Advances in Applied Mathematics
Vol.
08
No.
04
(
2019
), Article ID:
29907
,
6
pages
10.12677/AAM.2019.84084
Pseudo n-Width of Infinite Dimension Identity Operator
Wenjing Lu, Hanyue Xiao, Jing Qin
School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan
Received: Apr. 3rd, 2019; accepted: Apr. 18th, 2019; published: Apr. 25th, 2019
ABSTRACT
In this paper, we study the pseudo width of infinite dimension identity operator , and obtain its asymptotic degree.
Keywords:Infinite Dimension Identity Operator, Pseudo Width, Sequence Space, Asymptotic Degree
无穷维恒等算子的伪宽度
陆文静,肖寒月,秦静
西华大学理学院,四川 成都
收稿日期:2019年4月3日;录用日期:2019年4月18日;发布日期:2019年4月25日
摘 要
本文讨论了无穷维恒等算子 的伪宽度,并计算了其精确渐近阶。
关键词 :无穷维恒等算子,伪宽度,序列空间,渐近阶
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言及主要结果
宽度理论是函数逼近论的重要内容之一,也是国内外研究的热点之一,它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。其中,关于伪宽度的研究是当下宽度理论研究的热点之一,伪宽度在模式识别、消退估计、经验过程、学习理论中都有重要的应用。VC-维数的概念最早被Vapnik和Chervonenkis在参考文献 [2] [3] 中提出,他们介绍了集合的指标函数的VC维数。在实值函数中,Pollard [4] 和Haussler [5] 将VC-维数的定义扩展到伪维数,VC维数和伪维数是集合或空间容量的度量,它与一个函数类的熵有联系 [6] 。1998年,Maiorov和Ratsaby在参考文献 [7] 中给出VC-宽度和伪宽度的定义,研究了有限维空间伪宽度在一致框架下的逼近特征,并确定了在一致框架下的VC-宽度 和伪宽度 的精确渐近阶。2007年,陈广贵等 [8] 讨论了具有共同光滑函数类的伪宽度,并且计算了其精确阶。本文主要讨论无穷维恒等算子的伪宽度。首先,介绍伪维数和伪宽度的定义。
定义1.1:对实数 , 表示符号函数,当 时,其值为1,其它情形其值为−1。对向量 ,如果 是 上的一个实值函数集合,称满足下列条件的最大整数 为 的伪维数,即存在指标集 和 使得集合
的基数为 。如果不存在这样的最大的 ,那么 的伪维数是正无穷。我们将 的伪维数记为 。
定义1.2:设 为赋范线性空间 的一非空子集, ,称
为 在 中的伪宽度,其中 取遍 中的伪维数不超过 的所有线性子空间。
定义1.3:设 为两个赋范线性空间,其范数分别为 与 , 是 到 的有界线性算子, ,称
为算子 的伪宽度,其中 表示 的单位球,即 。
关于伪宽度的一些重要性质已经得到了精彩的结果。本文将讨论无限维恒等算子 的伪宽度。为此,继续介绍有关概念。
设 ,对任一实序列 ,令
表示满足条件 的实序列 所构成的集合。众所周知, 为 上的一个范数,而且 是一个Banach空间。易见, 空间具有如下性质:
1) ,
2) 。
因此,无穷维恒等算子 是从 到 的有界线性算子,而不是 到 的算子。
对于 , ,令
,
和
则易见 为 上的范数,且 为Banach空间。用 表示 中的单位球。
令 , ,( 时,记 ),对任意的 ,由Hölder不等式有
因此 。从而无穷维恒等算子
为 到 的有界线性算子。
本文利用离散化的方法讨论了无穷维恒等算子 的伪宽度,并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果,即
定理1:设 , , 则
其中,符号“ ”的定义如下:假设 是和参数 有关的非负常数。对两个正函数 和 , ,如果存在正常数 满足条件 ,则记 。若存在正常数 满足条件 ,则记 ,若 且 ,则记 。
2. 主要结果的证明
为了证明定理1,首先讨论有限维空间的伪宽度。令 。
设 , 。令
则 为 上的范数。用 表示 按照范数 所构成的Banach空间。用 表示 中的单位球。易见 为 的基,其中 (第n个分量为1,其余分量为0)。
引理1: [7] 设 , , ,则
下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。
对 ,其中 ,记 。则对任意的 ,且 有 , 。用 表示 中元素的个数,则 。
以下我们总是假设 。用 表示第 个分量为1,其余分量为0的无穷维实序列,则 为 的Schauder基。从而对 ,有 。
对 ,记 ,则 。令
则对 ,有
(2.1)
且
(2.2)
从而 为 到 上的等距同构映射。
引理2:设 , ,非负整数序列 满足 ,且 。则
证明:对 ,由(2.1)知,对 ,有
,由(2.2)知
所以
由伪宽度的定义知,存在 的一个伪维数不超过 的线性子空间 使得
令 (直和)。则 为 的线性子空间,且
。
从而
下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。
引理3:令 , , ,则
其中 。
证明:对 ,则由(2.1)有
对 ,则由(2.2)有
所以
定理1的证明:
由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子 的定义,易见 。
首先估计定理1的上界。
对 ,令 ,
其中, ,易见 满足引理2的条件。
由引理2和引理1有
定理1的下界估计。
取满足引理3中条件的 ,则由引理3和引理1有
综上,定理1得证。
文章引用
陆文静,肖寒月,秦 静. 无穷维恒等算子的伪宽度
Pseudo n-Width of Infinite Dimension Identity Operator[J]. 应用数学进展, 2019, 08(04): 747-752. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.84084
参考文献
- 1. Traub, J.F. Wasilkowski, G.W. and Wozniakowski, H. (1988) Information-Based Complexity. Academic Press, Bos-ton.
- 2. Vapnik, V.N. and Chervonenkis, A.Ya. (1971) On the Uniform Convergence of Relative Frequencies of Events to Their Probabilities. Theory of Probability & Its Applications, 16, 264-280. https://doi.org/10.1137/1116025
- 3. Vapnik, V.N. and Cbervonenkis, A.Ya. (1981) Necessary and Sufficient Conditions for the Uniform Convergence of Means to Their Expectations. Theory of Probability & Its Applications, 26, 532-553. https://doi.org/10.1137/1126059
- 4. Pollard, D. (1989) Empiricai Processes: Theory and Applications. NSF-CBMS Regional Conference Sews in Probability and Statistics, Vol. 2, Institute of Mathmatical Statistics and American Statistical Association.
- 5. Haussler, D. (1992) Decision Theoretic Generalizations of the PAC Model for Neural Net and Other Learning Applications. Information and Computation, 100, 78-150. https://doi.org/10.1016/0890-5401(92)90010-D
- 6. Vapnik, V.N. (1982) Estimation of Dependences Based on Empirical Data. Springer. Berlin.
- 7. Maiorova, V. and Ratsaby, J. (1998) The Degree of Approximation of Sets in Euclidean Space Using Sets with Bounded Vapnik-Chervonenkis Dimension. Discrete Applied Mathematics, 86, 81-93. https://doi.org/10.1016/S0166-218X(98)00015-8
- 8. Chen, G.G., Fang, G.S. and Ruan, Y.L. (2007) Non-Linear Approximation of Functions with Mixed Smoothness by Sets of Finite Pseudo-Dimension. Acta Mathematica Sinica, English Series, 23, 671-676. https://doi.org/10.1007/s10114-005-0921-x