Advances in Applied Mathematics
Vol.
09
No.
11
(
2020
), Article ID:
38571
,
6
pages
10.12677/AAM.2020.911217
正交及等距反射向量在lp空间的应用
吴思远*,计东海
哈尔滨理工大学理学院,黑龙江 哈尔滨
![](http://html.hanspub.org/file/2-2621356x1_hanspub.png)
收稿日期:2020年10月16日;录用日期:2020年11月5日;发布日期:2020年11月12日
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摘要
在本文中,我们首先考虑有限维赋范线性空间中的正交基在lp空间与Birkhoff正交的相关联系,其次考虑等距反射向量和L2被加项向量在具体的lp空间中的联系以及当扩展到Hilbert空间中的一些性质变化。
关键词
Birkhoff正交,等腰正交的超平面,Roberts正交,正交基,线性赋范空间
Application of Orthogonal and Isometric Reflection Vectors in lp Space
Siyuan Wu*, Donghai Ji
School of Science, Harbin University of Science and Technology, Harbin Heilongjiang
Received: Oct. 16th, 2020; accepted: Nov. 5th, 2020; published: Nov. 12th, 2020
ABSTRACT
In this paper, we first consider the relationship between the orthogonal basis in the finite-dimensional normed linear space and the Birkhoff orthogonality in the lp space, and then consider the relationship between the isometric reflection vector and L2-summand vectors in the specific lp space and some property changes when it is extended to Hilbert space.
Keywords:Birkhoff Orthogonality, Isosceles Orthogonal Hyperplane, Roberts Orthogonality, Orthonormal Basis, Normed Linear Space
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. Bi正交在lp空间的应用
在本文中,我们将关注Birkhoff正交。假设X为赋范线性空间且 。若对于任意的 ,都有 ,那么就称作x Birkhoff正交于y,记为 。M和N是X的两个子空间,若对于任意的 且 ,都有 ,则称M Birkhoff正交于N,记为 。特别地, 和 被分别简记为 和 。又Birkhoff正交总是齐次的,即 意味着对于任意的实数 和 都有 。然而,Birkhoff正交通常不是对称的,即 并不意味着 。一个维数大于或等于3的实赋范线性空间为内积空间当且仅当Birkhoff正交是对称的 [1] [2]。更多有关Birkhoff正交的细节可见 [1] - [6]。
若满足 ,则称 上的一个范数 是标准的。记 为 上所有标准范数的全体。在以往的文献 [7] 中,已表明每个n维赋范线性空间都是与拥有标准范数的 空间是等度同构的。若 ,结果可参考文献 [8]。它在本质上基于文献 [4] 中的以下结论:
对于每个有一组基 的n维赋范线性空间X,对于所有的 ,有
,
然而,如前所述, 与 并不等价。因此,考虑满足以下条件的一组基 :
对于所有的 ,有
,
当满足条件 时,我们称n维赋范线性空间的一组基 是 正交的,当其满足 正交且标准,即 时,称其为 标准正交的。
假设1.1 设X是n维赋范线性空间且 是X的一组标准基。那么,就有以下等价关系:
(i) 是 标准正交的;
(ii) 不等式
对所有 都成立。
证明仅考虑对于每一个 , 当且仅当
对于所有 都成立。显然,(i)和(ii)等价。
假设1.2 设X是一个n维赋范线性空间且 是X的一组标准基。那么,就有以下等价关系:
(i) 是 标准正交的;
(ii) 不等式
对所有 都成立。
证明设 。由于 当且仅当
对于所有 都成立。于是可得(i)与(ii)等价。
接下来考虑条件 和 之间的关系。下述引理是条件 的重要特性描述。其证明易得,故省略。
引理1.3 设 是n维赋范线性空间的一组 正交基,那么
对于所有 都成立。
这意味着如果 是 正交的,X上的任意自然投影都有范数1。那么, 标准正交基可被视为一维无条件基的有限维版本。
由前述引理,可以直接得出以下结论。
定理1.4 令X是n维实赋范线性空间。假设 是X的范数基。有以下成立:
(i) 若 是 正交的,则它也是 正交的;
(ii) 在 空间, 是 正交,同时也是 正交的。
但在 空间, 正交则不能推出 正交,有以下证明:
我们的目的是证在 空间中, 无法推得 。
证明 是 中的一组标准单位向量,赋予 上的范数,
时, 显然成立。
对于 ,因此 满足 正交条件。
然而
因此 不满足 正交条件,因此得出结论,在 空间中 正交无法推出 正交。
2. 等距反射向量和正交性在空间上的表示
下面,我们讨论等距反射向量和空间之间的联系。
X上的反射是一个定义如下的运算:
,,,并且 。
令x是 中的一个点,如果存在着点 ,使得映射 是一个等距映射,那么则称x是一个等距反射向量,并且 称为一致等距反射函数。
对于任意的等距反射向量x,都存在着唯一的 与之对应 [9]。在研究等距反射向量和Roberts正交关系中,有以下引理证明:
引理 2.1 假设X是一个实Banach空间, ,,且 是一个反射。那么, 是一个等距反射当且仅当 成立。
引理 2.2 若 是 的光滑点,那么x是一个等距反射向量,因此,x Roberts正交于一个超平面。
由引理2.1的证明就足以表明x Roberts正交于一个超平面。由于x是一个光滑点,因而存在一个唯一的超平面H使得 。
接下来我们将证明 :
对于任意一个向量 ,存在一个单位向量 ,使得
由 得出 ,可知
又因为x是一个光滑点,总有
或
成立。
因此
的情况可以忽略不计。
假设M是X的一个闭的子空间。若存在X的另一个闭子空间N使得 且对每一对 和 的点,都有等式
(1)
成立。
那么M就被称作是一个L2被加项子空间 [10]。需注意到当M是一个L2被加项子空间时,N是唯一且确定的。
设x为X中的一个点,若由x张成的子空间是一个L2被加项子空间,那么x就被称为L2被加项向量。
定理 2.3 令X为 空间,那么X是Hilbert空间的充分必要条件是: 中的 的相对内部非空。
证明反证法如果X是一个Hilbert空间,因此有等腰正交和Roberts正交是一致的,则有
现假设 上的 的相对内部记为Q,它是非空的。通过文献 [9] 中的定理2.2,有Q中的每一个点x都是等距反射向量。
由引理2.2可知,我们需让Q中的每一个点都是光滑点。
,假设x不是光滑点,存在一个二维子空间Y,使x不是 中的光滑点。令 ,假设 。
因为x是Q的相对内部中的点,它也是 的相对内部的点。因此,存在两个点,w和v,
不失一般性, , 是光滑点。存在 ,,使
,
的支撑线与穿过u的线相交,并且平行于 。
且 。
存在 和
,
不失一般性,假设存在两个点M和N,
,
因为 是一个闭的凸曲线, ,
,
因为x不是光滑点, ,由Roberts正交可推出Birkhoff正交。
,
,
因此
,
因为 ,有
,
根据等腰正交在单位圆上的唯一性,这是矛盾的,所以可知x是光滑点。
3. 结论
本文解决了Birkhoff正交在lp空间上与正交基相关联的一些问题,为了进一步刻画,考虑了B1正交和B2正交在有限赋范线性空间上的关系。除此之外,得出了等距反射向量和L2被加项向量从lp空间扩展到Hilbert空间上的一些性质变化。
文章引用
吴思远,计东海. 正交及等距反射向量在lp空间的应用
Application of Orthogonal and Isometric Reflection Vectors in lp Space[J]. 应用数学进展, 2020, 09(11): 1887-1892. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.911217
参考文献
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NOTES
*通讯作者。