Operations Research and Fuzziology
Vol.
11
No.
03
(
2021
), Article ID:
43997
,
6
pages
10.12677/ORF.2021.113031
一类二人微分博弈Nash均衡的本质 连通区
计伟
贵州建设职业技术学院信息管理学院,贵州 贵阳

收稿日期:2021年6月8日;录用日期:2021年7月14日;发布日期:2021年7月21日

摘要
应用集值分析理论,证明了控制系统关于右端函数发生扰动时,一类二人微分博弈问题Nash均衡集存在极小本质集和本质连通区。
关键词
本质连通区,极小本质集,Nash均衡,上半连续紧映射

Essential Component of Nash Equilibria for a Class of Two-Person Differential Games
Wei Ji
School of Information and Management, Guizhou Polytechnic of Construction, Guiyang Guizhou
Received: Jun. 8th, 2021; accepted: Jul. 14th, 2021; published: Jul. 21st, 2021
ABSTRACT
By employing the set-valued analysis theory, we show that the existence of minimal essential set and essential component for Nash equilibrium point set of against the perturbation of the right-hand side function of control system for a class of two-person differential games.
Keywords:Essential Component, Minimal Essential Set, Nash Equilibria, Upper Semi-Continuous with Compact Valued
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
博弈论是自1944年 [1] John Von Neumann和Oskar Morgenstern合著出版《Theory of Games and Economic Behavior》一书而宣告诞生,该书主要介绍矩阵博弈、零和博弈、及合作博弈,同样他们的工作孕育着微分博弈的思想。微分博弈以R. Isaacs于1965年 [2] 的专著《Differential Games》为其主要标志,是指博弈参与人在进行博弈活动时,参与人从各自的控制集中选择控制策略,策略间的相互作用要通过的状态由微分方程(微分系统或状态方程)来描述的博弈。1971年 [3],A. Friedman在起其专著《Differential Games》中,应用离散近似序列的方法建立了微分博弈的值与鞍点的存在性,奠定了微分博弈的数学理论。
国内关于微分博弈的最早专著是1987年 [4],由科学出版社出版,东北大学张嗣瀛院士编著的《微分对策》。2000年 [5],由国防科技大学李登峰教授编著,国防工业出版社出版的《微分对策及其应用》,该专著是国内第一部从数学角度详细、系统介绍微分对策的概念、理论、方法及其应用的专著。
此外,2015年 [6],J. M. Yong编著的《Differential Games (A concise introduction)》,对近年来关于二人零和微分博弈、无界控制微分博弈、追逃微分博弈、线性二次微分博弈和切换系统微分博弈等的研究进行了详细阐述,并撰写了大量的研究评注以及列举了大量参考文献。
无论是一般非合作博弈,合作博弈,还是微分博弈的研究,其解的存在性和稳定性都是研究热点问题,也是基础问题。同时,我们也深知,相对存在性的研究,其稳定性研究更复杂、更本质。事实上,对一般博弈模型,我们不仅关心博弈均衡的存在性,因为对大多数博弈问题,Nash均衡是存在的,但通常不唯一,甚至许多博弈模型存在无穷多均衡解,这就给博弈参与人带来选择困难,甚有可能博弈的结果是非博弈均衡点。此外,当我们研究问题的环境或参数发生微小改变时,改变后的博弈问题是否还存在博弈均衡点?若存在,对其均衡点的影响是大还是小?这些就是稳定性问题。
事实上,关于稳定性研究,有许多专家学者已经做了大量富有成效的研究工作。1950年 [7],Fort为研究连续映射不动点的稳定性,引入了本质不动点的概念。1962年 [8],W. T. Wu和J. H. Jiang对有限N人非合作博弈首先引入了本质Nash平衡点的概念。1963年 [9],J. H. Jiang进一步对有限N人非合作博弈首先引入了Nash平衡点集本质连通区的概念,并证明了对任何有限N人非合作博弈,其Nash均衡集至少存在一个本质连通区。1986年 [10],Kohlberg和Mertens研究了均衡策略稳定性,他们应用代数几何的方法证明了每个有限博弈的Nash平衡点集由有限个连通区组成,而且其中至少有一个是本质的。之后,本质稳定性的概念被广泛用于最优化问题、不动点问题、向量优化问题、无限博弈Nash均衡问题等(见文献 [11] 及其相应的引用文献)。J. Yu和S. W. Xiang [12],以及J. Yu和H. Yang [13],应用集值分析方法,先后在1999年和2004年,分别证明了Nash均衡点集的本质连通区,以及集值映射均衡点集的本质连通区。
特别地,在2020年 [14],J. Yu和D. T. Peng讨论了非合作微分博弈平衡点集的通有稳定性,他们证明了微分博弈均衡点集形成一个稠密剩余集,并且任何一个微分博弈都可以通过一个稳定博弈任意逼近,也就是在Baire分类意义下,大多数微分博弈是通有稳定的。实质上,早在2014年 [15],J. Yu等人,也是基于集值映射理论,研究了经典最优控制关于状态方程右端函数扰动时的通有稳定性。受到 [15] 的启发,2015年 [16]、 [17],H. Y. Deng和W. Wei已先后基于集值映射理论,应用非线性方法,状态方程关于右端函数扰动时,分别研究了具有一阶等度连续的非线性最优控制的通有稳定性,以及半线性发展方程支配的目标泛函为二次型时,最优控制问题的通有稳定性。
受到以上文献的启发,应用文献 [18] 的存在性结果,我们构造一个完备度量空间,应用集值分析的方法,证明了一类微分博弈关于控制系统关于右端函数发生扰动时,对应的Nash均衡点集至少存在一个极小本质集,每个极小本质集都是连通的,以及本质连通区的存在性。
2. 模型和预备知识
我们考虑如下的控制系统支配的二人微分博弈模型。设 , 是实Euclidean空间, 和 是度量空间,对任意的 ,
函数 和 分别叫做参与人1和2的控制过程,也即参与人1和2分别从控制选择集 和 中选择控制。考虑如下的状态方程:
(2.1)
为了度量控制过程 和 的性能指标,我们引入如下的目标泛函:
(2.2)
(2.3)
我们定义如下的博弈问题。
博弈(DG):对任意的 ,若存在 ,使得下式成立:
则称 是Nash均衡点。
现在,我们引入如下假设。
[C1] 控制取值集 , 分别是 和 中的紧凸集。
[C2] 分别是定义在 上连续的 ,, 维矩阵。
[C3] 、 、 和 均是定义在 上的连续函数。 和 则是定义在 上的连续线性函数。
1975年 [18],T. Parthasarathy和T. E. Raghvan在以上假设条件下,证明了Nash均衡点的存在性结果。
引理2.1 [18] 假设[C1]~[C3]成立,给定初始对 ,则博弈(DG)存在Nash均衡点。
下面,为研究本质连通区的存在性,我们构造如下的问题空间。不妨设
。
和
。
,定义距离为:
。
则容易证明 是一个完备度量空间。
定义2.2:设
。
则 定义了一个 集值映射,记为 。
为研究其解集的本质连通区,根据文献 [11],我们引入如下必要的定义和引理。
定义2.3: , 是一个非空集合,对 中的任意开集 ,,若存在 的任意开领域 ,使得 ,有 ,称集值映射 在 上半连续(下半连续)。若集值映射 在 既上半连续,又下半连续,则称 在 连续。若 ,集值映射 在 上半连续(下半连续、连续),则称 在 上半连续(下半连续、连续)。
定义2.4:若 , 是一个非空紧集,且 在 上半连续,则称 是一个上半连续紧映射(USCO)。
定义2.5:称 为 的图像,若 的图像 是闭的,则称集值映射 为闭映射。
引理2.4:设集值映射 是闭的,且 是紧集,则 是一个上半连续映射。
下面,我们给出一个关于集值映射 的结论。
定理2.1集值映射 是一个上半连续的紧映射(USCO)。
证明:因 是紧集,而 ,,所以再由引理2.1可知,我们只需证明集值映射 的图像 为闭即可。即证明 ,,则 。
因 ,所以 ,我们得到: ,。又因为 和 连续,并且积分区间为有限区间。因此,通过假(C3),令 ,,我们可得到 ,。因此, 。即:集值映射 是一个上半连续的紧映射。
3. 本质连通区
这一节,我们将给出本质连通区和极小本质集的存在性结论。因此,我们先给出本质集、极小本质集、本质连通区的定义。
定义4.1: ,设 是 中的非空闭子集,如果对 中任意开集 ,,,使得 ,,有 ,则称 是 中本质集。
定义4.2:设 是 的本质集,且是 中所有本质集按包含关系为序的极小元,则称 是 极小本质集。显然若 极小本质集存在,则它不一定是唯一的。
定义4.3:若 可以分解为有限或无限个两两不相交的连通区的并集,即
,
其中 是一个指标集。若存在 的一个连通区 是 本质集,则称 是 一个本质连通区。
定理4.1: , 至少存在一个极小本质集。
证明:由定理2.3知道, 集值映射 是一个上半连续的紧映射,即对 的任意开集 ,且 ,则存在 ,使得 ,当 时, 。因此, 是它本身的一个本质集。设 是以包含关系为序,且由所有本质集组成的集合,且 是一个半序集,且 ,下令 ,其中 是 中的全序子集,不难验证 为紧集, ,且 显然是递减的。 中任意全序子集 必有下界 ,由Zorn引理, 必有极小元,因而极小元必是的 的极小本质集。
定理4.2: , 的每个极小本质集都是连通的。
证明:用反证法给予证明,设 是 的极小本质集,而 不是连通的,则存在两个非空闭集 ,和两个开集 ,使得 ,,而 。因 是极小本质集,故 都不是 的本质集,所以存在两个开集 ,,而 ,,而 ,记 ,,则 是开集,则 ,且 ,存在两个开集 ,使得 ,,显然 ,,。
因此,存在 ,使得, ,,而 。因 是开集,且 ,而 。这显然与 矛盾。因此, 是 的极小本质集。
定理4.3: , 至少存在一个本质连通区。
证明:由定理4.1和定理4.2, 至少有一个极小本质集 ,且 是连通的,故 ,使 ,对 中任意开集 ,,则 ,因 是本质的, ,使得 ,,有 ,于是连通区 是本质的。
4. 结论
应用集值分析理论,文献 [14] [15] [16] [17] 开启了从整体上考虑问题对象发展扰动时,微分博弈的稳定性研究。本文基于集值映射理论,应用非线性方法,讨论了一类特殊的二人微分博弈控制系统关于右端函数发生扰动时,Nash均衡本质连通区和极小本质集的存在性。
基金项目
国家自然科学基金(11661020)。
文章引用
计 伟. 一类二人微分博弈Nash均衡的本质连通区
Essential Component of Nash Equilibria for a Class of Two-Person Differential Games[J]. 运筹与模糊学, 2021, 11(03): 268-273. https://doi.org/10.12677/ORF.2021.113031
参考文献
- 1. Von Neumann, J. and Morgenstern, O. (1944) Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press, Princeteon.
- 2. Isaacs, R. (1965) Differential Games. New York, Wiley.
- 3. Friedman, A. (1971) Differential Games. New York, Wiley.
- 4. 张嗣瀛. 微分博弈[M]. 北京: 科学出版社, 1987.
- 5. 李登峰. 微分博弈及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2000.
- 6. Yong, J.M. (2015) Differential Games (A Concise Introduction). Word Scientific, USA. https://doi.org/10.1142/9121
- 7. Fort, M.K. (1950) Essential and Nonessential Fixed Points. American Journal of Mathematics, 72, 315-322. https://doi.org/10.2307/2372035
- 8. Wu, W.T. and Jiang, J.H. (1962) Essential Equilibrium Points of N-Person Noncooperative Games. Scientia Sincia, 11, 1307-1322.
- 9. Jiang, J.H. (1963) Essential Component of the Set of Fixed Points of the Multi-Valued Maps and Its Applications to the Theory of Games. Scientia Sincia, 12, 951-964.
- 10. Kohlberg, E. and Mertens, J.F. (1991) On the Strategic Stability of Equilibrium. Springer-Verlag, Berlin.
- 11. 俞建. 博弈论与非线性分析[M]. 北京: 科学出版社, 2008.
- 12. Yu, J. and Xiang, S.W. (1999) On Essential Components of the Nash Equilibrium Points. Nonlinear Analysis TMA, 38, 259-264. https://doi.org/10.1016/S0362-546X(98)00193-X
- 13. Yu, J. and Yang, H. (2004) The Essential Components of the Set of Equilibrium Points for Set-Valued Maps. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 300, 334-342. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.06.042
- 14. Yu, J. and Peng, D.T. (2020) Generic Stability of Nash Equilibrium for Noncooperative Differential Games. Operations Research Letters, 48, 157-162. https://doi.org/10.1016/j.orl.2020.02.001
- 15. Yu, J., Liu, Z.X., Peng, D.T., Xu, D.Y. and Zhou, Y.H. (2014) Existence and Stability of Optimal Control. Optimal Control Applications and Methods, 35, 721-729. https://doi.org/10.1002/oca.2096
- 16. Deng, H.Y. and Wei, W. (2015) Existence and Stability for Nonlinear Optimal Control Problems with 1-Mean Equi-Continuous Controls. Journal of Industrial and Management Optimation, 11, 1409-1422. https://doi.org/10.3934/jimo.2015.11.1409
- 17. Deng, H.Y. and Wei, W. (2015) Stability Analysis for Optimal Control Problems Governed by Semilinear Evolution Equation. Advances in Difference Equations, 2015, Article No. 103. https://doi.org/10.1186/s13662-015-0443-5
- 18. Parthasarathy, T. and Raghavan, T.E.S. (1975) Existence of Saddle Points and Nash Equilibrium Points for Differential Games. SIAM Journal on Control, 5, 977-980. https://doi.org/10.1137/0313060