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Pure Mathematics
理论数学
, 2011, 1, 156-158
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12030
Published Online July 2011 (htt
p://www.hanspub.org
/journal/pm/)
Copyright © 2011 Hanspub
PM
Existence of Iterative Solutions of Fourth-Order Two
Point Boundary Value Problems
Yingxin Guo
College of Control Science and Engineering, Shandong University, Jinan
Email:
yxguo312@163.com
Received: Mar. 14th, 2011; revised: Apr. 18th, 2011; accepted: Apr. 21st, 2011.
Abstract:
In this paper, we study a class of forth-order two points’ boundary value problems. Without any
nonnegative assumption, the
existence of iterative solutions is obtained. Our approach is based on the lower
and upper solution method.
Keywords:
Fourth-Order Differential Equation; Two-Point Boundary Value Problem; Lower and Upper
Solutions; Iterative Solution
一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性
郭英新
山东大学控制科学与工程学院,济南
Email: yxguo312@163.com
收稿日期:
2011
年
3
月
14
日;修回日期:
2011
年
4
月
18
日;录用日期:
2011
年
4
月
21
日
摘
要:
利用上下解方法,得到了一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性。
关键词:
四阶微分方程;两点边界值的问题;上下解;惰性解
1.
引言及定义
2.
主要结论
本文中我们讨论一类四阶两点边界值问题
(BVP)
:
,, ,0
01 0 10.
gu tftut u tt
uuu u
1;
(1.1)
这里
:0,1, :
f
RR RgR R
都是连续的,
R
= (
−
1,+1)
,
g
是单调增加的,四阶边界值问题广泛出
现在应用数学及物理学中,近来,利用各类不动点理
论,许多作者已经得到了一些结果
(
例如
[1-6])
。但是,
据我们所知,还没有文献涉及
(BVP 1.1)
本文运用上下
解方法,得到了一类四阶两点边界值问题
(BVP 1.1)
的
惰性解的存在性。
记
2
|0
WuguC
,1
定义
我们称
W
是
(1.1)
的上
(
或下
)
解如果
满足
,, ,0
00;10;
00;10.
gtftttt
定理
已知
:0,1
f
RR R
。如果
(1.1)
的上解
和下解
满足
,
和
12
21
1,
,,,, 0;
Atuuttvtt
ftuv ftuv
,0,1,
12
21
2,
,,,, 0;
Atvvttutt
ftuv ftuv
,0,1,
那么存在满足
00
0, 0
的单调不增序列
n
和
单调不减序列
n
使得它们一致收敛于的解 并且
*
u
*
,
u
。
证明
考虑问题
,, ,0
01 0 10.
gutf tttt
uuu u
1;
(2.1)
这里
2
|0,1, ,
QC
。
明显的,
Q
是
2
0, 1
C
的非空子集。易知
(2.1 )
存在惟一
解
u
并且
:
uT HF
。记
1;
1
0
,,, d,
F
sGtsfttt
t
郭英新 一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性
157
|
,
1
1
0
,d
H
ytGtsg ys s
1,0 1
,
1,0 1
ts ts
Gts
st st
.
显然
22
:0,10,1
THFC C
。我们分三步来完成
证明
(1)
证明
TC
。
C
对
C
,记
wT
。有
T
的定义,有
,
wg w
2
0, 1
C
。由已知得
,,,,,0
00;10;
00; 10.
gtgwtftttftt tt
ww
ww
1;
1
令
,那么
y
十二次可微的。
并且
ytgtgw t
00,0
y
t
0(0) 0
11(1)
yg gw
yg gw
0;
0
因此我们有
0, 01.
yt t
即
,0 1
g
tgwt t
。由于
g
是单调增加
的,所以
,0 1
twtt
。
0
wt
有引理得
w
同理 。
,,0
ww ttt
1
所以
TC
C
(2
)
令
112212
,;,
uTuT C
满足
121
,
2
,我们证明 。
1212
,
uuuu
实际上,有
2122 11
,, ,,
TuTutf tf t
21 21
21 21
00, 10;
00, 10
uu uu
uu uu
相似第一步,得
1212
,
uuuu
。
(3)
序列
,
nn
可这样得到
0011
,, , ,1,2,
nnnn
TTn
由前两步得
01 10
nn
01 10
nn
另外由
n
的定义,我们有
11
,, ,0
010 10.
nnn
nnnn
gtft ttt
1;
由
f
的连续性,则存在仅依赖于
,
但不依赖于 的
常数 使得
,
nt
,
0
M
g
,
,01
n
tMt
。
现在,我们断言存在
0, 1
n
使得
0
n
t
n
gt
事实上由
n
gt
0, 0,1
t
的连续性
,
不是一般性可设
,则
n
gt
,
n
gt M
。
由
g
的单调性,若令 ,则
1
,,
0
CgM
,
n
tC
。
由于
01
nn
0
,因此存在 使得
,
0
D
,
,
nn
ttD
。
现在证明
n
是等度连续的。明显的
11
nn nn
tsggtggs
。
由
1
g
在
,,
,
MM
的一致连续性,给定任意的
0
,总存在
0
,对任意的
12, ,
,,
vvM M
,只要
12
vv
总有
11
21
gv gv
。
另一方面,对任意的
,0,1
ts
,我们有
,
nn
g
tgs Mt
s
,
,
M
,对任意的
,0,1
ts
,只要
ts
,总
有
n
n
gtgs
所以,对
,
nN
0
,总存在
0
,对任意的
,0,
ts
1
,只要
ts
总有
nn
ts
,
所以
n
是等度连续的。
n
综合前面,所以是一致有界且等度连续的。
Cop
yright © 2011 Hanspub
PM
郭英新 一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性
158
|
相似的可以证明
n
也是一致有界且等度连续的。由
Arzela-Ascoli
定理
n
,
和
n
一致收敛于的解
*
u
并
且
*
,
u
。
参考文献
(References)
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1991, 112(1): 81-86.
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[6]
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Cop
yright © 2011 Hanspub
PM