Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 119-123 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12024 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM The Boundedness of - - Operators and Its Commutators on Non-homogeneous Morrey Spaces* Calderon Zygmumd Jinyang Chen1, Bolin Ma2 1College of Mathematics and statistics, Hubei Normal University, Huangshi 2College of Mathematics and Information Engineering, JiaX i n g University, Jiaxing Email: cjypp7014@126.com Received Mar. 14th, 3011; revised May 16th, 2011; accepted May 19th, 2011. Abstract: In this paper, the authors established the boundedness of -Ca -lderon Z ygmumd operators and its commutators on Morrey spaces with non-doubling measures and extands the known results. Keywords: Non-doubling Measures; - - Calderon Z ygmumd Operators; Morrey Space; RBMO 型-算子及其交换子在非齐型 Morrey 空间中的有界性* Calderon Zygmumd 陈金阳 1,马柏林 2 1湖北师范学院数学与统计学院,黄石 2嘉兴学院数学与信息工程学院,嘉兴 Email: cjypp7014@126.com 收稿日期:2011 年3月14 日;修回日期:2011 年5月16 日;录用日期:2011 年5月19 日 摘 要:本文主要研究非齐型 Morrey空间中的 型Ca -lderon Z ygmumd 算子及其交换子的有界性,从 而推广了已有结果。 关键词:非双倍测度; 型-Calderon Z ygmumd 算子;Morrey空间; RBMO 1. 引言 在经典调和分析中,一个关键的假设是底空间上 的测度满足双倍条件。称测度 满足双倍条件,如果 存在正常数 C,使得对任意的 supxp , , 有,其中 0r ,2 ,Bx rCBxr ,Bxr d y R yx r:。然而,最近几年的研究表明,当欧氏空 间 上测度 d RRadon 不满足双倍测度条件时,众多 经典的结果仍然是成立的。对 仅有假设是满足增长 性条件,即存在常数 ,使得对所有的 0Cd x R, 有 0r 0 ,n Bxr Cr (1) 其中 0nd ,见 [1-4]。若对欧氏空间 赋予的 测度仅满足增长性条件,则称其为非齐型空间。 这表明非齐型空间上的调和分析理论与经典欧氏空间 及齐型空间中的研究方法是截然不同的,具体例子见 [2,3]。由非齐型空间上的分析在解决 问题与 猜想中所起的重要作用(见[2,4]),就可以看出 研究非齐型空间的重要性。发展非齐型空间上的理论 研究的动机和更多例子见[3]。 d R leve Radon Vituskin Pain 2000 年, To 在非齐型空间上建立了一套完整 的基础理论。在[1] 中, To 建立了标准核 - lsa lsa Calderon Z ygmumd 算子的 有界, 且提出了 0 p L p MORB 空间,得到了交换子 ,Tb naka 的有界 性。随后,非齐型空间上出现了大量极具意义的研究 成果。最近 Y和T在文献[5,6]中引入了非 oshihiroa *基金项目:国家自然科学基金(10771054),湖北省教育厅青年项目 (Q20102508),湖北师范学院人才引进 项目(2008F08),湖北师范学 院创新团队项目。 陈金阳 等 型算子及其交换子在非齐型 空间中的有界性 120 Calderon - Z ygmumd Morrey | 齐型 M orrey空间,并得到了 Ca 子 及其交换子的有界性。 lderon Zygmumd 算 本文的主要目的是在非齐型 M orrey 空间 p q M 上考虑 型Ca -lderon Z ygmumd 算子及其交换子的有 界性。文中出现的字母 C(可能不同)表示与变化无关 的常数。 定义 1:线性算子 TS S: 称为 型 算子,如果满足下列条件: Calgmumdderon Zy (1)T能扩张成 2 L 2 L 的有界线性算子; (2)存在定义在 ,: dd x yRRxy 上的连续 函数 , K xy $K(x, y)和常数 ,使得: 0C (a) ,n K xyCxy 0 ,, d ; (b)对于 x xy R,当 00 2 x xyx 时,有 00 00 0 ,,,, n K xyK xyKyxKyx xx Cxy xy 其中 是定义在 上的非负非降函数,满足 t 0, 1 0d tt t ,且 ,; 00 2tCt (c) ,d,.supTfxKxyfyya expf 。 在经典定义下,该类算子是由 Y为解决偏微 分算子而引入的,最近又有任晓芳等[7]推广到非齐型 空间并得到其相关性质。 abuta 注1: 型-Calderon Z ygmumd 算子是 To 研究的标 准核 - lsa Calderon Z ygmumd 算子的推广。当 tt 时, 01 型算子即为标准核 Ca - lderon Z ygmumd 算子。 本文中方体为欧氏空间中的闭方体, 其中心 d QR p d R sup Q x Q ,方 体Q各边平行于坐标轴,其 边长记为 。对 0 ,Q 表示 Q的 倍扩张方 体。我们记 可测的方体全体为 。 定义 2:设 ,定义1, 1kqp M orrey空间 p q M 如下: :| pq p qloc q MfLfM (2) 其中 1 11 |sup qq ppq qQ Q fMKQ f d 。 显然, p q M 空间在上述范数下是 空间, 且对 ,有 Banach 12 1qpq 11 pp pp pq q LM MM 注2: p q M 空间的定义与核函数 K的选取无关,见 [5]。 本文中,任给欧氏空间中两个方体 Q,令 d RR , ,1 2 12 QR k N QR n k k Q SQ 。其 中是使 ,QR N k 2QR 的最小整数 k。给定1, n ,我们称方体是 , 双倍的,如果 Q Q。一般我们取 2, 1 2d ,特别的,令 N是使得 是双倍方体的最 小正整数,记这个双倍方体为 (方体 Q 是存在的, 否则测度 2NQ Q 的(1.1)性质不成立)。关于 ,QR的更多性质 见[1]。 S 定义 3:令 1 是某一个固定常数,称 1 loc fL 属 于 RBMO ,如果存在常数 C,使得任给方体 Q有 1d Q Q f mf C Q (3) 和对任给双倍方体 QR ,QR mf mfCS QR (4) 上式中最小的常数 C定义为 f的 RBMO 范数, 记为 * f 。其中 Q mf表示在Q上的平均,即 1d QQ mff Q 。 RBMO 的定义与 的选 取无关。 Tolsa 证明了(3)式可以替换为下式 1 1,1 p p Q QfmfdC p Q (5) 本文主要结果如下: 定理 1:设 T是 型-Calderon Z ygmumd 算子, 1qp ,则对,算子T是 1k 2 L, p q Mk 空间中的有界算子。 定理 2:设T是 型-Calderon Z ygmumd 算子, bRBMO ,1qp ,且存在 0 ,使得 1 1 0d tt t ,则交换子 ,bT 在 , p q Mk 空间上有 界。 2. 主要结果的证明 在证明主要定理之前,我们需要文献[7]中的如下 结论。 Copyright © 2011 Hanspub PM 型Calderon - Z 陈金阳 等 | ygmumd 算子及其交换子在非齐型 Morrey 空间中的有界性 Copyright © 2011 Hanspub PM 121 再取 2, ,kQBx 引理 1:设 T是 型- Calderon Z ygmumd 算子,1p ,则算子 T在 p L 空间上有界。 r,得 1 11 2 2d d qq pq R QTfyy 定理 1的证明:固定 ,, d BBxrR r 0,且对 2 , p q fMk L 进行分解,记 12 f f 1 f,其 中 122 , B f ffff ,故有 1 11 , |2 d nq pp pq qBxr CfMB ry 1 11 |,sup d qq ppq qQ Q Tf MkkQTf y 1111 |n pqp q p q CfM r |p q CfM 故 |p q IIC fM 。 1 11 1 sup d qq pq Q Q CkQTfyy 综合 , I II 得: |, | pp qq Tf MkCf M 。 定义 4:由 RBMO 函数 b与 型- Calderon Z ygmumd 算子 T生成的交换子定义为: 1 11 2 sup d qq pq Q QkQTf yy ,, ,d d b R TfxbTfx bxTfxTbfx K xybxbyfyy CI II。 首先估计 I,由算子 T的 p L 有界性,取 2k , ,得 ,2 2QBxrB 对该交换子,任在文献[7]中得到如下结果: 引理 2:设T是 型-Calderon Z ygmumd 算子, 1 11 1 2d d qq pq R QTfyy () bRBMO ,则存在 0 ,当 1 1 0d tt t 时,交 1 11 1 2d d qq pq R CQfy y 换子 ,bT 在 p L 空间上有界,1。 p 定理 2的证明:类似于定理 1的证明,我们有如下分 解: 1 11 1 2d qq pq Q CQfyy 121bbb TfxTf xTfxLL 2 1 , |p q CfM 其中 122 , B f ffff 。 故 |p q ICfM 。 对,由引理 2知, 1 L 对 I I,由增长性条件,我们首先有: 1 11 1 2d d qq pq b R QTfy 22d Cn B fz Tf xz zx 1 11 * 2 2d qq pq B CQfy b 1 |(,2)||dd dn RBxr zx f zz 1 , |,2 0d dn Bx RBxr f zd z 1 2(,)|(,2) dd n rBxBxr Cfz 1 11 * 2 4d qq pq B CBfy b z * |p q CfM b 1 (,) dd n rBx Cfz 所以有 1* || pp qq LMCfM b 。 z 11 1 (,) d, qq nq rBx CfzzBx d 下面我们估计 ,取 ,有 2 L2Q B bx bybx y QQ mb mbb,则 111 1 |, n pqqp qr CfM Bx d 22 21 22 QQ LbxmbTfxTmbbyfx LL 2 。 1 |d n pp qr CfM | n p p q CfM r 。 类似于 I I的估计,我们有 陈金阳 等 型算子及其交换子在非齐型 空间中的有界性 122 Calderon - Z ygmumd Morrey | 1 11 2 2d qq pq Q Q QbxmbTfyx 1 11 2 2| d nqq pp pq qQ Q CQfMrbxmbTfyx 1 1 |d 2 q q p qQ Q CfMbx mbx Q * |p q CfM b 21 * || pp qq LMCfM b 在上式中用到条件(3)得: 对,设i是第 1个满足 的正整数,则 22 L 2, iBx 2d C Q n B mb byfyy xy 1, |2||dd dnQBx RB xymb byfyy 1, |2 0dd dnQBx RB mb byfyy 1 2,|2dd nQ rBxB Cmbbyfy y 11 1 2, (,) dd qq qq nQ rBx Bx Cmbbyyfy dy 111 1 22 dd| i n qqqp n p Qq rQ Cmbbyy fM 1 11 1 11 1 1 22 1 |d 2i q nq qp pi q qQ i rQ CfMm bbyyQ Q 2d 1 11 1 11 1 12 22 1 |2 2i i q nq qp pi q qiQ rQ CfMQmb byy Q dd 11 1 11 1 2 * 2 |d2 nqp pi q qr CfMri b 1 1 11 1 12 * |22 1 n nq pi qp q CfMrrib * |2 n pi 1 p q CfMbi r 又由于 i为某一与 , f b无关的常数(见文献[1]),经简单计算得: 11 1 22 ** || 2| n pp p p pq q qq q LMCfMbQrQCfMb 综合得: * || pp bq q TfMCfM b 。 证毕。 参考文献 (References) [1] X. Tolsa. BMO, H' and Calderon - Z ygmumd operators for non doubling measures. Mathematische Annalen, 2001, 319(1): 89- 149. [2] A. Volberg. Calderon - Z ygmumd capacities and operators on nonhomogeneous spaces. Conference Board of the Mathematical Sciences, 2002. [3] J. Verdera. The fall of the doubling condition in Calderon - Z ygmumd theory. Publicationes Mathematicae, 2002, 292. [4] X. Tolsa. ’s problem and the semiadditivity of analytic 3: 275- Painleve Copyright © 2011 Hanspub PM 陈金阳 等 型算子及其交换子在非齐型 空间中的有界性123 Calderon - Z | ygmumd Morrey capacity. Acta Mathematica, 2003, 190(2): 105-149. [5] Y. Sawano, H. Tanalca. Morrey space for non-doubling meas- ures. Acta Mathematica Sinica, 2005, 21(6):155-154 [6] Y. Sawano, H. Tanalca. Sharp maximal inequality and commu- tators on Morrey space with non-doubling measures. Taiwanese Journal of Mathematics, 2007, 11(4): 1091-1112. [7] 任晓芳. 非双倍测度下的广义 4. Calderon - Z ygmumd 算子. 青 岛: 青岛大学, 2005. Copyright © 2011 Hanspub PM |