一类抛物型界面问题的正则性分析 Regular Analysis of a Class of Parabolic Interface Problems

doi:10.12677/AAM.2023.122068

Advances in Applied Mathematics
Vol. 12 No. 02 ( 2023 ), Article ID: 61880 , 34 pages
10.12677/AAM.2023.122068

一类抛物型界面问题的正则性分析

史雪婷^1,2，杨田洁^1,2

●How to Cite this Article

¹中国工程物理研究院，北京

²北京应用物理与计算数学研究所，北京

收稿日期：2023年1月21日；录用日期：2023年2月20日；发布日期：2023年2月27日

摘要

界面问题用于各种工程应用和物理、化学、生物现象的建模，特别是涉及具有不同扩散性、密度、渗透性或导电性的多种不同材料的现象，其在界面上由一定条件耦合。本文考虑具有溶解质输运的线性两相流模型，分别在相界面处耦合非完美界面条件和Henry界面条件。由于解在界面上的跳跃使得解在各自材料区域上具有比在整个区域上更高的正则性，针对这类界面问题的正则性分析，本文给出一个完整的泛函分析过程，采用De Giorgi迭代方法证明该模型弱解的相关性质，进而证明弱解及其梯度的Hölder连续性。此外，对于Henry界面问题，本文给出了梯度的 $ω (\frac{R}{4}) \leq 2^{s + 1} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}} + R^{α_{1}} ({[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})}) .$ 估计(存在q > 2)。

关键词

对流扩散方程，非完美界面条件，Henry界面条件，De Giorgi迭代，Hölder连续性

Regular Analysis of a Class of Parabolic Interface Problems

Xueting Shi^1,2, Tianjie Yang^1,2

¹China Academy of Engineering Physics, Beijing

²Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing

Received: Jan. 21^st, 2023; accepted: Feb. 20^th, 2023; published: Feb. 27^th, 2023

ABSTRACT

Interface problems are used for various engineering applications and modeling of physical, chemical, and biological phenomena, especially those involving a number of different materials with different diffusion, density, permeability or conductivity, which are coupled by certain conditions at the interface. In this paper, a linear two-phase flow model with solute transport is considered, coupling imperfect interface condition and Henry interface condition at the phase interface, respectively. Since the jump of the solution at the interface makes the solution have higher regularity in the respective material region than on the whole region, for the regularity analysis of such interface problems, this paper presents a complete functional analysis process, and uses the De Giorgi iteration method to prove the correlation properties of the weak solution of the model, and then prove the Hölder continuity of the weak solution and its gradient. In addition, for the Henry interface problem, this paper gives the $\begin{matrix} ω (\frac{R}{4}) \leq \underset{Q_{\frac{R}{4}, 1}}{ess \sup} u_{1, k}^{(+)} - \underset{Q_{\frac{R}{4}, 1}}{ess \inf} u_{1, \tilde{k}}^{(-)} + \underset{Q_{\frac{R}{4}, 2}}{ess \sup} u_{2, k}^{(+)} - \underset{Q_{\frac{R}{4}, 2}}{ess \inf} u_{2, \tilde{k}}^{(-)} \\ \leq 2 (1 - \frac{1}{2^{s}}) ω (R) + \frac{1}{2^{s - 1}} R^{α_{1}} ({[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})}) . \end{matrix}$ estimation of the gradient (q > 2 is present).

Keywords:Convective Diffusion Equation, Imperfect Interface Condition, Henry Interface Condition, De Giorgi Iteration, Hölder Continuity

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1. 引言

当偏微分方程中的系数、或解、或法向流在界面处不连续时，就会产生界面问题。界面问题在自然界以及科学与工程中都有应用。在材料科学中，文献 [1] 提出了一种聚合物基体复合材料的耦合扩散行为模型，在由不同成分构成的复合材料的接触面上产生界面问题。在生物技术中被脂膜所包围的流体所形成的生物膜模型在界面处的相互作用 [2] 。文献 [3] 研究了两相流体动力学界面模型的斯托克斯问题，在界面处具有不连续的密度和粘度系数以及压力溶液。文献 [4] 考虑二维静止热传导椭圆界面问题，其传导系数在光滑的内部界面上是不连续的。文献 [5] 提出一个基于区域分解理论的非完美界面问题的保极值迭代方法，从而使得界面条件自然地嵌入到子域的边界条件中。针对非完美界面问题，文献 [6] 提出了一种保持离散极值原理(DMP)和守恒性的有限体积格式。此外，界面问题也被应用于合金凝固、晶体生长以及在生物系统中 [7] 等。

考虑具有溶解质输运的线性两相流问题(见图1)。设 $\begin{matrix} ω (\frac{R}{4}) = μ (\frac{R}{4}) - \tilde{μ} (\frac{R}{4}) \leq μ - \min {\underset{Q_{\frac{R}{4}, 1}}{ess \inf} u_{1, \tilde{k}}^{(-)}, \underset{Q_{\frac{R}{4}, 2}}{ess \inf} u_{2, \tilde{k}}^{(-)}} \\ \leq (1 - \frac{1}{2^{s}}) ω (R) + C (R^{α_{1}} ({[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})}) + (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}}) . \end{matrix}$ 是一个包含两相不可混溶，不可压缩的流动系统(液–液或液–气)的有界区域，具有光滑边界 $\begin{matrix} ω (\frac{R}{4}) = μ (\frac{R}{4}) - \tilde{μ} (\frac{R}{4}) \leq \max {\underset{Q_{\frac{R}{4}, 1}}{ess \sup} u_{1, k}^{(+)}, \underset{Q_{\frac{R}{4}, 2}}{ess \sup} u_{2, k}^{(+)}} - \tilde{μ} \\ \leq (1 - \frac{1}{2^{s}}) ω (R) + C (R^{α_{1}} ({[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})}) + (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}}) . \end{matrix}$ 。 $0 < R \leq R_{0} \leq 1$ 是一个开子区域且有边界 $ω (\frac{R}{4}) \leq (1 - \frac{1}{2^{s}}) ω (R) + C R^{α} ({[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})} + M + F_{0}),$ ，故有 $0 < α \leq \min {α_{1}, 1 - \frac{n + 2}{p}}$ 。每个子域中分别包含一个相，这些相通过界面 $ω (R) \leq C {(\frac{R}{R_{0}})}^{α} (ω (R_{0}) + R_{0}^{α} ({[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})} + M + F_{0})), \forall R \in (0, R_{0}],$ 分隔开。两相中都含有一种溶解的物质，这种物质由于对流和分子扩散而被输运，并不粘附在界面上。在本文中，假设所考虑的溶解质输运的两相流模型是理想模型，在每个相中都会发生对流传质和扩散传质。假设不会发生相变，反应；界面处没有传质阻力；也不会因为传质而引起界面湍动等。

Figure 1. Two-phase flow model

图1. 两相流模型

在相界面处，考虑定常界面情形。同时对于界面处考虑非完美界面条件 [5] [6] [8] 和Henry界面条件。如果给定的数据，界面 $u \in W (0, T; V)$ 和外边界 $\forall X_{0} = (x_{0}, 0) \in Γ$ 光滑，则问题的解在各个区域也非常光滑，但由于界面处的跳跃会使得解的全局正则性降低。在文献 [9] 中，只给出了Henry界面问题弱解的适定性。而在本文中我们着重讨论在上述两种界面条件下的线性两相流模型弱解的性质，我们的主要结论是在给定的Sobolev空间中，利用De Giorgi迭代法来估计线性问题的弱解，得到弱解在界面附近的局部性质，在此基础之上可进一步得到线性模型的弱解及其梯度的Hölder连续性。

设溶解质的浓度为 $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (0, R^{2}]$ ，标量 $0 < R \leq 1$ ，这个问题可以用浓度为 $d = \min {1, d i s t {x_{0}, \partial Ω}}$ 的对流–扩散方程来建模。 $0 < R \leq d$ 为界面 $0 < α \leq \min {α_{1}, 1 - \frac{n + 2}{p}}$ 上的单位外法向量，由 $C \geq 1$ 指向 $\max {\underset{Q_{R, 1}}{osc} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{osc} u_{2}} \leq C R^{α} (M + F_{0} + {[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})}),$ 。对于 $α, C$ ， $n, λ, Λ, p$ 为流体速度场， $Q_{R, i} = Q_{R} \cap Q_{i} (i = 1, 2)$ 为扩散系数矩阵， $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ 为标量传输系数。

非完美界面条件是指解在界面上的跳跃与界面两侧连续的法向流成正比。可得非完美界面问题的数学模型公式如下：

$Q_{T}$ (1.1)

其中 $Γ \times (0, T]$ ， $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ 满足非完美界面条件。

Henry界面条件要求界面在瞬间平衡的情况下，界面两侧的溶质浓度呈恒定比。同时施加另一个界面条件，即要求法向流在界面处是连续的。故有Henry界面问题的数学模型公式如下：

$u$ (1.2)

其中 $u$ 是分片常数，即在 $Γ \times (0, T]$ 中 $(Γ \times [0, T]) \cap Ω$ ，一般有 $u \in C^{α} ({\bar{Ω}}_{1} \times [0, T]) \times C^{α} ({\bar{Ω}}_{2} \times [0, T]) .$ 。 $0 < α \leq \min {α_{1}, 1 - \frac{n + 2}{p}}$ 。 $\partial_{p} Q_{T} \in C^{1 + α}$ 满足Henry界面条件。

2. 非完美界面模型

在本节中，讨论非完美界面问题(1.1)。

2.1. 函数分析框架

对于 $Γ \times (0, T] \in C^{1 + α}$ ，一般Sobolev空间记为 $k_{p g}^{i} \in C^{α} ({\bar{Ω}}_{i} \times [0, T])$ 。特别的， $w_{i}$ 。首先引进一些合适的空间：

$w_{i}^{j} \in M^{1, n + 1 + α} (Ω_{i}; d^{*}) (j = 1, \dots, n, i = 1, 2)$ $Λ_{1}$

令 ${[k_{p g}^{i}]}_{α} + {‖ w_{i}^{j} ‖}_{1, n + 1 + α} \leq Λ_{1} .$ ， $u \in W (0, T; V)$ ，且

$f_{i} \in M^{1, n + 1 + α} (Q_{i}; \tilde{δ})$

由文献 [10] 的定理3.13 (p. 175)可得

$u_{0}^{i} \in C^{1 + α} ({\bar{Ω}}_{i})$

其中 $u \in C^{1 + α} ({\bar{Ω}}_{1} \times [0, T]) \times C^{1 + α} ({\bar{Ω}}_{2} \times [0, T]),$ 表示嵌入。

迹算子：

$\sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{i} ‖}_{1 + α} \leq C (n, λ, Λ, Λ_{1}, \bar{m}, α, Q_{T}) (\sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{0}^{i} ‖}_{1 + α} + \sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{i} ‖}_{α} + \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{1, n + 1 + α}) .$

是有界的。令 $\tilde{u} = β u$ ，并且 ${[\tilde{u}]}_{Γ} = 0$ 。

下面给出问题(1.1)中的系数的有关假设。

假设2.1.1区域 $\tilde{u}$ 和 ${\tilde{u} |}_{Ω_{i} \times (0, T]} = {\tilde{u}}_{i}$ 是有界区域， $\begin{array}{l} \frac{1}{β} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial t} + \frac{1}{β} w \cdot \nabla \tilde{u} - d i v (\frac{1}{β} K (x, t) \nabla \tilde{u}) = f (x, t), & x \in Ω_{1} \cup Ω_{2}, t \in (0, T]; \\ \frac{1}{β_{1}} K_{1} (x, t) \nabla {\tilde{u}}_{1} \cdot n = \frac{1}{β_{2}} K_{2} (x, t) \nabla {\tilde{u}}_{2} \cdot n, & x \in Γ, t \in (0, T]; \\ {[\tilde{u}]}_{Γ} = 0, & x \in Γ, t \in (0, T]; \\ \tilde{u} (\cdot, 0) = {\tilde{u}}_{0}, & x \in Ω_{1} \cup Ω_{2}; \\ \tilde{u} (\cdot, t) = 0, & x \in \partial Ω, t \in (0, T] . \end{array}$ ，界面 ${\tilde{u}}_{0}$ ， $α_{1} \in (0, 1)$ 为 $\partial Ω$ 上的 $Γ$ 维Hausdroff测度。

假设2.1.2

1) 假设 $C^{1 + α_{1}}$ 在 $H = L^{2} (Ω)$ 上是一个充分光滑的速度场，并且满足：

i) ${(u, v)}_{H} = \int_{Ω} \frac{1}{β} u v d x,$ ， ${‖ \cdot ‖}_{H}$ ；

ii) 由于流体是不可压缩的，故有在 $V = H_{0}^{1} (Ω)$ 中 ${‖ u ‖}_{V}^{2} = {‖ u ‖}_{H}^{2} + {‖ \nabla u ‖}_{H}^{2}$ ；

iii) 在界面 ${‖ u ‖}_{V}$ 上速度场满足： ${‖ \nabla u ‖}_{H}$ 。

2) 扩散系数矩阵 $V ↘ H \equiv H^{'} ↘ V^{'}$ 和标量传输系数 $f \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$ 如下假设：

i) 扩散系数矩阵 ${\tilde{u}}_{0} (x) \in H$ 在 $F \in L^{2} (0, T; V^{'})$ 上是可测的，一致有界的和一致椭圆的，并且 $\tilde{u} \in W (0, T; V)$ 是对称的，即存在常数 ${\begin{array}{l} \frac{d \tilde{u}}{d t} (\tilde{v}) + a (t; \tilde{u} (t), \tilde{v}) \leq (\geq) F (t) (\tilde{v}), \forall \tilde{v} \in V; \\ \tilde{u} (0) = {\tilde{u}}_{0} (x) . \end{array}$ 使得

$\tilde{u}$

并且对于任意 $\tilde{u}$ ，在 $\frac{d \tilde{u}}{d t} (\tilde{v}) = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{1}{β_{i}} \frac{\partial {\tilde{u}}_{i}}{\partial t} {\tilde{v}}_{i} d x,$ 中几乎处处成立

$a (t; \tilde{u} (t), \tilde{v}) = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{1}{β_{i}} w_{i} \cdot (\nabla {\tilde{u}}_{i}) {\tilde{v}}_{i} + \frac{1}{β_{i}} {(\nabla {\tilde{v}}_{i})}^{⊤} K_{i} \nabla {\tilde{u}}_{i} d x,$

ii) 传输系数 $F (t) (\tilde{v}) = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} f_{i} {\tilde{v}}_{i} d x .$ 在 $a (t; \tilde{u} (t), \tilde{v})$ 上是可测的，并且存在常数 $V \times V$ 使得

$Q_{T}$

传输系数矩阵 $\tilde{u}$ ，则M是半正定矩阵，并且对于任意 $\tilde{u} \in W (0, T; V)$ ，有

$X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$

在上述假设的基础之上，给出问题的弱形式。给定 $Q_{ρ, τ} (X_{0}) = B_{ρ} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + τ] \subset Q_{T}$ 。对于 $k \in ℝ$ ，积分可得：

$ξ (x, t) \in C^{\infty} ([t_{0}, t_{0} + τ]; C_{0}^{\infty} (B_{ρ} (x_{0})))$

记

$0 \leq ξ \leq 1$

$ξ (\cdot, t_{0}) = 0$

$\begin{array}{l} \sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + τ} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + λ_{1} \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla (ξ {({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm}) ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} \\ \leq C^{*} [({‖ \frac{\partial ξ}{\partial t} ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})} + {‖ \nabla ξ ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})}^{2}) \sum_{i = 1}^{2} {‖ {({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} + F_{0, ρ, τ}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{ρ, τ, i} \cap [{({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm} > 0] |}^{1 - \frac{2}{p}}], \end{array}$

所以(1.1)的变分问题为：设 $B_{ρ, i} = B_{ρ} \cap Ω_{i}, Q_{ρ, τ, i} = Q_{ρ, τ} \cap Q_{i}$ 。寻找弱下解(弱上解) $0 < ρ, τ < 1$ 使得

$p > n + 2$ (2.1)

如果 $λ_{1} > 0$ 既是弱下解，又是弱上解，则称 $F_{0, ρ, τ} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{ρ, i}))} > 0$ 是弱解。

由文献 [10] (p. 184定理3.16)可知，若要证明线性问题(2.1)弱解的存在唯一性，只需表明 $C^{*}$ 在 $n, Λ, p, c_{0}, β_{1}, β_{2}$ 上是连续的和强制的。事实上，根据假设2.1.2和迹算子的有界性可得 $D G (Q_{T}) = D G (Q_{T}; λ_{1}, p, n, F_{0, ρ, τ}, C^{*})$ 是连续的。对于 $\tilde{u} \in W (0, T; V)$ 的强制性：任意 $\tilde{u} \in D G^{+} (Q_{T})$ ，有

$\tilde{u} \in W (0, T; V)$

其中

$\tilde{u} \in D G^{-} ( Q T )$

故有

$D G (Q_{T}) = D G^{+} (Q_{T}) \cap D G^{-} ( Q T )$

由于

$\tilde{u} \in W (0, T; V)$

$p > n + 2$

$f_{i} \in L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i})) (i = 1, 2)$

所以

$\tilde{u} \in D G^{+} ( Q T )$

其中 $\tilde{u} \in W (0, T; V)$ 是常数。

2.2. 预备知识

以下定义和定理参考文献 [11] 和 [12] ：对于任意 $\tilde{u} \in D G^{-} (Q_{T})$ ，令抛物距离为

$C^{*}$

假设D是 $n, Λ, p, c_{0}$ 中的有界区域，对于任意 $F_{0, ρ, τ} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{ρ, i}))} < \infty$ ，令 $\tilde{u} \in D G (Q_{T})$ ，其中 $\begin{array}{l} \sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + τ} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + λ_{2} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2^{*}} (B_{ρ, i}))}^{2} \\ \leq C^{*} [({‖ \frac{\partial ξ}{\partial t} ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})} + {‖ \nabla ξ ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})}^{2}) \sum_{i = 1}^{2} {‖ {({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} + F_{0, ρ, τ}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{ρ, τ, i} \cap [{({\tilde{u}}_{i} - k)}^{\pm} > 0] |}^{1 - \frac{2}{p}}], \end{array}$ ， $0 < α \leq α_{1}$ 是D关于抛物距离的直径。

定义2.2.1 (Morrey空间)对于 $\tilde{u} \in C^{α} (\bar{Ω} \times [0, T]) .$ ，令 $Γ \in C^{2}$ 表示由 $x_{0} \in Γ$ 中满足

$ρ > 0$

的所有函数u所组成的赋范线性空间。特别地，若 $C^{2}$ 是有界区域，对于任意 $γ : ℝ^{n - 1} \to ℝ$ ，记 $B^{1} = Ω_{1} \cap B_{ρ} (x_{0}) = {x \in B_{ρ} (x_{0}) | x_{n} > γ (x_{1}, \dots, x_{n - 1})},$ ， $Π = Γ \cap B_{ρ} (x_{0}) = {x \in B_{ρ} (x_{0}) | x_{n} = γ (x_{1}, \dots, x_{n - 1})},$ ， $B^{2} = Ω_{2} \cap B_{ρ} (x_{0}) = {x \in B_{ρ} (x_{0}) | x_{n} < γ (x_{1}, \dots, x_{n - 1})},$ ，定义 $B_{ρ} (x_{0})$ 是由 $x_{0}$ 中满足

${\begin{array}{l} y_{j} = x_{j} = : Φ^{j} (x), (j = 1, \dots, n - 1); \\ y_{n} = x_{n} - γ (x_{1}, \dots, x_{n - 1}) = : Φ^{n} (x) . \end{array}$

的所有函数u所组成的赋范线性空间。

定义2.2.2 (Campanato空间)对于 $y = Φ (x) .$ ，以 ${\begin{array}{l} x_{j} = y_{j} = : Ψ^{j} (y), (j = 1, \dots, n - 1); \\ x_{n} = y_{n} + γ (y_{1}, \dots, y_{n - 1}) = : Ψ^{n} (y) . \end{array}$ 表示由 $x = Ψ (y) .$ 中满足

$Ψ = Φ^{- 1}$

的所有函数u所组成的赋范线性空间，其上的范数定义为

$Φ : x \mapsto y$

且 $Π$ 表示u在 $J = \nabla Φ$ 上的积分平均值，即 $J^{- 1} = \nabla Ψ$

定义2.2.3 (Hölder空间)对于 $| \det (J) | = | \det (J^{- 1}) | = 1$ ，以 $Φ (x_{0}) = y_{0} \in Φ (Π) \subset {y_{n} = 0}$ 表示满足

$R \in (0, 1]$

的所有函数u所组成的线性空间，其上的范数定义为

$B_{R} (y_{0}) \subset Φ (B_{ρ} (x_{0}))$

显然有

$B_{R, 1} = B_{R} (y_{0}) \cap {y_{n} > 0} \subset Φ (B^{1}),$

令 $Σ = B_{R} (y_{0}) \cap {y_{n} = 0} \subset Φ (Π),$ 表示由 $B_{R, 2} = B_{R} (y_{0}) \cap {y_{n} < 0} \subset Φ (B^{2}) .$ 中满足

$Q_{R} (y_{0}, t_{0}) = B_{R} (y_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}]$

所有函数u所组成的赋范线性空间，其上的范数定义为

$Q_{R, i} = B_{R, i} \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}]$

定义2.2.4 称D是(A)型区域，如果存在常数A，使得对于任意 $0 < t_{0} - R^{2} < t_{0} < T$ ，都有

$v (y, t) = \tilde{u} (Ψ (y), t),$

定理2.2.1 设D是(A)型区域， ${v |}_{B_{R, i}} = v_{i} (i = 1, 2)$ ，则当 $\tilde{w} (y) = w (Ψ (y))$ 时，

$\tilde{K} (y, t) = K (Ψ (y), t)$

其中 $\tilde{f} (y, t) = f (Ψ (y), t)$ ， ${\tilde{v}}_{0} (y) = {\tilde{u}}_{0} (Ψ (y))$ 表示 $\tilde{n}$ 与 $B_{R, 1}$ 同时成立。

在以后的小节中，记

$B_{R, 2}$

${\begin{array}{l} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial t}; \\ \nabla_{x} \tilde{u} = J^{⊤} \nabla_{y} v; \\ d i v_{x} (K (x, t) \nabla_{x} \tilde{u}) = d i v_{y} (J \tilde{K} (y, t) J^{⊤} \nabla_{y} v); \\ n = \frac{J^{⊤} \tilde{n}}{| J^{⊤} \tilde{n} |} . \end{array}$

$z = J \tilde{w}$

$A = J \tilde{K} (y, t) J^{⊤}$

2.3. 弱解的极值原理

引理2.3.1 (文献( [13] , p. 95)引理5.6)非负序列 $\begin{array}{l} \frac{1}{β} \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{1}{β} z \cdot \nabla_{y} v - d i v_{y} (\frac{1}{β} A \nabla_{y} v) = \tilde{f} (y, t), & y \in B_{R, 1} \cup B_{R, 2}, t \in [t_{0} - R^{2}, t_{0}]; \\ \frac{1}{β_{1}} A_{1} \nabla_{y} v_{1} \cdot \tilde{n} = \frac{1}{β_{2}} A_{2} \nabla_{y} v_{2} \cdot \tilde{n}, & y \in Σ, t \in [t_{0} - R^{2}, t_{0}]; \\ {[v]}_{Σ} = 0, & y \in Σ, t \in [t_{0} - R^{2}, t_{0}] . \end{array}$ 满足递推关系式 $z, A$ ，其中 $c_{0}, λ, Λ$ ， $r \in (0, R]$ ，则如果 $ξ_{2 r} (y) \in C_{0}^{\infty} (B_{2 r} (y_{0}))$ ，必有 $τ_{2 r} (t) \in C^{\infty} (ℝ)$ 。

推论2.3.1令 $0 \leq ξ_{2 r} \leq 1$ 是定义在 $B_{r} (y_{0})$ 上的非增非负函数，并且存在 $ξ_{2 r} = 1$ 使得对于任意 ${| \nabla ξ_{2 r} |}^{2} \leq \frac{C}{r^{2}}$ ，有 $(t_{0} - r^{2}, + \infty)$ ，则当 $τ_{2 r} = 1$ ，有 $(- \infty, t_{0} - 4 r^{2}]$ 。

定理2.3.1 (极值原理)令问题的系数满足假设2.1.2。如果 $τ_{2 r} = 0$ 是问题的弱下解，且对于某个常数 $0 \leq τ_{2 r} \leq 1$ ， $| \frac{d τ_{2 r}}{d t} | \leq \frac{C}{r^{2}}$ ，则

$v (y, t) \in L^{1} ( Q R )$

其中C仅依赖于 ${\tilde{v}}_{2 r} (t) = {(\int_{B_{2 r}} ξ_{2 r}^{2} (y) d y)}^{- 1} \int_{B_{2 r}} v (y, t) ξ_{2 r}^{2} (y) d y, t \in (t_{0} - 4 r^{2}, t_{0}],$ ， $\int_{B_{2 r}} (v (y, t) - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ_{2 r}^{2} (y) d y = 0.$ ，且 $v (y, t) = \tilde{u} (x, t) \in W (0, T; V)$ 。

证明令 ${\tilde{v}}_{2 r} (t)$ ，for $\frac{d {\tilde{v}}_{2 r} (t)}{d t} \in L^{2} ((t_{0} - 4 r^{2}, t_{0}])$ ，取测试函数 $p > n + 2$ ，则 $q_{1} > \frac{n p}{n + p}$ ，且 $\tilde{f} \in L^{q_{1}} (Q_{R})$ 。由于 $v (y, t)$ 是弱下解，有

$\begin{array}{l} \sup_{t_{0} - r^{2} < t \leq t_{0}} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{r, i}} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{r} (t) |}^{2} d y + λ_{0} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t \\ \leq C {\frac{1}{r^{2}} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{2 r, i}} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{2 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}}, \end{array}$

即，

$n, β_{1}, β_{2}, c_{0}, Λ, p$

由假设2.1.2可得

$λ_{0}$

类似强制性的证明可得

$λ$

其中 $Q_{2 r} \subset Q_{R}$ 。

记 $φ (y, t) = (v - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ_{2 r}^{2} (y) τ_{2 r}^{2} (t)$ ，故有

$ξ, τ$

取 $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} \frac{\partial ((v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ τ)}{\partial t} (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ τ + \frac{1}{β_{i}} A_{i} (ξ τ \nabla v_{i}) \cdot (ξ τ \nabla v_{i}) d y \\ = \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} {\tilde{f}}_{i} (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ^{2} τ^{2} d y + \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} {(v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t))}^{2} ξ^{2} τ \frac{d τ}{d t} d y - \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} \frac{\partial {\tilde{v}}_{2 r} (t)}{\partial t} (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ^{2} τ^{2} d y \\ + \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} z_{i} \cdot (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) τ \nabla ξ ((v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ τ) d y - \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} A_{i} \nabla v_{i} \cdot τ^{2} 2 ξ (\nabla ξ) (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) d y . \end{array}$ 充分小，可得

$\begin{array}{l} | \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} \frac{\partial {\tilde{v}}_{2 r} (t)}{\partial t} (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ^{2} τ^{2} d y | \\ \leq τ^{2} | \frac{\partial {\tilde{v}}_{2 r} (t)}{\partial t} | \max {\frac{1}{β_{1}}, \frac{1}{β_{2}}} | \int_{B_{2 r}} (v - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ^{2} d y | = 0, \end{array}$

上式两边对t从0到T积分

$\begin{array}{l} | \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} z_{i} \cdot (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) τ \nabla ξ ((v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ τ) d y | \\ \leq 2 ε \sum_{i = 1}^{2} \frac{1}{β_{i}} \int_{B_{2 r, i}} {| ξ τ \nabla v_{i} |}^{2} d y + C \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} {| \nabla ξ |}^{2} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y, \end{array}$

因此

$\begin{array}{l} | \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} A_{i} \nabla v_{i} \cdot τ^{2} (2 ξ) (\nabla ξ) (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) d y | \\ \leq ε \sum_{i = 1}^{2} \frac{1}{β_{i}} \int_{B_{2 r, i}} {| ξ τ \nabla v_{i} |}^{2} d y + C \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{1}{β_{i}} {| \nabla ξ |}^{2} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y, \end{array}$

对于 $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} {\tilde{f}}_{i} (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ^{2} τ^{2} d y \\ \leq 2 ε \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} {| ξ τ \nabla v_{i} |}^{2} d y + 2 ε \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} {| \nabla ξ |}^{2} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y + C r^{n (1 - \frac{2}{p})} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{B_{2 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}, \end{array}$ ，

$ε$

则

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} \frac{\partial ((v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ τ)}{\partial t} (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ τ d y + (λ - 5 ε) \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} {| ξ τ \nabla v_{i} |}^{2} d y \\ \leq C {\sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} (| \frac{d τ}{d t} | + {| \nabla ξ |}^{2}) {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y + r^{n (1 - \frac{2}{p})} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{B_{2 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}} . \end{array}$

令 $t \in (t_{0} - 4 r^{2}, t_{0}]$ ，故有

$\begin{array}{l} \sup_{t_{0} - 4 r^{2} < t \leq t_{0}} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} {| (v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t)) ξ τ |}^{2} d y + λ_{0} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{2 r, i}} {| ξ τ \nabla v_{i} |}^{2} d y d t \\ \leq C {\frac{1}{r^{2}} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{2 r, i}} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{2 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}} . \end{array}$

由推论2.3.1可得，对于 $ξ_{r}$ ，有 $B_{r}$ ，即，

$\int_{B_{r}} ξ_{r}^{2} d y \geq | B_{\frac{r}{2}} | = \frac{| B_{r} |}{2^{n}}$

所以在 $g (l) = \int_{B_{r}} {(v (y, t) - l)}^{2} ξ_{r}^{2} d y$ 中， $g (l)$ ，因此

$l = {(\int_{B_{r}} ξ_{r}^{2} (y) d y)}^{- 1} \int_{B_{r}} v (y, t) ξ_{r}^{2} (y) d y = {\tilde{v}}_{r} ( t )$

□

推论2.3.2令问题(1.1)的系数满足假设2.1.2。如果 $\int_{B_{r}} {| {\tilde{v}}_{2 r} (t) - {\tilde{v}}_{r} (t) |}^{2} ξ_{r}^{2} d y \leq 4 {\int_{B_{r}} | v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} ξ_{r}^{2} d y,$ 是问题的弱解，且对于某个常数 $\int_{B_{r}} {| v - {\tilde{v}}_{r} (t) |}^{2} d y \leq 2 \int_{B_{r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y + 2 \int_{B_{r}} {| {\tilde{v}}_{2 r} (t) - {\tilde{v}}_{r} (t) |}^{2} d y \leq 2 (1 + 2^{n + 2}) \int_{B_{2 r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} ξ_{2 r}^{2} d y,$ ， $w (y) \in W^{1, q} (B_{r}) (1 \leq q < \infty)$ 则

${‖ w ‖}_{W^{1, q} (B_{r})} \leq C {{‖ \nabla w ‖}_{L^{q} (B_{r})} + {(\int_{B_{r}} ξ_{r}^{2} (y) d y)}^{- 1} \int_{B_{r}} w ξ_{r}^{2} d y},$

其中C仅依赖于 $1 \leq q < n$ ，且 ${‖ w ‖}_{L^{s} (B_{r})} \leq C r^{1 + \frac{n}{s} - \frac{n}{q}} {‖ w ‖}_{W^{1, q} (B_{r})}, (1 \leq s \leq \frac{n q}{n - q}),$ 。

2.4. 弱解的局部性质

定义2.4.1 称定义于 $q = n$ 上的函数 ${‖ w ‖}_{L^{s} (B_{r})} \leq C r^{1 + \frac{n}{s} - \frac{n}{q}} {‖ w ‖}_{W^{1, q} (B_{r})}, (1 \leq s < \infty) .$ 属于De Giorgi类，如果 ${‖ w - {\tilde{w}}_{r} ‖}_{L^{s} (B_{r})} \leq C r^{1 + \frac{n}{s} - \frac{n}{q}} {‖ \nabla w ‖}_{L^{q} (B_{r})},$ ， $1 \leq q < n$ ，且对于 $1 \leq s \leq \frac{n q}{n - q}$ ， $q = n$ ， $1 \leq s < \infty$ 满足 $p > n + 2$ ，并且 $q_{1} > \frac{n p}{n + p}$ ，有下式成立：

$\tilde{f} \in L^{q_{1}} (Q_{R})$ (2.2)

其中 $v (y, t)$ ， $\begin{array}{l} \sup_{t_{0} - r^{2} < t \leq t_{0}} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{r, i}} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{r} (t) |}^{2} d y + λ_{0} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t \\ \leq C {\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{2 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{2 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}}, \end{array}$ ，常数 $n, β_{1}, β_{2}, c_{0}, Λ, p$ ， $λ_{0}$ 只与 $λ$ 有关， ${\bar{Q}}_{2 r} \subset Q_{R}$ ， $Q \subset ℝ^{n + 1}$ ， $F \in L_{l o c}^{m} (Q)$ 依赖于 $G \in L_{l o c}^{m_{1}} (Q) (1 < m < m_{1})$ ，记De Giorgi类为 $F, G \geq 0$ 。如果 $Q_{r} \subset {\bar{Q}}_{2 r} \subset Q$ ，且满足(2.2)⁺，则记 $\frac{1}{| Q_{r} |} \int_{Q_{r}} F^{m} d y d t \leq a {\frac{1}{| Q_{2 r} |} \int_{Q_{2 r}} G^{m} d y d t + {(\frac{1}{| Q_{2 r} |} \int_{Q_{2 r}} F d y d t)}^{m}} + θ \frac{1}{| Q_{2 r} |} \int_{Q_{2 r}} F^{m} d y d t,$ ；如果 $a \geq 1$ ，且满足(2.2)^-，则记 $θ \in [0, 1)$ 。显然 $ε = ε (a, θ, m, n) > 0$ 。

定理2.4.1 设问题(1.1)的系数满足假设2.1.2。如果 $F \in L_{l o c}^{m_{0}} (Q) (\forall m < m_{0} < \min {m + ε, m_{1}}),$ 是问题的弱下解，且对于某个常数 $\frac{1}{| Q_{r} |} \int_{Q_{r}} F^{m_{0}} d y d t \leq c {\frac{1}{| Q_{2 r} |} \int_{Q_{2 r}} G^{m_{0}} d y d t + {(\frac{1}{| Q_{2 r} |} \int_{Q_{2 r}} F^{m} d y d t)}^{\frac{m_{0}}{m}}},$ ， $n, m, a, θ$ ，则 $a \to \infty$ ；如果 $ε \to 0$ 是问题的弱上解，则 $Q_{4 r}$ 。其中 $Q_{2 r}$ 依赖于 $L^{q}$ ，并且 $p > n + 2$ 。

证明如果 $q_{1} > \frac{n p}{n + p}$ 是问题的弱下解，令 $\tilde{f} \in L^{q_{1}} (Q_{R})$ 是 $q > 2$ 上的截断函数， $\nabla v_{i} \in L_{l o c}^{q} (Q_{R, i}), (i = 1, 2)$ ，并且 $Q_{4 r} \subset {\bar{Q}}_{4 r} \subset Q_{R}$ 。记 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{q} d y d t \leq C {\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{q_{1}} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{q}{2})} {(\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t)}^{\frac{q}{2}}},$ 。取测试函数为 $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{2 r, i}} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y d t = \int_{Q_{2 r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y d t \\ \leq {(\sup_{t_{0} - 4 r^{2} < t \leq t_{0}} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{2 r, i}} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y)}^{\frac{1}{2}} \int_{t_{0} - 4 r^{2}}^{t_{0}} {(\int_{B_{2 r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y)}^{\frac{1}{2}} d t \\ \leq C {\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{4 r, i}} {| f_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}}^{\frac{1}{2}} \\ \times \int_{t_{0} - 4 r^{2}}^{t_{0}} {(\int_{B_{2 r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{\frac{2 n}{n - 2}} d y)}^{\frac{n - 2}{4 n}} {(\int_{B_{2 r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y)}^{\frac{n + 2}{4 n}} d t \end{array}$ ，则

$s = \frac{2 n}{n - 2}, q = 2$

其中

${(\int_{B_{2 r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{\frac{2 n}{n - 2}} d y)}^{\frac{n - 2}{4 n}} \leq C {(\int_{B_{2 r}} {| \nabla v |}^{2} d y)}^{\frac{1}{4}} .$

$s = q = \frac{2 n}{n + 2}$

则

${(\int_{B_{2 r}} {| v - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y)}^{\frac{n + 2}{4 n}} \leq C r^{\frac{1}{2}} {(\int_{B_{2 r}} {| \nabla v |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y)}^{\frac{n + 2}{4 n}} .$

由于

$\begin{array}{l} r^{\frac{1}{2}} \int_{t_{0} - 4 r^{2}}^{t_{0}} {(\int_{B_{2 r}} {| \nabla v |}^{2} d y)}^{\frac{1}{4}} {(\int_{B_{2 r}} {| \nabla v |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y)}^{\frac{n + 2}{4 n}} d t \\ \leq C r^{\frac{1}{2}} {\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{4 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}}^{\frac{1}{4}} r^{1 - \frac{1}{n}} {(\int_{Q_{2 r}} {| \nabla v |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y d t)}^{\frac{n + 2}{4 n}}, \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{2 r, i}} {| v_{i} - {\tilde{v}}_{2 r} (t) |}^{2} d y d t \\ \leq C r^{\frac{3}{2} - \frac{1}{n}} {\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{4 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}}^{\frac{3}{4}} {(\int_{Q_{2 r}} {| \nabla v |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y d t)}^{\frac{n + 2}{4 n}} . \end{array}$ (2.3)

则

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t \\ \leq C r^{- \frac{1}{2} - \frac{1}{n}} {\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{4 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}}}^{\frac{3}{4}} {(\int_{Q_{2 r}} {| \nabla v |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y d t)}^{\frac{n + 2}{4 n}} \\ + C r^{(n + 2) (1 - \frac{2}{p}) - \frac{4}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {(\int_{Q_{4 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t)}^{\frac{2 (n + p)}{n p}} \\ \leq ε \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t + C_{1} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t + C (ε) r^{- \frac{2 (n + 2)}{n}} {(\sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y d t)}^{\frac{n + 2}{n}}, \end{array}$

取 $C_{1}$ 充分小，对于任意 $\sum_{i = 1}^{2} {‖ {\tilde{f}}_{i} ‖}_{L^{\frac{n p}{n + p}} (Q_{R, i})}$ ，积分可得

$| Q_{r} |$ (2.4)

对于，在 $| Q_{4 r} | = 4^{n + 2} | Q_{r} |$ 上关于t取上确界，有 $\begin{matrix} \frac{1}{| Q_{r} |} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t \leq ε 4^{n + 2} \frac{1}{| Q_{4 r} |} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{2} d y d t + C_{1} \frac{1}{| Q_{4 r} |} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| {\tilde{f}}_{i} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t \\ + C (ε) {(\frac{1}{| Q_{4 r} |} \sum_{i = 1}^{2} \int_{Q_{4 r, i}} {| \nabla v_{i} |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y d t)}^{\frac{n + 2}{n}} . \end{matrix}$ 成立。

如果 $ε \in (0, 1]$ 是问题的弱上解，同理可证 $ε 4^{n + 2} \leq \frac{1}{2}$ 。

□

注2.4.1 如果 $r \in (0, R]$ ，则由可得

$\frac{1}{| Q_{r} |} \int_{Q_{r}} {| \nabla v |}^{2} d y d t \leq \frac{1}{2} \frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} {| \nabla v |}^{2} d y d t + C_{1} \frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} {| \tilde{f} |}^{\frac{n p}{n + p}} d y d t + C {(\frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} {| \nabla v |}^{\frac{2 n}{n + 2}} d y d t)}^{\frac{n + 2}{n}} .$ (2.5)

定理2.4.2 (局部极值原理)令 $m = \frac{n + 2}{n}, m_{1} = \frac{q_{1} (n + p) (n + 2)}{n^{2} p},$ ， $F = {| \nabla v |}^{\frac{2 n}{n + 2}}, G = {({| \tilde{f} |}^{\frac{n p}{n + p}})}^{\frac{n}{n + 2}} .$ ，常数 $F \in L_{l o c}^{m} (Q_{R}), G \in L_{l o c}^{m_{1}} (Q_{R}) (1 < m < m_{1}) .$ ，则对于任意 $\frac{1}{| Q_{r} |} \int_{Q_{r}} F^{m} d y d t \leq \frac{1}{2} \frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} F^{m} d y d t + C {\frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} G^{m} d y d t + {(\frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} F d y d t)}^{m}},$ ，有

$β_{1}, β_{2}, n, λ, Λ, c_{0}, p, \sum_{i = 1}^{2} {‖ {\tilde{f}}_{i} ‖}_{L^{\frac{n p}{n + p}} (Q_{R, i})}$

如果 $m_{0} \in (m, m_{1}]$ ，则有

$F \in L_{l o c}^{m_{0}} ( Q R )$

其中C仅依赖于 $\frac{1}{| Q_{r} |} \int_{Q_{r}} F^{m_{0}} d y d t \leq C {\frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} G^{m_{1}} d y d t + {(\frac{1}{| Q_{4 r} |} \int_{Q_{4 r}} F^{m} d y d t)}^{\frac{m_{0}}{m}}} .$ 的参数， $q = \frac{2 n m_{0}}{n + 2}$ ，并且 $q > 2$ 。

证明下面只证明第一种情况。令 $\int_{Q_{r}} {| \nabla v |}^{q} d y d t \leq C {\int_{Q_{4 r}} {| \tilde{f} |}^{q_{1}} d y d t + r^{(n + 2) (1 - \frac{q}{2})} {(\int_{Q_{4 r}} {| \nabla v |}^{2} d y d t)}^{\frac{q}{2}}} .$ ； $L^{q}$ ，其中 $Q_{i} = Ω_{i} \times (0, T] (i = 1, 2)$ 待定。令 $L^{q}$ ，且取 $(i = 1, 2)$ 是 $C^{μ, k} ({\bar{Ω}}_{i} \times [0, T]) = {g (x, t) : g (x, t)$ 上的截断函数，并且满足

$C^{k}$

应用公式(2.5)⁺，有

$μ$

令 $μ \in [0, 1], k \in ℕ_{+}}$ 。首先取 ${‖ g (x, t) ‖}_{C^{μ, k} ({\bar{Ω}}_{i} \times [0, T])} = \sum_{s = 0}^{k} \sup_{{\bar{Ω}}_{i} \times [0, T]} | D_{t}^{s} g (x, t) | + \sup_{x, y \in Ω_{i}, t \in [0, T]} \frac{| g (x, t) - g (y, t) |}{{| x - y |}^{μ}} .$ ，则有

$K (x, t)$

令 $K_{i} (x, t) \in C^{μ, \infty} ({\bar{Ω}}_{i} \times [0, T])$ ，则有

$μ \in (0, 1)$

又因为 $C^{'}$ ，则

$| K_{i} (x, t) - K_{i} (y, t) | \leq C^{'} {| x - y |}^{μ}, \forall (x, t), (y, t) \in Ω_{i} \times (0, T) .$

故有

$l \geq 1$

所以

$\begin{matrix} φ_{m + 1} \leq \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \\ \leq C {| A_{m} (k_{m + 1}) |}^{\frac{2}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2^{*}} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \\ \leq C {| A_{m} (k_{m + 1}) |}^{\frac{2}{n}} (\frac{C 2^{2 m}}{R^{2}} φ_{m} + \frac{C k^{2}}{R^{2 (1 - \frac{n}{p})}} {| A_{m} (k_{m + 1}) |}^{1 - \frac{2}{p}}) \\ \leq C 2^{2 m (1 + \frac{2}{n})} (\frac{φ_{m}^{1 + \frac{2}{n}}}{R^{2} k^{\frac{4}{n}}} + \frac{φ_{m}^{1 - \frac{2}{p} + \frac{2}{n}}}{R^{2 (1 - \frac{n}{p})} k^{\frac{4}{n} - \frac{4}{p}}}) . \end{matrix}$

令 $\sum_{s = 0}^{l} | D_{t}^{s} K_{i} (x, t) | \leq Λ_{2 l}, Ω_{i} \times (0, T);$ ，则

$\sum_{s = 0}^{l} | D_{t}^{s} K_{i} (x, t) - D_{t}^{s} K_{i} (y, t) | \leq Λ_{2 l} {| x - y |}^{μ}, Ω_{i} \times (0, T) .$

因此

$ϵ > 0$

令 $Ω_{ϵ} = {x \in Ω | d i s t (x, \partial Ω) > ϵ} .$ ，则

$\tilde{f} \in L^{\infty} ( Q T )$

由引理2.3.1可得，如果

$\tilde{u} \in W (0, T; V)$ (2.6)

其中 $0 < ϵ < \frac{1}{2}$ ，即

$α^{*} < \min {μ, \frac{α}{2 (1 + α)}}$ (2.7)

则 ${‖ \tilde{u} ‖}_{L^{\infty} (Ω_{ϵ} \times (ϵ T, T))} + {‖ \nabla_{x} \tilde{u} ‖}_{C^{α^{*}, 0} ((Ω_{ϵ} \cap {\bar{Ω}}_{i}) \times (ϵ T, T))} \leq C ({‖ \tilde{u} ‖}_{L^{2} (Q_{T})} + {‖ \tilde{f} ‖}_{L^{\infty} (Q_{T})}),$ ，所以在 $n, β_{1}, β_{2}, c_{0}, λ, Λ, C^{'}, μ, α, ϵ, T, {‖ K_{i} ‖}_{C^{α^{*}, 1} ({\bar{Ω}}_{i} \times [0, T])}$ 中，我们有 $Ω_{i}$ 。现在取k满足 $C^{1 + α}$ ，则条件(2.7)成立，即(2.6)满足。总结以上关于k的选取，最终取k为

$(i = 1, 2)$

所以结论得证。

□

有了局部极值原理之后，我们总假设弱解在界面附近是有界的。在此前提之下，将会得到弱解的一些局部性质。为了适应方程的需要，下面对De Giorgi类的定义稍加修改。

定义2.4.2我们称定义于 ${‖ \nabla_{x} \tilde{u} ‖}_{L^{\infty} (Ω_{ϵ} \times (ϵ T, T))} \leq C ({‖ \tilde{u} ‖}_{L^{2} (Q_{T})} + {‖ \tilde{f} ‖}_{L^{\infty} (Q_{T})}) .$ 上的函数 $L^{q}$ 属于De Giorgi类，如果 $q > 2$ ， $L^{q}$ ， $L^{q}$ ，并且存在 $Ω \subset ℝ^{n} (n > 2)$ ，使得对于任意k满足：

$\partial Ω$ (2.8)

有 $Ω_{1} \subset Ω$ 满足，记 $Γ \in C^{2}$ ，同样可定义 $Ω_{2} = Ω ∖ Ω_{1}$ 。

引理2.4.1 (De Giorgi lemma) (文献 [13] )设 $Γ = \partial Ω_{1}$ ，记 $Γ$ ，则对于 $\partial Ω$ ，有

$u = (u_{1}, u_{2})$

其中 $u_{1} : Ω_{1} \times (0, T] \to ℝ, u_{2} : Ω_{2} \times (0, T] \to ℝ$ 只依赖于n。

定理2.4.3令 $u (x, t)$ ， $n$ ， $Γ$ ， $Ω_{1}$ ，则存在 $Ω_{2}$ ，使得对于 $i = 1, 2$ ，如果

$w_{i} = w_{i} (x)$ (2.9)

$K_{i} = K_{i} (x, t)$ (2.10)

则

$m_{Γ} = m_{Γ} (x, t)$

其中 $\begin{array}{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} + w_{i} \cdot \nabla u_{i} - d i v (K_{i} (x, t) \nabla u_{i}) = f_{i} (x, t), & x \in Ω_{i}, i = 1, 2, t \in (0, T]; \\ m_{Γ} (x, t) {[u]}_{Γ} = K_{1} (x, t) \nabla u_{1} \cdot n, & x \in Γ, t \in (0, T]; \\ K_{1} (x, t) \nabla u_{1} \cdot n = K_{2} (x, t) \nabla u_{2} \cdot n, & x \in Γ, t \in (0, T]; \\ u_{i} (\cdot, 0) = u_{0}^{i}, & x \in Ω_{i}, i = 1, 2; \\ u_{2} (\cdot, t) = 0, & x \in \partial Ω, t \in (0, T] . \end{array}$ 仅依赖于 ${[u]}_{Γ} = {u_{2} |}_{Γ} - {u_{1} |}_{Γ}$ 的参数，并且 $u_{0} (x) = (u_{0}^{1}, u_{0}^{2})$ 。

证明令 $u_{0} (x)$ ； $\begin{array}{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} + w_{i} \cdot \nabla u_{i} - d i v (K_{i} (x, t) \nabla u_{i}) = f_{i} (x, t), & x \in Ω_{i}, i = 1, 2, t \in (0, T]; \\ K_{1} (x, t) \nabla u_{1} \cdot n = K_{2} (x, t) \nabla u_{2} \cdot n, & x \in Γ, t \in (0, T]; \\ {[β u]}_{Γ} = 0, & x \in Γ, t \in (0, T]; \\ u_{i} (\cdot, 0) = u_{0}^{i}, & x \in Ω_{i}, i = 1, 2; \\ u_{2} (\cdot, t) = 0, & x \in \partial Ω, t \in (0, T] . \end{array}$ 。记 $β$ ，取与定理2.4.2中相同的截断函数 $Ω_{i}$ 。在 ⁺中分别取 $β = β_{i} > 0$ 代替 $β_{1} \neq β_{2}$ ，则

${[β u]}_{Γ} = {β_{2} u_{2} |}_{Γ} - {β_{1} u_{1} |}_{Γ}$

令 $u_{0} (x)$ ，则

$p \in [1, \infty]$

又因为

$W^{1, p} ( Ω )$

所以

$H^{1} (Ω) : = W^{1, 2} ( Ω )$

由条件可得， ${\begin{array}{l} V_{1} = H^{1} (Ω_{1}); \\ V_{2} = {v_{2} \in H^{1} (Ω_{2}) | {v_{2} |}_{\partial Ω} = 0}; \\ V = V_{1} \times V_{2}, {‖ v ‖}_{V}^{2} = {‖ v_{1} ‖}_{H^{1} (Ω_{1})}^{2} + {‖ v_{2} ‖}_{H^{1} (Ω_{2})}^{2} \end{array}$ ，且，则有

$H = L^{2} (Ω_{1}) \times L^{2} ( Ω 2 )$

令 $W (0, T; V) : = {v \in L^{2} (0, T; V) | v_{t} \in L^{2} (0, T; V^{'})}$ ，且 ${‖ v ‖}_{H}^{2} = {‖ v_{1} ‖}_{L^{2} (Ω_{1})}^{2} + {‖ v_{2} ‖}_{L^{2} (Ω_{2})}^{2}, {‖ v ‖}_{W}^{2} = {‖ v ‖}_{L^{2} (0, T; V)}^{2} + {‖ v_{t} ‖}_{L^{2} (0, T; V^{'})}^{2} .$ ，则

$W (0, T; V) ↘ C ([0, T]; H),$

注意 $↘$ ，由引理2.3.1可得，存在 ${tr}_{Γ}^{i} : V_{i} \to L^{2} (Γ), (i = 1, 2),$ 使得当 ${tr}_{Γ} u = {({tr}_{Γ}^{1} u_{1}, {tr}_{Γ}^{2} u_{2})}^{⊤}$ ，有 ${‖ {tr}_{Γ} u ‖}_{L^{2} {(Γ)}^{2}} = {‖ {tr}_{Γ}^{1} u_{1} ‖}_{L^{2} (Γ)} + {‖ {tr}_{Γ}^{2} u_{2} ‖}_{L^{2} (Γ)}$ 。所以在 $Ω_{1}$ 中， $Ω_{2}$ 。因此结论得证。

□

定理2.4.4令 $\partial Ω \in Lip$ ， $Γ = \partial Ω_{1} \in C^{2}$ ，如果 $H_{n - 1}$ ， $Γ$ ， $n - 1$ ，对于 $w_{i} = w_{i} (x) (i = 1, 2)$ ， $Ω_{i}$ ， $w_{i} (\cdot) \in {[H^{1} (Ω_{i})]}^{n}$ 满足

${‖ w_{i} (\cdot) ‖}_{L^{\infty} (Ω_{i})} \leq c_{0} < \infty$ (2.11)

其中 $Ω_{i}$ ， $d i v w_{i} = 0$ ，则存在 $Γ$ ，使得或者

$w_{1} \cdot n = w_{2} \cdot n = 0$ (2.12)

或者

$K_{i} = K_{i} (x, t) (i = 1, 2)$ (2.13)

成立，其中 $m_{Γ} = m_{Γ} (x, t)$ ，s仅依赖于 $K_{i} (\cdot, t) = {(k_{p q}^{i} (\cdot, t))}_{p q}$ ，并且 $Ω_{i}$ 。

在证明定理2.4.4之前，先给出以下两个辅助引理。

引理2.4.2令 $K_{i}$ ， $λ, Λ > 0$ ，如果 $\sum_{p, q = 1}^{n} {‖ k_{p q}^{i} ‖}_{L^{\infty} (Ω_{i})} \leq Λ, a . e . t \in [0, T];$ ， $ξ \in ℝ^{n}$ ， $Ω_{i}$ ， $λ {| ξ |}^{2} \leq ξ^{⊤} K_{i} (\cdot, t) ξ \leq Λ {| ξ |}^{2}, a . e . t \in [0, T] .$ ，对于 $m_{Γ} = m_{Γ} (\cdot, t)$ ， $Γ$ ， $\bar{m} \geq \underline{m} > 0$ 满足

$\underline{m} \leq m_{Γ} (x, t) \leq \bar{m}, a . e . (x, t) \in Γ \times [0, T] .$ (2.14)

其中 $M = (\begin{matrix} m_{Γ} & - m_{Γ} \\ - m_{Γ} & m_{Γ} \end{matrix})$ ， $r = (r_{1}, r_{2}) \in ℝ^{2}$ ，则对于任意正整数 $r^{⊤} M r \overset{a . e .}{=} 0 \Leftrightarrow r_{1} = r_{2} .$ ，或者

$f_{i} \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω_{i}))$ (2.15)

或者

$\forall v = (v_{1}, v_{2}) \in V$ (2.16)

成立，其中 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{\partial u_{i}}{\partial x} v_{i} + w_{i} \cdot (\nabla u_{i}) v_{i} + {(\nabla v_{i})}^{⊤} K_{i} \nabla u_{i} d x + \int_{Γ} {({tr}_{Γ} u)}^{⊤} M ({tr}_{Γ} v) d H_{n - 1} = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} f_{i} v_{i} d x .$ ， $\frac{d u}{d t} (v) = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} v_{i} d x,$ ，C依赖于 $a (t; u (t), v) = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} w_{i} \cdot (\nabla u_{i}) v_{i} + {(\nabla v_{i})}^{⊤} K_{i} \nabla u_{i} d x + \int_{Γ} {({tr}_{Γ} u)}^{⊤} M ({tr}_{Γ} v) d H_{n - 1},$ 。

证明对于 $F (t) (v) = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} f_{i} v_{i} d x,$ ，记 $u_{0} (x) \in H, F \in L^{2} (0, T; V^{'})$ ， $u \in W (0, T; V)$ ，所以 ${\begin{array}{l} \frac{d u}{d t} (v) + a (t; u (t), v) \leq (\geq) F (t) (v), \forall v \in V; \\ u (0) = u_{0} (x) . \end{array}$ 。取 $u$ ，则 $u$ 。对于 $a (t; u (t), v)$ ，由引理2.4.1可以得到

$V \times V$ (2.17)

应用条件(2.14)可知， $a (t; u (t), v)$ ，则 $a (t; u (t), v)$ ，因此对应用Hölder不等式，可以得到

$v \in V$ (2.18)

对两边关于 $a (t; v, v) = \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} w_{i} \cdot (\nabla v_{i}) v_{i} + {(\nabla v_{i})}^{⊤} K_{i} \nabla v_{i} d x + \int_{Γ} {({tr}_{Γ} v)}^{⊤} M ({tr}_{Γ} v) d H_{n - 1},$ 积分，进而可得

$\sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} w_{i} \cdot (\nabla v_{i}) v_{i} d x = 0.$ (2.19)

令 $a (t; v, v) \geq \min {λ, \underline{m}} [{‖ \nabla v_{1} ‖}_{L^{2} (Ω_{1})}^{2} + {‖ \nabla v_{2} ‖}_{L^{2} (Ω_{2})}^{2} + \int_{Γ} {(v_{1} - v_{2})}^{2} d H_{n - 1}] .$ ， ${‖ v_{2} ‖}_{H^{1} (Ω_{2})}^{2} \leq c_{2} ({‖ \nabla v_{2} ‖}_{L^{2} (Ω_{2})}^{2} + \int_{\partial Ω} v_{2}^{2} d s) = c_{2} {‖ \nabla v_{2} ‖}_{L^{2} (Ω_{2})}^{2},$ ，并且在两边对i求和，有

${‖ v_{1} ‖}_{H^{1} (Ω_{1})}^{2} \leq c_{1} ({‖ \nabla v_{1} ‖}_{L^{2} (Ω_{1})}^{2} + \int_{Γ} v_{1}^{2} d H_{n - 1}),$

取 $\int_{Γ} v_{1}^{2} d H_{n - 1} \leq 2 \int_{Γ} {(v_{1} - v_{2})}^{2} d H_{n - 1} + 2 \int_{Γ} v_{2}^{2} d H_{n - 1} \leq 2 \int_{Γ} {(v_{1} - v_{2})}^{2} d H_{n - 1} + 2 c_{3}^{2} {‖ v_{2} ‖}_{H^{1} (Ω_{2})}^{2},$ 是 $a (t; v, v) \geq \frac{\min {λ, \underline{m}}}{\max {c_{1}, 2 c_{1}, 2 c_{3}^{2} c_{1} (c_{2} + 1)}} {‖ v ‖}_{V}^{2} = α_{0} {‖ v ‖}_{V}^{2},$ 上的截断函数，使得在 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 上有 $X = (x, t_{X}), Y = (y, t_{Y}) \in Q_{T}$ 。由于 $\tilde{δ} (X, Y) = \max {| x - y |, {| t_{x} - t_{y} |}^{\frac{1}{2}}} .$ ，类似定理2.4.1的证明，取 $ℝ^{n + 1}$ ， $X \in D$ ，则有

$D (X, r) = D \cap Q_{r} ( X )$

其中 $Q_{r} (X) = B_{r} (x) \times (t_{X} - r^{2}, t_{X} + r^{2})$ 。如果不成立，则 $d = d i a m (D)$ ，进而可得 $p \geq 1, θ \geq 0$ ，所以

$M^{p, θ} (D; \tilde{δ})$ (2.20)

对(2.20)关于l从 $L^{p} (D)$ 到 ${‖ u ‖}_{M^{p, θ} (D; \tilde{δ})} : = {(\sup_{X \in \bar{D}, d \geq ρ > 0} ρ^{- θ} \int_{D (X, ρ)} {| u (Y) |}^{p} d Y)}^{\frac{1}{p}} < \infty,$ 求和，可以得到

$Ω \subset ℝ^{n}$

因此

$x \in Ω$

□

引理2.4.3 令 $Ω (x, r) = Ω \cap B_{r} (x)$ ， $d_{1} = d i a m (Ω)$ ，如果 $d^{*} (x, y) = | x - y |$ ， $M^{p, θ} (Ω; d^{*})$ ， $L^{p} (Ω)$ ，对于 ${‖ u ‖}_{M^{p, θ} (Ω; d^{*})} : = {(\sup_{x \in \bar{Ω}, d_{1} \geq ρ > 0} ρ^{- θ} \int_{Ω (x, ρ)} {| u (y) |}^{p} d y)}^{\frac{1}{p}} < \infty,$ ， $p \geq 1, θ \geq 0$ ， $L^{p, θ} (D; \tilde{δ})$ 满足

$L^{p} (D)$ (2.21)

其中 ${[u]}_{L^{p, θ} (D; \tilde{δ})} : = {(\sup_{X \in D, d \geq ρ > 0} ρ^{- θ} \int_{D (X, ρ)} {| u (Y) - u_{X, ρ} |}^{p} d Y)}^{\frac{1}{p}} < \infty,$ ， ${‖ u ‖}_{L^{p, θ} (D; \tilde{δ})} = {({‖ u ‖}_{L^{p} (D)}^{p} + {[u]}_{L^{p, θ} (D; \tilde{δ})}^{p})}^{\frac{1}{p}},$ ，则存在 $u_{X, ρ}$ 使得或者

$D (X, ρ)$ (2.22)

或者

$u_{X, ρ} = \frac{1}{| D (X, ρ) |} \int_{D (X, ρ)} u (Y) d Y$ (2.23)

成立，其中 $0 < α \leq 1$ 仅依赖于 $C^{α} (\bar{D}; \tilde{δ})$ ，并且 ${[u]}_{α; D} : = \sup_{X, Y \in D, X \neq Y} \frac{| u (X) - u (Y) |}{\tilde{δ} {(X, Y)}^{α}} < \infty,$ 。

证明令 ${‖ u ‖}_{α; D} = \sup_{D} | u | + {[u]}_{α; D} .$ 是 $C^{α} (\bar{D}; \tilde{δ}) ↘ C (\bar{D}) .$ 上的截断函数，使得 $C^{1 + α} (\bar{D}; \tilde{δ})$ 上有 $C^{1} (\bar{D}; \tilde{δ})$ ，其中 ${[u]}_{1 + α; D} : = \sum_{i = 1}^{n} \sup_{X, Y \in D, X \neq Y} \frac{| D_{i} u (X) - D_{i} u (Y) |}{\tilde{δ} {(X, Y)}^{α}} + \sup_{(x, t_{1}), (x, t_{2}) \in D, t_{1} \neq t_{2}} \frac{| u (x, t_{1}) - u (x, t_{2}) |}{{| t_{1} - t_{2} |}^{\frac{1 + α}{2}}} < \infty,$ 未知，对于 ${‖ u ‖}_{1 + α; D} = \sup_{D} | u | + \sum_{i = 1}^{n} \sup_{D} | D_{i} u | + {[u]}_{1 + α; D} .$ ，在 $X \in D, 0 < ρ \leq d i a m (D)$ 上类似定理2.4.1的证明，记 $| D (X, ρ) | \geq A | Q_{ρ} (X) | .$ ，故有

$\begin{array}{l} \sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + a R^{2}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{+} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{R, i})}^{2} \\ \leq (1 + ε) \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{+} (\cdot, t_{0}) ‖}_{L^{2} (B_{R, i})}^{2} + γ (ε) [\frac{C H^{2}}{{(1 - β)}^{2} R^{2}} | A_{R}^{a} (k) | + {(M + F_{0, R}^{a})}^{2} {| A_{R}^{a} (k) |}^{1 - \frac{2}{p}}], \end{array}$

其中 $n + 2 < θ \leq n + 2 + p$ 。对于任意整数 $L^{p, θ} (D; \tilde{δ}) ≅ C^{α} (\bar{D}; \tilde{δ}),$ ，我们有

$α = \frac{θ - (n + 2)}{p}$

如果(2.22)不成立，并且应用条件(2.21)，故可以得到

$A ≅ B$

其中 $A ↘ B$ 。显然对于 $B ↘ A$ ，可得

$Q_{T} = Ω \times (0, T], Q_{i} = Ω_{i} \times (0, T] (i = 1, 2);$

首先取 $\partial_{p} Q_{T} = {(x, t) | x \in \bar{Ω}, t = 0} \cup (\partial Ω \times (0, T]);$ 使得 $\sup_{\partial_{p} Q_{T}} u = \max {\sup_{\partial_{p} Q_{T}} u_{1}, \sup_{\partial_{p} Q_{T}} u_{2}};$ ，则

$v^{+} : = \max {v, 0}, v^{-} : = {(- v)}^{+} = \max {- v, 0} .$

由于 $y_{h} (h = 0, 1, \dots)$ 是关于 $y_{h + 1} \leq C b^{h} y_{h}^{1 + ε}$ 的严格递增函数，令 $b > 1$ 是其逆函数。当 $ε > 0$ ，有 $y_{0} \leq θ : = C^{- \frac{1}{ε}} b^{- \frac{1}{ε^{2}}}$ ，则 $\lim_{h \to \infty} y_{h} = 0$ 。取 $φ (t)$ ，故有

$[k_{0}, \infty)$ (2.24)

又因为 $C > 0, α > 0, β > 1$ ，取 $h > k \geq k_{0}$ 使得 $φ (h) \leq \frac{C}{{(h - k)}^{α}} {[φ (k)]}^{β}$ 。对于如此确定的常数a，不妨设 $d \geq C^{\frac{1}{α}} {[φ (k_{0})]}^{\frac{β - 1}{α}} 2^{\frac{β}{β - 1}}$ 是整数N，记 $φ (k_{0} + d) = 0$ 。

我们将会通过数学归纳法证明以下结论：存在 $u \in W (0, T; V)$ 使得

$p > n + 2$ (2.25)

其中 $f_{i} \in L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i})) (i = 1, 2)$ 仅依赖于 $\max {\underset{Q_{1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{2}}{ess \sup} u_{2}} \leq \sup_{\partial_{p} Q_{T}} u^{+} + C F_{0} {| Ω |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{p}},$ 。

Step (1) 当 $n, λ, \underline{m}, p, T$ ，已知

$\sup_{\partial_{p} Q_{T}} u^{+} = \max {\sup_{\partial_{p} Q_{T}} u_{1}^{+}, \sup_{\partial_{p} Q_{T}} u_{2}^{+}}$

取 $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ 充分大，可以得到

$k_{0} = \sup_{\partial_{p} Q_{T}} u^{+}$

应用引理2.4.2，对于任意 $k \geq k_{0}$ ，有

$v_{1} = {(u_{1} - k)}^{+}, v_{2} = {(u_{2} - k)}^{+}$ (2.26)

其中 ${v_{2} |}_{\partial Ω \times (0, T]} = 0$ ，C只依赖于 $v = {(v_{1}, v_{2}) |}_{t = 0} = 0$ 。在中取 $u$ 分别代替 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} v_{i} + w_{i} \cdot (\nabla u_{i}) v_{i} + {(\nabla v_{i})}^{⊤} K_{i} \nabla u_{i} d x + \int_{Γ} m_{Γ} (u_{1} - u_{2}) (v_{1} - v_{2}) d H_{n - 1} \leq \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} f_{i} v_{i} d x,$ ，并且将不等式代入的右侧，则有

$\sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{\partial v_{i}}{\partial t} v_{i} + w_{i} \cdot (\nabla v_{i}) v_{i} + {(\nabla v_{i})}^{⊤} K_{i} \nabla v_{i} d x + \int_{Γ} m_{Γ} {(v_{1} - v_{2})}^{2} d H_{n - 1} \leq \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} f_{i} v_{i} d x .$ (2.27)

首先取 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{\partial v_{i}}{\partial t} v_{i} + λ {| \nabla v_{i} |}^{2} d x + \underline{m} \int_{Γ} {(v_{1} - v_{2})}^{2} d H_{n - 1} \leq \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} f_{i} v_{i} d x .$ 足够大使得的右端方括号中的第二项不大于 $λ \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla v_{i} ‖}_{L^{2} (Ω_{i})}^{2} + \underline{m} \int_{Γ} {(v_{1} - v_{2})}^{2} d H_{n - 1} \geq C [{‖ v_{1} ‖}_{L^{2^{*}} (Ω_{1})}^{2} + {‖ v_{2} ‖}_{L^{2^{*}} (Ω_{2})}^{2}],$ ，然后取 $2^{*} = \frac{2 n}{n - 2}$ 使得方括号中的第一项不大于 $Ω_{i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k] = {x \in Ω_{i} | u_{i} (x, t) > k} (i = 1, 2)$ ，对于选定的 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{\partial v_{i}}{\partial t} v_{i} d x + C \sum_{i = 1}^{2} {‖ v_{i} ‖}_{L^{2^{*}} (Ω_{i})}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} f_{i} v_{i} d x \leq \sum_{i = 1}^{2} (ε {‖ v_{i} ‖}_{L^{2^{*}} (Ω_{i})}^{2} + C (ε) {‖ f_{i} ‖}_{L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i})}^{2} {| Ω_{i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k] |}^{1 - \frac{2}{p}}),$ ，我们有

$ε$

Step (2) 在 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{Ω_{i}} \frac{\partial v_{i}}{\partial t} v_{i} d x + C_{0} \sum_{i = 1}^{2} {‖ v_{i} ‖}_{L^{2^{*}} (Ω_{i})}^{2} \leq C (ε) \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i})}^{2} {| Ω_{i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k] |}^{1 - \frac{2}{p}}$ 上应用 ⁺，然后重复以上步骤，可证明(2.25)对 $\sum_{i = 1}^{2} {‖ v_{i} (\cdot, T) ‖}_{L^{2} (Ω_{i})}^{2} + C_{0} \sum_{i = 1}^{2} {‖ v_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{2^{*}} (Ω_{i}))}^{2} \leq C F_{0}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{i} \cap [u_{i} > k] |}^{1 - \frac{2}{p}}$ 成立。

因此有结论成立。

□

定理2.4.4的证明：

根据定理2.4.4的条件，引理2.4.3成立，令 $\sum_{i = 1}^{2} {‖ v_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{2^{*}} (Ω_{i}))}^{2} \leq C F_{0}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{i} \cap [u_{i} > k] |}^{1 - \frac{2}{p}} .$ 是由引理2.4.3确定的常数。对于待定的 $h > k$ ，令(2.12)不成立，则(2.15)，(2.22)也不成立，而(2.10)成立。所以由引理2.4.3可得，

$\sum_{i = 1}^{2} {‖ v_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{2^{*}} (Ω_{i}))}^{2} = \sum_{i = 1}^{2} \int_{0}^{T} {(\int_{Ω_{i}} {| v_{i} |}^{2^{*}} d x)}^{\frac{2}{2^{*}}} d t \geq C {(h - k)}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{i} \cap [u_{i} > h] |}^{\frac{n - 2}{n}},$

因此(2.14)成立。所以可由引理2.4.2得到以下不等式，

${(h - k)}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{i} \cap [u_{i} > h] |}^{\frac{n - 2}{n}} \leq C F_{0}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{i} \cap [u_{i} > k] |}^{1 - \frac{2}{p}} .$

取s充分大使得 $ψ (k) = \sum_{i = 1}^{2} | Q_{i} \cap [u_{i} > k] |$ ，故(2.9)成立。则由定理2.4.3可得以下结论，

$ψ (h) \leq {(\frac{C F_{0}}{h - k})}^{2^{*}} {[ψ (k)]}^{\frac{n (p - 2)}{p (n - 2)}} .$

□

对于 $d = {(C F_{0})}^{\frac{n - 2}{2 n}} {| ψ (k_{0}) |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{p}} 2^{\frac{n (p - 2)}{2 (p - n)}} \leq C F_{0} {| Q_{T} |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{p}}$ ，我们有相似的性质。

定理2.4.5令 $ψ (k_{0} + d) = 0$ ， $\sum_{i = 1}^{2} | Q_{i} \cap [u_{i} > \sup_{\partial_{p} Q_{T}} u^{+} + d | = 0.$ ，如果 $Q_{i}$ ， $u_{i} \leq \sup_{\partial_{p} Q_{T}} u^{+} + C F_{0} {| Q_{T} |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{p}}$ ， $\max {\underset{Q_{1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{2}}{ess \sup} u_{2}} \leq \sup_{\partial_{p} Q_{T}} u^{+} + C F_{0} {| Ω |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{p}} .$ ，对于 $u \in W (0, T; V)$ ， $p > n + 2$ ， $f_{i} \in L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i})) (i = 1, 2)$ 满足

$\max {{‖ u_{1} ‖}_{L^{\infty} (Q_{1})}, {‖ u_{2} ‖}_{L^{\infty} (Q_{2})}} \leq \max {\sup_{\partial_{p} Q_{T}} | u_{1} |, \sup_{\partial_{p} Q_{T}} | u_{2} |} + C F_{0} {| Ω |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{p}},$ (2.28)

其中 $n, λ, \underline{m}, p, T$ ， $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ ，则存在 $Q_{T}$ 使得或者

$u$ (2.29)

或者

$u \in W (0, T; V)$ (2.30)

成立。

2.5. 弱解的局部Hölder连续性

下面考虑 $X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$ 在界面上 $Q_{ρ, τ} (X_{0}) = B_{ρ} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + τ] \subset Q_{T}$ 和界面与初值层 $k \in ℝ, ε \in (0, 1]$ 的相交处的Hölder连续性。

引理2.5.1 (文献 [14] , p. 140引理4.1)令 $ξ (x, t) \in C^{\infty} ([t_{0}, t_{0} + τ]; C_{0}^{\infty} (B_{ρ} (x_{0})))$ 是定义于 $0 \leq ξ \leq 1$ 上的非减非负函数，如果它满足

$ξ (\cdot, t_{0}) = 0$

其中 $\begin{array}{l} \sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + τ} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{\pm} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + λ_{1} \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{\pm}) ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} \\ + m_{1} \int_{t_{0}}^{t_{0} + τ} \int_{Γ \cap B_{ρ}} {(ξ {(u_{1} - k)}^{\pm} - ξ {(u_{2} - k)}^{\pm})}^{2} d H_{n - 1} d t \\ \leq C^{*} [({‖ \frac{\partial ξ}{\partial t} ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})} + {‖ \nabla ξ ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})}^{2}) \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k)}^{\pm} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} + F_{0, ρ, τ}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{ρ, τ, i} \cap [{(u_{i} - k)}^{\pm} > 0] |}^{1 - \frac{2}{p}}], \end{array}$ ， $B_{ρ, i} = B_{ρ} \cap Ω_{i}, Q_{ρ, τ, i} = Q_{ρ, τ} \cap Q_{i}$ ， $0 < ρ, τ < 1$ 是常数，则存在 $p > n + 2$ ， $λ_{1} > 0$ 使得

$λ$

其中 $m_{1} = 2 \underline{m}$ 仅依赖于 $F_{0, ρ, τ} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{ρ, i}))} > 0$ 。

定理2.5.1令 $C^{*}$ ， $n, Λ, p, c_{0}$ ， $D G (Q_{T}) = D G (Q_{T}; λ_{1}, m_{1}, p, n, F_{0, ρ, τ}, C^{*})$ ， $u \in W (0, T; V)$ ，则对于 $u \in D G^{+} (Q_{T})$ ，有

$u \in W (0, T; V)$

其中 $u \in D G^{-} (Q_{T})$ ， $D G (Q_{T}) = D G^{+} (Q_{T}) \cap D G^{-} (Q_{T})$ 仅依赖于 $u \in W (0, T; V)$ 的参数， $p > n + 2$ ，并且 $f_{i} \in L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i})) (i = 1, 2)$ ， $u \in D G^{+} (Q_{T})$ ， $u \in W (0, T; V)$ 。

证明记

$u \in D G^{-} ( Q T )$

$C^{*}$

对于 $n, Λ, p, c_{0}$ ， $F_{0, ρ, τ} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{ρ, i}))} < \infty$ ，可以看出以下两种情况中必有一种成立 $u \in W (0, T; V)$

$ξ (x, t) \in C^{\infty} ([t_{0}, t_{0} + τ]; C_{0}^{\infty} (B_{ρ} (x_{0})))$ (2.31)

$Q_{ρ, τ} (X_{0})$ (2.32)

Step (1) 如果(2.31)成立，则由定理2.4.4可得，存在 $0 \leq ξ (x, t) \leq 1$ 使得当 $ξ (\cdot, t_{0}) = 0$ 时，

$B_{ρ, i} = B_{ρ} \cap Ω_{i}$ (2.33)

或者

$v_{i} = ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+} \geq 0 (i = 1, 2)$ (2.34)

成立，其中 $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} \frac{\partial {(u_{i} - k)}^{+}}{\partial t} ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+} + w_{i} \cdot (\nabla {(u_{i} - k)}^{+}) ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+} + {(\nabla (ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+}))}^{⊤} K_{i} \nabla {(u_{i} - k)}^{+} d x \\ + \underline{m} \int_{Γ \cap B_{ρ}} {(ξ {(u_{1} - k)}^{+} - ξ {(u_{2} - k)}^{+})}^{2} d H_{n - 1} \leq \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} f_{i} ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+} d x . \end{array}$ ，并且由可得当 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} w_{i} \cdot (\nabla {(u_{i} - k)}^{+}) ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+} d x = - \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} w_{i} \cdot {(u_{i} - k)}^{+} (\nabla ξ) (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) d x,$ 时，有 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} {(\nabla (ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+}))}^{⊤} K_{i} \nabla {(u_{i} - k)}^{+} d x \geq λ \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} - \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} {({(u_{i} - k)}^{+})}^{2} {(\nabla ξ)}^{⊤} K_{i} \nabla ξ d x .$ 。

Step (2) 如果(2.32)成立，则由定理2.4.5可得，存在 $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} \frac{\partial (ξ {(u_{i} - k)}^{+})}{\partial t} ξ {(u_{i} - k)}^{+} d x + λ \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + \underline{m} \int_{Γ \cap B_{ρ}} {(ξ {(u_{1} - k)}^{+} - ξ {(u_{2} - k)}^{+})}^{2} d H_{n - 1} \\ \leq \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} \frac{\partial ξ}{\partial t} ξ {({(u_{i} - k)}^{+})}^{2} d x + \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} w_{i} \cdot {(u_{i} - k)}^{+} (\nabla ξ) (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) d x \\ + \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} {({(u_{i} - k)}^{+})}^{2} {(\nabla ξ)}^{⊤} K_{i} \nabla ξ d x + \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} f_{i} ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+} d x . \end{array}$ 使得当 $\sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} w_{i} \cdot {(u_{i} - k)}^{+} (\nabla ξ) (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) d x \leq ε \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + γ (ε) {‖ \nabla ξ ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k)}^{+} ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2},$ 时，

${‖ ξ {(u_{i} - k)}^{+} ‖}_{L^{2^{*}} (B_{ρ, i})}^{2} \leq C ({‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + \int_{\partial B_{ρ, i} ∖ (Γ \cap B_{ρ})} {| ξ {(u_{i} - k)}^{+} |}^{2} d H_{n - 1}) = C {‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2},$ (2.35)

或者

$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{2} \int_{B_{ρ, i}} f_{i} ξ^{2} {(u_{i} - k)}^{+} d x \leq \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{ρ, i})} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{+} ‖}_{L^{2^{*}} (B_{ρ, i})} {| B_{ρ, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k] |}^{\frac{1}{2} - \frac{1}{p}} \\ \leq ε \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{+}) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + γ (ε) \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}^{2}_{L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{ρ, i})} {| B_{ρ, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k] |}^{1 - \frac{2}{p}} . \end{matrix}$ (2.36)

成立，并且由(2.36)可得当 $ε$ 时，有 $t \in (t_{0}, t_{0} + τ]$ 。

已知 $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{\pm} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + λ_{1} \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla (ξ {(u_{i} - k)}^{\pm}) ‖}_{L^{2} (t_{0}, t; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} + m_{1} \int_{t_{0}}^{t} \int_{Γ \cap B_{ρ}} {(ξ {(u_{1} - k)}^{\pm} - ξ {(u_{2} - k)}^{\pm})}^{2} d H_{n - 1} d t \\ \leq C^{*} [({‖ \frac{\partial ξ}{\partial t} ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})} + {‖ \nabla ξ ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})}^{2}) \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k)}^{\pm} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} + F_{0, ρ, τ}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{ρ, τ, i} \cap [{(u_{i} - k)}^{\pm} > 0] |}^{1 - \frac{2}{p}}] . \end{array}$ ，则当 $(t_{0}, t_{0} + τ]$ 时， $^{+}$ ，即(2.33)，成立，故 $u \in W (0, T; V)$ ，所以 $u \in D G^{-} (Q_{T})$ 。因此，当 $u \in D G (Q_{T})$ ，我们有

$\begin{array}{l} \sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + τ} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{\pm} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{ρ, i})}^{2} + \bar{λ} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{\pm} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2^{*}} (B_{ρ, i}))}^{2} \\ + m_{1} \int_{t_{0}}^{t_{0} + τ} \int_{Γ \cap B_{ρ}} {(ξ {(u_{1} - k)}^{\pm} - ξ {(u_{2} - k)}^{\pm})}^{2} d H_{n - 1} d t \\ \leq C^{*} [({‖ \frac{\partial ξ}{\partial t} ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})} + {‖ \nabla ξ ‖}_{L^{\infty} (Q_{ρ, τ})}^{2}) \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k)}^{\pm} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + τ; L^{2} (B_{ρ, i}))}^{2} + F_{0, ρ, τ}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{ρ, τ, i} \cap [{(u_{i} - k)}^{\pm} > 0] |}^{1 - \frac{2}{p}}] . \end{array}$

其中 $u \in D G^{+} (Q_{T})$ 仅依赖于 $X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$ 。由引理2.5.1可得，

$p > n + 2$

其中 $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}] \subset Q_{T}, 0 < R \leq 1$ 。所以结论成立。

□

定理2.5.2 令 $\max {\underset{Q_{\frac{R}{2}, 1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{_{\frac{R}{2}, 2}}}{ess \sup} u_{2}} \leq C (\frac{1}{\sqrt{R^{n}}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{R, i}))} + F_{0, R} R^{1 - \frac{n}{p}}),$ ，Q与界面 $u \in D G^{-} (Q_{T})$ 相交，并且 $\max {\underset{Q_{_{\frac{R}{2}, 1}}}{ess \sup} (- u_{1}), \underset{Q_{_{\frac{R}{2}, 2}}}{ess \sup} (- u_{2})} \leq C (\frac{1}{\sqrt{R^{n}}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{R, i}))} + F_{0, R} R^{1 - \frac{n}{p}}),$ ，则存在 $D G (Q_{T})$ ， $Q_{R, i} = Q_{R} \cap Q_{i}$ 使得对于 $F_{0, R} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R^{2}, t_{0}; L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{R, i}))} < \infty$

$ρ_{0} = R, ρ_{m} = \frac{R}{2} + \frac{R}{2^{m + 1}}$

其中 $k_{0} = k, k_{m} = k (2 - \frac{1}{2^{m}}) (m = 0, 1, 2, \dots)$ ， $k > 0$ ， $Q_{ρ_{m}} (X_{0}) = B_{ρ_{m}} (x_{0}) \times (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}]$ 仅依赖于 $ξ_{m} (x, t)$ ，并且 $Q_{ρ_{m}} (X_{0})$ 。

证明对于任意 ${\begin{array}{l} ξ_{m} (x, t) \in C^{\infty} ([t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}]; C_{0}^{\infty} (B_{ρ_{m}} (x_{0}))), 0 \leq ξ_{m} \leq 1, ξ (\cdot, t_{0} - ρ_{m}^{2}) = 0; \\ \begin{array}{l} ξ_{m} (x, t) = 1, Q_{ρ_{m + 1}}; \\ | \frac{\partial ξ_{m}}{\partial t} | + {| \nabla ξ_{m} |}^{2} \leq \frac{C (n)}{{(ρ_{m} - ρ_{m + 1})}^{2}} . \end{array} \end{array}$ ，记 $\sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2^{*}} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \leq \frac{C 2^{2 m}}{R^{2}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} + C F_{0, ρ_{m}}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{ρ_{m}, i} \cap [u_{i} > k_{m + 1}] |}^{1 - \frac{2}{p}} .$ ，并且 $A_{m} (k_{m + 1}) = \cup_{i = 1}^{2} (Q_{ρ_{m}, i} \cap [u_{i} > k_{m + 1}])$ 。

由定理2.5.1可知，对于 $k \geq F_{0, R} R^{^{1 - \frac{n}{p}}} \geq F_{0, ρ_{m}} R^{^{1 - \frac{n}{p}}}$ ，我们可得

$\sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2^{*}} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \leq \frac{C 2^{2 m}}{R^{2}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k_{m})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} + \frac{C k^{2}}{R^{^{2 (1 - \frac{n}{p})}}} {| A_{m} (k_{m + 1}) |}^{1 - \frac{2}{p}} .$

又因为当 $φ_{m} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k_{m})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2}$ ，可得以下不等式

$φ_{m} = \sum_{i = 1}^{2} \int_{t_{0} - ρ_{m}^{2}}^{t_{0}} \int_{B_{ρ_{m}, i}} {| {(u_{i} - k_{m})}^{+} |}^{2} d x d t \geq {(k_{m + 1} - k_{m})}^{2} | A_{m} (k_{m + 1}) | = \frac{k^{2}}{2^{2 m + 2}} | A_{m} (k_{m + 1}) |,$

其中 $L^{2^{*}} (B_{ρ_{m}, i}) ↘ L^{2} (B_{ρ_{m}, i}) (i = 1, 2)$ ，则 ${‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (B_{ρ_{m}, i})} \leq C {| B_{ρ_{m}, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k_{m + 1}] |}^{\frac{1}{n}} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2^{*}} (B_{ρ_{m}, i})} .$ ，故由定理2.2.1可得 ${‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \leq {| Q_{ρ_{m}, i} \cap [u_{i} > k_{m + 1}] |}^{\frac{2}{n}} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2^{*}} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2},$ ，其中 $\begin{matrix} φ_{m + 1} \leq \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \\ \leq C {| A_{m} (k_{m + 1}) |}^{\frac{2}{n}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m + 1})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2^{*}} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \\ \leq C {| A_{m} (k_{m + 1}) |}^{\frac{2}{n}} (\frac{C 2^{2 m}}{R^{2}} φ_{m} + \frac{C k^{2}}{R^{2 (1 - \frac{n}{p})}} {| A_{m} (k_{m + 1}) |}^{1 - \frac{2}{p}}) \\ \leq C 2^{2 m (1 + \frac{2}{n})} (\frac{φ_{m}^{1 + \frac{2}{n}}}{R^{2} k^{\frac{4}{n}}} + \frac{φ_{m}^{1 - \frac{2}{p} + \frac{2}{n}}}{R^{2 (1 - \frac{n}{p})} k^{\frac{4}{n} - \frac{4}{p}}}) . \end{matrix}$ 是抛物距离。下面区分两种情形来估计 $k \geq \frac{1}{\sqrt{| B_{R} |}} [{(\int_{t_{0} - R^{2}}^{t_{0}} \int_{B_{R, 1}} u_{1}^{2} d x d t)}^{\frac{1}{2}} + {(\int_{t_{0} - R^{2}}^{t_{0}} \int_{B_{R, 2}} u_{2}^{2} d x d t)}^{\frac{1}{2}}]$ ， $k^{2} \geq \frac{1}{| B_{R} |} \sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{R, i}))}^{2} \geq \frac{1}{| B_{R} |} \sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0} - ρ_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{ρ_{m}, i}))}^{2} \geq \frac{1}{| B_{R} |} φ_{m},$ 。

情形1 对于任意 $φ_{m + 1} \leq C 2^{2 m (1 + \frac{2}{n})} \frac{φ_{m}^{1 - \frac{2}{p} + \frac{2}{n}}}{R^{2 (1 - \frac{n}{p})} k^{\frac{4}{n} - \frac{4}{p}}} .$ ， $y_{m} = \frac{φ_{m}}{k^{2} | B_{R} |}$ ，不妨设 $y_{m + 1} \leq C 2^{2 m (1 + \frac{2}{n})} y_{m}^{1 - \frac{2}{p} + \frac{2}{n}} .$ 。

如果 $y_{0} = \frac{φ_{0}}{k^{2} | B_{R} |} \leq θ_{0} = C^{- \frac{1}{α}} 2^{- \frac{2}{α^{2}} (1 + \frac{2}{n})},$ ，令 $α = \frac{2}{n} - \frac{2}{p}$ ，故 $\sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k)}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{R, i}))}^{2} \leq θ_{0} k^{2} | B_{R} |,$ ，所以

$\lim_{m \to \infty} y_{m} = 0$

因此有

$Q_{\frac{R}{2}, i}$

如果 $u_{i} \leq 2 k$ ，则

$k^{2} \geq \frac{1}{θ_{0} | B_{R} |} \sum_{i = 1}^{2} {‖ u_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{R, i}))}^{2}$

所以

$k = F_{0, R} R^{1 - \frac{n}{p}} + \frac{1}{\sqrt{θ_{0} | B_{R} |}} [{(\int_{t_{0} - R^{2}}^{t_{0}} \int_{B_{R, 1}} u_{1}^{2} d x d t)}^{\frac{1}{2}} + {(\int_{t_{0} - R^{2}}^{t_{0}} \int_{B_{R, 2}} u_{2}^{2} d x d t)}^{\frac{1}{2}}] .$

情形2 对于任意 $Q_{T}$ ， $u$ ，证明同情形1类似。

因此结论成立。

□

令 $u \in W (0, T; V)$ ，记 $Q_{ρ, τ} (X_{0}) = B_{ρ} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + τ] \subset Q_{T}$ 。 $\max {{‖ u_{1} ‖}_{L^{\infty} (Q_{1})}, {‖ u_{2} ‖}_{L^{\infty} (Q_{2})}} \leq M$ 整体被界面 $δ \in (0, 1]$ 划分成两个子域 $0 < \max {\underset{Q_{ρ, τ, 1}}{ess \sup} {(u_{1} - k)}^{\pm}, \underset{Q_{ρ, τ, 2}}{ess \sup} {(u_{2} - k)}^{\pm}} \leq δ M,$ 和 $u$ 。设 $u \in D G (Q_{T}) = D G (Q_{T}; M, λ_{1}, m_{1}, n, p, F_{0, ρ, τ}, C^{*})$ 是个常数，对于 $D G^{\pm} (Q_{T})$ ，设

$u \in W^{1, 1} ( B R )$

$A (k) = {x \in B_{R} | u (x) > k}$

引理2.5.2设问题的系数满足假设2.1.2。 $l > k$ ， $(l - k) | A (l) | \leq \frac{β R^{n + 1}}{| B_{R} ∖ A (k) |} \int_{A (k) ∖ A (l)} | \nabla u | d x,$ 。 $β$ 是问题的弱下解，并且 $u \in D G^{+} (Q_{T})$ 。如果

$X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$ (2.37)

则 $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}] \subset Q_{T}, 0 < R \leq 1$ ，参考定义2.4.2，其中参数 $μ \geq \max {\underset{Q_{R, 1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{ess \sup} u_{2}}$ 与定义2.4.1相同。

如果 $θ \in (0, 1)$ 是问题的弱上解，且

$k < μ$ (2.38)

则 $\sum_{i = 1}^{2} | Q_{R, i} \cap [u_{i} > k] | \leq θ | Q_{R} |,$ 。

证明证明类似定理2.4.1。

□

定理2.5.3设问题的系数满足假设2.1.2，如果 $δ M \geq H : = μ - k > (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$ 是问题的弱解，令 $\max {\underset{Q_{_{\frac{R}{2}, 1}}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{_{\frac{R}{2}, 2}}}{ess \sup} u_{2}} \leq μ - \frac{H}{2},$ ， $θ$ ， $D G^{+} (Q_{T})$ ， $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ ，且满足条件和。对于某一常数 $R_{0} = R, R_{m} = \frac{R}{2} + \frac{R}{2^{m + 1}}$ ，初值 $k_{0} = μ - H = k, k_{m} = μ - \frac{H}{2} - \frac{H}{2^{m + 1}} (m = 0, 1, 2, \dots)$ ，则对于任意 $Q_{R_{m}} (X_{0}) = B_{R_{m}} (x_{0}) \times (t_{0} - R_{m}^{2}, t_{0}]$ ，存在 $ξ_{m} (x, t) \in C^{\infty} ([t_{0} - R_{m}^{2}, t_{0}]; C_{0}^{\infty} (B_{R_{m}} (x_{0})))$ ， $Q_{R_{m}}, ξ_{m}, k_{m}$ 使得

$Q_{ρ, τ}, ξ, k$

其中 $\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R_{m}^{2}, t_{0}; L^{2^{*}} (B_{R_{m}, i}))}^{2} \\ \leq C [\frac{2^{2 m}}{R^{2}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k_{m})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{R_{m}, i}))}^{2} + {(M + F_{0, R_{m}})}^{2} \sum_{i = 1}^{2} {| Q_{R_{m}, i} \cap [u_{i} > k_{m}] |}^{1 - \frac{2}{p}}] . \end{array}$ 仅依赖于 $A_{m} = \cup_{i = 1}^{2} (Q_{R_{m}, i} \cap [u_{i} > k_{m}])$ ， $\sum_{i = 1}^{2} {‖ {(u_{i} - k_{m})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R_{m}^{2}, t_{0}; L^{2} (B_{R_{m}, i}))}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{2} \int_{t_{0} - R_{m}^{2}}^{t_{0}} \int_{B_{R_{m}, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k_{m}]} {| μ - k |}^{2} d x d t = H^{2} | A_{m} | .$ ，并且 $\sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ_{m} {(u_{i} - k_{m})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0} - R_{m}^{2}, t_{0}; L^{2^{*}} (B_{R_{m}, i}))}^{2} \geq C {(k_{m + 1} - k_{m})}^{2} {| A_{m + 1} |}^{\frac{n - 2}{n}} = {(\frac{H}{2^{m + 2}})}^{2} {| A_{m + 1} |}^{\frac{n - 2}{n}},$ 。

证明取与定理2.5.1的证明中相同的记号 $\frac{H^{2}}{2^{2 m + 4}} {| A_{m + 1} |}^{\frac{n - 2}{n}} \leq C (\frac{2^{2 m}}{R^{2}} H^{2} | A_{m} | + {(M + F_{0, R_{m}})}^{2} {| A_{m} |}^{1 - \frac{2}{p}}) .$ 。

因为 $H > (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}} > (M + F_{0, R_{m}}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}}$ ， $| A_{m} | \leq | Q_{R} |$ ，可得

$| A_{m + 1} | \leq C {(\frac{2^{4 m}}{R^{2}} | A_{m} | + \frac{2^{2 m}}{R^{2 (1 - \frac{n + 2}{p})}} {| A_{m} |}^{1 - \frac{2}{p}})}^{\frac{n}{n - 2}} \leq C {(\frac{2^{4 m}}{R^{2 (1 - \frac{n + 2}{p})}} {| A_{m} |}^{1 - \frac{2}{p}})}^{\frac{n}{n - 2}} .$

由定理2.4.4可知，成立

$y_{m} = \frac{| A_{m} |}{| Q_{R} |}$ (2.39)

或者

$R \in (0, 1]$ (2.40)

同理，由于 $y_{m + 1} \leq C \frac{2^{4 m \frac{n}{n - 2}}}{R^{2 (1 - \frac{n + 2}{p}) \frac{n}{n - 2} + n + 2}} {| A_{m} |}^{(1 - \frac{2}{p}) \frac{n}{n - 2}} \leq C 2^{4 m \frac{n}{n - 2}} y_{m}^{(1 - \frac{2}{p}) \frac{n}{n - 2}} .$ ，由定理2.4.5可知，成立

$(1 - \frac{2}{p}) \frac{n}{n - 2} > 1$ (2.41)

或者

$θ \in (0, 1)$ (2.42)

所以有以下四种情形：

情形1 若(2.39)和(2.41)成立，则

$y_{0} = \frac{\sum_{i = 1}^{2} | Q_{R, i} \cap [u_{i} > k] |}{| Q_{R} |} \leq θ$

由于

$\lim_{m \to \infty} y_{m} = 0$

所以可得

$Q_{\frac{R}{2}, i}$

情形2 若(2.40)和(2.42)成立，则

$u_{i} \leq μ - \frac{H}{2}$

情形3 若(2.39)和(2.42)成立，则

$u \in D G^{+} ( Q T )$

情形4 若(2.40)和(2.41)成立，则

$X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$

结合以上四种情形，对于任意 ${\hat{Q}}_{2 R} (X_{0}) = B_{2 R} (x_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}] \subset Q_{T}$ ，

$0 < R \leq \frac{1}{2}$

其中 $μ \geq \max {\underset{{\hat{Q}}_{2 R, 1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{{\hat{Q}}_{2 R, 2}}{ess \sup} u_{2}}$ 。由引理2.5.1可得，有

$0 < μ - k \leq δ M$

因此结论成立。

□

推论2.5.1设问题(1.1)的系数满足假设2.1.2。如果 $0 < σ < 1$ 是问题的弱解， $u$ ，记 $| B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t_{0} - R^{2}) > k] | \leq (1 - σ) | B_{R, i} |,$ ， ${\hat{Q}}_{2 R, i} = {\hat{Q}}_{2 R} \cap Q_{i}$ ，令 $B_{R, i} = B_{R} \cap Ω_{i} (i = 1, 2)$ ，则在定理2.5.3的条件下，对于任意 $s = s (σ) \geq 1$ ，存在 $H : = μ - k \leq 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$ ， $\max {\underset{Q_{\frac{R}{2}, 1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{\frac{R}{2}, 2}}{ess \sup} u_{2}} \leq μ - \frac{H}{2^{s}},$ 使得

$Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}]$

其中 $n, λ_{0}, p, C^{*}, σ$ 仅依赖于 $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ ， $u \in D G^{+} (Q_{T})$ ，并且 $X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$ 。

2.6. 弱解的全局Hölder连续性

因为 ${\hat{Q}}_{2 R}^{a} (X_{0}) = B_{2 R} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + a R^{2}] \subset Q_{T}$ 被界面 $0 < R \leq \frac{1}{2}$ 分成了两个区域 $0 < a \leq 1$ 和 $μ \geq \max {\underset{{\hat{Q}}_{2 R, 1}^{a}}{ess \sup} u_{1}, \underset{{\hat{Q}}_{2 R, 2}^{a}}{ess \sup} u_{2}}$ ，并且陈亚浙 [14] 和GaryMLieberman [15] 都已经证明了 $0 < μ - k \leq δ M$ 在单一区域上的内部Hölder连续性和边界Hölder连续性，同时在上一节中已经给出了 $0 < σ < 1$ 在界面上 $u$ 和界面与初值层的交界处附近 $| B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k] | \leq (1 - σ) | B_{R, i} |, \forall t \in (t_{0}, t_{0} + a R^{2}],$ 的Hölder连续性。综合以上情况可得

${\hat{Q}}_{2 R, i}^{a} = {\hat{Q}}_{2 R}^{a} \cap Q_{i}$

因此由 [15] 可知有以下结论成立。

定理2.6.1设问题(1.1)的系数满足假设2.1.2。对于 $B_{R, i} = B_{R} \cap Ω_{i} (i = 1, 2)$ ，令 $s$ ， $H : = μ - k \leq 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$ ，假设扩散系数矩阵分量 $\sum_{i = 1}^{2} | Q_{R, i}^{a} \cap [u_{i} > μ - \frac{H}{2^{s}}] | \leq \frac{C}{σ \sqrt{a s}} | Q_{R}^{a} |,$ ，并且速度场 $Q_{R}^{a} = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + a R^{2}]$ 的分量 $Q_{R, i}^{a} = Q_{R}^{a} \cap Q_{i}$ 。同时对于某个非负常数 $n, p, λ_{1}, C^{*}$ ，有下式成立

$i = 1, 2$

如果 $A_{R, i} (k, t) = B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > k]$ 是问题(1.1)的弱解，并且 $A_{R, i} (k) = Q_{R, i}^{a} \cap [u_{i} > k]$ ， $A_{R, i} (k) = \int_{t_{0}}^{t_{0} + a R^{2}} A_{R, i} (k, t) d t$ ，则

$k_{0} = μ - H = k, k_{l} = μ - \frac{H}{2^{l}} (l = 0, 1, 2, \dots)$

并且

$A_{R, i} (k_{l + 1}, t) \subset A_{R, i} (k_{l}, t) \subset A_{R, i} (k, t)$

3. Henry界面模型

对于Henry界面问题(1.2)，由于界面上的Henry条件，故在弱形式中会出现界面上的积分项，使得在证明相关定理时有一定困难。为了避免界面积分项的出现，下面通过函数变换将问题(1.2)转换成另一种形式。令 $l \geq 0, t_{0} \leq t \leq t_{0} + a R^{2}$ ，故有 $(k_{l + 1} - k_{l}) | A_{R, i} (k_{l + 1}, t) | \leq \frac{β R^{n + 1}}{| B_{R, i} ∖ A_{R, i} (k_{l}, t) |} \int_{A_{R, i} (k_{l}, t) ∖ A_{R, i} (k_{l + 1}, t)} | \nabla u_{i} | d x .$ ，此时记Henry界面问题的解为 $| A_{R, i} (k, t) | \leq (1 - σ) | B_{R, i} |$ ，其中 $| B_{R, i} ∖ A_{R, i} (k_{l}, t) | \geq σ | B_{R, i} |$ ，故有

$| A_{R, i} (k_{l + 1}, t) | \leq \frac{C R^{n + 1} 2^{l}}{σ | B_{R, i} | H} {| A_{R, i} (k_{l}, t) ∖ A_{R, i} (k_{l + 1}, t) |}^{\frac{1}{2}} {(\int_{A_{R, i} (k_{l}, t)} {| \nabla u_{i} |}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} .$ (3.1)

其中 $t \in (t_{0}, t_{0} + a R^{2}]$ 满足界面条件，对于某个 $| A_{R, i} (k_{l + 1}) | \leq \frac{C R 2^{l}}{σ H} {| A_{R, i} (k_{l}) ∖ A_{R, i} (k_{l + 1}) |}^{\frac{1}{2}} {(\int_{t_{0}}^{t_{0} + a R^{2}} \int_{B_{R, i}} {| \nabla {(u_{i} - k)}^{+} |}^{2} d x d t)}^{\frac{1}{2}} .$ ，边界 $A_{R} (k, t) = \cup_{i = 1}^{2} A_{R, i} (k, t)$ 和界面 $A_{R} (k) = \cup_{i = 1}^{2} A_{R, i} (k)$ 是 $| A_{R} (k_{l + 1}) | \leq \frac{C R 2^{l}}{σ H} {| A_{R} (k_{l}) ∖ A_{R} (k_{l + 1}) |}^{\frac{1}{2}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla {(u_{i} - k)}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + a R^{2}; L^{2} (B_{R, i}))}$ 的。

3.1. 弱解的存在唯一性

在接下来的讨论中，令问题的系数满足假设2.1.2。令 $ξ (x)$ ，在H上定义标量乘积为

$B_{2 R} ( x 0 )$

相应的范数记为 $B_{R} (x_{0})$ 。令 $ξ (x) = 1$ ，定义 $u \in D G^{+} (Q_{T})$ ，所以 $k = k_{l}$ 与 $Q_{ρ, τ} = {\hat{Q}}_{2 R}^{a}$ 等价，并且

$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla {(u_{i} - k_{l})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + a R^{2}; L^{2} (B_{R, i}))}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ \nabla {(u_{i} - k_{l})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + a R^{2}; L^{2} (B_{2 R, i}))}^{2} \\ \leq C (\frac{H^{2}}{4^{l}} | B_{R} | + \frac{H^{2}}{4^{l} R^{2}} | Q_{R}^{a} | + {(M + {\hat{F}}_{0, 2 R}^{a})}^{2} {| Q_{R}^{a} |}^{1 - \frac{2}{p}}), \end{matrix}$ 。

所以的变分问题为：给定 ${\hat{F}}_{0, 2 R}^{a} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + a R^{2}; L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{2 R, i}))} < \infty$ ，设 $H > 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}} > 2^{s} (M + {\hat{F}}_{0, 2 R}^{a}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}}$ ， $\sum_{i = 1}^{2} {‖ \nabla {(u_{i} - k_{l})}^{+} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + a R^{2}; L^{2} (B_{R, i}))}^{2} \leq C \frac{H^{2}}{4^{l}} | B_{R} |$ ，寻找弱下解(弱上解)。

${| A_{R} (k_{l + 1}) |}^{2} \leq \frac{C R^{n + 2}}{σ^{2}} | A_{R} (k_{l}) ∖ A_{R} (k_{l + 1}) |,$ 使得

$0$ (3.2)

如果 $s - 1$ 既是弱下解，又是弱上解，则称 $s {| A_{R} (k_{s}) |}^{2} \leq \frac{C R^{n + 2}}{σ^{2}} (| A_{R} (k_{0}) | - | A_{R} (k_{s}) |) \leq \frac{C R^{n + 2}}{σ^{2}} | A_{R} (k_{0}) | \leq \frac{C R^{n + 2}}{σ^{2}} | Q_{R}^{a} | \leq \frac{C}{a σ^{2}} {| Q_{R}^{a} |}^{2} .$ 是弱解。其中

$| A_{R} (k_{s}) | = \sum_{i = 1}^{2} | Q_{R, i}^{a} \cap [u_{i} > μ - \frac{H}{2^{s}}] | \leq \frac{C}{σ \sqrt{a s}} | Q_{R}^{a} | .$

$u \in D G^{+} ( Q T )$

$X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$

事实上，根据假设2.1.2可得 ${\hat{Q}}_{2 R} (X_{0}) = B_{2 R} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + R^{2}] \subset Q_{T}$ 在 $0 < R \leq \frac{1}{2}$ 上是连续的和强制的，所以由 [10] 可知，线性问题存在唯一弱解。

3.2. 弱解的全局Hölder连续性

同样对于问题也可以定义De Giorgi类。

定义3.2.1称定义于 $μ \geq \max {\underset{{\hat{Q}}_{2 R, 1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{{\hat{Q}}_{2 R, 2}}{ess \sup} u_{2}}$ 上的函数 $0 < μ - k \leq δ M$ 属于De Giorgi类，如果 $0 < σ < 1$ ， $u$ ，且对于 $| B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t_{0}) > k] | \leq (1 - σ) | B_{R, i} |,$ ， ${\hat{Q}}_{2 R, i} = {\hat{Q}}_{2 R} \cap Q_{i}$ ， $B_{R, i} = B_{R} \cap Ω_{i} (i = 1, 2)$ 满足 $s_{0} = s_{0} (σ) \geq 1$ ，并且 $H : = μ - k \leq 2^{s_{0}} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$ ，有下式成立：

$\sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + R^{2}} \sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{s_{0}}}] | \leq (1 - σ + \frac{1}{2} \min {σ, 1 - σ}) | B_{R} |,$ (3.3)

其中 $s_{0}$ ， $n, p, λ_{0}, C^{*}, σ$ ，常数 $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ ， $ξ (x)$ ， $B_{R} (x_{0})$ ， $B_{β R} (x_{0})$ 依赖于 $ξ (x) = 1$ ，记De Giorgi类为 $0 < β < 1$ 。如果 $0 < a \leq 1$ ，且满足 ⁺，则记 $Q_{R}^{a} = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + a R^{2}]$ ；如果 $A_{R}^{a} (k) = \cup_{i = 1}^{2} (Q_{R, i}^{a} \cap [u_{i} > k])$ ，且满足 ^-，则记 $\begin{array}{l} \sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + a R^{2}} \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{+} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{R, i})}^{2} \\ \leq (1 + ε) \sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{+} (\cdot, t_{0}) ‖}_{L^{2} (B_{R, i})}^{2} + γ (ε) [\frac{C H^{2}}{{(1 - β)}^{2} R^{2}} | A_{R}^{a} (k) | + {(M + F_{0, R}^{a})}^{2} {| A_{R}^{a} (k) |}^{1 - \frac{2}{p}}], \end{array}$ 。显然 $F_{0, R}^{a} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (t_{0}, t_{0} + a R^{2}; L^{\frac{n p}{n + p}} (B_{R, i}))} < \infty$ 。

定理3.2.1设问题的系数满足假设2.1.2。如果 $l_{1} > 1$ 是问题的弱下解，且对于某常数 $\sum_{i = 1}^{2} {‖ ξ {(u_{i} - k)}^{+} (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (B_{R, i})}^{2} \geq {(1 - \frac{1}{2^{l_{1}}})}^{2} H^{2} \sum_{i = 1}^{2} | B_{β R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{l_{1}}}] | .$ ， $\sup_{t_{0} < t \leq t_{0} + a R^{2}} \sum_{i = 1}^{2} | B_{β R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{l_{1}}}] | \leq | B_{R} | (\frac{1 - σ}{{(1 - 2^{- l_{1}})}^{2}} + 4 ε + \frac{C γ (ε)}{{(1 - β)}^{2}} {(\frac{| A_{R}^{a} (k) |}{| Q_{R} |})}^{1 - \frac{2}{p}}),$ ，则 $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{0} + R^{2}]$ ；如果 $t_{0} < t \leq t_{0} + a R^{2}$ 是问题的弱上解，则 $\sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{l_{1}}}] | \leq | B_{R} | (1 - β^{n} + \frac{1 - σ}{{(1 - 2^{- l_{1}})}^{2}} + 4 ε + \frac{C γ (ε)}{{(1 - β)}^{2}} {(\frac{| A_{R}^{a} (k) |}{| Q_{R} |})}^{1 - \frac{2}{p}}) .$ 。其中 $β \in (0, 1)$ 依赖于 $1 - β = {(\frac{| A_{R}^{a} (k) |}{| Q_{R} |})}^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})}$ ，并且 $\sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{l_{1}}}] | \leq | B_{R} | (\frac{1 - σ}{{(1 - 2^{- l_{1}})}^{2}} + 4 ε + C γ (ε) {(\frac{| A_{R}^{a} (k) |}{| Q_{R} |})}^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})}) .$ 。

证明证明类似定理2.4.1。

注3.2.1如果 $q = \frac{ε}{γ (ε)}$ ，则可得

$ε \in (0, 1]$ (3.4)

在此基础之上，类似非完美界面模型中的第2.4节，可以得到对应于Henry界面模型的类似定理。进一步，参考第2.5节中的证明，可得Henry界面模型的弱解的全局Hölder连续性，即存在 $ε = ψ (q)$ ，有

$q \to 0$

3.3. 梯度的L^q估计

对于Henry界面问题(3.1)，首先将界面局部拉直，同时假设 $ε \to 0$ 。对于任意 $ψ (q) \to 0$ ，存在 $ε = ψ ({(\frac{| A_{R}^{a} (k) |}{| Q_{R} |})}^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})})$ 和 $\sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{l_{1}}}] | \leq | B_{R} | [\frac{1 - σ}{{(1 - 2^{- l_{1}})}^{2}} + C ψ ({(\frac{| A_{R}^{a} (k) |}{| Q_{R} |})}^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})})] .$ 映射 $C ψ ({(\frac{| A_{R}^{a} (k) |}{| Q_{R} |})}^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})}) \leq C ψ (a^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})})$ ，使得

$a = a (σ) > 0$

$C ψ (a^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})}) \leq \frac{1}{8} \min {1 - σ, σ}$

$a^{- 1}$

其中 $t_{j} = t_{0} + j a R^{2} (j = 1, 2, \dots, N)$ 表示以 $s_{1} < s_{2} < \dots < s_{N}$ 为球心，r为半径的球。定义

$\sup_{t_{j - 1} < t \leq t_{j}} \sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{s_{j}}}] | \leq (1 - σ + \frac{j}{4 N} \min {σ, 1 - σ}) | B_{R} |,$

则

$s_{1}, s_{2}, \dots, s_{N}$

反之定义

$n, p, λ_{1}, γ (\cdot), σ$

则

$j = 1$

所以 $\sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{l_{1}}}] | \leq | B_{R} | (\frac{1 - σ}{{(1 - 2^{- l_{1}})}^{2}} + \frac{1}{8} \min {1 - σ, σ}), t \in (t_{0}, t_{0} + a R^{2}] = (t_{0}, t_{1}] .$ ，并且映射 $l_{1} = l_{1} (σ)$ 将 $\sup_{t_{0} < t \leq t_{1}} \sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{l_{1}}}] | \leq | B_{R} | (1 - σ + \frac{1}{4} \min {1 - σ, σ}),$ 展平。令 $s_{0} \geq p_{1} > l_{1}$ ，所以 $| A_{R}^{a} (μ - \frac{H}{2^{p_{1}}}) | = \sum_{i = 1}^{2} | Q_{R, i}^{a} \cap [u_{i} > μ - \frac{H}{2^{p_{1}}}] | \leq \frac{C}{σ \sqrt{a p_{1}}} | Q_{R}^{a} | = \frac{C \sqrt{a}}{σ \sqrt{p_{1} - l_{1}}} | Q_{R} |,$ ，且 $Q_{R}^{a} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0}, t_{1}]$ 。不妨记 $n, λ_{0}, p, γ (\cdot)$ ，并且选择适当的 $\frac{H}{2^{p_{1}}}, s_{1} - p_{1}$ ，使得 $H, l_{1}$ ，并记

$\sup_{t_{0} < t \leq t_{1}} \sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{s_{1}}}] | \leq | B_{R} | [\frac{1 - σ}{{(1 - 2^{- (s_{1} - p_{1})})}^{2}} + C ψ ({(\frac{C \sqrt{a}}{σ \sqrt{p_{1} - l_{1}}})}^{\frac{1}{3} (1 - \frac{2}{p})})] .$

$p_{1}$

$\frac{1}{8 N} \min {1 - σ, σ}$

令 $s_{1} > p_{1}$ ， $1 - σ + \frac{1}{8 N} \min {1 - σ, σ}$ ，其中 $s_{1} = s_{1} (σ)$ 。定义

$\sup_{t_{0} < t \leq t_{1}} \sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{s_{1}}}] | \leq | B_{R} | (1 - σ + \frac{1}{4 N} \min {1 - σ, σ}) .$

其中 $Q_{R}^{a} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{j - 1}, t_{j}] (j = 2, \dots, N)$ 。记 $j = 2, \dots, N$ ， $s_{0}$ ， $s > s_{0}$ ， $\sup_{t_{0} - R^{2} < t \leq t_{0}} \sum_{i = 1}^{2} | B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t) > μ - \frac{H}{2^{s_{0}}}] | \leq (1 - σ + \frac{1}{2} \min {σ, 1 - σ}) | B_{R} |,$ ， $\sum_{i = 1}^{2} | Q_{R, i} \cap [u_{i} > μ - \frac{H}{2^{s}}] | \leq \frac{C}{σ \sqrt{s}} | Q_{R} | \leq \frac{C}{σ \sqrt{s - s_{0}}} | Q_{R} | .$ 为部分拉直的界面上的单位外法向量，由 $\frac{C}{σ \sqrt{s - s_{0}}} \leq θ \in (0, 1)$ 指向 $\max {\underset{Q_{_{\frac{R}{2}, 1}}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{_{\frac{R}{2}, 2}}}{ess \sup} u_{2}} \leq μ - \frac{H}{2^{s}} .$ 。所以

$D G^{-} ( Q T )$

令 $u \in D G^{-} (Q_{T})$ ， $X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$ ，故可转换为

${\hat{Q}}_{2 R} (X_{0}) = B_{2 R} (x_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}] \subset Q_{T}$ (3.5)

并且 $0 < R \leq \frac{1}{2}$ 满足假设2.1.2的(1)，(2)中的(i)，不妨令其中的常数仍记为 $\tilde{μ} \leq \min {\underset{{\hat{Q}}_{2 R, 1}}{ess \inf} u_{1}, \underset{{\hat{Q}}_{2 R, 2}}{ess \inf} u_{2}}$ 。给定 $0 < k - \tilde{μ} \leq δ M$ ，设 $0 < σ < 1$ ， $u$ 是截断函数，并且满足 $| B_{R, i} \cap [u_{i} (\cdot, t_{0} - R^{2}) < k] | \leq (1 - σ) | B_{R, i} |,$ ，在 ${\hat{Q}}_{2 R, i} = {\hat{Q}}_{2 R} \cap Q_{i}$ 有 $B_{R, i} = B_{R} \cap Ω_{i} (i = 1, 2)$ ， $s = s (σ) \geq 1$ ；在 $H : = k - \tilde{μ} \leq 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$ 上有 $\min {\underset{Q_{\frac{R}{2}, 1}}{ess \inf} u_{1}, \underset{Q_{\frac{R}{2}, 2}}{ess \inf} u_{2}} \geq \tilde{μ} + \frac{H}{2^{s}}$ ，在 $u$ 上有 $Γ \times (0, T]$ ， $(Γ \times [0, T]) \cap Ω$ ， $ω (R)$ 。其中C与r无关。对于任意 $(0, R_{0}]$ ，定义

$ω (ν R) \leq η ω (R) + K R^{α}, \forall R \in (0, R_{0}],$

则有

$0 < ν, η < 1$

对于问题(3.5)的弱解 $0 < α \leq 1$ ，函数 $K \geq 0$ 有弱导数 $0 < β \leq α$ 。

定理3.3.1 (Coccippoli型不等式)对于问题，设常数 $C \geq 1$ ， $ω (R) \leq C {(\frac{R}{R_{0}})}^{β} (ω (R_{0}) + K R_{0}^{α}), \forall R \in (0, R_{0}],$ ， $β, C$ ，则弱解 $ν, η, α$ 满足

$u \in D G ( Q T )$

其中C依赖于 $X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in Γ \times (0, T]$ ， $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}] \subset Q_{T}$ 与 $0 < R_{0} \leq 1$ 有关， $0 < R \leq R_{0}$ 。

证明对于问题，取测试函数为 $\max {\underset{Q_{R, 1}}{osc} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{osc} u_{2}} \leq C {(\frac{R}{R_{0}})}^{α} (\underset{Q_{R_{0}, 1}}{osc} u_{1} + \underset{Q_{R_{0}, 2}}{osc} u_{2} + (M + F_{0}) R_{0}^{1 - \frac{n + 2}{p}}),$ ，以下简记截断函数为 $α \in (0, 1 - \frac{n + 2}{p})$ ，类似定理2.4.1的证明，有

$C \geq 1$

由于

$D G ( Q T )$

$Q_{R, i} = Q_{R} \cap Q_{i}$

$\underset{Q_{R, i}}{osc} u_{i} = \underset{Q_{R, i}}{ess \sup} u_{i} - \underset{Q_{R, i}}{ess \inf} u_{i}$

$(i = 1, 2)$

取 $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ 充分小，可得

$μ (R) = \max {\underset{Q_{R, 1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{ess \sup} u_{2}}, \tilde{μ} (R) = \min {\underset{Q_{R, 1}}{ess \inf} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{ess \inf} u_{2}},$ (3.6)

(3.6)两边对 $\max {\underset{Q_{R, 1}}{osc} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{osc} u_{2}} \leq ω (R) = μ (R) - \tilde{μ} (R) \leq \underset{Q_{R, 1}}{osc} u_{1} + \underset{Q_{R, 2}}{osc} u_{2} .$ 积分，故有

$0 < μ (R) - (μ (R) - \frac{1}{2} ω (R)) < δ M$ (3.7)

下面记 $0 < (\tilde{μ} (R) + \frac{1}{2} ω (R)) - \tilde{μ} (R) < δ M$ 是 $(i = 1, 2)$ 上的截断函数，故有

$| B_{_{\frac{R}{2}, i}} \cap [u_{i} (\cdot, t_{0} - {(\frac{R}{2})}^{2}) > μ (R) - \frac{1}{2} ω (R)] | \leq \frac{1}{2} | B_{_{\frac{R}{2}, i}} |,$ (3.8)

对于函数 $| B_{_{\frac{R}{2}, i}} \cap [u_{i} (\cdot, t_{0} - {(\frac{R}{2})}^{2}) < \tilde{μ} (R) + \frac{1}{2} ω (R)] | \leq \frac{1}{2} | B_{_{\frac{R}{2}, i}} | .$ ， $s = s (\frac{1}{2}) \geq 1$ 在 $R \in (0, R_{0}]$ 时取得最小值，则

$\frac{1}{2} ω (R) = H \leq 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$

所以

$μ (\frac{R}{4}) = \max {\underset{Q_{_{\frac{R}{4}, 1}}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{_{\frac{R}{4}, 2}}}{ess \sup} u_{2}} \leq μ (R) - \frac{H}{2^{s}} = μ (R) - \frac{ω (R)}{2^{s + 1}},$

因此结合(3.7)可得结论。

□

对于任意 $2^{s} (M + F_{0}) R_{0}^{1 - \frac{n + 2}{p}} = δ M$ ，可得

$R \in (0, R_{0}]$ (3.9)

其中C与r无关。由Sobolev嵌入可得：

i) 当 $ω (\frac{R}{4}) \leq ω (R) (1 - \frac{1}{2^{s + 1}})$ 时，

$s = s (\frac{1}{2}) \geq 1$

ii) 当 $R \in (0, R_{0}]$ 时，

$\frac{1}{2} ω (R) = H \leq 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$

结合(3.9)可得Poincare不等式：

$\tilde{μ} (\frac{R}{4}) = \min {\underset{Q_{_{\frac{R}{4}, 1}}}{ess \inf} u_{1}, \underset{Q_{_{\frac{R}{4}, 2}}}{ess \inf} u_{2}} \geq \tilde{μ} (R) + \frac{H}{2^{s}} = \tilde{μ} (R) + \frac{ω (R)}{2^{s + 1}},$ (3.10)

其中当 $R \in (0, R_{0}]$ 时， $ω (\frac{R}{4}) \leq ω (R) (1 - \frac{1}{2^{s + 1}})$ ；当 $δ M \geq H$ 时， $R \geq R_{0}$ 。

所以有以下结论：

定理3.3.2对于问题(3.5)，设常数 $2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}} \geq δ M \geq H$ ， $ω (R) \leq 2 δ M {(\frac{R}{R_{0}})}^{1 - \frac{n + 2}{p}}$ ， $ω (\frac{R}{4}) \leq 2 M {(\frac{R}{R_{0}})}^{1 - \frac{n + 2}{p}} \leq \frac{2^{s + 1}}{δ} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}}$ ，则弱解 $0 < R \leq 1$ 满足

$ω (\frac{R}{4}) \leq ω (R) (1 - \frac{1}{2^{s + 1}}) + C 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$

其中C依赖于 $C > 0$ ， $δ$ 与 $ω (R) \leq C {(\frac{R}{R_{0}})}^{α} (ω (R_{0}) + (M + F_{0}) R_{0}^{1 - \frac{n + 2}{p}}),$ 有关， $α \in (0, 1 - \frac{n + 2}{p})$ 。

引理3.3.1 [16] [17] 令 $u \in D G (Q_{T})$ 是开集， $Γ \times (0, T]$ ， $Q \subset \subset Q_{T}$ ，几乎在Q中 $α \in (0, 1 - \frac{n + 2}{p})$ 。假设对于 $C \geq 1$ ，有

$i = 1, 2$ (3.11)

其中 ${[u_{i}]}_{C^{α} ({\bar{Q}}^{i})} \leq C d^{- α} (M + F_{0} d^{1 - \frac{n + 2}{p}}),$ 和 $d = \min {1, d i s t {Q, \partial_{p} Q_{T}}}$ 是固定常数。则存在 $Q^{i} = Q \cap Q_{i}$ 使得

$α, C$

并且

$n, λ_{1}, p, γ (\cdot), δ$

其中c依赖于 $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ ，并且当 $X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in (Γ \times (0, T]) \cap Q$ 时， $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (t_{0} - R^{2}, t_{0}]$ 。

注3.3.1在(3.11)的右边用 $Q_{R, i} = Q_{R} \cap Q_{i} (i = 1, 2)$ 代替 $R \in (0, d]$ ，引理3.3.1的结论仍成立。

定理3.3.3 (梯度的 $\max {\underset{Q_{R, 1}}{osc} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{osc} u_{2}} \leq C {(\frac{R}{d})}^{α} (M + F_{0} d^{1 - \frac{n + 2}{p}}) .$ 估计)对于问题(3.5)，设常数 $R \leq d$ ， $\frac{1}{R^{n + 2 + α}} \int_{Q_{R, i} \cap Q^{i}} | u_{i} (X) - {\tilde{u}}_{i} | d X \leq C (n) R^{- α} \underset{Q_{R, 1}}{osc} u_{1} \leq C d^{- α} (M + F_{0} d^{1 - \frac{n + 2}{p}}),$ ， ${\tilde{u}}_{i} = \frac{1}{| Q_{R, i} \cap Q^{i} |} \int_{Q_{R, i} \cap Q^{i}} u_{i} (X) d X$ ，则存在 $u_{i} \in L_{l o c}^{1, n + 2 + α} (Q_{i}; \tilde{δ})$ 使得

$u_{i} \in C_{l o c}^{α} ({\bar{Q}}_{i}; \tilde{δ})$

并且对于任意 $\tilde{δ}$ ，有

${[u_{1}]}_{C^{α} ({\bar{Q}}^{1})}$

其中C与r无关。

证明应用定理3.3.2 (2r代替r)以及Hölder不等式可得

${[u_{2}]}_{C^{α} ({\bar{Q}}^{2})}$

应用(3.10) (取 $X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in (Γ \times (0, T]) \cap Q$ )，则

$Y_{1} = (y_{1}, t_{Y_{1}}) \in {\bar{Q}}^{1}$

应用(3.10) (取 $t_{0} > t_{Y_{1}}$ )，则

$\tilde{δ} (X_{0}, Y_{1}) \leq d$

再一次应用定理3.3.2 (2r代替r)以及Hölder不等式可得

$R_{1} = \tilde{δ} (X_{0}, Y_{1})$

所以

$Y_{1} \in Q_{R_{1}, 1} ( X 0 )$

由定理3.3.1可得

$| u_{1} (X_{0}) - u_{1} (Y_{1}) | \leq \underset{Q_{R_{1}, 1}}{osc} u_{1} \leq C {(\frac{R_{1}}{d})}^{α} (M + F_{0} d^{1 - \frac{n + 2}{p}}) .$

其中 ${[u_{1}]}_{C^{α} ({\bar{Q}}^{1})} \leq C d^{- α} (M + F_{0} d^{1 - \frac{n + 2}{p}}) .$ 与 $\tilde{δ} (X_{0}, Y_{1}) > d$ 有关。上式两边同除以 $| u_{1} (X_{0}) - u_{1} (Y_{1}) | \leq 2 M {(\frac{\tilde{δ} (X_{0}, Y_{1})}{d})}^{α},$ ，并且 ${[u_{1}]}_{C^{α} ({\bar{Q}}^{1})} \leq 2 M d^{- α} .$ ，故有

$X_{0} = (x_{0}, t_{0}) \in (Γ \times (0, T]) \cap Q$

适当选取 $Y_{2} = (y_{2}, t_{Y_{2}}) \in {\bar{Q}}^{2}$ 使得 $X_{0} = (x_{0}, 0) \in Γ$ 。因此对于 $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (- R^{2}, R^{2})$ 可得

$Q_{R} (X_{0})$ (3.12)

定义

$Γ \times (0, T]$

$Q_{R, 1}$

所以

$Q_{R, 2}$

同时(3.12)可重新表述为

$υ$

其中C与 $i = 1, 2$ 有关。由定理3.3.1可知，存在 $u_{i, υ}^{(+)} = {\begin{cases} \max {u_{i}, υ} (x, t) \in Q_{R, i} \cap Q_{i}; \\ υ (x, t) \in Q_{R, i} ∖ Q_{i}, \end{cases}$ 使得 $u_{i, υ}^{(-)} = {\begin{cases} \min {u_{i}, υ} (x, t) \in Q_{R, i} \cap Q_{i}; \\ υ (x, t) \in Q_{R, i} ∖ Q_{i} . \end{cases}$ ，并且

$X_{0} = (x_{0}, 0) \in Γ$

令 $Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (- R^{2}, R^{2})$ ，则 $u \in W (0, T; V)$ ，并且

$max {{‖ u_{1} ‖}_{L^{\infty} (Q_{1})}, {‖ u_{2} ‖}_{L^{\infty} (Q_{2})}} \leq M < \infty$

□

本节讨论的是界面附近梯度的 $k : = \max {\underset{Q_{R, 1} \cap Ω_{1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{R, 2} \cap Ω_{2}}{ess \sup} u_{2}}, δ M \geq \max {\underset{Q_{R, 1} \cap Q_{1}}{ess \sup} u_{1} - k, \underset{Q_{R, 2} \cap Q_{2}}{ess \sup} u_{2} - k} > 0,$ 估计，对于 $u_{k}^{(+)} = (u_{1, k}^{(+)}, u_{2, k}^{(+)}) \in D G^{+} (Q_{T}) = D G^{+} (Q_{T}; M, λ_{1}, m_{1}, p, n, F_{0, ρ, τ}, C^{*}, δ)$ ，采用同样的证明方法，均可得到单一区域上梯度的 $λ_{1}, p, m_{1}, p, n, F_{0, ρ, τ}, C^{*}$ 估计。

3.4. 梯度的内部Hölder连续性

在本节中，对于Henry界面问题(3.1)，不考虑对流项，并且其弱形式中没有界面积分项。设问题(3.1)的系数满足假设2.1.2。定义 $u \in W (0, T; V)$ 。

$\tilde{k} : = \min {\underset{Q_{R, 1} \cap Ω_{1}}{ess \inf} u_{1}, \underset{Q_{R, 2} \cap Ω_{2}}{ess \inf} u_{2}}, δ M \geq \max {\tilde{k} - \underset{Q_{R, 1} \cap Q_{1}}{ess \inf} u_{1}, \tilde{k} - \underset{Q_{R, 2} \cap Q_{2}}{ess \inf} u_{2}} > 0,$ 关于t是 $u_{\tilde{k}}^{(-)} = (u_{1, \tilde{k}}^{(-)}, u_{2, \tilde{k}}^{(-)}) \in D G^{-} (Q_{T}) = D G^{-} (Q_{T}; M, λ_{1}, m_{1}, p, n, F_{0}, C^{*}, δ)$ 连续，关于x是 $u \in W (0, T; V)$ 阶Hölder连续； $X_{0} = (x_{0}, 0) \in Γ$ ,

且

$Q_{R} (X_{0}) = B_{R} (x_{0}) \times (0, R^{2})$

进一步， $0 < R \leq 1$ 还满足以下假设：

假设3.4.1 $\max {{‖ u_{1} ‖}_{L^{\infty} (Q_{1})}, {‖ u_{2} ‖}_{L^{\infty} (Q_{2})}} \leq M < \infty$ ，即存在常数 $α_{1} \in (0, 1]$ 和 ${[u_{0}^{i}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{i})} < \infty (i = 1, 2)$ 使得

$0 < R \leq R_{0} \leq 1$

并且，对于任意整数 $0 < α \leq \min {α_{1}, 1 - \frac{n + 2}{p}}$ ，存在 $C \geq 1$ (依赖于l)，使得

$\max {\underset{Q_{R, 1}}{osc} u_{1}, \underset{Q_{R, 2}}{osc} u_{2}} \leq C {(\frac{R}{R_{0}})}^{α} (\underset{Q_{R_{0}, 1}}{osc} u_{1} + \underset{Q_{R_{0}, 2}}{osc} u_{2} + R_{0}^{α} (M + F_{0} + {[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})})),$

$α, C$

对于充分小的 $n, λ, Λ, p$ ，令

$Q_{R, i} = Q_{R} \cap Q_{i}$

参考文献 [18] [19] ，可得到梯度的内部Hölder连续性。

定理3.4.1设问题(3.1)的系数满足假设2.1.2和假设3.4.1。 $F_{0} = \sum_{i = 1}^{2} {‖ f_{i} ‖}_{L^{2} (0, T; L^{\frac{n p}{n + p}} (Ω_{i}))} < \infty$ ， $μ (R), \tilde{μ} (R), ω (R)$ 是问题的弱解，则对于 $u_{k}^{(+)} \in D G^{+} (Q_{T})$ ， $k \geq \underset{Q_{R, i} \cap Ω_{i}}{ess \sup} u_{i}$ ，有

$| B_{_{\frac{R}{2}, i}} \cap [u_{i} (\cdot, 0) > k] | = 0.$

其中C依赖于 $μ - k \leq 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$ 和 $\max {\underset{Q_{\frac{R}{4}, 1}}{ess \sup} u_{1, k}^{(+)}, \underset{Q_{\frac{R}{4}, 2}}{ess \sup} u_{2, k}^{(+)}} \leq μ - \frac{H}{2^{s}} \leq μ - \frac{μ - k}{2^{s}} .$ 的 $u_{\tilde{k}}^{(=)} \in D G^{-} (Q_{T})$ 范数 $\tilde{k} - \tilde{μ} \leq 2^{s} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}},$ 。特别地，

$\min {\underset{Q_{\frac{R}{4}, 1}}{ess \inf} u_{1, \tilde{k}}^{(-)}, \underset{Q_{\frac{R}{4}, 2}}{ess \inf} u_{2, \tilde{k}}^{(-)}} \geq \tilde{μ} + \frac{\tilde{k} - \tilde{μ}}{2^{s}} .$

4. 结论

本文分别考虑了耦合非完美界面条件和Henry界面条件的两相流模型。对于界面模型弱解的相关性质利用De Giorgi迭代法给出了详细证明，例如极值原理，局部极值原理等。在此基础之上，给出弱解及梯度的Hölder连续性。对于Henry界面模型，我们也给出了梯度的 $ω (\frac{R}{4}) \leq ω (R) = μ (R) - \tilde{μ} (R) \leq 2^{s + 1} (M + F_{0}) R^{1 - \frac{n + 2}{p}} + k - \tilde{k} .$ 估计(存在 $\begin{matrix} k - \tilde{k} = \max {\underset{Q_{R, 1} \cap Ω_{1}}{ess \sup} u_{1}, \underset{Q_{R, 2} \cap Ω_{2}}{ess \sup} u_{2}} - \min {\underset{Q_{R, 1} \cap Ω_{1}}{ess \inf} u_{1}, \underset{Q_{R, 2} \cap Ω_{2}}{ess \inf} u_{2}} \\ \leq \underset{Q_{R, 1} \cap Ω_{1}}{ess \sup} u_{1} - \underset{Q_{R, 1} \cap Ω_{1}}{ess \inf} u_{1} + \underset{Q_{R, 2} \cap Ω_{2}}{ess \sup} u_{2} - \underset{Q_{R, 2} \cap Ω_{2}}{ess \inf} u_{2} \\ \leq R^{α_{1}} {[u_{0}^{1}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{1})} + R^{α_{1}} {[u_{0}^{2}]}_{C^{α_{1}} ({\bar{Ω}}_{2})}, \end{matrix}$ )的详细证明。

致谢

感谢导师袁光伟研究员对本文的建议和帮助。

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