ 在P点的切平面就是由 $n$ 与 $\alpha$ (过P点的一条直母线与 $\Gamma$ 在P点的切线L)所确定的平面，记该切平面为 ${\pi }^{*}$。

因为切线L既在 ${\pi }^{*}$ 上，又在 $\pi$ 上，所以 $\pi$ 与 ${\pi }^{*}$ 相交于直线L。

另一方面， ${\Gamma }^{*}$ 在P点的切线既要在 ${\pi }^{*}$ 上，又要在其所在平面 $\pi$ 上，故 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的切线也是 $\pi$ 与 ${\pi }^{*}$ 的交线，即 $\Gamma$ 在P点切线也是L。

综上知， $\Gamma$ 与 ${\Gamma }^{*}$ 在P点相切。

引理3 在定义4的条件下，向量 $\epsilon$ 是投影柱面 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的法向量。

证 由引理2知， $\Gamma$ 在P点的切向量 $\alpha$ 也是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的一个切向量。 $\Sigma$ 在P点的法向量 $n$ 也是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的一个切向量。再由 $\alpha \perp n$ ( $\alpha$ 与 $n$ 不平行)， $\epsilon =n\times \alpha$ 知， $\epsilon$ 为 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的单位法向量。

引理4 向量 $\epsilon$ 是投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的主法向量。

证 由引理2知， $\Gamma$ 在P点的切向量 $\alpha$ 也是 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的切向量。由 $\epsilon =n\times \alpha$ 知， $\alpha \perp \epsilon$。又由于 ${\Gamma }^{*}$ 是平面曲线， ${\Gamma }^{*}$ 所在平面 $\pi$ 即为其在P点的密切平面。再由 $\alpha ,\epsilon$ 都在平面 $\pi$ 内知， $\epsilon$ 是投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的主法向量。

3. 测地曲率的几何意义及其证明

定理 [1] [2] [3] 曲面 $\Sigma$ 上的曲线 $\Gamma$ 在P点的测地曲率 $k_g$ 的绝对值等于 $\Gamma$ 在P点的切平面 $\pi$ 上的正投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的曲率 $k^{*}$，即有 $\left|k_g\right|=k^{*}$。

证 由定义1和引理2，引理3知，切平面 $\pi$ 是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点沿方向 $\alpha$ 的法截面， ${\Gamma }^{*}$ 是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点沿方向 $\alpha$ 的法截线。再由引理3和引理4知， ${\Sigma }^{*}$ 在P点的法向量和 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的主法向量重合，即它们之间的夹角 $\theta =0$ 或 $\pi$。于是，由引理1知， ${\Sigma }^{*}$ 在P点沿方向 $\alpha$ 的法曲率为 $k_n^{*}=k^{*}\cos \theta =\pm k^{*}$，即

$\left|k_n^{*}\right|=k^{*}$. (1)

其中， $k^{*}$ 是 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的曲率。

另一方面，由引理1可知，法曲率 $k_n^{*}$ 还可以表示成曲线 $\Gamma$ 在P点的曲率k乘以 $\beta$ 与 $\epsilon$ 夹角的余弦，即 $k_n^{*}=k\beta \cdot \epsilon$。结合定义3可以得到

$k_n^{*}=k_g$. (2)

其中， $k_g$ 为曲线 $\Gamma$ 在P点的测地曲率。由(1)、(2)两式可得：

$\left|k_g\right|=k^{*}$.

定理得证。

基金项目

菏泽学院2020年教改项目(项目编号：2020010)。

文章引用

闫德宝. 测地曲率几何意义的证明
Proof of the Geometric Meaning of Geodesic Curvature[J]. 理论数学, 2021, 11(03): 319-322. https://doi.org/10.12677/PM.2021.113042

参考文献