Pure Mathematics
Vol.
13
No.
10
(
2023
), Article ID:
74329
,
6
pages
10.12677/PM.2023.1310301
S-弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式
岳丹,鲁雅莉,冯德成
西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州
收稿日期:2023年9月11日;录用日期:2023年10月13日;发布日期:2023年10月24日
![](http://html.hanspub.org/file/21-1252097x1_hanspub.png?20231026102515491)
摘要
本文利用S-弱鞅的一个Chow型极大值概率不等式,得到了关于S-弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式。
关键词
S-弱鞅,Chow型极大值不等式,Marshall型极大值不等式
![](http://html.hanspub.org/file/21-1252097x2_hanspub.png?20231026102515491)
A Class of Marshall Type Maximal Inequality for Strong Demimartingales
Dan Yue, Yali Lu, Dengcheng Feng
College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu
Received: Sep. 11th, 2023; accepted: Oct. 13th, 2023; published: Oct. 24th, 2023
![](http://html.hanspub.org/file/21-1252097x3_hanspub.png?20231026102515491)
ABSTRACT
In this paper, a class of Marshall type maximal inequality is obtained for strong demimartingales by using a Chow type maximal inequality.
Keywords:Strong Demimartingales, Chow Type Maximal Inequality, Marshall Type Maximal Inequality
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This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 简介和预备知识
在本文中, 或 表示定义在概率空间 上的随机变量序列, , 表示集合A的示性函数。
定义1 设 是 随机变量序列,称 是相协的是指对于任意使下述协方差存在的分量不减的函数f和g,都有
定义2 设 是 随机变量序列,称 是一个弱鞅是指对任意使下述期望存在的分量不减的函数f,以及 都有
(1.1)
Newman和Wright在文献 [1] 中提出了弱鞅的概念以及弱鞅的Chow型极大值不等式,并证明了均值为零的相协序列的部分和序列是一个弱鞅。之后众多学者基于此概念进行了进一步的研究,并给出了一些有意义的结果 [2] [3] [4] [5] 。Christofides [6] 推广了Chow型极大值概率不等式,并利用它得到了弱鞅的强大数定律。
定义3 设 是 随机变量序列,称 是一个S-弱鞅是指对任意使下述协方差存在的分量不减的函数f和g,以及 都有
(1.2)
S-弱鞅的概念由Hadjikyriakou于文献 [7] 中提出,该文献给出了S-弱鞅的中心极限定理。一个随机变量序列 ,其中 , 是相协的,则序列 是一个S-弱鞅,此外,如果 是一个零均值序列,则序列 是一个弱鞅。文献 [8] 给出了S-弱鞅的Chow型极大值概率不等式和Brunk-Prokhorov型强大数定律。
注 相协随机变量的部分和序列是一个S-弱鞅,各项均值相同的S-弱鞅是一个弱鞅。
一般地,设X是零均值的平方可积随机变量,对任意 ,有
Marshall [9] 将上述概率不等式推广到如下形式
(1.3)
这里 , , ,且 , 。此不等式也被称为Marshall型极大值概率不等式。
在上述条件下,如果令 ,则 是一个鞅。Mu和Miao [10] 将(1.3)式推广到如下形式
(1.4)
这里, , ,且 , ,其中 是下列函数的最大值
特别地,当 时,(1.4)式为(1.3)式所表示的Marshall型极大值概率不等式。
Hu [11] 将文献 [10] 中的结论推广到弱鞅情形下,得到了弱鞅的Marshall型极大值和极小值概率不等式。文献 [12] 将文献 [11] 中关于弱鞅 的Marshall型极大值概率不等式推广到弱鞅函数的情形下。
受到上述文献的启发,文本利用S-弱鞅的一个Chow型极大值概率不等式,得到了关于S-弱鞅 的一类Marshall型极大值概率不等式。
2. 主要结论及其证明
引理1 [13] 若 , ,则有
(2.1)
(2.2)
引理2 [8] 设 是一个S-弱鞅,M是一个常数,且 , ,则对任意 ,有
(2.3)
特别地,当 时,有
引理3 设 是一个S-弱鞅,且对任意 有 ,假定存在 ,使得对所有 ,都有 。则对任意 ,有
(2.4)
其中 。
证明 记 ,由引理1中的(2.1)式和引理2,可得
又因为
结论得证。
定理1 设 是一个S-弱鞅,且对任意 , 。若存在 ,使得对任意 ,有 ,则对任意 ,有
其中N是下面方程的正解
(2.5)
这里 , , 。
证明 当 ,结论显然成立,下面考虑 的情况。由引理3可知
两边同除以 可得
令 , ,则有 。
因此
即
令 ,易得 有唯一正解,设N是方程(2.5)的唯一正解,由于当 时, ,因此对任意 ,有
由于 且 ,所以对任意 ,有 。故N是使(2.5)式成立的最小正值,结论得证。
推论1 设 是一个S-弱鞅,对任意 , 且 。若存在 ,使得对任意 ,有 ,则对任意 ,有
其中N为下面方程的正解
这里 , , 。
证明 当S-弱鞅各项期望都相等时,该序列是一个弱鞅序列,则由文献 [12] 中推论2,结论得证。
定理2 设 是一个S-弱鞅,且满足 , 。假定存在一个 ,使得对任意 ,有 ,则对任意 ,有
这里 为 在区间 上的极大值。
证明 显然 在区间 上有极大值,设此极大值为 ,因为
根据(2.5)式
即
上式两边同时p次方
则
结论得证。
基金项目
国家自然科学基金项目(12261080, 62261049),西北师范大学研究生科研资助项目(2021KYZZ02093)。
文章引用
岳 丹,鲁雅莉,冯德成. S-弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式
A Class of Marshall Type Maximal Inequality for Strong Demimartingales[J]. 理论数学, 2023, 13(10): 2942-2947. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1310301
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