ABSTRACT

Let $G$ be a transitive subgroup of $S_{14}$ which is a wreath product. For any field $k$ , $G$ acts on the rational function field $k\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{14}\right)$ via k-automorphisms defined by $\sigma \left(x_i\right)=x_{\sigma \left(i\right)}$ , for any $\sigma \in G$ , any $1\le i\le 14$ . We will show $k\left(G\right)=k{\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{14}\right)}^G$ is k-rational.

Keywords:Transitive Subgroup, Rationality Problem, k-Rational

有理性问题的一点注记

王国淇

北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京

收稿日期：2017年12月8日；录用日期：2018年1月9日；发布日期：2018年1月16日

摘 要

设群 $G$ 为 $S_{14}$ 的传递子群，其为两个群的圈积。令 $k$ 为任意域， $G$ 在有理函数域 $k\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{14}\right)$ 上的作用定义为 $\sigma \left(x_i\right)=x_{\sigma \left(i\right)}$ ，对任意的 $\sigma \in G$ ， $1\le i\le 14$ 。我们将证明 $k\left(G\right)=k{\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{14}\right)}^G$ 是k-有理的。

关键词 :传递子群，有理性问题，k-有理的

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1. 引言

自从诺特在1916年发表的一片文章《Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe》里提出的关于域扩张的有理性问题以来，人们就在这个问题上做了各方面的研究，并取得了很大进步。所谓的有理性问题是说，在给定的群 $G$ 和有理函数域 $k\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的情形下，让群 $G$ 通过忠实的置换作用在集合 $\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ 上，得到的不变域 $k{\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^G$ 相对于基域k的扩张是不是k-有理的(即纯超越的) [2] 。部分学者考虑了不同的域和不同的群作用下的有理性问题，并且取得了很大的进展。本文主要研究当群 $G$ 为表1中的群时的有理性问题。

2. 相关定理

本文所研究的 $S_{14}$ 的传递子群及其生成元如表1所示：

生成元为：

$\begin{array}{l}a=\left(1,3,5,7,9,11,13\right)\left(2,4,6,8,10,12,14\right)\\ c=\left(1,8\right)\left(2,9\right)\left(3,10\right)\left(4,11\right)\left(5,12\right)\left(6,13\right)\left(7,14\right)\\ d=\left(1,3,5,7,9,11,13\right)\\ g=\left(1,8\right)\\ n=\left(3,13\right)\left(5,11\right)\left(7,9\right)\end{array}$

下面我们列出一些将要用到的结论。

定理2.1 [3]

当 $n=7$ ，设 $G$ 为 $S_7$ 的传递子群，且 $G$ 不同构于 $PS{L}_2\left(7\right)$ ，则 $k{\left(x_1,\cdots ,x_7\right)}^G$ 是k-有理的；若 $G$ 同构于 $PS{L}_2\left(7\right)$ ，且 $\mathbb{Q}\left(\sqrt{-7}\right)\subset k$ ，那么 $k{\left(x_1,\cdots ,x_7\right)}^G$ 是k-有理的。

定理2.2 [4]

设k是一个域， $n\le 46$ ，且8不整除n，则 $k\left(C_n\right)$ 是k-有理的。其中 $C_n$ 表示 $n$ 阶循环群。

定理2.3 [5]

设k是一个域， $G\subset S_m,H\subset S_n$ ，定义 $W=G\wr H$ ，则 $W$ 可以看做 $S_{mn}$ 的子群。若 $k{\left(x_1,\cdots ,x_m\right)}^G$ 和 $k{\left(y_1,\cdots ,y_n\right)}^H$ 是k-有理的，则 $k{\left(z_1,\cdots ,z_{nm}\right)}^W$ 是k-有理的。

表1. S₁₄的传递子群

注： $G_j$ 表示文献 [1] 中 $S_{14}$ 的第 $j\left(j=8,20,29\right)$ 个传递子群。

3. 主要定理

我们给出本文的主要结果及其证明。

定理：设 $k$ 为任意域，若 $G$ 为表1中的任意一个群，则 $k{\left(x_1,\cdots ,x_{14}\right)}^G$ 是k-有理的。

证明：根据表1中生成元的特点，对于 $G_8$ 和 $G_{29}$ ，我们有 $C_2\subset S_2$ ， $C_7\subset S_7$ ，且由定理2.2知 $k\left(C_2\right)$ 和 $k\left(C_7\right)$ 是k-有理的，再由定理2.3知 $k{\left(x_1,\cdots ,x_{14}\right)}^G$ 是k-有理的。至于 $G_{20}$ ，由于 $D\left(7\right)$ 由 $d,n$ 生成，从而 $D\left(7\right)$ 是 $S_7$ 的传递子群，根据定理2.1知 $k{\left(x_1,\cdots ,x_7\right)}^{D\left(7\right)}$ 是k-有理的，且 $k\left(C_2\right)$ 是k-有理的，最后根据定理2.3知结论成立。

文章引用

王国淇. 有理性问题的一点注记
A Note on Rationality Problem[J]. 应用数学进展, 2018, 07(01): 7-9. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.71002

参考文献 (References)