ABSTRACT

In order to grasp the changes in residential land prices in Nanjing, taking the quarterly land price index of residential land in Nanjing from 2004 to 2018 as the research object, the fractal theory and heavy range analysis method (R/S) were used for analysis. The results show that: 1) The land price index in Nanjing has obvious fractal characteristics, Hurst index = 0.7727, and the time series has long-term memory and strong persistence. 2) The average cycle length of the land price index is 15 quarters, or 3.75 years; 3) The fractal model established by accumulation and transformation can predict the land price index in a short-term, and the prediction result is ideal. However, the long-term prediction error of the land price index is more obvious. The above research reveals the fractal nature of residential land price and scientifically grasps the fluctuation law of residential land price. It is mainly for the land resources managers to provide decision-making basis and provide information for the public and investors.

Keywords:Land Price Index, Fractal Theory, R/S Analysis Method, Fractal Model Prediction

南京市住宅地价指数分形特征研究

张增峰¹，陆玉麒^2,3，曹天邦^1*，董平^2,3

¹江苏金宁达房地产评估咨询有限公司，江苏 南京

²南京师范大学地理科学学院，江苏 南京

³江苏省地理信息资源开发与利用协同创新中心，江苏 南京

收稿日期：2019年5月15日；录用日期：2019年5月28日；发布日期：2019年6月4日

摘 要

为掌握南京市住宅地价变动状况，以南京市2004年~2018年住宅用地季度地价指数为研究对象，采用分形理论和重标极差分析法(R/S)进行分析，研究结果表明：1) 南京市住宅地价指数具有明显的分形特征，赫斯特指数(Hurst)为0.7727，时间序列具有较强的正持续性及持久性；2) 南京市住宅地价指数的平均循环周期长度为15个季度，即3.75年；3) 通过累加和变换构建的分形模型可对地价指数进行短期预测，预测结果较为准确，但对地价指数的长期预测误差较大。上述研究，揭示住宅地价的分形特征，科学地掌握了住宅地价波动特点，以期为国土资源管理部门提供决策依据，为社会公众和投资者提供信息参考。

关键词 :地价指数，分形理论，R/S分析法，分形模型预测

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1. 引言

地价指数是反映地价在一段时间内变化的重要指标，对地价指数的科学分析与预测，为政府进行有效的土地市场调控与管理提供依据，有效地引导投资方向，实现城市土地资源优化配置。

目前对于城市地价波动的研究，以往多采用简单的趋势分析等方法，但是由于城市地价自身复杂性以及影响因素复杂性，简单的趋势分析对这一复杂对象的研究上存在一定的缺陷和不足。作为一种新的理论概念和研究方法，分形理论已经拓展并应用于诸多领域的研究中，对于时间序列的分形特征研究国内外也均有涉及。Mcculloch等认为股市回报率的平方值与绝对值存在关联性，具有分形特点，并实证测得赫斯特指数为0.75 [1] 。Kiselev采用R/S分析了1957至2011年地磁指数的时间序列，研究发现，赫斯特指数在年区间为0.79~0.94，月区间为0.8~1.0。并确定地磁指数周期范围为3~4个月至2.2年，长度为8.5至22年 [2] 。宋博通等运用R/S分析法实证深圳二手房价格指数具有分形特征，测得赫斯特指数为0.996，并运用分形模型对价格指数进行预测 [3] 。梁国岐以青岛市二手房成交量为研究对象并采用R/S分析法进行分析，测得赫斯特指数为0.8632 [4] 。Danlei Gu等运用多重分形消除趋势波动分析方法，研究了2017.6.15~2018.4.11期间深圳成分指数的价格波动的多重分形特征 [5] 。总的来讲，学者在分形特征方面研究较多，但很少对城市地价指数进行分形的专门研究。

鉴于此，采用R/S分析方法，以南京市住宅地价指数的时间序列为例，分析地价波动的分形特征，估算住宅地价波动的周期长度，并构建分形模型进行住宅地价指数的走势预测。

2. 研究方法

2.1. 分形理论

分形理论由美国数学家Benoit B. Mandelbrot于上世纪70年代提出，现已在诸多领域得到广泛应用 [6] 。分形特征主要表现为：

1) 自相似性。它是指系统或结构的整体与局部之间具有相似性。分形在时间序列的表现为在不同的时间尺度上数据具有相似的统计量。

2) 标度不变性。分形对象放大或缩小，其原图的形态特征没有改变。分形表征的程度就是分形维数，在时间序列中，通过对其分析，可以揭示时间序列的变化特征 [7] 。

2.2. R/S分析法

该方法又称重标极差分析法，最初由英国水文学家赫斯特在探究阿斯旺水坝工程时提出的分析方法，后来在各种时间序列的分析之中得到广泛运用 [8] [9] 。

1) 基本内容

对于一个时间序列{x_t} ( $t=1,2,\cdots ,m$ )，把它分为每段长度为N的A个的子区间。记第u个子区间为I_n ( $n=1,2,\cdots ,A$ )，I_u中的第i个数X_i,u ( $i=1,2,\cdots ,N$， $u=1,2,\cdots ,A$ )，分别计算平均值e_u、累积离差Y_u,i、极差R_Iu、标准差S_Iu和重标极差(R/S)_N [10] [11] [12] [13] [14] 。

$e_u=\frac{1}{N}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{X}_{i,u}}$ (1)

$Y_{u,i}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\left(x_{u,k}-e_u\right)}$ (2)

$R_{Iu}=\max Y_{u,i}-\min Y_{u,i}$ (3)

$S_{Iu}=\sqrt{\frac{1}{N}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\left(x_{u,i}-e_u\right)}^2}}$ (4)

(5)

通过公式 ${\left(R/S\right)}_N=C{N}^H$ (C为常数，H为hurst指数)两端取对数，得到方程：

$\log {\left(R/S\right)}_N=\log C+H\ast \log N$ (6)

最后，采用OLS回归直线方程，计算斜率即为H的值。

2) Hurst指数的判定

Hurst指数有三种类型。当0.5 < H < 1时，表明过程具有持久性，即如果某一刻时间序列是向上变化的，那么下一时刻它很有可能向上变化。反之，它在某一刻是向下变化，下一刻很有可能向下变化。越接近于1，持久性就越强；当H = 0.5时，表明过程不稳定，随机性大；当H < 0.5时，表明过程具有反持久性，即过去的一个增长趋势意味着将来一个减少趋势，反之，过去的一个减少趋势意味着将来一个增长趋势；H越接近于0，反持久性就越强 [15] [16] [17] 。

3) V_N统计量

V_N统计量主要用于非周期循环长度的估计。

$V_N={\left(R/S\right)}_N/\sqrt{N}$ (7)

在V_N统计图中，若H = 0.5时，V_N关于logN的图形是一条直线；若H > 0.5时，V_N关于logN的图形是向上倾斜的；若H < 0.5时，V_N关于logN的图形是向下倾斜的。当V_N图形形状发生变化出现突变点时，说明长期记忆消失，一个平均循环长度由此形成。

3. 研究区概况和数据来源

3.1. 研究区概况

以南京市主城区为研究区，包括江南六区等所辖区域内的城市建成区，面积约为265.5 km²。

3.2. 数据来源

收集了中国地价信息服务平台系统中南京市2004年~2018年住宅用地季度地价指数数据 [18] 。

4. 研究结果与分析

4.1. 数据整理

本次收集了2004年~2018年共15年的每个季度的南京市住宅用地环比地价指数，统计如图1所示。地价指数结果显示，2004到2018年南京市地价指数呈现比较大的波动，其中最低值位于2008年第四季度，最高值位于2009年第四季度，超过了110。从整体趋势来看，南京市15年来的住宅地价变动具有明显的连续上涨和持续下跌的特征。

图1. 2004年~2018年住宅用地季度地价指数

4.2. Hurst指数测算

运用数学软件，根据R/S分析法，对上述数据进行处理，得到R/S值处理结果，如表1所示。

表1. R/S值和V_N统计量

对R/S值采用OLS进行回归分析，拟合分析结果如图2所示。回归结果为：y = 0.7727x − 0.219，R² = 0.9615，拟合效果较好，其中H = 0.7727 > 0.5。表明南京市季度住宅地价指数存在明显的正持续性。

图2. 地价指数R/S分析

运用公式(7)计算V_N统计量如表1所示，汇总V_N统计量相对于logN的变化趋势图，如图3所示。结果表明，突变点V_N = 1.5924，对应N = 15，表明南京市住宅地价指数的平均循环周期长度为15个季度，即3.75年。

图3. 地价指数V_N统计量

4.3. 分形模型预测

1) 分形模型

分形分布通常定义为：

$N=\frac{C}{x^D}$ (8)

式中：N为样本值；C为常数；x为特征线度；D为分维数。此分形称为常维分形，在双对数坐标上是一条直线。通过直线上的任两点(x_i, N_i)和(x_j, N_j)，就可确定分维数D和常数C。

$$ (9)

(10)

在实际应用中，在双对数坐标上数据点并不为直线的函数关系，上述分形方法就无法实施，此时常采用累加和变换的方法，将{N_i}作为基本列，求各阶累加和数列，即有：

一阶累加 $\left\{{S^{\prime }}_i\right\}=\left\{N_1,N_1+N_2,N_1+N_2+N_3,\cdots \right\}$，

二阶累加 $\left\{{S^{″}}_i\right\}=\left\{{S^{\prime }}_1,{S^{\prime }}_1+{S^{\prime }}_2,{S^{\prime }}_1+{S^{\prime }}_2+{S^{\prime }}_3,\cdots \right\}$，

三阶累加 $\left\{{S^{‴}}_i\right\}=\left\{{S^{″}}_1,{S^{″}}_1+{S^{″}}_2,{S^{″}}_1+{S^{″}}_2+{S^{″}}_3,\cdots \right\}$，

……

确定相应各阶累加和数列的分维D，取分形分布拟合结果较好的累加和数列 $\left\{S_i^j\right\}$ 作为模拟及预测数列 [19] [20] 。

2) 模型预测

本文选取2012年第2季度至2018年第4季度的南京市住宅地价指数数据进行处理分析。对地价指数时间序列进行三次累加和变换，其序列分别设定为现序列N，一阶序列 $S^{\prime }$，二阶序列 $S^{″}$，三阶序列 $S^{‴}$，结果如表2所示。

表2. 地价指数序列及累加结果和分维值统计

根据地价指数序列及累加结果，采用公式(9)，分别计算各序列的分形维数，结果如表2所示。根据表2可知，一阶序列 $S^{\prime }$ 散点图近似呈一条直线，见图4，而现序列N散点图为起伏较大曲线，二阶序列和三阶序列 $$ 散点图为指数曲线，总体上一阶序列较为稳定，并且分形维数较为接近，因此一阶序列分形分布拟合效果较好，可作为预测数列。

图4. 一阶序列散点图

在一阶序列中，从序号25~31，分形维数 $D^{\prime }$ 介于−0.984~−0.987，非常接近，故取此7个点的分形维数的平均值作为分形维数，设为D，则D = −0.985，根据公式(10)，则C = 106.577。把C、D带入公式，则 ${S^{\prime }}_i=106.577/x_i^{-0.985}$，把x = 26、27、28、29、30和31带入此公式，则 ${S^{\prime }}_{26}=2638.835$；${S^{\prime }}_{27}=2738.778$；${S^{\prime }}_{28}=2838.665$；${S^{\prime }}_{29}=2938.499$；${S^{\prime }}_{30}=3038.281$；${S^{\prime }}_{31}=3138.013$，通过公式 $N_i={S^{\prime }}_i-{S^{\prime }}_{i-1}$，测得各自的预测值，见表3。根据表3，可知实际值与预测值之间的残差很小，其平均值仅为0.0244，预测结果较为理想。据此可预测，2019年1季度至4季度的南京市住宅地价指数的值分别为99.68、99.64、99.59和99.55，总体上2019年住宅地价较为平稳，略有下降。

表3. 预测值与实际值比较表

4.4. 指数分形机理分析

地价波动的分形特征和地价变动的周期性，都说明了地价变动的自相似性，此说明两者本质上是相同的，2004~2018年期间主要在以下因素作用下，南京市住宅地价产生周期性波动，具有分形特征。

① 经济因素。南京市GDP由2004年2067.18亿元增加到2017年11715.10亿元，年均增长率14.28%；城镇可支配收入由2004年11601.68元增加到2017年54,538元，年均增长率12.64%。经济增长，人均可支配收入增速，购房购买力提升，刺激了房地产开发用地需求，促进住宅地价的增长。

② 城市建设和城镇化。南京市城市建设发展迅猛，城镇化进程稳步推进，南京市常住人口由2004年583.6万人增加到2017年833.5万人，年均增长2.78%；城镇化率由71.7%增加到82.29%。随着城镇人口的不断增长，形成住宅用地需求与住宅地价的正向循环。

③ 房地产发展。南京市房地产开发投资额由2004年292.88亿元增加到2017年2170.21亿元，年均增长率16.66%。房地产市场快速发展，推动了南京市房价的持续快速增长，刺激土地需求的增长，进而带动住宅地价的抬升。

④ 宏观调控政策。2004年主要为紧缩“银根”和“地根”。2005、2006年主要为稳定房价和调整住房供应结构。2007年主要控制房价过快上涨。受国内外复杂经济环境影响，2008年实施前紧后的松信贷政策。2009年主要为“保增长、扩内需”。2010-2013年“国十一条”、“新国八条”和“新国五条”相继出台，南京市住房限购、限贷政策颁布。2014、2015年坚持“促消费、去库存”。2016年房地产政策逐步收紧，南京市限购、限贷政策再出台。2017年开启限购、限贷、限价和限售的“四限模式”。2018年以房住不炒为原则，加强多渠道住房供应。以上政策的实施，对南京市住宅地价产生重大影响 [21] [22] 。

总体上讲，地价波动主要受经济运行、城市建设和城镇化、房地产业发展和宏观调控等因素影响，上述因素中，有推动地价上涨的因素，也有平抑地价涨幅的因素，同一因素在不同时期时为推动因素，时为平抑因素，如政策因素，在2008~2009年期间受国际金融危机影响，土地市场低迷，此时政策因素阻滞地价下降，其他情况下平抑地价涨幅。在上述复杂因素影响下，南京市地价变动呈现较为明显的周期性波动，形成地价变动的自相似性，具有分形特征。

5. 结论与建议

5.1. 结论

1) 南京市住宅用地地价指数具有明显的分形特征，H = 0.7727 > 0.5，具有较强的正持续及持久性。现实情况与之较为吻合，土地市场经常呈现地价的连续上涨或持续下跌。

2) 南京市住宅地价指数的平均循环周期长度为15个季度，即3.75年。即住宅地价变化趋势的“记忆期”约为3.75年，但超过该年限时，历史地价指数对后期的市场影响较小。

3) 运用分形模型进行地价指数预测具有一定的指导性，但较为适用于短期的地价指数预测，主要由于该模型对预测点附近的数据依赖性较大，故对长期的地价指数预测误差较大。

5.2. 建议

建议政府采取如下措施，推动土地市场健康发展。① 通过住宅地价指数分形特征研究，可准确地把握地价波动的趋势，并及时做出预警。针对土地市场周期性波动的风险，可采用一系列的反周期策略进行预防控制 [23] [24] 。② 地产业与其他相关产业关联性较强，因此土地市场的调控，必须采用房产、金融、税收政策等经济手段及必要的行政手段进行适当干预，促进住宅地价稳定。

基金项目

国家自然科学基金重点项目(41430635)。

文章引用

张增峰,陆玉麒,曹天邦,董平. 南京市住宅地价指数分形特征研究
Research on Fractal Characteristics of Residential Land Price Index in Nanjing[J]. 统计学与应用, 2019, 08(03): 440-448. https://doi.org/10.12677/SA.2019.83048

参考文献