θ型Calderon-Zygmumd型算子及其交换子在非齐型Morrey空间中的有界性 The Boundedness of θ-Calderon-Zygmumd Operators and Its Commutators on Non-homogeneous Morrey Spaces

doi:10.12677/pm.2011.12024

设为首页加入收藏期刊导航网站地图

期刊菜单

文章导航

Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 119-123

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12024 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

The Boundedness of



- -

Operators and Its Commutators on Non-homogeneous

Morrey Spaces*



Calderon Zygmumd

Jinyang Chen1, Bolin Ma2

1College of Mathematics and statistics, Hubei Normal University, Huangshi

2College of Mathematics and Information Engineering, JiaX i n g University, Jiaxing

Email: cjypp7014@126.com

Received Mar. 14th, 3011; revised May 16th, 2011; accepted May 19th, 2011.

Abstract: In this paper, the authors established the boundedness of



-Ca -lderon



ygmumd operators and

its commutators on Morrey spaces with non-doubling measures and extands the known results.

Keywords: Non-doubling Measures;



- -

Calderon



ygmumd Operators; Morrey Space;



RBMO





型-算子及其交换子在非齐型

Morrey 空间中的有界性*



Calderon Zygmumd

陈金阳 1，马柏林 2

1湖北师范学院数学与统计学院，黄石

2嘉兴学院数学与信息工程学院，嘉兴

Email: cjypp7014@126.com

收稿日期：2011 年3月14 日；修回日期：2011 年5月16 日；录用日期：2011 年5月19 日

摘要：本文主要研究非齐型 Morrey空间中的



型Ca -lderon



ygmumd 算子及其交换子的有界性，从

而推广了已有结果。

关键词：非双倍测度；



型-Calderon



ygmumd 算子；Morrey空间；





RBMO



1. 引言

在经典调和分析中，一个关键的假设是底空间上

的测度满足双倍条件。称测度



满足双倍条件，如果

存在正常数 C，使得对任意的



supxp







，，

有，其中

0r





,2 ,Bx rCBxr









,Bxr d

y R



yx r:。然而，最近几年的研究表明，当欧氏空

间上测度

RRadon



不满足双倍测度条件时，众多

经典的结果仍然是成立的。对



仅有假设是满足增长

性条件，即存在常数，使得对所有的

0Cd

R，

有 0r



Bxr Cr



 (1)

其中 0nd



，见 [1-4]。若对欧氏空间赋予的

测度仅满足增长性条件，则称其为非齐型空间。

这表明非齐型空间上的调和分析理论与经典欧氏空间

及齐型空间中的研究方法是截然不同的，具体例子见

[2,3]。由非齐型空间上的分析在解决问题与

猜想中所起的重要作用(见[2,4])，就可以看出

研究非齐型空间的重要性。发展非齐型空间上的理论

研究的动机和更多例子见[3]。

leve



Radon

Vituskin

Pain

2000 年， To 在非齐型空间上建立了一套完整

的基础理论。在[1] 中， To 建立了标准核

lsa

Calderon



ygmumd 算子的有界，

且提出了







p





MORB



空间，得到了交换子





,Tb

naka

的有界

性。随后，非齐型空间上出现了大量极具意义的研究

成果。最近 Y和T在文献[5,6]中引入了非

oshihiroa

*基金项目：国家自然科学基金(10771054)，湖北省教育厅青年项目

(Q20102508)，湖北师范学院人才引进项目(2008F08)，湖北师范学

院创新团队项目。

陈金阳等



型算子及其交换子在非齐型空间中的有界性

120 Calderon

-

ygmumd Morrey

齐型

orrey空间，并得到了 Ca 子

及其交换子的有界性。

lderon Zygmumd

算

本文的主要目的是在非齐型

orrey 空间







上考虑



型Ca -lderon



ygmumd 算子及其交换子的有

界性。文中出现的字母 C(可能不同)表示与变化无关

的常数。

定义 1：线性算子





TS S:





称为



型

算子，如果满足下列条件： Calgmumdderon Zy



(1)T能扩张成





的有界线性算子；

(2)存在定义在





yRRxy 上的连续

函数







$K(x, y)和常数，使得： 0C

(a) ,n

xyCxy





,, d

；

(b)对于

xy R，当 00

xyx



 时，有



,,,,

xyK xyKyxKyx

Cxy



















其中是定义在



上的非负非降函数，满足







0,







，且，；







 

2tCt





(c)

 





,d,.supTfxKxyfyya expf





。

在经典定义下，该类算子是由 Y为解决偏微

分算子而引入的，最近又有任晓芳等[7]推广到非齐型

空间并得到其相关性质。

abuta

注1：



型-Calderon



ygmumd 算子是 To 研究的标

准核 -

lsa

Calderon



ygmumd 算子的推广。当











时，









型算子即为标准核 Ca - lderon



ygmumd 算子。

本文中方体为欧氏空间中的闭方体，

其中心

QR



sup







Q

，方体Q各边平行于坐标轴，其

边长记为。对 0



，Q



表示 Q的



倍扩张方

体。我们记



可测的方体全体为





。

定义 2：设，定义1, 1kqp

orrey空间





如下：

 





pq p

qloc q

MfLfM



  (2)

其中



|sup qq

ppq

fMKQ f



 









。

显然，





空间在上述范数下是空间，

且对，有

Banach

1qpq









pp pp

pq q

LM MM







注2：







空间的定义与核函数 K的选取无关，见

[5]。

本文中，任给欧氏空间中两个方体 Q，令

RR







QR k

QR n









。其中是使

,QR







2QR

的最小整数 k。给定1, n





，我们称方体是









双倍的，如果





 





Q。一般我们取 2,









，特别的，令 N是使得是双倍方体的最

小正整数，记这个双倍方体为 (方体 Q

是存在的，

否则测度

2NQ



的(1.1)性质不成立)。关于 ,QR的更多性质

见[1]。

定义 3：令 1



是某一个固定常数，称





loc



属

于





RBMO



，如果存在常数 C，使得任给方体 Q有

 

mf C









 (3)

和对任给双倍方体 QR 









,QR

mf mfCS

(4)

上式中最小的常数 C定义为 f的





RBMO



范数，

记为 *

。其中





mf表示在Q上的平均，即

 

mff



。



RBMO



的定义与



的选

取无关。

Tolsa 证明了(3)式可以替换为下式

 

1,1

QfmfdC p















 (5)

本文主要结果如下：

定理 1：设 T是



型-Calderon



ygmumd 算子，

1qp



，则对，算子T是

1k











空间中的有界算子。

定理 2：设T是



型-Calderon



ygmumd 算子，





bRBMO



，1qp



，且存在 0



，使得















，则交换子





,bT 在







空间上有

界。

2. 主要结果的证明

在证明主要定理之前，我们需要文献[7]中的如下

结论。

型Calderon

-

陈金阳等 |



ygmumd 算子及其交换子在非齐型 Morrey 空间中的有界性

121

再取





2, ,kQBx



引理 1：设 T是



型-

Calderon



ygmumd 算子，1p



，则算子 T在





空间上有界。

r，得

  



pq R

QTfyy





定理 1的证明：固定





BBxrR r



0，且对

 

fMk L



进行分解，记 12

f

f，其中

122

ffff



，故有



|2 d

qBxr

CfMB ry

 











 



|,sup d

ppq

Tf MkkQTf y















1111

pqp q

CfM r















CfM





故





IIC fM



。



 



sup d

pq Q

CkQTfyy



















综合 ,

II 得：





|, |

Tf MkCf M



。

定义 4：由





RBMO



函数 b与



型-

Calderon



ygmumd 算子 T生成的交换子定义为：



 



sup d

pq Q

QkQTf yy









































  

TfxbTfx bxTfxTbfx

xybxbyfyy















CI II。

首先估计 I，由算子 T的





有界性，取 2k



，

，得



,2 2QBxrB



 对该交换子，任在文献[7]中得到如下结果：

引理 2：设T是



型-Calderon



ygmumd 算子，

 



pq R

QTfyy



()





bRBMO



，则存在 0



，当













时，交

 



pq R

CQfy y





 换子





,bT 在







空间上有界，1。 p

定理 2的证明：类似于定理 1的证明，我们有如下分

解：

 



pq Q

CQfyy























121bbb

TfxTf xTfxLL





，



CfM



 其中 122

ffff





。

故



ICfM



。对，由引理 2知，

对

I，由增长性条件，我们首先有：

  



pq b

QTfy





 



22d

Tf xz







 



pq B

CQfy b













|(,2)||dd

RBxr zx







 



|,2 0d

RBxr





 z

 



2(,)|(,2)

rBxBxr

Cfz













pq B

CBfy b

















CfM b







 



(,) dd

rBx

Cfz









 所以有





LMCfM b





。

 



(,) d,

rBx

CfzzBx



 



d













下面我们估计，取，有

L2Q

 





bx bybx













mb mbb，则

 



111

pqqp

CfM Bx









d

 





  



21 22

LbxmbTfxTmbbyfx

 



。



CfM











CfM r





。类似于

I的估计，我们有

陈金阳等



型算子及其交换子在非齐型空间中的有界性

122 Calderon

-

ygmumd Morrey

  



 



pq Q

QbxmbTfyx







   



 



2| d

nqq

pq qQ

CQfMrbxmbTfyx











  

CfMbx mbx







 











CfM b













21 *

LMCfM b



 在上式中用到条件(3)得：

对，设i是第 1个满足的正整数，则



iBx

 



mb byfyy







 









|2||dd

dnQBx

RB xymb byfyy









 



 



|2 0dd

dnQBx

RB mb byfyy







 



 







2,|2dd

rBxB

Cmbbyfy













 



 



2, (,)

rBx Bx

Cmbbyyfy











 



 



111

22 dd|

qqqp

n p

Cmbbyy fM













 

 









 



11 1

pi q

CfMm bbyyQ





 



 



 

























 

11 1

qiQ

CfMQmb byy

 



 

 





 







 











11 1

|d2

nqp

CfMri b







 







 1

 

11 1

|22 1

CfMrrib





 













 

CfMbi r





 

又由于 i为某一与 ,

b无关的常数(见文献[1])，经简单计算得：

   

11 1

22 **

|| 2|

pp p

pq q

qq q

LMCfMbQrQCfMb

 







综合得：

 

bq q

TfMCfM b



。

证毕。

参考文献 (References)

[1] X. Tolsa. BMO, H' and Calderon

-

ygmumd operators for non

doubling measures. Mathematische Annalen, 2001, 319(1): 89-

149.

[2] A. Volberg. Calderon

-

ygmumd capacities and operators on

nonhomogeneous spaces. Conference Board of the Mathematical

Sciences, 2002.

[3] J. Verdera. The fall of the doubling condition in Calderon

-

ygmumd theory. Publicationes Mathematicae, 2002,

292.

[4] X. Tolsa. ’s problem and the semiadditivity of analytic

3: 275-

Painleve



陈金阳等



型算子及其交换子在非齐型空间中的有界性123

Calderon

-

| ygmumd Morrey

capacity. Acta Mathematica, 2003, 190(2): 105-149.

[5] Y. Sawano, H. Tanalca. Morrey space for non-doubling meas-

ures. Acta Mathematica Sinica, 2005, 21(6):155-154

[6] Y. Sawano, H. Tanalca. Sharp maximal inequality and commu-

tators on Morrey space with non-doubling measures. Taiwanese

Journal of Mathematics, 2007, 11(4): 1091-1112.

[7] 任晓芳. 非双倍测度下的广义

4. Calderon

-

ygmumd 算子. 青

岛: 青岛大学, 2005.