给定最大度的补图的最小特征值 The Least Eigenvalue of the Complements of Graphs with Given Maximum Degree

doi:10.12677/pm.2024.146221

Pure Mathematics
Vol. 14 No. 06 ( 2024 ), Article ID: 88895 , 6 pages
10.12677/pm.2024.146221

给定最大度的补图的最小特征值

王东宜

●How to Cite this Article

新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐

收稿日期：2024年3月21日；录用日期：2024年4月28日；发布日期：2024年6月11日

摘要

假设G是一个简单连通图，其顶点集 $V (G) = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 。图G的邻接矩阵表示为 $A (G) = {(a_{i j})}_{n \times n}$ ，其中如果两个顶点 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 在图G中相邻，则 $a_{i j} = 1$ ；否则 $a_{i j} = 0$ 。用 $J_{n}$ 表示所有元素均为1的n阶矩阵，并且用 $I_{n}$ 表示n阶单位矩阵，那么 $A (G^{c})$ 和 $A (G)$ 之间有 $A (G^{c}) = J_{n} - I_{n} - A (G)$ 。在这篇文章中，通过使用 $A (G^{c})$ 和 $A (G)$ 的关系，确定了给定最大度 $Δ \geq ⌈ \frac{n}{2} ⌉$ 的所有简单图的补图中最小特征值达到最小的图。

关键词

最小特征值，最大度，补图

The Least Eigenvalue of the Complements of Graphs with Given Maximum Degree

Dongyi Wang

School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang

Received: Mar. 21^st, 2024; accepted: Apr. 28^th, 2024; published: Jun. 11^th, 2024

ABSTRACT

Suppose G is a connected simple graph with the vertex set $V (G) = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ . The adjacency matrix of G is $A (G) = {(a_{i j})}_{n \times n}$ , where $a_{i j} = 1$ if two vertices $v_{i}$ and $v_{j}$ are adjacent in G and $a_{i j} = 0$ otherwise. Let $J_{n}$ be the matrix of order n whose all entries are 1 and $I_{n}$ be the identity matrix of order n. Then we have $A (G^{c}) = J_{n} - I_{n} - A (G)$ . In this paper using the relationship between $A (G^{c})$ and $A (G)$ , we determine the graphs whose least eigenvalue is minimum among all complements of graphs with given maximum degree $Δ \geq ⌈ \frac{n}{2} ⌉$ .

Keywords:Least Eigenvalue, Maximum Degree, Complements of Graphs

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

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1. 引言

图的最小特征值能够反映图的结构性质，所以近年来图的最小特征值的极图问题已经被广泛研究。Wang Y.和Fan Y. Z. [1] 得到了带有割点的最小特征值达到最小的图。Ye M. L.，Fan Y. Z.和Liang D. [2] 描述了给定连通度的最小特征值达到最小的图。Liu Z.和Zhou B. [3] 确定了给定悬挂点数的最小特征值达到最小的图。Hong Y.和Shu J. L. [4] 给出平面图最小特征值的下界。Wang Y.和Fan Y. Z. [5] 描述了带有割边的最小特征值达到最小的图。Zhu B. X. [6] 描述了给定控制数的简单图的最小特征值达到最小的唯一图。

同样，补图的最小特征值也能够很好地反映图的结构性质，但目前为止，关于图的补图的最小特征值研究结果还不是很多。Fan Y. Z.，Zhang F. F.和Wang Y. [7] 给出了所有树的补图中最小特征值达到最小的图。Jiang G.，Yu G.和Sun W. [8] 确定了只有两个悬挂点的图中补图的最小特征值达到最小的图。Wang H.，Javaid M.，Akram S.等 [9] 研究了补图是仙人掌图的简单连通图的最小特征值。Chen X.，Wang G. [10] 研究了带有两个悬挂点的补图的距离谱。相对来说，刻画带参数的补图的最小特征值的文章比较少，所以本文选择研究给定最大度的补图的最小特征值。

假定G是一个简单的连通图。图 $G = (V (G), E (G))$ 的补集可以表示为 $G^{c} = (V (G^{c}), E (G^{c}))$ ，其中 $V (G^{c}) = V (G)$ 和 $E (G^{c}) = {x y : x, y \in V (G), x y \notin E (G)}$ 。图G的邻接矩阵表示为 $A (G) = {(a_{i j})}_{n \times n}$ ，其中如果两个顶点 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 在图G中相邻，则 $a_{i j} = 1$ ；否则 $a_{i j} = 0$ 。由于 $A (G)$ 是一个非负的实对称矩阵，所以其特征值都是实数，可以排列为 $λ_{1} (G) \geq λ_{2} (G) \geq \dots \geq λ_{\min} (G)$ ，其中 $λ_{1} (G)$ 和 $λ_{\min} (G)$ 分别称为图G的谱半径和最小特征值。 $A (G)$ 的特征值也是图G的特征值。图G的最大度是指图中所有顶点的度的最大值，用 $Δ$ 表示。用 $N_{G} (v)$ 表示图G中顶点v的邻点集。 $J_{n}$ 表示所有元素均为1的n阶矩阵，并且 $I_{n}$ 表示n阶单位矩阵，那么 $A (G^{c})$ 和 $A (G)$ 之间有 $A (G^{c}) = J_{n} - I_{n} - A (G)$ 。在这篇文章中，主要通过补图的邻接

矩阵 $A (G^{c})$ 和原图的邻接矩阵 $A (G)$ 之间的关系，刻画出了给定最大度 $Δ \geq ⌈ \frac{n}{2} ⌉$ 的所有简单图的补图中，

其最小特征值达到最小的图。

2. 预备知识

假定G是n阶简单连通图其顶点集为 $V (G) = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 。令 $x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}$ 为邻接矩阵 $A (G)$ 的单位特征向量，其中 $x (v_{i}) = x_{i} (i = 1, \dots, n)$ ，则有

$x^{T} A (G) x = 2 \sum_{v_{i} v_{j} \in E (G)} x_{i} x_{j}$ (1)

令 $x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}$ 是 $A (G)$ 的特征值 $λ (G)$ 对应的单位特征向量，则有

$λ (G) x_{i} = \sum_{v_{j} \in N_{G} (x_{i})} x_{j}$ (2)

引理2.1 (瑞利定理)假定 $λ_{1} (G)$ 为图G的谱半径， $λ_{\min} (G)$ 为图G的最小特征值，若 $x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}$ 为邻接矩阵 $A (G)$ 的单位特征向量，那么有

$λ_{\min} (G) \leq x^{T} A (G) x \leq λ_{1} ( G )$

第一个等号成立当且仅当x是 $A (G)$ 的最小特征值 $λ_{\min} (G)$ 对应的单位特征向量和第二个等号成立当且仅当x是 $A (G)$ 的谱半径 $λ_{1} (G)$ 对应的单位特征向量。

引理2.2 [11] 假定简单图G的最小特征值用 $λ_{\min} (G)$ 表示，则 $λ_{\min} (G) \geq - \sqrt{⌈ \frac{n}{2} ⌉ ⌊ \frac{n}{2} ⌋}$ ，等号成立当且

仅当 $G ≅ K_{⌊ \frac{n}{2} ⌋, ⌈ \frac{n}{2} ⌉}$ 。

引理2.3 [12] 假设G是一个最大度为 $Δ$ 简单连通图，其谱半径用 $λ_{1} (G)$ 表示，那么有 $\sqrt{Δ} \leq λ_{1} (G) \leq Δ$ 。□

3. 主要结论

设G是一个顶点集为 $V (G) = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 的n阶简单图，将其补图记为 $G^{c}$ ，有 $V (G^{c}) = V (G)$ 。令 $x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}$ 是 $A (G^{c})$ 的最小特征值 $λ_{\min} (G^{c})$ 对应的单位特征向量，其中 $x (v_{i}) = x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 。记 $V^{+} = {v_{i} \in V (G^{c}) : x_{i} > 0}$ ， $V^{-} = {v_{i} \in V (G^{c}) : x_{i} < 0}$ 和 $V^{0} = {v_{i} \in V (G^{c}) : x_{i} = 0}$ 。接下来，通过补图的邻接

矩阵 $A (G^{c})$ 和原图的邻接矩阵 $A (G)$ 之间的关系，刻画出了给定最大度 $Δ \geq ⌈ \frac{n}{2} ⌉$ 的所有简单图的补图中，

其最小特征值达到最小的图。

令二部图 $B (p, q)$ 具有两部分顶点集 $(V_{1}, V_{2})$ ，其中 $V_{1} = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{p}}$ 且 $V_{2} = {v_{p + 1}, v_{p + 2}, \dots, v_{p + q}}$ 。令V₁中所有的顶点相邻，并令V₂中的所有顶点也相邻，删除所有V₁与V₂相连的边。添加一个新的顶点u，将顶点u与V₁中的s个顶点和V₂中的t个顶点连接。这样得到的图记为 $H_{p, q}^{s, t}$ 。

定理3.1 假设G是一个给定最大度 $Δ \geq ⌈ \frac{n}{2} ⌉$ 的n阶简单连通图，那么 $λ_{\min} (H^{c} (_{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, ⌈ \frac{n}{2} ⌉}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, Δ - ⌊ \frac{n}{2} ⌋ + 1})) < λ_{\min} (G^{c})$ 。

证明：下面先分是否存在零分量两种情况进行讨论。

情况1：假设 $| V^{0} | = 0$ 。若 $| V^{0} | = 0$ ，则一定有 $n - Δ \leq | V^{-} |, | V^{+} | \leq Δ$ 。否则，根据引理2.1和 2.2有

$\begin{matrix} λ_{\min} (G^{c}) = x^{T} A (G^{c}) x = 2 \sum_{v_{i}, v_{j} \in E (G^{c})} x_{i} x_{j} \geq 2 \sum_{v_{i} \in | V^{-} |, v_{j} \in | V^{+} |} x_{i} x_{j} > λ_{\min} (K_{| V^{-} |, | V^{+} |}) \\ = - \sqrt{| V^{-} | | V^{+} |} > - \sqrt{Δ (n - Δ)} = λ_{\min} (K_{Δ, n - Δ}) \end{matrix}$

这与 $λ_{\min} (G^{c})$ 是极小的产生矛盾。所以接下来我们只需讨论 $n - Δ \leq | V^{-} |, | V^{+} | \leq Δ$ 时的情况。

假设顶点u为最大度点，不失一般性，假定 $x_{u} > 0$ 。由于 $| V^{+} | \leq Δ$ 且 $| V^{-} | \leq Δ$ ，可以得到 $V^{+}$ 中的所有顶点一定都相邻， $V^{-}$ 中的所有顶点也一定都相邻。否则，如果存在不相邻的两个顶点 $u_{1} \in V^{+}$ 和 $v_{1} \in V^{+}$ 。显然，图 $G + u_{1} v_{1}$ 的最大度也是 $Δ$ 。根据方程(1)，可以得到

$x^{T} A (G) x = 2 \sum_{v_{i} v_{j} \in E (G)} x_{i} x_{j} < 2 \sum_{v_{i} v_{j} \in E (G)} x_{i} x_{j} + 2 x_{u_{1}} x_{v_{1}} = x^{T} A (G + u_{1} v_{1}) x$

通过引理2.1，有

$\begin{matrix} λ_{\min} (G^{c}) = x^{T} A (G^{c}) x \\ = x^{T} (J_{n} - I_{n}) x - x^{T} A (G) x \\ > x^{T} (J_{n} - I_{n}) x - x^{T} A (G + u_{1} v_{1}) x \\ = x^{T} A ({(G + u_{1} v_{1})}^{c}) x \\ \geq λ_{\min} ({(G + u_{1} v_{1})}^{c}) \end{matrix}$

这与 $λ_{\min} (G^{c})$ 极小相矛盾。同理，也可以证明 $V^{-}$ 中的所有顶点一定都相邻。

接下来我们证明 $V^{+}$ 中除最大度点u以外的所有的顶点都和 $V^{-}$ 中的顶点不相邻。否则，如果除u点以外存在相邻的两个顶点 $w_{1} \in V^{+}$ 和 $z_{1} \in V^{-}$ 。显然，图 $G - w_{1} z_{1}$ 的最大度也是 $Δ$ 。根据方程(1)，可以得到

$x^{T} A (G) x = 2 \sum_{v_{i} v_{j} \in E (G)} x_{i} x_{j} < 2 \sum_{v_{i} v_{j} \in E (G)} x_{i} x_{j} - 2 x_{w_{1}} x_{z_{1}} = x^{T} A (G - w_{1} z_{1}) x$

通过引理2.1，有

$\begin{matrix} λ_{\min} (G^{c}) = x^{T} A (G^{c}) x \\ = x^{T} (J_{n} - I_{n}) x - x^{T} A (G) x \\ > x^{T} (J_{n} - I_{n}) x - x^{T} A (G - w_{1} z_{1}) x \\ = x^{T} A {(G - w_{1} z_{1})}^{c} x \\ \geq λ_{\min} ({(G - w_{1} z_{1})}^{c}) \end{matrix}$

这与 $λ_{\min} (G^{c})$ 极小相矛盾。

综合上述讨论和图 $H_{p, q}^{s, t}$ 的构造可以知道，如果假定 $| V^{+} | = p$ 和 $| V^{-} | = q$ ，那么 $G^{c} ≅ H^{c} (_{p - 1, q}^{p - 1, Δ - p + 1})$ 。

根据 $H^{c} (_{p - 1, q}^{p - 1, Δ - p + 1})$ 的对称性，可以知道， $V^{+} \ u$ 中的所有顶点对应于相同的分量 $x_{1}$ ， $V^{-} \cap N (u)$ 中的所有顶点对应于相同的分量 $x_{2}$ 和 $V^{-} \ N (u)$ 中的所有顶点对应相同的值 $x_{3}$ ，u点对应分量 $x_{u}$ 。由方程(2)可以得到

${\begin{cases} λ_{\min} x_{1} = (p + q - Δ - 1) x_{2} + (Δ - p + 1) x_{3} \\ λ_{\min} x_{2} = (p - 1) x_{1} + x_{u} \\ λ_{\min} x_{3} = (p - 1) x_{1} \\ λ_{\min} x_{u} = (p + q - Δ - 1) x_{2} \end{cases}$

将上述方程转化为矩阵方程 $(λ I_{4} - A) x' = 0$ ，其中 $x' = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{u})}^{T}$ 和

$A = (\begin{matrix} 0 & p + q - Δ - 1 & Δ - p + 1 & 0 \\ p - 1 & 0 & 0 & 1 \\ p - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p + q - Δ - 1 & 0 & 0 \end{matrix})$

令 $φ_{p, q} (λ) = d e t (I_{4} λ - A)$ 。那么有

$φ_{p, q} (λ) = λ^{4} + (Δ + 1 - p - p q) λ^{2} + (Δ + 1 - p - q) (Δ + 1 - p) (1 - p)$ (3)

因此，可以得到

$φ_{p, q} (λ) - φ_{p + 1, q - 1} (λ) = (q - p) λ^{2} + (Δ + 1 - p - q) (Δ + 1 - 2 p)$

令

$\begin{matrix} f (Δ) = - (Δ + 1 - p - q) (Δ + 1 - 2 p) \\ = - Δ^{2} + (3 p + q - 2) Δ - 2 p q - 2 p^{2} + 3 p + q - 1 \end{matrix}$

由上式可知 $f (Δ)$ 的最大根为 $\frac{{(p - q)}^{2}}{4}$ 。显然，如果 $λ_{\min} = - \sqrt{Δ}$ ，则 $(q - p) {(- \sqrt{Δ})}^{2} > \frac{{(p - q)}^{2}}{4}$ 。所以 $φ_{p, q} (- \sqrt{Δ}) - φ_{p + 1, q - 1} (- \sqrt{Δ}) = (q - p) {(- \sqrt{Δ})}^{2} + (Δ + 1 - p - q) (Δ + 1 - 2 p) > 0$ 。根据 $H^{c} (_{p - 1, q}^{p - 1, Δ - p + 1})$ 的构造可以知道其是二部图，那么 $λ_{1} (G) = - λ_{\min} (G)$ 。通过引理2.3，有 $λ_{\min} < - \sqrt{Δ}$ ，从而可得 $φ_{p, q} (λ_{\min}) - φ_{p + 1, q - 1} (λ_{\min}) > 0$ 。由于 $φ_{p, q} (λ_{\min}) = 0$ ，所以 $φ_{p + 1, q - 1} (λ_{\min}) < 0$ 。因此， $λ_{\min} (H^{c} (_{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, ⌈ \frac{n}{2} ⌉}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, Δ - ⌊ \frac{n}{2} ⌋ + 1})) < λ_{\min} (H^{c} (_{p - 1, q}^{p - 1, Δ - p + 1}))$ 。根据以上论证和引理3.1，可以得到 $λ_{\min} (H^{c} (_{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, ⌈ \frac{n}{2} ⌉}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, Δ - ⌊ \frac{n}{2} ⌋ + 1})) < λ_{\min} (G^{c})$ 。至此情况1证明完成。

情况2：假设 $| V^{0} | \neq 0$ 。若 $| V^{0} | \neq 0$ ，则令y是x去掉 $v \in V^{0}$ 的相应分量的子向量。根据引理2.1和方程(1)，有

$\begin{matrix} λ_{\min} (G^{c}) = 2 \sum_{v_{i} v_{j} \in E (G^{c})} x_{i} x_{j} \\ = y^{T} A ({(G - V^{0})}^{c}) y \\ \geq λ_{\min} ({(G - V^{0})}^{c}) \end{matrix}$

其中不等式中的等号成立当且仅当y是 ${(G - V^{0})}^{c}$ 的最小特征值对应的向量。显然有

$\begin{matrix} λ_{\min} ({(G - V^{0})}^{c}) \geq λ_{\min} (K_{| V^{-} |, | V^{+} |}) \\ = - \sqrt{| V^{-} | | V^{+} |} \\ \geq - \sqrt{⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋} \end{matrix}$

其中第一个不等式中的等号成立当且仅当 ${(G - V^{0})}^{c} ≅ K_{| V^{-} |, | V^{+} |}$ 。结合上面两个式子，如果 $| V^{0} | \neq 0$ ，则有 $λ_{\min} (G^{c}) \geq - \sqrt{⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋}$ 。等号成立当且仅当 $V^{0} = {u}$ 和 $G^{c} ≅ H^{c} (_{⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋, ⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉}^{b, Δ - b})$ ，其中u是最大度点，b

是一些正整数。至此完成了情况2的证明。

最后，在情况1中，从式子(3)可以知道 $λ_{\min} (H^{c} (_{⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋, ⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉}^{⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋, Δ - ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋}))$ 是如下方程的最小根：

$\begin{array}{l} λ^{4} + [Δ + 1 - (⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ + 1) - (⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ + 1) ⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉] λ^{2} \\ + [Δ + 1 - (⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ + 1) - ⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉] [Δ + 1 - (⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ + 1)] [1 - (⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ + 1)] = 0 \end{array}$

通过计算可以得到当 $λ = - \sqrt{⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋}$ 时，有

等号成立当且仅当 $Δ = n - 1$ 是偶数，这表明 $λ_{\min} (G^{c}) < λ_{\min} (H^{c} (_{⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋, ⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉}^{⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋, Δ - ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋})) \leq - \sqrt{⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋}$ 。

在情况2中，根据情况2中的证明过程，可以得到 $λ_{\min} (G^{c}) \geq - \sqrt{⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋}$ 。

综合上述讨论，如果 $G^{c}$ 的最小特征值达到最小对应的极图属于情况1，则有 $λ_{\min} (G^{c}) < - \sqrt{⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋}$ ；如果 $G^{c}$ 的最小特征值达到最小对应的极图属于情况2，则有 $λ_{\min} (G^{c}) \geq - \sqrt{⌈ \frac{n - 1}{2} ⌉ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋}$ 。所以 $G^{c}$ 的最小特征值达到最小对应的极图属于情况1。因此 $λ_{\min} (H^{c} (_{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, ⌈ \frac{n}{2} ⌉}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - 1, Δ - ⌊ \frac{n}{2} ⌋ + 1})) < λ_{\min} (G^{c})$ ，结论成立。□

文章引用

王东宜. 给定最大度的补图的最小特征值
The Least Eigenvalue of the Complements of Graphs with Given Maximum Degree[J]. 理论数学, 2024, 14(06): 9-14. https://doi.org/10.12677/pm.2024.146221

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