重庆师范大学数学科学学院，重庆

收稿日期：2023年11月13日；录用日期：2023年12月14日；发布日期：2023年12月27日

摘要

协正张量是一种重要的结构张量，在许多领域都有着广泛的应用，成为近年来新兴的研究课题。已有研究表明，对称张量是严格协正的当且仅当其所有Pareto-H特征值是正的，而Pareto-H特征值与H⁺⁺-特征值又具有一定的联系。另外，对张量特征值计算的研究是张量理论研究的一个重要部分。因此，求出对称张量特征值的具体表达式是很有必要的。本文主要介绍了计算几类3阶对称张量特征值的直接方法。首先，给出了计算3阶2维对称张量的H⁺-特征值的直接方法，分别建立了3阶2维对称张量的H⁺-特征值、H⁺⁺-特征值以及Pareto H-特征值的具体表达式。然后利用张量的Pareto H-特征值与协正性之间的关系，给出了判定3阶2维对称张量协正性的充分条件。

关键词

Pareto H-特征值，协正张量，对称张量

Direct Methods for Calculating Several Classes of Eigenvalues of 3rd Order Symmetric Tensors

Kunyu Deng

School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing

Received: Nov. 13^th, 2023; accepted: Dec. 14^th, 2023; published: Dec. 27^th, 2023

ABSTRACT

The copositive tensors is an important structural tensors, which has been widely used in many fields and has become an emerging research topic in recent years. Previous studies have shown that a symmetric tensor is strictly copositive if and only if each of its Pareto-H eigenvalue is positive, and the Pareto-H eigenvalue have a certain relationship with the H⁺⁺-eigenvalue. In addition, the study of computing tensor eigenvalues is an important part of tensors theory. Therefore, it is necessary to find the precise expressions of the eigenvalues of the symmetric tensors. In this paper, we mainly introduce some direct methods for calculating several classes of eigenvalues of 3rd order symmetric tensors. First of all, we in this paper propose a direct method for calculating all H⁺-eigenvalue of 3rd order 2 dimensional symmetric tensors, and the expressions of the H⁺-eigenvalue, the H⁺⁺-eigenvalue and the Pareto H-eigenvalue of such tensors are established. Then, using the relationship between the Pareto H-eigenvalue and copositivity of tensors, we obtain analytically sufficient conditions for determining copositivity of 3rd order 2 dimensional symmetric tensors.

Keywords:The Pareto H-Eigenvalue, Copositive Tensors, Symmetric Tensors

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

在本文中，所有实数的集合表示为 $ℝ$ ，n维欧式空间表示为 ${ℝ}^n$ ，令 ${ℝ}_{+}^n=\left\{x\in {ℝ}^n;x\ge 0\right\}$ ， ${ℝ}_{++}^n=\left\{x\in {ℝ}^n;x>0\right\}$ ， $x^{\left[m\right]}={\left(x_1^m,x_2^m,\cdots ,x_n^m\right)}^{\text{T}}$ 。

令 $\mathcal{A}=\left(a_{i_1{i}_2\cdots i_m}\right)\in {ℝ}^{\left[m,n\right]}$ 是一个m阶n维实张量，一个m阶n维张量称为对称张量，如果在下标的任何排列下它的项 $a_{i_1{i}_2\cdots i_m}$ 都是不变的。显然，每个m阶n维对称张量 $\mathcal{A}$ 都定义了具有n个变量的m次齐次多项式 $\mathcal{A}{x}^m$ ，反之亦然。 $x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\top }\in {ℝ}^n$ 是一个n维实向量， $\left[n\right]:=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，对 $\forall \mathcal{A}=\left(a_{i_1{i}_2\cdots i_m}\right)\in {ℝ}^{\left[m,n\right]}$ ，我们定义

$\mathcal{A}{x}^m:=x^{\top }\mathcal{A}{x}^{m-1}={\displaystyle \underset{i_1,i_2,\cdots ,i_m=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{i_1{i}_2\cdots i_m}}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_m}$ .

$\mathcal{A}{x}^{m-1}$ 表示一个向量，并且其第i个元素表示为

${\left(\mathcal{A}{x}^{m-1}\right)}_i={\displaystyle \underset{i_2,\cdots ,i_m=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{i{i}_2\cdots i_m}}{x}_{i_2}\cdots x_{i_m},\forall i\in \left[n\right]$ .

定义1 ( [1] [2] )一个实数 $\lambda$ 称为m阶n维张量 $\mathcal{A}$ 的一个H-特征值，如果齐次多项式方程组

$\mathcal{A}{x}^{m-1}=\lambda x^{\left[m-1\right]}$ (1)

即

${\left(\mathcal{A}{x}^{m-1}\right)}_i=\lambda x_i^{m-1}\forall i\in \left[n\right]$

有非零实数解 $x$ ，向量 $x$ 称为 $\mathcal{A}$ 的对应于 $\lambda$ 的H-特征向量。并且， $\mathcal{A}$ 的H-特征值 $\lambda$ 称为 $\mathcal{A}$ 的H⁺-特征值(H⁺⁺-特征值)，如果它的H-特征向量 $x\in {ℝ}_{+}^n$ ( $x\in {ℝ}_{++}^n$ )。

对一个m阶n维实张量 $\mathcal{A}$ ，我们考虑如下系统：

$\{\begin{array}{l}\mathcal{A}{x}^m=\lambda x^{\text{T}}{x}^{\left[m-1\right]}\hfill \\ \mathcal{A}{x}^{m-1}-\lambda x^{\left[m-1\right]}\ge 0\hfill \\ x\ge 0\hfill \end{array}$ (2)

张量Pareto H-特征值的概念首先在Song [3] 中被引入介绍。根据Qi [1] (张量 $\mathcal{A}$ 的H-特征值)和Seeger [4] (矩阵A的Pareto特征值)，对于m阶n维张量 $\mathcal{A}$ ，实数 $\lambda$ 称为张量 $\mathcal{A}$ 的Pareto H-特征值，如果存在满足系统(2)的非零向量 $x\in {ℝ}^n$ 。非零向量 $x$ 称为张量 $\mathcal{A}$ 对应 $\lambda$ 的Pareto H-特征向量。另外，值得注意的是， $\mathcal{A}$ 的Pareto H-特征值与 $\mathcal{A}$ 的H(H⁺)-特征值密切相关。Song [3] 也表明了2维张量的Pareto H -特征值与H⁺⁺-特征值存在一定联系。

对于张量的Pareto特征值现在已经有了大量的研究，见 [3] [5] [6] [7] 。特别是张量特征值互补问题，例如，在 [5] 中，作者还介绍和研究了两类更一般的张量特征值互补问题，同时，作者还讨论了张量的Pareto特征值的一些性质，并发现研究张量的Pareto特征值的包含区间是很重要的。另外，从 [8] [9] 可以看出，利用张量特征值的包含集，可以更好检验张量的一些结构化性质。但是目前对于Pareto-H特征值的研究还比较欠缺。Song [3] 指出，对称张量 $\mathcal{A}$ 是严格协正的当且仅当其Pareto-H特征值是正的，另外，通过张量的Pareto-H特征值还可以求解其对应的齐次多项式的约束优化问题。

1952年，Motzkin [10] 引入了协正矩阵这一概念。2013年，Qi [11] 第一次把协正矩阵这一概念扩展到协正张量，协正张量是一种重要的结构张量，它在真空稳定性 [12] [13] [14] 、多项式优化 [3] 、超图谱理论 [15] 、互补问题 [5] [6] [16] [17] [18] 等方面都有着广泛的应用，成为近年来新兴的研究课题。因此，对协正张量的研究成为张量理论研究的一个重要部分。虽然对张量协正性的研究已有很多，但因为实际问题，如一些场的一般标量势的真空稳定性，需要精确的表达式，所以有必要求出对称张量严格协正性的解析表达式。

基于以上研究的启示，本文考虑张量的Pareto-H特征值问题与协正性问题，在回顾一些相关性质定理之后，建立了H⁺-特征值、H⁺⁺-特征值以及Pareto H-特征值的具体解析式，最后给出一个判定张量协正性的充分解析式。

本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了一些基本的性质结果。在第3节中，给出了计算3阶2维对称张量的H⁺-特征值的直接方法。在第4节中，我们给出了定理1的计算过程，并分别建立了3阶2维对称张量的H⁺-特征值、H⁺⁺-特征值以及Pareto H-特征值的具体解析式。在5节中，我们利用Pareto H-特征值与张量协正性之间的关系，给出了判定3阶2维对称张量协正性的充分条件。最后，第6节是本文总结。

2. 预备知识

令N是 $\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 的子集， $\mathcal{A}$ 是m阶n维张量。在齐次多项式 $\mathcal{A}{x}^m$ 中，我们让某些(不是全部)分量 $x_i=0$ ，即对 $\forall x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\top }$ ， $x_i=0$ ， $i\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}\backslash N$ ， $\left|N\right|$ 表示N的基数，那么我们会得到一个变量更少的齐次多项式，而该多项式就定义了一个新的低维张量，我们称这样一个低维张量 ${\mathcal{A}}^N$ 为 $\mathcal{A}$ 的主子张量。所以， ${\mathcal{A}}^N$ 是一个m阶 $\left|N\right|$ 维张量，当 $N=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 时，主子张量 ${\mathcal{A}}^N$ 就等于 $\mathcal{A}$ 本身。

定义2 ( [11] )若对所有的非负实向量 $x={\left(x_1,\cdots ,x_n\right)}^{\top }$ ，满足

$\mathcal{A}{x}^m={\displaystyle \underset{i_1,i_2,\cdots ,i_m=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{i_1{i}_2\cdots i_m}}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_m}\ge 0$ ，

则称 $\mathcal{A}$ 是协正张量；若对所有的非负和非零实向量 $x={\left(x_1,\cdots ,x_n\right)}^{\top }$ ，满足

$\mathcal{A}{x}^m={\displaystyle \underset{i_1,i_2,\cdots ,i_m=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{i_1{i}_2\cdots i_m}}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_m}>0$ ，

则称 $\mathcal{A}$ 是严格协正张量。

引理1 ( [3] )对称张量 $\mathcal{A}$ 总存在Pareto H-特征值；且 $\mathcal{A}$ 是协正(严格协正)的当且仅当其所有Pareto H-特征值是非负(正)的。

引理2 ( [3] )实数 $\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的Pareto H-特征值当且仅当存在一个 $\mathcal{A}$ 的 $\left|N\right|$ 维主子张量，使得 $\lambda$ 是该主子张量的H⁺⁺-特征值，其对应的H -特征向量 $w$ 满足

${\displaystyle \underset{i_2,\cdots ,i_m\in N}{\sum }{a}_{i{i}_2\cdots i_m}}{w}_{i_2}{w}_{i_3}\cdots w_{i_m}\ge 0\text{for}i\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}\backslash N$ .

3. 3阶2维对称张量的H⁺-特征值

在本节中，我们会给出关于3阶2维对称张量的H⁺-特征值定理。

定理1 设 $\mathcal{A}$ 是3阶2维对称张量，关于其H⁺-特征值及对应的H⁺-特征向量，我们有如下结果：

若 $a_{211}=0$ ，则 $\lambda =a_{111}$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个H⁺-特征值，对应的H⁺-特征向量为 $x={\left(v,0\right)}^{\text{T}},v\in {ℝ}_{++}$ 。若 $a_{212}=0$ ，则 $\lambda =a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个H⁺-特征值，对应的H⁺-特征向量为 $x={\left(0,v\right)}^{\text{T}},v\in {ℝ}_{++}$ 。

若 $a_{211}\ne 0$ ， $a_{212}\ne 0$ ，对下列方程的任意非负实根u：

$a_{211}{u}^4+2a_{212}{u}^3+\left(a_{222}-a_{111}\right)u^2-2a_{211}u-a_{212}=0$ ， (3)

$\lambda =a_{211}{u}^2+2a_{212}u+a_{222}$

是 $\mathcal{A}$ 对应于H⁺-特征向量 $x={\left(u,1\right)}^{{\rm T}}$ 的一个H⁺-特征值。

证明 令 $\left(\lambda ,x\right)$ 是 $\mathcal{A}$ 的H⁺-特征对，则(1)式的具体形式为

$\{\begin{array}{l}{a}_{111}{x}_1^2+2a_{112}{x}_1{x}_2+a_{122}{x}_2^2=\lambda x_1^2\\ a_{222}{x}_2^2+a_{211}{x}_1^2+2a_{212}{x}_1{x}_2=\lambda x_2^2\end{array}$ . (4)

设 $x_2=0$ ， $x_1\ne 0$ ，则(4)变为

$\{\begin{array}{l}{a}_{111}{x}_1^2=\lambda x_1^2\\ a_{211}{x}_1^2=0\end{array}$ .

因为 $a_{211}=0$ ，显然， $\lambda =a_{111}$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个H⁺-特征值，对应的H⁺-特征向量为 $x={\left(v,0\right)}^{\text{T}},v\in {ℝ}_{++}$ 。

同理， $x_2\ne 0$ ， $x_1=0$ 时， $\lambda =a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个H⁺-特征值，对应的H⁺-特征向量为 $x={\left(0,v\right)}^{\text{T}},v\in {ℝ}_{++}$ 。

设 $x_1\ne 0$ ， $x_2\ne 0$ ，(4)式两个方程分别除以 $x_1^2$ 、 $x_2^2$ ，得到

$\{\begin{array}{l}{a}_{111}+2a_{112}\frac{x_2}{x_1}+a_{122}\frac{x_2^2}{x_1^2}=\lambda \\ a_{222}+2a_{212}\frac{x_1}{x_2}+a_{211}\frac{x_1^2}{x_2^2}=\lambda \end{array}$ .

令 $u=\frac{x_1}{x_2}>0$ ，两方程联立得

$\begin{array}{l}{a}_{111}+2a_{112}\frac{1}{u}+a_{122}\frac{1}{u^2}=a_{222}+a_{211}{u}^2+2a_{212}u\\ a_{211}{u}^4+2a_{212}{u}^3+\left(a_{222}-a_{111}\right)u^2-2a_{112}u-a_{122}=0\\ a_{211}{u}^4+2a_{212}{u}^3+\left(a_{222}-a_{111}\right)u^2-2a_{211}u-a_{212}=0\end{array}$

此时

$\lambda =a_{211}{u}^2+2a_{212}u+a_{222}$

是 $\mathcal{A}$ 对应于H⁺-特征向量 $x={\left(u,1\right)}^{{\rm T}}$ 的一个H⁺-特征值。证毕

4. 3阶2维对称张量的Pareto H-特征值

从定理1中我们可以看出，为了找到所有的H⁺-特征值和相关的H⁺-特征向量，我们需要求解一个一元四次方程。通过对(3)式的计算求解，我们可以得到定理1 (ii)的具体表达式。

定理2 设 $\mathcal{A}=\left(a_{ijk}\right)$ 是一个3阶2维对称张量， $a_{211}\ne 0$ ， $a_{212}\ne 0$ ，

当 $a_{111}=a_{222},a_{211}=a_{212}$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{211}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$u_1=\frac{-2a_{212}D+9E}{4a_{211}D},u_2=\frac{-2a_{212}D-3E}{4a_{211}D}$ ；

当 $E=F=0,D>0$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D}}{4a_{211}}$ ；

当 $ABC\ne 0,\Delta =0$ 时，若 $B<0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_3^2+2a_{212}{u}_3+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_3,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值，若 $B>0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[3\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}+\frac{2AE}{B}\pm \sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a_{211}},u_3=\frac{-2a_{212}-\frac{2AE}{B}}{4a_{211}}$ ；

当 $\Delta >0$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}+\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\\ u_2=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}-\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\end{array}$

当 $\Delta <0,D>0,F>0$ 时，

若 $E=0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[4\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D+2\sqrt{F}}}{4a_{211}},u_{3,4}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D-2\sqrt{F}}}{4a_{211}}$ ；

若 $E\ne 0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[4\right]$ ，

$\begin{array}{l}{u}_{1,2}=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}}\\ u_{3,4}=\frac{-2a_{212}-\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}}\end{array}$

其中，

$\begin{array}{l}D=12a_{212}^2-8a_{211}\left(a_{222}-a_{111}\right),E=-8a_{212}^3+8a_{211}{a}_{212}\left(a_{222}-a_{111}\right)+16a_{211}^3\\ F=48a_{212}^4+16a_{211}^2{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^2-64a_{211}{a}_{212}^2\left(a_{222}-a_{111}\right)\\ A=D^2-3F,B=DF-9E^2,C=F^2-3D{E}^2,\Delta =B^2-4AC\end{array}$

$\begin{array}{l}{z}_{1，2}=AD+3\left(\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2}\right),z=D^2-D\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+{\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)}^2-3A\\ \mathrm{sgn}\left(E\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & E=0\hfill \\ 1,\hfill & E>0\hfill \\ -1,\hfill & E<0\hfill \end{array},\theta =\arccos \frac{3B-2AD}{2A\sqrt{A}},y_1=\frac{D-2\sqrt{A}\cos \frac{\theta }{3}}{3}\\ y_2=\frac{D+\sqrt{A}\left(\cos \frac{\theta }{3}+\sqrt{3}\sin \frac{\theta }{3}\right)}{3},y_3=\frac{D+\sqrt{A}\left(\cos \frac{\theta }{3}-\sqrt{3}\sin \frac{\theta }{3}\right)}{3}\end{array}$

证明 首先，令

$f\left(u\right)=a_{211}{u}^4+2a_{212}{u}^3+\left(a_{222}-a_{111}\right)u^2-2a_{112}u+a_{122}$ . (5)

将(5)重写为

$f\left(u\right)=a{u}^4+b{u}^3+c{u}^2+du+e$ ，

其中，

$\begin{array}{l}a=a_{211},b=2a_{212},c=\left(a_{222}-a_{111}\right),d=-2a_{112},e=a_{122}\\ d=-2a,e=-\frac{1}{2}b\end{array}$

判别式 $\Delta =B^2-4AC$ 。

因为 $u=\frac{x_1}{x_2}$ 是实数，所以接下来我们只讨论 $f\left(u\right)=0$ 有实根的情况。

由天珩公式，令

$\begin{array}{c}D=3b^2-8ac=12a_{212}^2-8a_{211}\left(a_{222}-a_{111}\right)\\ E=-b^3+4abc-8a^{2}d=-b^3+4abc+16a^3=-8a_{212}^3+8a_{211}{a}_{212}\left(a_{222}-a_{111}\right)+16a_{211}^3\\ F=3b^4+16a^2{c}^2-16a{b}^{2}c+16a^{2}bd-64a^{3}e=3b^4+16a^2{c}^2-16a{b}^{2}c\\ =48a_{212}^4+16a_{211}^2{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^2-64a_{211}{a}_{212}^2\left(a_{222}-a_{111}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}A=D^2-3F=16a_{211}^2{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^2\\ B=DF-9E^2\\ =-2304a_{211}^6+2304a_{212}^3{a}_{211}^3-128a_{211}^3{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^3\\ +128a_{211}^2{a}_{212}^2{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^2-2304a_{211}^4{a}_{212}\left(a_{222}-a_{111}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}C=F^2-3D{E}^2\\ =-9216a_{211}^6{a}_{212}^2+9216a_{211}^3{a}_{212}^5+256a_{211}^4{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^4+1536a_{211}^3{a}_{212}^2{\left(a_{222}-a_{211}\right)}^3\\ +7936a_{211}^2{a}_{212}^4{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^2+6144a_{211}^5{a}_{212}{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^2\\ -2048a_{211}^3{a}_{212}^2\left(a_{222}-a_{111}\right)-15360a_{211}^4{a}_{212}^3\left(a_{222}-a_{111}\right)+6144a_{211}^7\left(a_{222}-a_{111}\right)\end{array}$

当 $D=E=F=0$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有一个四重实根。

$\{\begin{array}{l}D=3b^2-8ac=0\hfill \\ F=3b^4+16a^2{c}^2-16a{b}^{2}c=0\hfill \end{array}\Rightarrow b=0$ ，

而 $b=2a_{212}\ne 0$ ，矛盾。

当 $DEF\ne 0,A=B=C=0$ 时，

$\{\begin{array}{l}A=0\hfill \\ B=0\hfill \\ C=0\hfill \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_{222}=a_{111}\hfill \\ a_{211}=a_{212}\hfill \end{array}$ ，

此时

$\{\begin{array}{l}D=12a_{212}^2\ne 0\hfill \\ E=8a_{212}^2\ne 0\hfill \\ F=48a_{212}^4\ne 0\hfill \end{array}$ .

即 $a_{111}=a_{222},a_{211}=a_{212}$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有四个实根，其中一个三重根，

$u_1=\frac{-bD+9E}{4aD}=\frac{-2a_{212}D+9E}{4a_{211}D},u_2=u_3=u_4=\frac{-bD-3E}{4aD}=\frac{-2a_{212}D-3E}{4a_{211}D}$ ，

若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{211}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ 。

当 $E=F=0,D>0$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有两对二重实根，

$u_{1,3}=\frac{-b+\sqrt{D}}{4a}=\frac{-2a_{212}+\sqrt{D}}{4a_{211}},u_{2,4}=\frac{-b-\sqrt{D}}{4a}=\frac{-2a_{212}-\sqrt{D}}{4a_{211}}$ ，

若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ 。

当 $ABC\ne 0,\Delta =0$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有一对二重实根 $u_3$ 、 $u_4$ ，若 $AB>0$ ，则其余两根 $u_1$ 、 $u_2$ 为不等实根。

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{-b+\frac{2AE}{B}+\sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a}=\frac{-2a_{212}+\frac{2AE}{B}+\sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a_{211}}\\ u_2=\frac{-b+\frac{2AE}{B}-\sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a}=\frac{-2a_{212}+\frac{2AE}{B}-\sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a_{211}}\\ u_3=u_4=\frac{-b-\frac{2AE}{B}}{4a}=\frac{-2a_{212}-\frac{2AE}{B}}{4a_{211}}\end{array}$

因为 $A=16a_{211}^2{\left(a_{222}-a_{111}\right)}^2>0$ ，所以 $AB<0$ 即 $B<0$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有实根 $u_3$ 、 $u_4$ ， $AB>0$ 即 $B>0$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有实根 $u_1$ 、 $u_2$ 、 $u_3$ 、 $u_4$ 。

即当 $ABC\ne 0,\Delta =0$ 时，若 $B<0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_3^2+2a_{212}{u}_3+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_3,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值，若 $B>0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[3\right]$ 。

当 $\Delta >0$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有两个不等实根。

令

$\begin{array}{l}{z}_1=AD+3\left(\frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2}\right),z_2=AD+3\left(\frac{-B-\sqrt{B^2-4AC}}{2}\right)\\ z=D^2-D\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+{\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)}^2-3A\end{array}$

则

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}+\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\\ u_2=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}-\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\end{array}$

其中，

$\mathrm{sgn}\left(E\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & E=0\hfill \\ 1,\hfill & E>0\hfill \\ -1,\hfill & E<0\hfill \end{array}$ .

即当 $\Delta >0$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ 。

当 $\Delta <0,D>0,F>0$ 时， $f\left(u\right)=0$ 有四个不等实根。

若 $E=0$ ，则四根为

$u_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D+2\sqrt{F}}}{4a}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D+2\sqrt{F}}}{4a_{211}},u_{3,4}=\frac{-b\pm \sqrt{D-2\sqrt{F}}}{4a}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D-2\sqrt{F}}}{4a_{211}}$ ，

若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[4\right]$ 。

若 $E\ne 0$ ，令

$\begin{array}{l}\theta =\arccos \frac{3B-2AD}{2A\sqrt{A}},y_1=\frac{D-2\sqrt{A}\cos \frac{\theta }{3}}{3}\\ y_2=\frac{D+\sqrt{A}\left(\cos \frac{\theta }{3}+\sqrt{3}\sin \frac{\theta }{3}\right)}{3},y_3=\frac{D+\sqrt{A}\left(\cos \frac{\theta }{3}-\sqrt{3}\sin \frac{\theta }{3}\right)}{3}\end{array}$

则四根为

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}},u_{3,4}=\frac{-2a_{212}-\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}}$ .

若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺-特征值， $i\in \left[4\right]$ 。证毕

由定义1可知，只要让 $\mathcal{A}$ 的H⁺-特征值定理中的相关特征向量 $x>0$ ，就可以得到其H⁺⁺-特征值定理。而定理2中的特征向量均大于0，所以定理2可以写成 $\mathcal{A}$ 的H⁺⁺-特征值定理如下。

定理3 设 $\mathcal{A}=\left(a_{ijk}\right)$ 是一个3阶2维对称张量， $a_{211}\ne 0$ ， $a_{212}\ne 0$ ，

当 $a_{111}=a_{222},a_{211}=a_{212}$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{211}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$u_1=\frac{-2a_{212}D+9E}{4a_{211}D},u_2=\frac{-2a_{212}D-3E}{4a_{211}D}$ ；

当 $E=F=0,D>0$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D}}{4a_{211}}$ ；

当 $ABC\ne 0,\Delta =0$ 时，若 $B<0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_3^2+2a_{212}{u}_3+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_3,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺⁺-特征值，若 $B>0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺⁺-特征值， $i\in \left[3\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}+\frac{2AE}{B}\pm \sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a_{211}},u_3=\frac{-2a_{212}-\frac{2AE}{B}}{4a_{211}}$ ；

当 $\Delta >0$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺⁺-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}+\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\\ u_2=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}-\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\end{array}$

当 $\Delta <0,D>0,F>0$ 时，

若 $E=0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺⁺-特征值， $i\in \left[4\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D+2\sqrt{F}}}{4a_{211}},u_{3,4}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D-2\sqrt{F}}}{4a_{211}}$ ；

若 $E\ne 0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个H⁺⁺-特征值， $i\in \left[4\right]$ ，

$\begin{array}{l}{u}_{1,2}=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}}\\ u_{3,4}=\frac{-2a_{212}-\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}}\end{array}$

其中， $A、B、C、D、E、F、\Delta 、z_{1,2}、z、\text{sgn}\left(E\right)、\theta 、y_1、y_2、y_3$ 由定理2给出。

由引理2，显然，当 $n=2$ 时，张量的Pareto H-特征值与H⁺⁺-特征值是等价的，所以对于3阶2维对称张量，我们可以由定理3直接得出它的Pareto H-特征值表达式。

定理4 设 $\mathcal{A}=\left(a_{ijk}\right)$ 是一个3阶2维对称张量， $a_{211}\ne 0$ ， $a_{212}\ne 0$ ，

当 $a_{111}=a_{222},a_{211}=a_{212}$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{211}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个Pareto H-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$u_1=\frac{-2a_{212}D+9E}{4a_{211}D},u_2=\frac{-2a_{212}D-3E}{4a_{211}D}$ ；

当 $E=F=0,D>0$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个Pareto H-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D}}{4a_{211}}$ ；

当 $ABC\ne 0,\Delta =0$ 时，若 $B<0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_3^2+2a_{212}{u}_3+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_3,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个Pareto H-特征值，若 $B>0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个Pareto H-特征值， $i\in \left[3\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}+\frac{2AE}{B}\pm \sqrt{\frac{2B}{A}}}{4a_{211}},u_3=\frac{-2a_{212}-\frac{2AE}{B}}{4a_{211}}$ ；

当 $\Delta >0$ 时，若 $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个Pareto H-特征值， $i\in \left[2\right]$ ，

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}+\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\\ u_2=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{\frac{D+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}}-\sqrt{\frac{2D-\left(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}\right)+2\sqrt{z}}{3}}}{4a_{211}}\end{array}$

当 $\Delta <0,D>0,F>0$ 时，

若 $E=0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个Pareto H-特征值， $i\in \left[4\right]$ ，

$u_{1,2}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D+2\sqrt{F}}}{4a_{211}},u_{3,4}=\frac{-2a_{212}\pm \sqrt{D-2\sqrt{F}}}{4a_{211}}$ ；

若 $E\ne 0$ ， $u_i>0$ ，则 $\lambda =a_{211}{u}_i^2+2a_{212}{u}_i+a_{222}$ 是 $\mathcal{A}$ 对应于 $x={\left(u_i,1\right)}^{\text{T}}$ 的一个Pareto H-特征值， $i\in \left[4\right]$ ，

$\begin{array}{l}{u}_{1,2}=\frac{-2a_{212}+\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}}\\ u_{3,4}=\frac{-2a_{212}-\mathrm{sgn}\left(E\right)\sqrt{y_1}\pm \left(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right)}{4a_{211}}\end{array}$

其中， $A、B、C、D、E、F、\Delta 、z_{1,2}、z、\text{sgn}\left(E\right)、\theta 、y_1、y_2、y_3$ 由定理2给出。