永州市造纸厂，湖南 永州

收稿日期：2024年4月13日；录用日期：2024年5月8日；发布日期：2024年5月14日

摘要

对“3x + 1”问题，通过[x]法、逆[x]法及其性质，确立[x]数，进行论证说明“3x + 1”问题。

关键词

“3x + 1”，[x]法，[x]数，[x]数树枝

Inference about the Issue of “3x + 1”

Bangsui Yang

Yongzhou Paper Mill, Yongzhou Hunan

Received: Apr. 13^th, 2024; accepted: May 8^th, 2024; published: May 14^th, 2024

ABSTRACT

For the “3x + 1” problem, using [x] method, inverse [x] method and their properties, this paper establish the number of [x], and provide arguments to explain the issue of “3x + 1”.

Keywords:“3x + 1”, [x] Method, [x] Number, Branches of [x] Number

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1. 引言

“3x + 1”问题是20世纪30年代在世界各地流传的数学推算问题：一个自然数，如果是偶数，则除以2；如果是奇数，则乘以3加1，循环往复，最后得到的结果必是1 [1] 。1950年德国数学家卡拉兹(Callatz)在马萨诸塞州召开的国际数学家大会上提出来“3x + 1”问题 [2] ，也称为“乌拉姆问题”或“角谷猜想”。

2. 定义

(一) 定义1

任意正整数，若它是偶数便用2ⁿ去除使其成奇数，若它是奇数便将它乘以3后加上1，又用2ⁿ去除使其成奇数，这种方法称为“[x]法”；将一个奇数乘以2ⁿ后减去1，再用3去除，若其结果是奇数的话，称这种方法为“逆[x]法”。

(二) 定义2

一个正整数使用[x]法后将其得数再使用[x]法，照这样继续下去最后的结果是1的话，称这个数为“[x]数”；一个正整数对它使用[x]法后将其结果再使用[x]法……，反复对其使用[x]法后的结果永远都大于1，则称这个数为“非[x]数”。

3. 性质

(一) 性质1

由 $\left(4\alpha +1\right)\times 3+1=4\left(3\alpha +1\right)$ 知：任一正奇数用[x]法处理一次后的结果与这个数的4倍加1后用[x]法处理一次后的结果是相同的。

推论：

由性质1和[x]数的意义有：①若一个数是[x]数，对它使用[x]法和逆[x]法后的结果都是[x]数；②若一个非[x]数对它使用[x]法和逆[x]法后的结果也是非[x]数；③若一个正奇数是[x]数，将它乘以2ⁿ后，仍然是[x]数。

(二) 性质2

若对 $\alpha$ 使用[x]法一次后的结果为b，写作“ $\alpha \to b$ ”且b是唯一的得数，我们称它为[x]法的“唯一性”(以上 $\alpha$ 、b为正奇数，n为正整数，下同)。

(三) 性质3

将正奇数数列：1、3、5、……，2n − 1中从第一项起，通过间隔一项，再取一项的方法，从而组成一数列，余下的项也组成一数列，有：

1、5、9、……、4n − 3 (1)

3、7、11、……、4n − 1 (2)

由 $\left(4n-3\right)\times 3+1=4\times \left(3n-2\right)$ 和 $\left(4n-1\right)\times 3+1=2\times \left(6n-1\right)$ 知，(1)式中任一个数的3倍加上1后，皆能被4整除；而(2)式中任一个数的3倍加上1后，只能被2整除，而不能被4整除。

(四) 性质4

已知 $3^{\alpha }\times 2^n-1$ 不能被3整除，由定义1可知，被3整除的奇数不能使用逆[x]法。从而，易证不能被3整除的奇数可以使用逆[x]法。

(五) 性质5

[x]数的树枝现象：将正奇数从小到大依次用[x]法处理，在这些繁杂的得数中，若有相同的数，只留一个，且用“→”连结，这些用“→”连结的数便像一棵树一样，如下图1所示 [3] ：

图1. [x]数的树枝现象示意图

$5=\left(4^2-1\right)/3$ 、 $5\times 4+1=21=\left(4^3-1\right)/3$ 、……、 $\left(4^{1+j}-1\right)/3$ (其中j是自然数)。

由上图可得几点重要性质，列举如下：

(1) 在“ $\alpha \to b$ ”中当 $\alpha$ 不能被3整除且 $b>1$ 时， $\alpha$ 、b都是称这棵树的“栉”、“→”称作有向[x]线；(或者叫“枝”)。任一[x]数使用[x]法后的得数又被使用[x]法，……，其中到达最终数字1的有向[x]线是唯一的。

(2) 图中最底部1是这棵树的根，由根生出许多主枝，这些主枝中的第一个数(栉)依次为：5、21、85、……、 $\left(4^{2+j}-1\right)/3$ ，由唯一性，知这些主枝之间不可能有“连理枝”。

(3) 由性质4我们便将能被3整除的数称为树枝的末梢数。

(4) 图中最底部1是这棵树的根，它与其它的数不同的是将1使用[x]法一次后的结果仍然是它本身1。而大于1的奇数在使用[x]法一次后的结果，不一定是它本身(有大有小也有可能等于1)。

4. 构想、定理以及其说明

(一) 构想

一个命题(或定理)虽然它的真实性和非真实性都无法证明，但如果能证明其有无限多个[x]数的真实性存在时，则对其视为成立。

(二) 定理

所有正整数都是[x]数。

(三) 分析说明

由推论知，只须证明所有正奇数都为[x]数即可。然而无法证明[x]数的真实性，通过观察[x]数的树枝图我们也可以把它看成是由根1不断使用逆[x]法来完成的，由推论知，图中的每一个数都是[x]数，主枝上的[x]数有无限多个，在这些数中，除了能被3整除外，同时又可以使用逆[x]法，且知其结果也是[x]数，如用同上方法继续计算，又可得无限多个[x]数，但在[x]数树枝图中，数是否包括整个正奇数，这无法判断。由性质2中的“唯一性”知，要判断一个正奇数是否是[x]数，只能将其不断使用[x]法，通过观察其最后结果是否等于1才可判断，然而正奇数有无限多个，要逐一用上述方法去判断，其是否为[x]数，这难以完成。

由上述分析，可知正奇数中有无限多个[x]数存在，再由推论以及“构想”知定理，故推得“3x + 1”为真。

文章引用

杨邦绥. 关于“3x 1”问题的推证
Inference about the Issue of “3x 1”[J]. 应用数学进展, 2024, 13(05): 1933-1936. https://doi.org/10.12677/aam.2024.135181

参考文献