Pure Mathematics
Vol.
13
No.
04
(
2023
), Article ID:
64672
,
7
pages
10.12677/PM.2023.134098
边加权的边自由商图的Zeta函数
顾雪君,朱林
上海理工大学理学院,上海
收稿日期:2023年3月18日;录用日期:2023年4月19日;发布日期:2023年4月26日
![](http://html.hanspub.org/file/21-1251867x1_hanspub.png?20230428095429172)
摘要
为推广边自由商图的Zeta函数,本文定义了边加权的边自由商图上的Zeta函数。为方便推广后的Zeta函数的表达式的计算,利用边自由商图的性质,给出新的二项和三项行列式公式。
关键词
边自由商图,Zeta函数,Artin-Ihara L-函数
![](http://html.hanspub.org/file/21-1251867x2_hanspub.png?20230428095429172)
Edge-Weighted Zeta Functions of Edge-Free Quotients of Graphs
Xuejun Gu, Lin Zhu
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
Received: Mar. 18th, 2023; accepted: Apr. 19th, 2023; published: Apr. 26th, 2023
![](http://html.hanspub.org/file/21-1251867x3_hanspub.png?20230428095429172)
ABSTRACT
Edge-weighted Zeta functions of edge-free quotients of graphs are defined to generalize the Zeta functions of edge-free quotients of graphs. Two-term and three-term determinant formulas of the edge-weighted Zeta functions are obtained with the properties of edge-free quotients of graphs, which offers a better way to calculate it.
Keywords:Edge-Free Quotients of Graphs, Zeta Functions, Artin-Ihara L-Functions
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1. 引言
Ihara [1] 定义了Ihara Zeta函数,并证明该函数为多项式的倒数。
建立在Hashimoto [2] 工作的基础上,Bass [3] 考虑一个群G在有限树X上(不翻边)的作用,其中商图X/G和稳定化子均为有限的。他将一个Zeta函数和商X/G用非交换行列式联系起来,并表为一个显式多项式的倒数。
Stark和Terras [4] 用初等方法刻画了图的Zeta函数,将图X的Ihara Zeta函数表为图X中素元的Euler积,并重新证明了Bass的结果。因此Ihara Zeta函数 可被看成数域K上戴德金Zeta函数 的图论类比,且满足一些相似的性质。
Stark和Terras [5] [6] 考虑图的自由Galois覆盖的Zeta函数,进一步发展了图论与数论之间的类比。利用图的性质,给出二项、三项行列式来计算相应Zeta函数。Zakharov [7] 考虑了边自由作用下商图的Ihara Zeta函数。
本文定义了边加权情形下,边自由作用的商图的Ihara Zeta函数,推广了边自由商图的Zeta函数。为计算推广后的Zeta函数,给出了新的二项和三项行列式公式。
本文为研究边自由作用下,边加权的图和商图的Zeta函数的整除关系提供了工具。后续的定义和证明会在接下来的论文中给出。本文的定义和公式对于边平凡的群图这样的一般情形同样适用。
2. 基础知识
2.1. 边平凡的群图
定义1带腿(leg)的图X由下列组成:顶点集 ,半边集 ,根映射 ,
对合映射 ,使得 。
对合生成的群,其作用下的轨道有一个或两个元素。含两个元素的轨道 称为X的一个边,记所有边组成的集合为 。对边 定向,得有向边 ,称 为e的起点, 为e的终点。 为与e反向的边。若 ,称边 为环。若 ,则轨道中只有一个元素,称h为X的腿(leg),记腿集为 。
这里只考虑连通图。下面定义边平凡的群图。
定义2图X和群 (对任意 )组成了边平凡的群图 。称 是有限的,若X是有限图且 为有限群。
序列 称为 中长度 的路P,其中 为顶点 , , 的X中路, 。若 ,称P是闭路。若P的终点等于Q的起点,可定义路的合成PQ。
对 中的路 ,若 ,要么 ,要么 ,称P为约化的。
路P称为本原路,若P是约化的闭路,且 ,使得 。任一约化路都能唯一表成本原路的次幂。
称闭路 和 等价,若 ,有 , , 。等价是一个等价关系。本原路的等价类称为 中素元 ,长度 是定义良好的。给定长度的素元有有限个。
2.2. 群在图上的作用
下面考虑群在图上的作用。
定义3 。图X的自同构f指 的双射,保持根映射和对合映射。
f将边映到边,将腿映到腿。X的所有自同构作成一个群 。
将同态 称为群在图上的作用。主要对2种群在图上的作用感兴趣。
定义4称G在X上的作用是边自由的,若G在 上自由作用。
定义5称G在X上的作用是自由的,若G在 和 上都是自由作用。因为腿的使用,放宽了原有的G不翻边( , ,有 )的条件。
有了群在图上的作用,下面定义商图。
定义6群G在图X上作用。 。由自同构群的性质, 中轨道构成 的划分, 中轨道构成 的划分。顶点集为 为G作用下 的轨道,半边集 为G作用下 的轨道。G的作用保持根映射和对合映射,因此由根映射 ,对合映射 ,相应有 , 。记自然商映射为 。
3. 边加权的边自由商图的Zeta函数
3.1. 定义
下面定义边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数。
设有群的图 ,半边集 。
参照文献 [8] 和文献 [9] 的加权方式, ,对h加权 ,使得 。可见对 (即h为腿, 的情形),有 。此时令 。
对路 ,定义路的权 。
定义7边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数如下:
3.2. 二项行列式公式
定义半边邻接权矩阵W如下:
其中 为顶点负荷,有 。
可见,对路 , 为 上的闭约化路权重之和。
下面给出边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数的二项行列式公式。
定理1设 为有限边加权的边平凡的群图,其中半边个数为k。 的Ihara Zeta函数等于
其中W为 的半边邻接权矩阵。
证明:对 取log,得
对于素元 ,有 个本原路相对应,且长度均为 ,可见
由于任一闭约化路Q都可唯一表为本原路的次幂得
其中 为给定长度n,闭约化路权之和。
考虑半边邻接权矩阵W,可见
因此有
综上,
3.3. 三项行列式公式
记有m条边,n个顶点,l个腿,且记半边数 。定义如下矩阵。
对角价矩阵Q为 矩阵,有
其中 为顶点关于根映射的原象个数,即顶点上半边个数。
邻接权和矩阵A为 矩阵,表示u到v的边权重之和,有
对角负荷矩阵C为 矩阵表示顶点上群元素个数,如下:
其中 为顶点负荷,有 。
下面给出边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数的三项行列式公式。
定理2设 为有限边加权的边平凡的群图,其中有m条边,n个顶点,l条腿,且记半边数 。 的Ihara Zeta函数满足
证明:对半边排序,记 ,记 。
定义辅助矩阵如下:
定义 阶矩阵S为始矩阵,其中
定义 阶矩阵T为终矩阵,其中
定义 阶矩阵J为对合矩阵,其中
定义 阶矩阵D为半边负荷矩阵,其中
定义 阶矩阵L为半边权矩阵,其中
易证如下关系:
因此可知:
用以上关系式,证明三项行列式公式。由 ,知
容易验证, 。因此
由 ,易见 。带入得
由 知
由 得
由 得
又 ,因此
考虑 。
由半边的顺序,可记
其中
则
取行列式得
可见
基金项目
国家自然科学基金青年项目11901390。
文章引用
顾雪君,朱 林. 边加权的边自由商图的Zeta函数
Edge-Weighted Zeta Functions of Edge-Free Quotients of Graphs[J]. 理论数学, 2023, 13(04): 935-941. https://doi.org/10.12677/PM.2023.134098
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