带有奇异非线性项的加权(p, q)-Laplace方程正解的存在性 Existence of Positive Solutions of Weighted (p, q)-Laplace Equation with Singular Nonlinear Terms

doi:10.12677/PM.2023.133061

Pure Mathematics
Vol. 13 No. 03 ( 2023 ), Article ID: 63406 , 15 pages
10.12677/PM.2023.133061

带有奇异非线性项的加权(p, q)-Laplace方程正解的存在性

吕凯利

●How to Cite this Article

上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2023年2月21日；录用日期：2023年3月22日；发布日期：2023年3月30日

摘要

该文研究了 $W_{0}^{1, H} (Ω)$ 中一类带有奇异的非线性项的加权 $(p, q)$ -Laplace方程正解的存在性和多重性。利用纤维映射和变分法等技巧，在参数较小的情况下，得到方程至少有两个正解。

关键词

奇异性，纤维映射，变分法

Existence of Positive Solutions of Weighted (p, q)-Laplace Equation with Singular Nonlinear Terms

Kaili Lyu

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Feb. 21^st, 2023; accepted: Mar. 22^nd, 2023; published: Mar. 30^th, 2023

ABSTRACT

This paper investigates the existence and multiplicity of positive solutions of a class of weighted $(p, q)$ -Laplace equations with singular nonlinear terms in $W_{0}^{1, H} (Ω)$ . Using techniques such as fiber mapping and variational methods, at least two positive solutions of the equation are obtained under small parameters.

Keywords:Singularity, Fiber Mapping, Variational Method

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言及主要结果

在参数 $λ > 0$ 且较小的情形下，本文研究如下带有奇异的非线性项的加权 $(p, q)$ -Laplace方程

${\begin{cases} - d i v ({| \nabla u |}^{p - 2} \nabla u + w (x) {| \nabla u |}^{q - 2} \nabla u) = a (x) u^{- γ} + λ b (x) u^{r - 1}, x \in Ω, \\ {u |}_{\partial Ω} = 0 \end{cases}$ (1.1)

正解的存在性。

众所周知， $(p, q)$ -Laplace方程与流体力学密切相关，来源于非牛顿流体问题的研究，并与拟正则性和拟投影映射的相关理论有密切联系(见 [1] )。

在过去几十年中， $(p, q)$ -Laplace方程等相关问题得到广泛研究，并取得许多重要结果，比如 [2] [3] ；对于含有形如(1.1)的加权 $(p, q)$ -Laplace方程解的存在性也有一些研究成果(见 [4] [5] [6] 等)；对于非线性项具有奇异的情形研究，近年来已取得一定进展(见 [7] - [12] )。

定义1.1 如果存在 $u \geq 0$ ， $u \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ，且对任意 $h \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ 成立

$\int_{Ω} ({| \nabla u |}^{p - 2} \nabla u + w (x) {| \nabla u |}^{q - 2} \nabla u) \cdot \nabla h d x = \int_{Ω} a (x) u^{- γ} h d x + λ \int_{Ω} b (x) u^{r - 1} h d x,$

则称函数u为问题(1.1)的弱解。

我们知道问题(1.1)的弱解与下列能量泛函 $I_{λ} (u) : D (I) \to ℝ$

$I_{λ} (u) = \frac{1}{p} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + \frac{1}{q} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - \frac{1}{1 - γ} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x - \frac{λ}{r} {‖ u ‖}_{r, b}^{r}$

的临界点一致，其中， $D (I) = {u \in W_{0}^{1, H} (Ω) : \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x < \infty}$ 。

由于奇异项的出现，泛函 $I_{λ} (u)$ 不是 $C^{1}$ 的，我们想利用纤维映射克服这个困难。首先定义集合

$N_{λ} = {u \in W_{0}^{1, H} (Ω) \ {0} : {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} = \int_{Ω} a (x) u^{1 - γ} d x + λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r}} .$

容易看出 $N_{λ}$ 包含了问题(1.1)的弱解。为了获得(1.1)的多重解，我们将 $N_{λ}$ 分解成 $N_{λ}^{+}$ 、 $N_{λ}^{0}$ 和 $N_{λ}^{-}$ ：

$\begin{array}{l} N_{λ}^{+} = {u \in N_{λ} : (p + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u ‖}_{r, b}^{r} > 0}, \\ N_{λ}^{0} = {u \in N_{λ} : (p + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u ‖}_{r, b}^{r} = 0}, \\ N_{λ}^{-} = {u \in N_{λ} : (p + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u ‖}_{r, b}^{r} < 0} . \end{array}$

注记：设 $h_{u} (t) = I_{λ} (t u)$ ， $t \geq 0$ ， $u \in W_{0}^{1, H} (Ω) \ {0}$ ，则下列结论成立：

(1) $u \in N_{λ} \Leftrightarrow {h^{'}}_{u} (1) = 0$ ；

(2) 若 $u \in N_{λ}^{+}$ ，那么 $t = 1$ 是 $h_{u} (t)$ 的极小值点；

(3) 若 $u \in N_{λ}^{-}$ ，那么 $t = 1$ 是 $h_{u} (t)$ 的极大值点。

为了得到问题(1.1)具有多个正解，我们需要对(1.1)中的相关函数和参作如下假设：

$\begin{array}{l} (H) (1) 1 < p < q < N, \frac{q}{p} < 1 + \frac{1}{N}, 0 \leq w (x) \in C^{0, 1} (\bar{Ω}); \\ (2) 0 < γ < 1, q < r < p^{*} = \frac{N p}{N - p}; \\ (3) a (x) \in L^{\infty} (Ω), a (x) \geq 0, a . e . x \in Ω; \\ (4) 0 < b_{0} \leq b (x) \in L^{\infty} (Ω) . \end{array}$

本文的主要结果如下：

定理1.1 假设条件(H)成立，则存在 $λ^{*} > 0$ ，对任意 $λ \in (0, λ^{*})$ ，问题(1.1)至少有两个正解 $u^{*}, v^{*} \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ，并且 $I_{λ} (u^{*}) < 0 < I_{λ} (v^{*})$ 。

本文共分为三个部分，第一部分介绍引言及主要结果，第二部分介绍基本知识，第三部分介绍相关引理和主要结果的证明。

2. 预备知识及相关结果

本节首先介绍一些记号，然后陈述加权Sobolev空间的相关结果。

记

$L^{H} (Ω) = {u | u : Ω \to ℝ 是可测的, ρ_{H} (u) < \infty},$

在 $L^{H} (Ω)$ 上定义范数

${‖ u ‖}_{H} = \inf {τ > 0 : ρ_{H} (\frac{u}{τ}) \leq 1},$

其中 $H (x, t) = t^{p} + w (x) t^{q}$ ，

$ρ_{H} (u) = \int_{Ω} H (x, | u |) d x = \int_{Ω} ({| u |}^{p} + w (x) {| u |}^{q}) d x .$ (2.1)

记

$L_{w}^{q} (Ω) = {u | u : Ω \to ℝ 是可测的, \int_{Ω} w (x) {| u |}^{q} d x < \infty},$

在 $L_{w}^{q} (Ω)$ 上定义范数

${‖ u ‖}_{q, w} = {(\int_{Ω} w (x) {| u |}^{q} d x)}^{\frac{1}{q}} < \infty .$

同样的方法定义 $L_{b}^{r} (Ω)$ 。

记

$W^{1, H} (Ω) = {u | u \in L^{H} (Ω), | \nabla u | \in L^{H} (Ω)},$

在 $W^{1, H} (Ω)$ 上定义范数

${‖ u ‖}_{1, H} = {‖ u ‖}_{H} + {‖ \nabla u ‖}_{H} .$

记 $W_{0}^{1, H} (Ω)$ 是 $C_{0}^{\infty} (Ω)$ 在 $W^{1, H} (Ω)$ 中的闭包。根据(H-1)和Poincaré不等式可以得到定义在 $W_{0}^{1, H} (Ω)$ 上的范数 ${‖ u ‖}_{1, H}$ 与 ${‖ \nabla u ‖}_{H}$ 等价(见 [13] )。

命题2.1 (见 [4] )假设条件(H)成立，有下列性质成立：

(1) $L^{H} (Ω)$ ↪ $L^{r} (Ω)$ 和 $W_{0}^{1, H} (Ω)$ ↪ $W_{0}^{1, r} (Ω)$ 是连续的，其中 $r \in [1, p]$ ；

(2) $W_{0}^{1, H} (Ω)$ ↪ $L^{r} (Ω)$ 是连续的，其中 $r \in [1, p^{*}]$ ；

(3) $W_{0}^{1, H} (Ω)$ ↪ $L^{r} (Ω)$ 是紧嵌入的，其中 $r \in [1, p^{*})$ ；

(4) $L^{H} (Ω)$ ↪ $L_{w}^{q} (Ω)$ 是连续的；

(5) $L^{q} (Ω)$ ↪ $L^{H} (Ω)$ 是连续的。

命题2.2 (见 [4] )假设条件(H)成立，设 $u \in L^{H} (Ω)$ 和 $ρ_{H} (u)$ 如(2.1)式所定义，那么有：

(1) 如果 $u \neq 0$ ，则 $‖ u ‖ = λ$ 的充要条件是 $ρ_{H} (\frac{u}{λ}) = 1$ 。

(2) ${‖ u ‖}_{H} < 1$ 充要条件是 $ρ_{H} (u) < 1$ ；

${‖ u ‖}_{H} > 1$ 充要条件是 $ρ_{H} (u) > 1$ ；

${‖ u ‖}_{H} = 1$ 充要条件是 $ρ_{H} (u) = 1$ 。

(3) 如果 ${‖ u ‖}_{H} < 1$ ，则 ${‖ u ‖}_{H}^{q} \leq ρ_{H} (u) \leq {‖ u ‖}_{H}^{p}$ 。

(4) 如果 ${‖ u ‖}_{H} > 1$ ，则 ${‖ u ‖}_{H}^{p} \leq ρ_{H} (u) \leq {‖ u ‖}_{H}^{q}$ 。

(5) ${‖ u ‖}_{H} \to 0$ 充要条件是 $ρ_{H} (u) \to 0$ 。

(6) ${‖ u ‖}_{H} \to + \infty$ 充要条件是 $ρ_{H} (u) \to + \infty$ 。

命题2.3 (见 [4] )设非线性映射 $A : W_{0}^{1, H} (Ω) \to W_{0}^{1, H} {(Ω)}^{*}$ 定义为

$〈 A (u), v 〉 = \int_{Ω} (a (x) {| \nabla u |}^{p - 2} \nabla u + b (x) {| \nabla u |}^{q - 2} \nabla u) \cdot \nabla v d x \forall u, v \in W_{0}^{1, H} (Ω),$

那么A是有界的､连续的､严格单调的，且为 $(S_{+})$ 型。

3. 主要结果的证明

引理3.1 假设条件(H)成立，则 $I_{λ} (u)$ 在 $N_{λ}$ 上是强制的。

证：设 $u \in N_{λ}$ ，不妨设 ${‖ u ‖}_{1, H, 0} > 1$ 。由 $N_{λ}$ 的定义可知

$- λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} = - {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x .$ (3.1)

由Hölder不等式，命题2.1和命题2.2有

$\begin{matrix} I_{λ} (u) = (\frac{1}{p} - \frac{1}{r}) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (\frac{1}{q} - \frac{1}{r}) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + (\frac{1}{r} - \frac{1}{1 - γ}) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \\ \geq (\frac{1}{q} - \frac{1}{r}) ρ_{H} (\nabla u) + (\frac{1}{r} - \frac{1}{1 - γ}) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \\ \geq c {‖ u ‖}_{1, H}^{P} - c {‖ u ‖}_{1, H}^{1 - γ} . \end{matrix}$

因为 $1 - γ < 1 < p$ ，所以 $I_{λ} (u)$ 在 $N_{λ}$ 是强制的。证毕。

引理3.2 假设条件(H)成立，则存在 $λ_{1}^{*} > 0$ ，对于任意 $λ \in (0, λ_{1}^{*})$ ，有 $N_{λ}^{0} = \emptyset$ 。

证：用反证法。假设对于任意 $λ_{1}^{*} > 0$ ，存在 $λ \in (0, λ_{1}^{*})$ ，有 $N_{λ}^{0} \neq \emptyset$ ，即存在 $u \in N_{λ}^{0}$ ，成立

$(p + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u ‖}_{r, b}^{r} = 0.$ (3.2)

因为 $u \in N_{λ}$ ，那么

${‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} = \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x + λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} .$ (3.3)

由(3.2)和(3.3)可得

$(r - p) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (r - q) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} = (r + γ - 1) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x .$ (3.4)

利用Hölder不等式和命题2.1得到

$\min {{‖ u ‖}_{1, H}^{p}, {‖ u ‖}_{1, H}^{q}} \leq c {‖ u ‖}_{1, H}^{1 - γ} .$

因为 $1 - γ < 1 < p < q$ ，所以

${‖ u ‖}_{1, H} \leq c$ . (3.5)

另一方面，由(3.2)式，利用Hölder不等式和命题2.1，我们有

$\min {{‖ u ‖}_{1, H}^{p}, {‖ u ‖}_{1, H}^{q}} \leq λ c {‖ u ‖}_{1, H}^{r} .$

因此

${‖ u ‖}_{1, H}^{q} \geq {(\frac{1}{λ c})}^{\frac{1}{r - q}} .$

注意到 $p < q < r$ ，若 $λ \to 0^{+}$ ，便得到 $‖ u ‖ \to + \infty$ ，与(3.5)式矛盾。证毕。

引理3.3 假设条件(H)成立，则下列结论成立：

(1) 存在 $λ_{2}^{*} \in (0, λ_{1}^{*})$ ，当 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ 时， $N_{λ}^{+} \neq \emptyset$ ，其中 $λ_{1}^{*}$ 是由引理3.2给出。

(2) 对任意 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，存在 $u^{*} \in N_{λ}^{+}$ ， $u^{*} (x) \geq 0$ ， $a . e . x \in Ω$ ，使得 $I_{λ} (u^{*}) = m_{λ}^{+} < 0$ ，其中 $m_{λ}^{+} = \inf_{N_{λ}^{+}} I_{λ}$ 。

证 (1) 设 $u \in W_{0}^{1, H} (Ω) \ {0}$ ，定义函数 $f_{u} (t) : (0, + \infty) \to ℝ$

$f_{u} (t) = t^{p - r} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - t^{- r - γ + 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x .$

由于

${f^{'}}_{u} (t) = (p - r) t^{p - r - 1} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (r + γ - 1) t^{- r - γ} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x,$

令 ${f^{'}}_{u} (t) = 0$ ，得到唯一驻点

$t_{u, 1} = {[\frac{(r + γ - 1) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x}{(r - p) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p}}]}^{\frac{1}{p + γ - 1}},$

且当 $0 < t < t_{u, 1}$ 时， ${f^{'}}_{u} (t) > 0$ ；当 $t > t_{u, 1}$ 时， ${f^{'}}_{u} (t) < 0$ 。因此 $f_{u} (t_{u, 1}) = \max_{t > 0} f_{u} (t)$ 。

又 $f_{u} (t) = t^{p - r} ({‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - t^{- p - γ + 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x)$ ，所以存在 $T_{u}$ ，当 $t > T_{u}$ 时，有 $f_{u} (t) > 0$ ，从而 $f_{u} (t_{u, 1}) = \max_{t > 0} f (t) > 0$ 。

经过简单计算得到

$\begin{matrix} f_{u} (t_{u, 1}) = \frac{{[(r - p) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p}]}^{\frac{r - p}{p + γ - 1}}}{{[(r + γ - 1) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x]}^{\frac{r - p}{p + γ - 1}}} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} \\ - \frac{{[(r - p) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p}]}^{\frac{r + γ - 1}{p + γ - 1}}}{{[(r + γ - 1) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x]}^{\frac{r + γ - 1}{p + γ - 1}}} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \\ = \frac{p + γ - 1}{r - p} {[\frac{r - p}{r + γ - 1}]}^{\frac{r + γ - 1}{p + γ - 1}} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{\frac{p (r + γ - 1)}{p + γ - 1}} {(\int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x)}^{\frac{p - r}{p + γ - 1}} . \end{matrix}$ (3.6)

由Sobolev嵌入定理及Hölder不等式知，存在常数 $C_{1}$ ，使得

$\int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \leq C_{1} {‖ u ‖}_{p^{*}}^{1 - γ} .$ (3.7)

由(3.6)，(3.7)和条件(H-4)知，存在正常数 $C_{2}$ ， $C_{3}$ 和 $C_{4}$ ，成立

$\begin{matrix} f_{u} (t_{u, 1}) - λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} = \frac{p + γ - 1}{r - p} {[\frac{r - p}{r + γ - 1}]}^{\frac{r + γ - 1}{p + γ - 1}} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{\frac{p (r + γ - 1)}{p + γ - 1}} {[\int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x]}^{\frac{p - r}{p + γ - 1}} - λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} \\ \geq \frac{p + γ - 1}{r - p} {[\frac{r - p}{r + γ - 1}]}^{\frac{r + γ - 1}{p + γ - 1}} C_{2} {({‖ u ‖}_{p^{*}}^{p})}^{\frac{r + γ - 1}{p + γ - 1}} {(C_{1} {‖ u ‖}_{p^{*}}^{1 - γ})}^{\frac{p - r}{p + γ - 1}} - λ C_{3} {‖ u ‖}_{p^{*}}^{r} \\ = (C_{4} - λ C_{3}) {‖ u ‖}_{p^{*}}^{r} . \end{matrix}$ (3.8)

因此存在 $λ_{2}^{*} \in (0, λ_{1}^{*})$ ，且 $λ_{2}^{*}$ 与u无关，当 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，有

$f_{u} (t_{u, 1}) - λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} > 0.$ (3.9)

进一步考虑函数 $g_{u} (t) : (0, + \infty) \to ℝ$

$g_{u} (t) = t^{p - r} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + t^{q - r} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - t^{- r - γ + 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x .$

由于

$\begin{matrix} {g^{'}}_{u} (t) = (p - r) t^{p - r - 1} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q - r) t^{q - r - 1} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - (- r - γ + 1) t^{- r - γ} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \\ = t^{- r - γ} [(r + γ - 1) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x - (r - p) t^{p + γ - 1} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - (r - q) t^{q + γ - 1} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q}] . \end{matrix}$ (3.10)

因为 $1 - γ < p < q$ ，我们有 $\lim_{t \to 0^{+}} {g^{'}}_{u} (t) = + \infty, \lim_{t \to + \infty} {g^{'}}_{u} (t) = 0$ ；且当t充分大时， ${g^{'}}_{u} (t) < 0$ 。

令

$g_{*} (t) = (r + γ - 1) \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x - (r - p) t^{p + γ - 1} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - (r - q) t^{q + γ - 1} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q},$

那么

${g^{'}}_{*} (t) = - (r - p) (p + γ - 1) t^{p + γ - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - (r - q) (q + γ - 1) t^{q + γ - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} < 0.$

因此存在唯一 $t_{u, 2} > 0$ ，使得

$g_{u} (t_{u, 2}) = \max_{t > 0} g_{u} (t) > 0, {g^{'}}_{u} (t_{u, 2}) = 0,$

且当 $0 < t < t_{u, 2}$ 时， ${g^{'}}_{u} (t) > 0$ ；当 $t > t_{u, 2}$ 时， ${g^{'}}_{u} (t) < 0$ 。

因为 $g_{u} (t) \geq f_{u} (t)$ ，所以由(3.9)可知对任意 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，有

$g_{u} (t_{u, 2}) > λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} > 0.$

另外，由于 $\lim_{t \to 0^{+}} g_{u} (t) = - \infty$ ，故存在唯一 $t_{u, 3} \in (0, t_{u, 2})$ ，使得

$g_{u} (t_{u, 3}) = λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r}, {g^{'}}_{u} (t_{u, 3}) > 0$ . (3.11)

接下来我们考虑纤维映射 $h_{u} (t) = I_{λ} (t u)$ ， $t \geq 0$ ， $u \in W_{0}^{1, H} (Ω) \ {0}$ 。

首先，因为 $h_{u} (t) \in C^{2} (0, + \infty)$ ，那么

${h^{'}}_{u} (t) = t^{p - 1} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + t^{q - 1} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - t^{- γ} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x - λ t^{r - 1} {‖ u ‖}_{r, b}^{r},$

${h^{″}}_{u} (t) = (p - 1) t^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q - 1) t^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + γ t^{- γ - 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x - λ (r - 1) t^{r - 2} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} .$ (3.12)

利用(3.11)得到

$γ t_{u, 3}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + γ t_{u, 3}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - γ λ t_{u, 3}^{r - 2} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} = γ t_{u, 3}^{- γ - 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x$ (3.13)

和

$- (r - 1) t_{u, 3}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - (r - 1) t_{u, 3}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + (r - 1) t_{u, 3}^{- γ - 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x = - λ (r - 1) t_{u, 3}^{r - 2} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} .$ (3.14)

把(3.13)代入(3.12)得

$\begin{matrix} {h^{″}}_{u} (t_{u, 3}) = (p + γ - 1) t_{u, 3}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) t_{u, 3}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) t_{u, 3}^{r - 2} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} \\ = t_{u, 3}^{- 2} [(p + γ - 1) t_{u, 3}^{p} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) t_{u, 3}^{^{q}} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) t_{u, 3}^{r} {‖ u ‖}_{r, b}^{r}] . \end{matrix}$ (3.15)

把(3.14)代入(3.12)，并借助(3.11)可得

$\begin{matrix} {h^{″}}_{u} (t_{u, 3}) = (p - r) t_{u, 3}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q - r) t_{u, 3}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + (r + γ - 1) t_{u, 3}^{q} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \\ = t_{u, 3}^{1 - r} {g^{'}}_{u} (t_{u, 3}) > 0. \end{matrix}$ (3.16)

结合(3.15)和(3.16)，我们有

$(p + γ - 1) t_{u, 3}^{p} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) t_{u, 3}^{q} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) t_{u, 3}^{r} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} > 0,$

故对于任意 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，有 $t_{u, 3} u \in N_{λ}^{+}$ ，所以 $N_{λ}^{+} \neq \emptyset$ 。

(2) 对此部分证明分为两步。

第一步，证明 $\inf_{N_{λ}^{+}} I_{λ} = m_{λ}^{+} < 0$ 。

假设 $u \in N_{λ}^{+}$ ，由于 $N_{λ}^{+} \subseteq N_{λ}$ ，因此

$- \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x = - {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} .$ (3.17)

另一方面，由 $N_{λ}^{+}$ 的定义可得

$λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} < \frac{p + γ - 1}{r + γ - 1} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + \frac{q + γ - 1}{r + γ - 1} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} .$ (3.18)

由(3.17)和(3.18)，注意到 $p < q < r$ ， $0 < γ < 1$ ，我们有

$\begin{matrix} I_{λ} (u) = \frac{1}{p} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + \frac{1}{q} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - \frac{1}{1 - γ} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x - \frac{λ}{r} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} \\ = (\frac{1}{p} - \frac{1}{1 - γ}) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (\frac{1}{q} - \frac{1}{1 - γ}) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + λ (\frac{1}{1 - γ} - \frac{1}{r}) {‖ u ‖}_{r, b}^{r} \\ \leq - \frac{(p + γ - 1) (r - p)}{(1 - γ) p r} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - \frac{(q + γ - 1) (r - q)}{(1 - γ) q r} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} \\ < 0, \end{matrix}$

故 $m_{λ}^{+} < 0$ 。

第二步，证明存在 $u^{*}$ ，使得 $I_{λ} (u^{*}) = m_{λ}^{+}$ 。

首先选取 $I_{λ} (u)$ 极小化序列 ${u_{n}} \subset N_{λ}^{+}$ ，即

$I_{λ} (u_{1}) \geq I_{λ} (u_{2}) \geq \dots \geq I_{λ} (u_{n}) \geq \dots,$

且当 $n \to \infty$ ，有

$I_{λ} (u_{n}) \to m_{λ}^{+} < 0.$ (3.19)

由引理3.1知 ${u_{n}}$ 是有界的。因此，存在 ${u_{n}}$ 的子列(仍记为其本身)和 $u^{*} \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ，成立

${\begin{cases} u_{n} ⇀ u^{*} (在 W_{0}^{1, H} (Ω) 中), \\ u_{n} \to u^{*} (在 L^{r} (Ω) 中), r \in [1, p^{*}), \\ u_{n} \to u^{*} a . e . x \in Ω . \end{cases}$ (3.20)

由(3.19)和(3.20)知

$I_{λ} (u^{*}) \leq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} I_{λ} (u_{n}) < 0 = I_{λ} (0) .$

故 $u^{*} \neq 0$ 。

为了证明 $\underset{n \to \infty}{\lim \inf} I_{λ} (u_{n}) = I_{λ} (u^{*})$ ，只需要证明：

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} ({| \nabla u_{n} |}^{p} + w (x) {| \nabla u_{n} |}^{q}) d x = \int_{Ω} ({| \nabla u^{*} |}^{p} + w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q}) d x .$ (3.21)

用反证法。假设

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} ({| \nabla u_{n} |}^{p} + w (x) {| \nabla u_{n} |}^{q}) d x > \int_{Ω} ({| \nabla u^{*} |}^{p} + w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q}) d x .$ (3.22)

如果(3.22)成立，那么

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} {| \nabla u_{n} |}^{p} d x > \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p} d x$

与

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} w (x) {| \nabla u_{n} |}^{q} d x > \int_{Ω} w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q} d x$

至少一个成立。不妨设

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} {| \nabla u_{n} |}^{p} d x > \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p} d x$

成立。利用下极限的性质和范数的弱下半连续性，对任意正常数A，B，成立

$\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} (A {| \nabla u_{n} |}^{p} + B w (x) {| \nabla u_{n} |}^{q}) d x \\ \geq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} (A {| \nabla u_{n} |}^{p}) d x + \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} (B w (x) {| \nabla u_{n} |}^{q}) d x \\ = A \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} {| \nabla u_{n} |}^{p} d x + B \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} w (x) {| \nabla u_{n} |}^{q} d x \\ > A \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p} d x + B \int_{Ω} w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q} d x . \end{array}$ (3.23)

另外，对于 $u^{*} \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ，根据(3.11)，存在唯一 $t_{u^{*}, 3} > 0$ ，使得

$g_{u^{*}} (t_{u^{*}, 3}) = λ {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r}, {g^{'}}_{u^{*}} (t_{u^{*}, 3}) > 0.$ (3.24)

利用(3.23)和(3.24)，我们得到

$\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{\lim \inf} {h^{'}}_{u_{n}} (t_{u^{*}, 3}) \\ = \underset{n \to \infty}{\lim \inf} [{(t_{u^{*}, 3})}^{p - 1} {‖ \nabla u_{n} ‖}_{p}^{p} + {(t_{u^{*}, 3})}^{q - 1} {‖ \nabla u_{n} ‖}_{q, w}^{q} - {(t_{u^{*}, 3})}^{- γ} \int_{Ω} a (x) {| u_{n} |}^{1 - γ} d x - λ {(t_{u^{*}, 3})}^{r - 1} {‖ u_{n} ‖}_{r, b}^{r}] \\ > {(t_{u^{*}, 3})}^{p - 1} {‖ \nabla u^{*} ‖}_{p}^{p} + {(t_{u^{*}, 3})}^{q - 1} {‖ \nabla u^{*} ‖}_{q, w}^{q} - {(t_{u^{*}, 3})}^{- γ} \int_{Ω} a (x) {| u^{*} |}^{1 - γ} d x - λ {(t_{u^{*}, 3})}^{r - 1} {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r} \\ = {h^{'}}_{u^{*}} (t_{u^{*}, 3}) = {(t_{u^{*}, 3})}^{r - 1} [g_{u^{*}} (t_{u^{*}, 3}) - λ {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r}] = 0, \end{array}$

故存在 $n_{0} \in ℕ$ ，对于任意 $n > n_{0}$ 有

${h^{'}}_{u_{n}} (t_{u^{*}, 3}) > 0.$ (3.25)

因为 $u_{n} \in N_{λ}^{+} \subset N_{λ}$ ，故

${h^{'}}_{u_{n}} (t) = t^{r - 1} [g_{u_{n}} (t) - λ {‖ u_{n} ‖}_{r, b}^{r}], {h^{'}}_{u_{n}} (1) = 0,$

这样便有

$g_{u_{n}} (1) = λ {‖ u_{n} ‖}_{r, b}^{r},$

即有 $t_{u_{n}, 3} = 1$ 。由于 $0 < t_{u_{n}, 3} \leq t_{u_{n}, 2}$ ，根据对函数 $g_{u_{n}} (t)$ 的讨论知，当 $0 < t < t_{u_{n}, 2}$ 时，我们有 ${g^{'}}_{u_{n}} (t) > 0$ ，所以对于任意 $t \in (0, 1)$ ，有 ${h^{'}}_{u_{n}} (t) < 0$ 和 ${h^{'}}_{u_{n}} (1) = 0$ ，因此 $t_{u^{*}, 3} > 1$ 。

由于

${h^{'}}_{u^{*}} (t) = t^{r - 1} [g_{u^{*}} (t) - λ {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r}], g_{u^{*}} (t_{u^{*}, 3}) = λ {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r} .$

从而 ${h^{'}}_{u^{*}} (t_{u^{*}, 3}) = 0$ 。注意到 $1 < t_{u^{*}, 3} \leq t_{u^{*}, 2}$ 和当 $0 < t < t_{u^{*}, 2}$ 时有 ${g^{'}}_{u^{*}} (t) > 0$ ，这样我们得到当 $0 < t < t_{u^{*}, 3}$ 时有 ${h^{'}}_{u^{*}} (t) < 0$ ，故 $h_{u^{*}} (t)$ 在 $[1, t_{u^{*}, 3}]$ 上单调递减，结合(3.22)便有

$I_{λ} (t_{u^{*}, 3} u^{*}) \leq I_{λ} (u^{*}) < m_{λ}^{+} .$ (3.26)

另一方面，因为 $t_{u^{*}, 3} u^{*} \in N_{λ}^{+}$ ，又可以得到

$m_{λ}^{+} = \inf_{N_{λ}^{+}} I_{λ} \leq I_{λ} (t_{u^{*}, 3} u^{*}) .$ (3.27)

显然(3.26)与(3.27)是矛盾的。所以(3.21)成立。

由(3.21)知，我们可以找到一个子序列(仍记为其本身)满足

$\int_{Ω} {| \nabla u_{n} |}^{p} + w (x) {| \nabla u_{n} |}^{q} d x \to \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p} + w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q} d x .$

由Brezis-Lieb引理知在 $W_{0}^{1, H} (Ω)$ 中 $u_{n} \to u^{*}$ 。所以 $I_{λ} (u_{n}) \to I_{λ} (u^{*})$ 。故 $I_{λ} (u^{*}) = m_{λ}^{+}$ 。

由于 $u_{n} \in N_{λ}^{+}$ ，因此对于任意 $n \in ℕ$ ，有

$(p + γ - 1) {‖ \nabla u_{n} ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u_{n} ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u_{n} ‖}_{r, b}^{r} > 0.$

令 $n \to + \infty$ 得

$(p + γ - 1) {‖ \nabla u^{*} ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u^{*} ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r} \geq 0.$ (3.28)

由引理3.2知(3.28)不能取等号，所以 $u^{*} \in N_{λ}^{+}$ 。因为 $| u^{*} |$ 也满足(3.28)，所以我们可以认为 $u^{*} \geq 0 a . e . x \in Ω$ 且 $u^{*} \neq 0$ 。证毕。

引理3.4 假设条件(H)成立，则下列结论成立：

(1) 令 $u \in N_{λ}^{+}$ ，则存在 $ε > 0$ 和连续函数 $θ : B_{ε} (9) \to (0, \infty)$ ，对任意 $y \in B_{ε} (0)$ ，有 $θ (0) = 1$ 和 $θ (y) (u + y) \in N_{λ}^{+}$ 成立，其中 $B_{ε} (0) = {u \in W_{0}^{1, H} (Ω) : {‖ u ‖}_{1, H} < ε}$ 。

(2) 令 $h \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ， $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，则存在 $b > 0$ ，对于任意 $t \in [0, b]$ ，有 $I_{λ} (u^{*}) \leq I_{λ} (u^{*} + t h)$ ，其中 $u^{*}$ 由引理3.3中给出。

(3) 当 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，则 $u^{*}$ 是问题(1.1)的正解，并且 $I_{λ} (u^{*}) < 0$ 。

证 (1) 首先给定函数 $ζ : W_{0}^{1, H} (Ω) \times (0, + \infty) \to ℝ$

$ζ (y, t) = t^{p + γ - 1} {‖ \nabla (u + y) ‖}_{p}^{p} + t^{q + γ - 1} {‖ \nabla (u + y) ‖}_{q, w}^{q} - \int_{Ω} a (x) {| u + y |}^{1 - γ} d x - λ t^{r + γ - 1} {‖ u + y ‖}_{r, b}^{r},$

因为 $u \in N_{λ}^{+} \subset N_{λ}$ ，所以 $ζ (0, 1) = 0$ 。又因为 $u \in N_{λ}^{+}$ ，成立

${ζ^{'}}_{t} (0, 1) = (p + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u ‖}_{r, b}^{r} > 0.$

然后，由隐函数定理(见 [14] )知，存在 $ε > 0$ 和连续函数 $θ : B_{ε} (0) \to (0, \infty)$ ，满足 $θ (0) = 1$ ，且对于任意 $y \in B_{ε} (0)$ ，成立

$θ (y) (u + y) \in N_{λ} .$

最后，选择 $ε$ 足够小时，对于任意 $y \in B_{ε} (0)$ ，也成立

$θ (0) = 1$ 和 $θ (y) (u + y) \in N_{λ}^{+} .$

(2) 给定函数 $η_{h} : [0, + \infty) \to ℝ$

$\begin{array}{l} η_{h} (t) = (p - 1) {‖ \nabla u^{*} + t \nabla h ‖}_{p}^{p} + (q - 1) {‖ \nabla u^{*} + t \nabla h ‖}_{q, w}^{q} \\ + γ \int_{Ω} a (x) {| u^{*} + t h |}^{1 - γ} d x - λ (r - 1) {‖ u^{*} + t h ‖}_{r, b}^{r} . \end{array}$ (3.29)

因为 $u^{*} \in N_{λ}^{+} \subset N_{λ}$ ，有

$\int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{1 - γ} d x = {‖ \nabla u^{*} ‖}_{p}^{p} + {‖ \nabla u^{*} ‖}_{q, w}^{q} - λ {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r}$ (3.30)

和

$(p + γ - 1) {‖ \nabla u^{*} ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) {‖ \nabla u^{*} ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r} > 0,$ (3.31)

结合(3.29)，(3.30)和(3.31)，有 $η_{h} (0) > 0$ 。又因为 $η_{h} : [0, + \infty) \to ℝ$ 是连续函数，由连续函数的局部保号性知，存在 $b_{0}$ 大于零，使得对于任意 $t \in [0, b_{0}]$ ，存在 $θ (t) > 0$ 成立

$θ (t) (u^{*} + t h) \in N_{λ}^{+}$

和

当 $t \to 0^{+}$ 时 $θ (t) \to 1.$ (3.32)

因此，由 $m_{λ}^{+}$ 的定义知，对任意 $t \in [0, b_{0}]$ ，有

$m_{λ}^{+} = I_{λ} (u^{*}) \leq I_{λ} (θ (t) (u^{*} + t h)) .$ (3.33)

由 ${h^{″}}_{u^{*}} (1) > 0$ ， ${h^{″}}_{u^{*} + t h} (1)$ 关于t的连续性可知，存在 $t \in [0, b]$ ，其中 $b \in [0, b_{0}]$ ，有 ${h^{″}}_{u^{*} + t h} (1) > 0$ 。由(3.33)知，对于任意的 $t \in [0, b]$ ，成立

$m_{λ}^{+} = I_{λ} (u^{*}) \leq I_{λ} (θ (t) (u^{*} + t h)) = h_{u^{*} + t h} (θ (t)) \leq h_{u^{*} + t h} (1) = I_{λ} (u^{*} + t h) .$

(3) 对此部分证明分为三步。

第一步，证明对于任意 $h \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ，成立

$a (x) {(u^{*})}^{- γ} h \in L^{1} (Ω)$ (3.34)

和对于任意 $h \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ， $h \geq 0$ ，成立

$\begin{array}{l} \int_{Ω} ({| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} + w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*}) \cdot \nabla h d x \\ \geq \int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} h d x + λ \int_{Ω} b (x) {(u^{*})}^{r - 1} h d x . \end{array}$ (3.35)

令 $h \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ， $h \geq 0$ 。给定一个递减序列 ${t_{n}} \subseteq (0, 1]$ 且 $\lim_{n \to + \infty} t_{n} = 0$ 。记

$ϕ_{n} (x) = a (x) \frac{{(u^{*} (x) + t_{n} h (x))}^{1 - γ} - u^{*} {(x)}^{1 - γ}}{t_{n}},$

我们知道 $ϕ_{n} (x)$ 是非负可测的，当 $n \to \infty$ 时，有

$ϕ_{n} (x) \to (1 - γ) a (x) u^{*} {(x)}^{- γ} h (x) a . e . x \in Ω .$

利用Fatou引理得到

$\int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} h d x \leq \frac{1}{1 - γ} \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \int_{Ω} ϕ_{n} d x .$ (3.36)

借助引理3.4 (2)可知，当n充分大时，有

$\begin{array}{l} \frac{I_{λ} (u^{*} + t_{n} h) - I_{λ} (u^{*})}{t_{n}} \\ = \int_{Ω} \frac{1}{p} \frac{{| \nabla u^{*} + t_{n} \nabla h |}^{p} - {| \nabla u^{*} |}^{p}}{t_{n}} d x + \int_{Ω} \frac{w (x)}{q} \frac{{| \nabla u^{*} + t_{n} \nabla h |}^{q} - {| \nabla u^{*} |}^{q}}{t_{n}} d x \\ - \frac{1}{1 - γ} \int_{Ω} ϕ_{n} d x - \frac{λ}{r} \frac{{‖ u^{*} + t_{n} h ‖}_{r, b}^{r} - {‖ u^{*} ‖}_{r, b}^{r}}{t_{n}} \\ \geq 0. \end{array}$

结合(3.36)，有

$\int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} h d x \leq \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} \nabla h d x + \int_{Ω} w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*} \nabla h d x - λ \int_{Ω} b (x) {(u^{*})}^{r - 1} h d x .$

这就证明(3.34)和(3.35)。

第二步，证明 $u^{*} (x) > 0$ ， $a . e . x \in Ω$ 。

由引理3.3 (2)知 $u^{*} (x) > 0$ ， $a . e . x \in Ω$ ，并且 $I_{λ} (u^{*}) < 0$ 。定义 $D = {u^{*} (x) = 0, a . e . x \in Ω}$ ，并假设 $| D | > 0$ 。令 $h \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ，且 $h > 0$ ，设b由引理3.4 (2)给出。由引理3.4 (2)可得，对于任意 $0 < t < b$ ，有

$\frac{I_{λ} (u^{*} + t h) - I_{λ} (u^{*})}{t} \geq 0.$ (3.37)

另一方面，我们又可以得到

$\begin{array}{l} \frac{I_{λ} (u^{*} + t h) - I_{λ} (u^{*})}{t} \\ = \frac{1}{p} \int_{Ω} \frac{{| \nabla u^{*} + t \nabla h |}^{p} - {| \nabla u^{*} |}^{p}}{t} d x + \frac{1}{q} \int_{Ω} w (x) \frac{{| \nabla u^{*} + t \nabla h |}^{q} - {| \nabla u^{*} |}^{q}}{t} d x \\ - \frac{1}{(1 - γ) t^{γ}} \int_{D} a (x) h^{1 - γ} d x - \frac{1}{1 - γ} \int_{Ω \ D} a (x) \frac{{(u^{*} + t h)}^{1 - γ} - {(u^{*})}^{1 - γ}}{t} d x \\ - \frac{λ}{r} \int_{Ω} \frac{b (x) ({(u^{*} + t h)}^{r} - {(u^{*})}^{r})}{t} d x . \end{array}$ (3.38)

由于

$\begin{array}{l} \lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{p} \int_{Ω} \frac{{| \nabla u^{*} + t \nabla h |}^{p} - {| \nabla u^{*} |}^{p}}{t} d x = \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} \nabla h d x, \\ \lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{q} \int_{Ω} w (x) \frac{{| \nabla u^{*} + t \nabla h |}^{q} - {| \nabla u^{*} |}^{q}}{t} d x = \int_{Ω} w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*} \nabla h d x, \\ \lim_{t \to 0^{+}} \frac{λ}{r} \int_{Ω} \frac{b (x) ({(u^{*} + t h)}^{r} - {(u^{*})}^{r})}{t} d x = λ \int_{Ω} b (x) {(u^{*})}^{r - 1} h d x \end{array}$

及由第一步证明知

$0 \leq \lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{1 - γ} \frac{1}{t} \int_{Ω} a (x) ({(u^{*} + t h)}^{1 - γ} - {(u^{*})}^{1 - γ}) d x = \int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} h d x < \infty,$

再根据条件(H-3)，从(3.38)便可以得到

$\lim_{t \to 0^{+}} \frac{I_{λ} (u^{*} + t h) - I_{λ} (u^{*})}{t} = - \infty .$

这与(3.37)矛盾，所以 $u^{*} (x) > 0$ ， $a . e . x \in Ω$ 。

第三步，证明 $u^{*}$ 是问题(1.1)的正解。

令 $y \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ， $ε > 0$ 。取 $h = {(u^{*} + ε y)}_{+}$ 作为(3.36)测试函数，结合 $u^{*} \in N_{λ}^{+} \subset N_{λ}$ 和 $u^{*} > 0$ ，有

$\begin{array}{l} 0 \leq \int_{Ω} ({| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} + w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*}) \cdot \nabla {(u^{*} + ε y)}_{+} d x \\ - \int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} {(u^{*} + ε y)}_{+} d x - λ \int_{Ω} b (x) {(u^{*})}^{r - 1} {(u^{*} + ε y)}_{+} d x \\ \leq ε {\int_{Ω} ({| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} + w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*}) \cdot \nabla y d x \\ - \int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} y d x - λ \int_{Ω} b (x) {(u^{*})}^{r - 1} y d x \\ - \int_{{u^{*} + ε y < 0}} ({| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} + w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*}) \cdot \nabla y d x} . \end{array}$

因为 $| {u^{*} + ε y < 0} | \to 0$ ( $ε \to 0$ )，从而对上面不等式同时除以 $ε > 0$ ，并令 $ε \to 0$ ，得到

$\begin{array}{l} 0 \leq \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} \cdot \nabla y d x + \int_{Ω} w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*} \cdot \nabla y d x \\ - \int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} y d x - λ \int_{Ω} b (x) {(u^{*})}^{r - 1} y d x . \end{array}$

用−y代替y，重复上述证明过程可以得到相反的不等式，故

$\begin{array}{l} \int_{Ω} a (x) {(u^{*})}^{- γ} y d x + λ \int_{Ω} b (x) {(u^{*})}^{r - 1} y d x \\ = \int_{Ω} {| \nabla u^{*} |}^{p - 2} \nabla u^{*} \cdot \nabla y d x + \int_{Ω} w (x) {| \nabla u^{*} |}^{q - 2} \nabla u^{*} \cdot \nabla y d x . \end{array}$

因此， $u^{*}$ 是问题(1.1)的正解，且 $I_{λ} (u^{*}) < 0$ 。证毕。

引理3.5 假设条件(H)成立，则下列结论成立：

(1) 当 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ 时， $N_{λ}^{-} \neq \emptyset$ ，其中 $λ_{2}^{*}$ 由引理3.3给出。

(2) 存在 $λ_{3}^{*} \in (0, λ_{2}^{*})$ ，当 $λ \in (0, λ_{3}^{*})$ 时，存在 $v^{*} \in N_{λ}^{-}$ ，使得 $I_{λ} (v^{*}) = m_{λ}^{-} > 0$ ，其中 $m_{λ}^{-} = \inf_{N_{λ}^{-}} I_{λ} (v)$ 。

证 (1) 设 $u \in W_{0}^{1, H} (Ω) \ {0}$ ，然后从引理3.3 (1)的证明过程可知，对任意 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，有

$g_{u} (t_{u, 2}) > λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r} > 0,$

且当 $0 < t < t_{u, 2}$ 时， $g_{u} (t)$ 单调递增；当 $t > t_{u, 2}$ 时， $g_{u} (t)$ 单调递减。

又由于 $\lim_{t \to + \infty} g_{u} (t) = 0$ ，故存在唯一 $t_{u, 4} \in (t_{u, 2}, + \infty)$ ，使得

$g_{u} (t_{u, 4}) = λ {‖ u ‖}_{r, b}^{r}, {g^{'}}_{u} (t_{u, 4}) < 0$ . (3.39)

利用(3.39)得到

$γ t_{u, 4}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + γ t_{u, 4}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - γ λ t_{u, 4}^{r - 2} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} = γ t_{u, 4}^{- γ - 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x$ (3.40)

和

$\begin{array}{l} - (r - 1) t_{u, 4}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} - (r - 1) t_{u, 4}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + (r - 1) t_{u, 4}^{- γ - 1} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \\ = - λ (r - 1) t_{u, 4}^{r - 2} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} . \end{array}$ (3.41)

把(3.40)代入(3.41)得

$\begin{matrix} {h^{″}}_{u} (t_{u, 4}) = (p + γ - 1) t_{u, 4}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) t_{u, 4}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) t_{u, 4}^{r - 2} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} \\ = t_{u, 4}^{- 2} [(p + γ - 1) t_{u, 4}^{p} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) t_{u, 4}^{q} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) t_{u, 4}^{r} {‖ u ‖}_{r, b}^{r}] . \end{matrix}$ (3.42)

把(3.42)代入(3.12)，并借助(3.39)可得

$\begin{matrix} {h^{″}}_{u} (t_{u, 4}) = (p - r) t_{u, 4}^{p - 2} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q - r) t_{u, 4}^{q - 2} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} + (r + γ - 1) t_{u, 4}^{q} \int_{Ω} a (x) {| u |}^{1 - γ} d x \\ = t_{u, 4}^{1 - r} {g^{'}}_{u} (t_{u, 4}) < 0. \end{matrix}$ (3.43)

结合(3.42)和(3.43)，我们有

$(p + γ - 1) t_{u, 4}^{p} {‖ \nabla u ‖}_{p}^{p} + (q + γ - 1) t_{u, 4}^{q} {‖ \nabla u ‖}_{q, w}^{q} - λ (r + γ - 1) t_{u, 4}^{r} {‖ u ‖}_{r, b}^{r} < 0,$

故对于任意 $λ \in (0, λ_{2}^{*})$ ，有 $t_{u, 4} u \in N_{λ}^{-}$ ，所以 $N_{λ}^{-} \neq \emptyset$ 。

(2) 此部分的证明与引理3.3中类似，此处省略，证毕。

引理3.6 假设条件(H)成立，那么有下列结论成立：

(1) 令 $v \in N_{λ}^{-}$ ，则存在 $ε > 0$ 和连续函数 $θ : B_{ε} (0) \to (0, \infty)$ ，对任意 $y \in B_{ε} (0)$ 有 $θ (0) = 1$ 和 $θ (y) (v + y) \in N_{λ}^{-}$ 成立，其中 $B_{ε} (0) = {v \in W_{0}^{1, H} (Ω) : {‖ v ‖}_{1, H} < ε}$ 。

(2) 令 $h \in W_{0}^{1, H} (Ω)$ ， $λ \in (0, λ_{3}^{*})$ ，则存在 $b > 0$ ，对于任意 $t \in [0, b]$ ，有 $I_{λ} (v^{*}) \leq I_{λ} (θ (t) (v^{*} + t h))$ 。

(3) 当 $λ \in (0, λ_{3}^{*})$ ，则 $v^{*}$ 是问题(1.1)的正解，并且 $I_{λ} (v^{*}) > 0$ 。

该引理的证明与引理3.4完全类似，此处不再重复。

定理1.1的证明：取 $λ^{*} = λ_{3}^{*}$ ，由于 $0 < λ^{*} < λ_{2}^{*} < λ_{1}^{*}$ ，因此当 $λ \in (0, λ^{*})$ 时，根据引理3.3~3.6知问题(1.1)存在两个正解 $u^{*}$ 和 $v^{*}$ ，并且满足 $I_{λ} (u^{*}) < 0 < I_{λ} (v^{*})$ 。

文章引用

吕凯利. 带有奇异非线性项的加权(p, q)-Laplace方程正解的存在性
Existence of Positive Solutions of Weighted (p, q)-Laplace Equation with Singular Nonlinear Terms[J]. 理论数学, 2023, 13(03): 573-587. https://doi.org/10.12677/PM.2023.133061

参考文献

1. Battal, T., Bain, C.D., Weiss, M. and Darton, R.C. (2003) Surfactant Adsorption and Marangoni Flow in Liquid Jets: I. Experiments. Journal of Colloid and Interface Science, 263, 250-260. https://doi.org/10.1016/S0021-9797(03)00253-4

2. Benouhiba, N. and Benouhiba, Z. (2013) On the Solutions of the (p, q)-Laplacian Problem at Resonance. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 77, 74-81. https://doi.org/10.1016/j.na.2012.09.012

3. Tanaka, M. (2014) Uniqueness of a Positive Solution and Existence of a Sign-Changing Solution for (p, q)-Laplace Equation. Journal of Nonlinear Functional Analysis, 2014, 1-15.

4. Liu, W. and Dai, G. (2018) Existence and Multiplicity Results for Double Phase Problems. Journal of Dif-ferential Equations, 265, 4311-4334. https://doi.org/10.1016/j.jde.2018.06.006

5. Papageorgiou, N.S., Vetro, C. and Vetro, F. (2020) Multiple Solutions for Parametric Double Phase Dirichlet Problems. Communications in Con-temporary Mathematics, 23, Article ID: 2050006. https://doi.org/10.1142/S0219199720500066

6. Liu, W., Dai, G., Papageorgiou, N.S. and Winkert, P. (2020) Existence of Solutions for Singular Double Phase Problems via the Nehari Manifold Method. https://arxiv.org/abs/2101.00593

7. do Ó, J.M. and Moameni, A. (2010) Solutions for Singular Quasilinear Schrödinger Equations with One Parameter. Communications on Pure and Applied Analysis, 9, 1011-1023. https://doi.org/10.3934/cpaa.2010.9.1011

8. Liu, J., Liu, D. and Zhao, P. (2017) Soliton Solutions for a Singular Schrödinger Equation with Any Growth Exponents. Acta Applicandae Mathematicae, 148, 179-199. https://doi.org/10.1007/s10440-016-0084-z

9. Wang, L.L. (2018) Existence and Uniqueness of Solutions to Singular Quasilinear Schrödinger Equations. Electronic Journal of Differential Equations, 2018, 1-9.

10. Bai, Y., Motreanu, S. and Zeng, S. (2020) Continuity Results for Parametric Nonlinear Singular Dirichlet Problems. Advances in Nonlinear Analysis, 9, 372-387. https://doi.org/10.1515/anona-2020-0005

11. Papageorgiou, N.S. and Smyrlis, G.A. (2015) Bifurcation Type Theorem for Singular Nonlinear Elliptic Equations. Methods and Applications of Analysis, 22, 147-170. https://doi.org/10.4310/MAA.2015.v22.n2.a2

12. Papageorgiou, N.S., Vetro, C. and Zhang, Y.P. (2020) Positive Solutions for Parametric Singular Dirichlet (p-q) Equations. Nonlinear Analysis, 198, Article ID: 111882. https://doi.org/10.1016/j.na.2020.111882

13. Colasuonno, F. and Squassina, M. (2016) Eigenvalues for Double Phase Variational Integrals. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 195, 1917-1959. https://doi.org/10.1007/s10231-015-0542-7

14. Papageorgiou,, N.S., Repovš, D.D. and Vetro, C. (2021) Positive Solutions for Singular Double Phase Problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 501, Article ID: 123896. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2020.123896

期刊菜单