上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2023年4月21日；录用日期：2023年5月22日；发布日期：2023年5月29日

摘要

随着金融市场的蓬勃发展，Black-Scholes公式得到了广泛研究，我们考虑在G-期望框架下，对于G-布朗运动和G-跳过程共同驱动的线性随机微分方程，由G-伊藤公式和泰勒公式，严格得到了Black-Scholes公式并给出了证明。

关键词

Black-Scholes方程，G-期望，G-Lévy过程，G-伊藤公式

Black-Scholes Formula for G-Lévy Process under G-Expectation Framework

Hong Zheng, Yang Li

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Apr. 21^st, 2023; accepted: May 22^nd, 2023; published: May 29^th, 2023

ABSTRACT

With the rapid development of the financial market, Black-Scholes formula has been widely studied. We consider that under the G-expectation framework, for the linear stochastic differential equation driven by G-Brownian motion and G-jump process, the Black-Scholes formula is strictly obtained and proved by G-Ito formula and Taylor formula.

Keywords:Black-Scholes Equation, G- Expectation, G-Lévy Process, G-Ito Formula

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

在过去的30年里，随机过程在数学金融的应用中得到了广泛的研究，除了随机过程的随机性外，还具有波动不确定性，这意味着波动率不是精确已知的，2007年，Peng [1] 引入了特殊的新的次线性期望——G-期望，G-期望是由生成元函数为G的非线性抛物型偏微分方程的解定义的，他在G-期望框架下定义了G-正态分布和G-布朗运动，G-布朗运动非平凡地推广了经典运动。简而言之，G-布朗运动是在给定次线性期望下，具有独立且平稳增量的连续过程，可来模拟这种波动不确定性。自2007以来，G-期望和G-布朗运动相关理论取得了重大进展。2008年，Peng [2] 证明了次线性期望下的大数定律和中心极限定理，并定义了关于G-布朗运动的伊藤积分。之后，Peng [3] 得到了G-伊藤公式，证明了G-布朗运动驱动的随机微分方程(简称G-SDEs)和G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程(简称G-BSDEs)解的存在唯一性。此后，G-期望空间和G-伊藤积分的应用得到了许多研究者的广泛研究。Yang和Zhao [4] 介绍了G-期望下的G-布朗运动和G-正态分布的模拟，Chai [5] 研究了G-框架下随机微分方程的期权定价问题。虽然G-布朗运动解决了许多金融问题，但一些依赖莱维过程的金融模型仍然没有解决。因此，Peng和Hu [6] 研究了G-莱维过程，这是G-布朗运动的推广。Krzysztof [7] 对G-莱维过程引入了G-伊藤公式和G-鞅表示。王 [8] 研究了G-期望下的G-Jensen不等式。王 [9] 研究比较定理与G-期望下的亚洲期权定价。康 [10] 研究了G-期望下的布朗运动鞅表示定理。

20世纪70年代，随着金融市场的飞速发展，金融领域的定价问题广泛引起人们的兴趣。而期权定价问题的研究更是受人关注，特别是Black和Scholes得出欧式看涨期权的显示解。布莱克–斯科尔斯定价公式得到广泛应用，但是定价公式本身的一些假设与现实存在一定出入。随后，著名的布莱克–斯科尔斯公式受到了许多学者的重视。1976年，在假设利率为常数的条件下，Merton [11] 提出了股票价格的对数跳扩散模型，该模型被描述为布朗运动和复合泊松过程的结合。自此，关于带跳扩散的其它期权方面的研究也屡见不鲜。而随着G-期望的迅速发展，G-框架下的欧式期权定价公式也得到了众多学者的关注，2010年，Xv [12] 等人给出了G-几何布朗运动描述的资产价格变动，得到了欧式看涨期权定价公式。2014年，Lu和Liu [13] 利用G-几何布朗运动描述的资产价格变动，进而得到G-框架下的欧氏幂期权的定价公式。2021年，Xin和Zheng [14] 给出了G-莱维下的布莱克–斯科尔斯定价公式，并给出相关模拟。关于G-期望下的数值模拟的更多细节可参考 [15] 及其参考文献。

本文主要对G-期望下的相关理论做了进一步的研究，我们考虑股票价格 $S_t$ ，令：

$\text{d}{S}_t=a\left(t\right)S_t\text{d}t+b\left(t\right)S_t\text{d}{B}_t+c\left(t,e\right)S_t\text{d}{N}_t,t\in \left[0,T\right],$

其中 $a\left(t\right)$ 是利率， $b\left(t\right)$ 是波动率， $c\left(t,e\right)$ 是资产价格的跳跃范围，在G-框架下， $W_t$ 是G-布朗运动， $N_t$ 是G-Lévy过程。

本文其它部分构成如下：在第二节中，我们给出G-期望框架下的相关概念，第三节中我们对G-Lévy过程下提出的Black-Scholes方程定理，并进行证明，最后，我们对我们的成果进行了总结。

2. 预备知识

G-随机分析

本章中，主要给出G-随机分析的一些基本相关知识，设 $\Omega$ 为给定集合，设 $\mathcal{H}$ 为 $\Omega$ 上定义的实值函数的线性空间，假设对于任意的常数C满足 $C\in \mathcal{H}$ ，如果 $X\in \mathcal{H}$ ，则 $\left|X\right|\in \mathcal{H}$ ，空间 $\mathcal{H}$ 被看作是一个随机变量组成的线性空间。

定义2.1.1 [3] (次线性期望)一个非线性期望 $\mathbb{E}$ 是定义在随机变量空间 $\mathcal{H}$ 上，并满足以下条件的一个泛函 $\mathcal{H}\mapsto ℝ$

单调性： $\mathbb{E}\left[X\right]\ge \mathbb{E}\left[Y\right]$ ，如果 $X,Y\in \mathcal{H}$ 且 $X\ge Y$ 。

保常性： $\mathbb{E}\left[C\right]=C,\forall C\in ℝ$ 。

次可加性： $\mathbb{E}\left[X+Y\right]\le \mathbb{E}\left[X\right]+\mathbb{E}\left[Y\right]$ ， $\forall X,Y\in \mathcal{H}$ 。

正齐次性：。

$\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 被称为次线性期望空间。

定义2.1.2 [3] (分布函数)设 $X=\left(X_1,\cdots ,X_n\right)\in \left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 。在 $C_{l,Lip}\left({ℝ}^n\right)$ 上设 ${\mathbb{F}}_X$ ：

${\mathbb{F}}_X\left[\phi \right]:=\mathbb{E}\left[\phi \left(X\right)\right],$

其中 $\mathbb{E}\left[\phi \left(X\right)\right]:\phi \in C_{l,Lip}\left({ℝ}^n\right)\to \left(-\infty ,+\infty \right)$ ，我们称 ${\mathbb{F}}_X$ 为随机变量X的分布函数。

定义2.1.3 [3] (同分布)设 $X_1\in \left({\Omega }_1,{\mathcal{H}}_1,{\mathbb{E}}_1\right)$ 和 $X_2\in \left({\Omega }_2,{\mathcal{H}}_2,{\mathbb{E}}_2\right)$ ，当且仅当

${\mathbb{E}}_1\left[\phi \left(X_1\right)\right]={\mathbb{E}}_2\left[\phi \left(X_2\right)\right],\forall \phi \in C_{l.Lip}\left({ℝ}^n\right),$

记作 $X_1\sim X_2$ 。

定义2.1.4 [3] (相互独立)设 $X=\left(X_1,\cdots ,X_m\right)\in \left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ ， $Y=\left(Y_1,\cdots ,Y_n\right)\in \left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ ，称X与Y独立，当且仅当

$\mathbb{E}\left[\phi \left(X,Y\right)\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}{\left[\phi \left(x,Y\right)\right]}_{x=X}\right],\forall \phi \in C_{l.Lip}\left({ℝ}^m\times {ℝ}^n\right).$

定义2.1.5 [3] (G-正态分布)在 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上，记随机变量X服从标准G-正态分布，其中 $X~N\left(0,\left[{\underset{\_}{\sigma }}^2,{\bar{\sigma }}^2\right]\right)$ ，若满足

$aX+b\bar{X}\sim \sqrt{a^2+b^2}X,\forall a,b\ge 0,$

这里 $\bar{X}$ 是独立于X的随机变量. 其中 ${\bar{\sigma }}^2=\mathbb{E}\left[X^2\right]$ ，并且 ${\underset{\_}{\sigma }}^2=-\mathbb{E}\left[-X^2\right]$ 。

这里字母G表示函数

$G\left(\alpha \right):=\frac{1}{2}\mathbb{E}\left[\alpha X^2\right]=\frac{1}{2}\left({\bar{\sigma }}^2{\alpha }^{+}-{\underset{\_}{\sigma }}^2{\alpha }^{-}\right):ℝ\to ℝ,G(\cdot ):=S\left(d\right)\to ℝ$

其中是单调的线性泛函， $S\left(d\right)$ 表示由d维对称矩阵构成的集合，则存在有界闭凸子集 $\sum \subset S_{+}\left(d\right)=\left\{\theta \in S\left(d\right),\theta \ge 0\right\}$ ，使得

$G\left(A\right)=\frac{1}{2}\underset{B\in \sum }{\sup }\left(A,B\right),A\in S\left(d\right).$

下面我们给出G-布朗运动的定义。

定义2.1.6 [3] (G-布朗运动)设 ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 是定义在 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上的一个d维过程，满足下列性质

1) $B_0\left(\omega \right)=0$ ；

2) $\forall t,s\ge 0$ ， $B_{t+s}-B_t$ 和 $B_s$ 是同分布的， $B_{t+s}-B_t$ 独立于 $\left(B_{t_1},B_{t_2},\cdots ,B_{t_n}\right)$ ， $\forall n\in N$ $0\le t_1\le t_2\le \cdots \le t_n\le t$ ；

3) $\mathbb{E}\left[B_t\right]=\mathbb{E}\left[-B_t\right]=0$ 和 $\underset{t\to 0}{\lim }\mathbb{E}\left[{\left|B_t\right|}^3\right]t^{-1}=0$ ；

则 ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 为G-布朗运动。

注：记新的G-布朗运动 $B_s^a=\left(a,B_s\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_i{B}_s^i}$ ，其中 $a={\left(a_1,\cdots ,a_m\right)}^{\text{T}}$ ， $B_s={\left(B_s^1,\cdots ,B_s^m\right)}^{\text{T}}$

定义2.1.7 [3] (G-Lévy过程)设 ${\left(G_t\right)}_{t\ge 0}$ 为次线性期望空间 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上的d维可料过程。如果 $G_t$ 满足以下性质，则称 $G_t$ 为G-Lévy过程。

$G_0=0$ ；

独立增量： $\forall t,s\ge 0$ ，增量 $G_{t+s}-G_t$ 是独立的；

平稳增量：增量 $G_{t+s}-G_t$ 的分布是稳定的，不依赖于t；

对于每个 $t\ge 0$ ， $G_t=G_t^c+G_t^d$ ， $G_t^c$ 是个连续过程， $G_t^d$ 是个跳过程；

两个过程 $G^c$ 和 $G^d$ 满足以下条件 $\underset{t\to 0}{\lim }\mathbb{E}\left[{\left|G_t^c\right|}^3\right]t^{-1}=0$ ， $\underset{N\to \infty }{\lim }\mathbb{E}\left[\left|G_t^d\right|\wedge N\right]\le Ct$ ，对所有的 $t\ge 0$ 。

引理2.1.1 [3] (G-伊藤公式)假设 $B_t$ 是m维G-布朗运动。设 $g\in C^2\left({ℝ}^d\right)$ 是有界的，导数也是有界的，并且 $\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^i\partial x^j}$ 是一致的Lipschitz函数。 $s\in \left[0,T\right]$ 是给定的， $X_t^i$ 是 $X_t={\left(X_t^1,\cdots ,X_t^d\right)}^{\text{T}}$ 的第i个分量

$X_t^i=X_0^i+{\displaystyle {\int }_0^t{a}_s^i}\text{d}s+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^t{\eta }_s^{i,j}}}\text{d}{\langle B\rangle }_s^j+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_s^{i,j}}}\text{d}{B}_s^j+{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}c}}\left(e,s\right)N\left(\text{d}e,\text{d}s\right),$

其中 $a^i$ 是 $a={\left(a^1,\cdots ,a^d\right)}^{\text{T}}$ 的第i个元素， ${\eta }^{i,j}$ 和 ${\sigma }^{i,j}$ 分别是是 $\eta ={\left({\eta }^{i,j}\right)}_{d\times m}$ 和 $\sigma ={\left({\sigma }^{i,j}\right)}_{d\times m}$ 的第i行、第j列元素。设 $B_t=\left(B_t^1,\cdots ,B_t^m\right)$ 是m维G-布朗运动和 $N_t$ 是G-Lévy跳过程，我们有

$\begin{array}{l}g\left(X_t\right)-g\left(X_0\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{d}{\sum }}\left[{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\partial g}{\partial x^i}}\left(X_s\right)a_s^i\text{d}s+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\partial g}{\partial x^i}}}\left(X_s\right){\sigma }_s^{i,j}\text{d}{B}_s^j\right]}\\ +{\displaystyle {\int }_0^t\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{d}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{\partial g}{\partial x^i}}}\left(X_s\right){\eta }_s^{i,j}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{i,l=1}{\overset{d}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^i\partial x^j}}}\left(X_s\right){\sigma }_s^{i,j}{\sigma }_s^{l,j}\right]\text{d}{\langle B\rangle }_s^j}\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\left[g\left(X_{s-}+c\left(e,s\right)\right)-g\left(X_{s-}\right)\right]N}}\left(\text{d}e,\text{d}s\right)\end{array}$

3. G-Lévy过程下的Black-Scholes公式

在本节中，我们考虑以下股票价格 $S_t$ ，使：

$\text{d}{S}_t=a\left(t\right)S_t\text{d}t+b\left(t\right)S_t\text{d}{B}_t+c\left(t,e\right)S_t\text{d}{N}_t,t\in \left[0,T\right],$ (1)

其中 $a\left(t\right)$ 是利率系数， $b\left(t\right)$ 是波动率系数， $c\left(t,e\right)$ 是资产价格的跳跃系数， $B_t$ 是G-布朗运动， $N_t$ 是G-框架下的G-Lévy过程。

在本小节中，将结合G-伊藤公式和泰勒公式，证明得到G-Lévy过程下的Black-Scholes偏微分方程。

定理3.1 (Black-Scholes公式)：假设 $u=u\left(S_t,t\right)$ 是期权价格， $S_t$ 是股票价格。对于式(1)，我们可以得到G-Lévy过程下的积分偏微分方程(integral-PDE)过程

$\frac{\partial u}{\partial t}+aS\frac{\partial u}{\partial S}+\left(u\left(S\exp \left\{{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right)\right\},t\right)-u\left(S,t\right)\right)+G\left(b^{2}S\frac{\partial u}{\partial S}+b^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}\right)-au=0.$

其中 $a\left(t\right),b\left(t\right),c\left(t,e\right)\in ℝ$ ， $G\left(p\right)=\frac{1}{2}\left({\left(p\right)}^{+}{\bar{\sigma }}^2-{\left(p\right)}^{-}{\underset{\_}{\sigma }}^2\right)$ 。

证明：我们在 $\left[0,T\right]$ 上定义时间分割， $0=t_0<t_1<\cdot \cdot \cdot <t_n<\cdot \cdot \cdot <t_N=T$ ， $\Delta t=t_{n+1}-t_n$ 。令函数 $u\left(S,t\right)$ 是足够光滑的， $\Delta {\langle B\rangle }_n={\langle B\rangle }_{t_{n+1}}-{\langle B\rangle }_{t_n}$ 和 $\Delta B_n=B_{t_{n+1}}-B_{t_n}$ ，利用G-伊藤公式，可以得到式(1)的显式解：

$S_{t_{n+1}}=S_a\exp \left\{{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}a\left(t\right)\text{d}t}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{b}^2\left(t\right)\text{d}{\langle B\rangle }_t}+{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}b\left(t\right)\text{d}{B}_t}+{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\left[\ln \left(1+c\left(t,e\right)\right)\right]N\left(\text{d}e,\text{d}t\right)}}\right\}.$ (2)

在G-期望空间中，我们有以下乘积法则：

$\text{d}{B}_t\cdot \text{d}{B}_t=\text{d}{\langle B\rangle }_t,\text{d}{N}_t\cdot \text{d}{N}_t=\lambda \left(\mathcal{E}\right)\text{d}t+{\left(\lambda \left(\mathcal{E}\right)\text{d}t\right)}^2,\text{d}{N}_t\cdot \text{d}t=0,\text{d}{B}_t\cdot \text{d}{N}_t=0.$

那么，期权定价公式如下形式：

$u\left(S_a,t_n\right)=\frac{1}{r}\mathbb{E}\left[\left[u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_n,t_n\right)\right]|S_{t_n}=S_a\right]+\frac{1}{r}u\left(S_a,t_n\right).$ (3)

接下来，我们介绍G-Lévy过程下的布莱克–斯科尔斯模型。用泰勒公式对 $u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)$ 进行展开，我们有

$\begin{array}{l}u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\\ =\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^2\\ +{\displaystyle \underset{j=3}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{j!}\frac{{\partial }^{j}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^j}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^j}+O{\left(\Delta t_n\right)}^2.\end{array}$ (4)

将式(2)代入式(4)可得

$\begin{array}{l}u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\\ =\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}\left(S_a\exp \left\{X^n\right\}-S_a\right)\\ +\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{\left(S_a\exp \left\{X^n\right\}-S_a\right)}^2+{\displaystyle \underset{j=3}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{j!}\frac{{\partial }^{j}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^j}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^j}+O{\left(\Delta t_n\right)}^2,\end{array}$ (5)

其中

$X^n={\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}a\left(t\right)\text{d}t}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{b}^2\left(t\right)\text{d}{\langle B\rangle }_t}+{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}b\left(t\right)\text{d}{B}_t}+{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\left[\ln \left(1+c\left(t,e\right)\right)\right]N\left(\text{d}e,\text{d}s\right)}}.$

对 $a\left(t\right),b^2\left(t\right),\left[\ln \left(1+c\left(t,e\right)\right)\right]$ 在 $t=t_{n+1}$ 处进行泰勒展开得

$\begin{array}{c}{X}^n={\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}a\left(t\right)\text{d}t}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{b}^2\left(t\right)\text{d}{\langle B\rangle }_t}+{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}b\left(t\right)\text{d}{B}_t}+{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\left[\ln \left(1+c\left(t,e\right)\right)\right]N\left(\text{d}e,\text{d}s\right)}}\\ =a\left(t_n\right)\Delta t_n-\frac{1}{2}{b}^2\left(t_n\right)\Delta {\langle B\rangle }_n+b\left(t_n\right)\Delta B_n+{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\left[\ln \left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\right]N\left(\text{d}e,\text{d}s\right)}}+O{\left(\Delta t_n\right)}^{\frac{3}{2}}.\end{array}$

由 $\exp \left\{X^n\right\}$ 的泰勒展开和(5)可得

$\begin{array}{l}u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\\ =\left[\frac{\partial u}{\partial t}+a\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\right]\Delta t-S_a\frac{b^2\left(t_n\right)}{2}\frac{\partial u}{\partial S}\Delta {\langle B\rangle }_n+S_a\frac{\partial u}{\partial S}{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }}\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)N\left(\text{d}e,\text{d}s\right)\\ +b\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\Delta B_n+\frac{1}{2}\left[S_a\frac{\partial u}{\partial S}+S_a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}\right]{\left(X^n\right)}^2+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}+{\displaystyle \underset{j=3}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{j!}\frac{{\partial }^{j}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^j}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^j}\\ =\left[\frac{\partial u}{\partial t}+a\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\right]\Delta t-S_a\frac{b^2\left(t_n\right)}{2}\frac{\partial u}{\partial S}\Delta {\langle B\rangle }_n+S_a\frac{\partial u}{\partial S}{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }}\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)N\left(\text{d}e,\text{d}s\right)\\ +b\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\Delta B_n+\frac{1}{2}\left[S_a\frac{\partial u}{\partial S}+S_a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}\right]{\left(X^n\right)}^2+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}+{\displaystyle \underset{j=3}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{j!}\frac{{\partial }^{j}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^j}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^j},\end{array}$

因为对 $p\in {\rm N}$ ，我们有

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\left[\ln \left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\right]N\left(\text{d}e,\text{d}s\right)}}\right)}^p\right]={\left[{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right)\right]}^p\left(\Delta t\right)+O\left({\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}\right),$

所以

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=3}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{j!}\mathbb{E}\left[\frac{{\partial }^{j}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^j}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^j|S_{t_n}=S_a\right]}-O\left({\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\\ =\left(u\left(S_a\exp \left\{{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right)\right\},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\right)\Delta t\\ -{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{2}{\sum }}\frac{1}{j!}\frac{{\partial }^{j}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^j}{\left(S_a\exp \left\{{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right)\right\}-S_a\right)}^j},\end{array}$

将上式代入方程(3)，我们可得

$\begin{array}{l}u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\\ =\left[\frac{\partial u}{\partial t}+a\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\right]\Delta t-S_a\frac{b^2\left(t_n\right)}{2}\frac{\partial u}{\partial S}\Delta {\langle B\rangle }_n\\ +S_{a}b\left(t_n\right)\frac{\partial u}{\partial S}\Delta B_n+\frac{1}{2}\left[S_a\frac{\partial u}{\partial S}+S_a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}\right]\left(\frac{b^4\left(t_n\right)}{4}{\left(\Delta {\langle B\rangle }_n\right)}^2+b^2\left(t_n\right){\left(\Delta B_n\right)}^2\right)\\ +\left(u\left(S_a+S_a\exp {\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right),t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\right)\Delta t+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}.\end{array}$

将上式代入(5)得

$\begin{array}{c}u=\frac{1}{r}\mathbb{E}[\left(\frac{\partial u}{\partial t}+a\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\right)\Delta t-\frac{b^2\left(t_n\right)}{2}{S}_a\frac{\partial u}{\partial S}\left(\Delta {\langle B\rangle }_n\right)+b\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\left(\Delta B_n\right)\\ +\left(u\left(S_a\exp \left\{{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right)\right\},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\right)\Delta t\\ +\frac{1}{2}\left[S_a\frac{\partial u}{\partial S}+S_a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}\right](\frac{b^4\left(t_n\right)}{4}{\left(\Delta {\langle B\rangle }_n\right)}^2+b^2\left(t_n\right){\left(\Delta B_n\right)}^2|S_{l_n}=S_a]+\frac{1}{r}u+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}},\end{array}$

其中 $r=1+a\left(t\right)\Delta t$ 和 $a\left(t\right)$ 是无风险利率，根据G-期望的性质和 $u=u\left(S_a,t_n\right)$ 和 $\Delta B_n~N\left(0,\left[{\underset{\_}{\sigma }}^2\Delta t,{\bar{\sigma }}^2\Delta t\right]\right)$ ，可得

$\begin{array}{c}\left(1-\frac{1}{r}\right)u=\frac{\Delta t}{r}\left[\frac{\partial u}{\partial t}+a\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}+\left(u\left(S_a\exp \left\{{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t_n,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right)\right\},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)\right)\right]\\ +\frac{\Delta t}{r}G\left\{b^2\left(t_n\right)S_a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}+b^2\left(t_n\right)S_a\frac{\partial u}{\partial S}\right\}+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{1}{2}},\end{array}$

其中 $G\left(p\right)=\frac{1}{2}\left({\left(p\right)}^{+}{\bar{\sigma }}^2-{\left(p\right)}^{-}{\underset{\_}{\sigma }}^2\right)$ .由此，得到积分偏微分方程：

$\frac{\partial u}{\partial t}+aS\frac{\partial u}{\partial S}+\left(u\left(S\exp \left\{{\displaystyle {\int }_{\mathcal{E}}\ln }\left(1+c\left(t,e\right)\right)\lambda \left(\text{d}e\right)\right\},t\right)-u\left(S,t\right)\right)+G\left(b^{2}S\frac{\partial u}{\partial S}+b^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}\right)-au=0.$

定理即证。

4. 总结

本文考虑在G-期望框架下，利用G-伊藤公式和G-期望等性质，对于G-布朗运动和G-莱维过程共同驱动的线性随机微分方程，严格得到了Black-Scholes公式并给出了证明，和从传统的期权定价公式相比较，考虑在更一般的非线性期望(G-期望)理论下，能够更好的描述复杂的金融市场，利用G-伊藤公式和Taylor公式，结合G-Lévy过程(G-布朗运动和G-跳过程)的随机分析理论，得到G-布朗运动和G-跳过程共同驱动的随机微分方程的Black-Scholes公式，对于后续在金融期权等相关领域具有重要的研究意义和应用价值。

文章引用

郑 红,李 洋. G-期望框架下G-Lévy过程的Black-Scholes公式
Black-Scholes Formula for G-Lévy Process under G-Expectation Framework[J]. 理论数学, 2023, 13(05): 1363-1369. https://doi.org/10.12677/PM.2023.135139

参考文献