ABSTRACT

In this paper, we study E-Henig proper efficient solution for set-valued optimization problem. Firstly, the concept of E-Henig proper efficient point in a real Hausdorff locally convex space is given. The relationships with E-Benson proper point and E-super point are discussed. Secondly, under the assumption of nearly subconvexlikeness, scalarization theorems of E-Henig proper efficient solution are established. Lastly, E-Henig saddle point theorem and E-Henig duality theorem are studied.

Keywords:E-Henig Proper Efficient Solution, Scalarization, Proper Saddle Point, Duality

集值优化问题的E-Henig真有效解

林佩静¹，李茂旺²，仇秋生¹

¹浙江师范大学，浙江 金华

²江西冶金职业技术学院，江西 新余

收稿日期：2016年8月9日；录用日期：2016年8月24日；发布日期：2016年8月31日

摘 要

本文研究集值优化问题的E-Henig真有效解。首先，在实局部凸Hausdoff空间中引进了E-Henig真有效点的概念，给出了E-Henig真有效点的等价刻画，讨论了它与E-Benson真有效点和E-超有效点的关系。其次，在集值映射为近似E-次类凸的条件下，建立了E-Henig真有效解的标量化定理。最后，研究了E-Henig真有效解的鞍点定理和对偶定理。

关键词 :E-Henig真有效解，标量化，真鞍点，对偶

1. 引言

集值优化理论是最优化理论和应用的主要研究内容之一。它被广泛应用于经济均衡和军事决策等领域。由于存在多种不同形式的真有效解和近似真有效解的概念，因此如何提出统一的集值优化问题真有效解的概念，并在统一的框架下研究真有效解的标量化，鞍点以及对偶是十分重要的课题。目前，关于集值优化问题有效解和弱有效解的统一性研究比较多，如：2006年，Gutierrez等 [1] ，通过引进co-radiant集的概念定义了一类新的ε-有效解，并研究了它的线性与非线性标量化特征，这类新的近似有效解推广和统一了文献 [2] [3] 中的几种近似解的概念。2011年，Chicco在有限维空间中提出改善集的概念 [4] ，同时研究了其性质和几何意义。基于改善集，Gutierrez提出向量优化问题中的一类新的有效解的概念：E-有效解 [5] 。它统一了优化问题中的许多解的概念，如：数值优化问题的最优解和近似解，向量优化问题的(弱)有效解和近似(弱)有效解。2012年，赵克全等在Hausdoff局部凸空间中 [6] ，利用改善集的知识提出近似E-次类凸集值映射，建立相应的择一定理，并获得E-有效解的标量化定理，E-鞍点定理和E-对偶定理。2013年，赵克全和杨新民提出E-Benson真有效解的概念 [7] ，这类有效解推广了经典的Benson真有效解和ε-真有效解的概念。2016年，周志昂等提出了E-超有效解的概念 [8] ，获得标量化定理等结果。众所周知，对超有效点而言，它的存在性条件是非常强的，哪怕是紧凸集的条件下，也不能够保证它的存在性。另一方面，为讨论E-Benson真有效解的标量化问题，一般都要求序锥具有紧或弱紧基底(见 [7] )。在许多情况下，这些条件难以满足。而Henig真有效解既保持了超有效解的主要特征，同时它仅要求序锥具有基底。因此，研究Henig真有效解是有意义的。

本文在文献 [5] - [8] 的基础上，首先提出E-Henig真有效点的概念，它统一了Henig真有效点和ε-Henig真有效点等概念，随后给出了E-Henig真有效点的等价刻画以及存在性定理，并讨论了它与E-Benson真有效点和E-超有效点之间的关系。其次，在集值映射为近似E-次类凸的假设下，进一步研究了集值优化问题E-Henig真有效解的标量化定理。最后，提出E-Henig真有效解的鞍点和对偶的定义，同时得出鞍点定理及对偶定理。

2. 定义与引理

若无特别申明，以下总假设X是线性空间，Y和Z分别为实局部凸Hausdorff空间，Y^*为Y的共轭空间，，用， (或)，分别表示A的闭包，内部和生成锥。

设，为内部非空的闭凸点锥，由K诱导出Y的偏序，即

。

非空凸子集，如果满足下列两个条件：

1)

2)，则称B为K的基底。

如果基底B为有界(紧，弱紧)集，则称K具有有界(紧，弱紧)基底。

记和分别为K的对偶锥和所有严格正泛函，即

。

设B为凸锥K的基底，记

。

下面定义K的“扩充”锥，因，由凸集分离定理，存在使。记

，

则为Y中零元的开凸均衡邻域。对每一个满足的零元的凸邻域V，记

，

称为K的“扩充”锥。它具有以下特性。

引理1 [9] 1)为点凸锥；

2)及。

符号，将在整篇论文中使用。为方便起见，以下我们记

。

。

引理2 [10] 假设是一个含有基底B的凸锥，则

1)，有。

2)，使得。

引理3 [11] 令M，N是Y中的两个非空凸子集，若且，则存在使得

。

为方便讨论E-Henig真有效点与其它有效点之间的关系，以下给出了集值优化问题的几种常见的真有效点和E-真有效点的概念。

定义1 [12] 设A为Y中的一个非空子集，B为凸锥K的基底，。如果存在使得

，

则称为A关于B的Henig真有效点(简称为Henig真有效点)，记作。

定义2 [13] 设A为Y中的一个非空子集，是具有基底B的凸锥，，。若存在使得，则称为A的ε-Henig真有效点，记作。

定义3 [14] 设E为Y中的一个非空子集，如果满足下列两个条件：

1)；

2)，

则称E为关于K的一个改善集，将Y中改善集的全体记为。

定义4 [7] 设A为Y中的一个非空子集，，是一个闭凸锥，。若

则称为A的E-Benson真有效点，记作。

定义5 [8] 设A为Y中的一个非空子集，，是一个闭凸锥，，若对任意的，存在使得

则称为A的E-超有效点，记作。

假设且，考虑如下集值优化问题：

(VP)

其中为约束集，，，为集值映射，且，，，.若存在使得，则称(VP)满足广义约束规格。

定义6设A为Y中的非空子集，是具有基底B的凸锥，，，如果存在使得

，

则称为A关于B的Henig真有效点，记作。

注1 E-Henig真有效点是一个很一般的概念，它统一了Henig真有效点及近似Henig真有效点等概念，例如：

1) 若取，于是，则E-Henig真有效点即为Henig真有效点。

2) 若取，易知，则E-Henig真有效点即为Henig真有效点。

3) 若取，()，有，则E-Henig真有效点即为ε-Henig真有效点。

4)，()，显然，则E-Henig真有效点即为ε-Henig真有效点。

定义7 设，，若存在，使，则称是(VP)的E-Henig真有效解，为(VP)的E-Henig真有效元。

引理4给出集值优化问题的E-Henig真有效点的几种等价刻画。

引理4设A为Y中的非空子集，B为凸锥K的基底，下列条件等价：

1)；

2) 存在使得；

3) 存在使得；

4) 存在使得。

证明 类似于文献 [12] 中定理3.1的证明。

定理1 (存在性定理)设Y是自反的Banach空间，是一个锥，E为Y中的改善集，是一个无界非空的弱闭集，假设存在满足如下两个条件：

1)；

2)。

则。

证明从条件2)可知，。根据下确界定义，对任意的，都存在，使得

。

由假设2)可得，对任意的，为有界的。因为A是一个弱闭集，所以不防设。由上式可知。由条件及由引理2可知，存在使得。所以对任意，有

。

因此，即。根据引理4(3)，有。

下面讨论E-Henig真有效点与E-Benson真有效点以及E-超有效点之间的关系。

命题1设为非空子集，B为凸锥K的基底，则有。

证明对任意，存在使得

，

因为，，所以

。

即，所以。

命题2 设为非空子集，B为凸锥K的基底，则有。反之不一定成立。

证明 因为B为凸锥K的基底，所以存在使得

， (1)

由于，则上述，存在使得

已知Y是局部凸Hausdoff空间，不失一般性，假设V是一个开凸零邻域，由(1)可知

。又因为，所以

。

由于是锥，且，则

，

所以，即。

如下的例子说明。

例1 令，，，，，，则，但。

3. 标量化

下面讨论集值优化问题E-Henig真有效解的标量化问题。记。

，其中。

考虑如下标量化问题：

(VP)_m。

定义8 [6] 设，若存在使得

。 (2)

其中，则称为(VP)_m关于E的一个最优解，为(VP)_m关于E的最优元。

注2 若，，，则，(2)式可退化为

。

定义9 [15] 设，，若是凸集，则称F是S上近似K-次类凸。

定义10 [6] 设，，若是凸集，则称F是S上近似E-次类凸。

注3，由文献 [15] 中的引理2.2和命题3.3可知

，

近似E-次类凸集值映射和近似K-次类凸集值映射一致。反之，若F是近似K-次类凸的，但它不一定是近似E-次类凸的。

例2 [6] ，，，

显然，是凸集，但不是一个凸集。

定理2 设B是闭凸锥K的基底，，，，在C上近似E-次类凸。若是(VP)的一个E-Henig真有效元，则存在使得是(VP)_m的E-最优元。

证明 由于是(VP)的一个E-Henig真有效元，则存在使得

。

因为在C上近似E-次类凸，所以是Y上的凸集。

而是Y上的非空凸集，由引理3知，存在使

。 (3)

又因，由(3)知

， (4)

即。

现证：。

由于是凸锥，且非空，则。对任意的，存在，有。因为，所以，即。而，由引理2知。又因为为Y中的一个锥，且在上有上下界，于是由(3)式有

，

从而

，

即

，

于是有

，

这表明是(VP)_m的E-最优元。

定理3 设K是含有基底B的凸锥，，若存在使得是(VP)_m的E-最优元，则也是(VP)的一个E-Henig真有效元。

证明 (反证法)假设不是(VP)的E-Henig真有效元，则由引理4知，有

，

即存在，，使得

。 (5)

因为，由引理2知，存在使得。由(5)得。

于是

，

与是(VP)_m的E-最优元矛盾，所以是(VP)的E-Henig真有效元。

4. E-Henig真鞍点

本部分给出了Lagrange集值映射的E-Henig真鞍点的定义，并建立E-Henig真鞍点定理。

设为Z到Y的连续行算子的全体，记

。

设，其中，。

记。

定义11 设，若，则称是Lagrange映射的一个E-Henig真鞍点。

定理4是的一个E-Henig真鞍点Û存在，，及满足如下条件：

1)；

2)；

3)；

4)。

证明 “Þ”：因为是的一个E-Henig真鞍点，所以存在，使得

， (6)

。 (7)

由(6)知，条件1)成立。由(7)知，存在使

。 (8)

因，。

所以。从而

。

因为及，所以

。 (9)

令其中，，则(9)式可写为

。

即是(P)的一个E-Henig真有效点。因为f是线性的，所以是上近似E-次类凸的。有定理2可知，存在使得

。

所以，，。于是

(10)

现证：。

反证：假设。因为P是闭凸锥，所以由强凸集分离定理知，存在使得

。 (11)

在(11)中取，则有。再由(11)知

。

当时，有，所以有。取，，令

。

所以。

因为，所以。由引理1可知，

，则有

，

即，与(10)式矛盾，所以条件2)成立。

由于，，则有。

现证：。

假设，则存在，，于是，即

。

在(10)中令，有，与上式矛盾，条件3)成立。

在(8)中令，则条件4)成立。

“Ü”：由条件1)~4)，只需证。

假设，则任意有

。

令，有

，

与条件4)矛盾。所以

。

定理5 若是的一个E-Henig真鞍点，，，，，则是(VP)的一个E'-Henig真有效元。

证明 因为是的一个E-Henig真鞍点，所以存在，以及使得

。

因为，所以。又因为，所以

。

所以

。

即是(VP)的一个E'-Henig真有效元。

5. E-Henig对偶

称集值映射，其中，为(VP)的E-Henig对偶映射。

称(VD)为(VP)的对偶问题。

定义12 1)若，则称y为(VD)的一个可行点；

2) 若，，则称为(VD)的E-Henig真有效点。

定理6 设为(VP)的任意可行解，为(VD)的任意可行点，则存在使

。

证明 因为为(VD)的任意可行点，则存在使得

，

由定理1存在使得，即

。

因为，所以有

。 (12)

因为为(VP)的可行解，所以，即存在使，所以，令(12)中，所以

。

因为，所以

，

即。

定理7 设为(VP)的任意可行解，为(VD)的任意可行解，其中，为(VP)的E-Henig真有效解，为(VD)的E-Henig真有效点.

证明 因为为(VD)的任意可行解，所以，即存在使得

。由定理1可知，存在使得

。 (13)

有且所以。令(13)中，则有

。

即

。

因为，所以为(VP)的E-Henig真有效解。又因为为(VP)的任意可行解，，由定理6知，

，

所以为(VD)的E-Henig真有效点。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11471291)。

文章引用

林佩静,李茂旺,仇秋生. 集值优化问题的E-Henig真有效解
E-Henig Proper Efficient Solution for Set-Valued Optimization Problems[J]. 应用数学进展, 2016, 05(03): 494-504. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.53060

参考文献 (References)