ABSTRACT

In this paper, we consider the fixed points of generalized Meir-Keeler-Rational contractions in the context of partial $\nu$ -generalized metric spaces. Our results generalize several known ones in literature.

Keywords:Meir-Keeler-Rational Contraction, Partial $\nu$ -Generalized Metric Space, Fixed Points

偏 $\nu$ -度量空间中有关Meir-Keeler-Rational型 映射的不动点理论

王小卉，纪培胜，董芳远

青岛大学，数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2019年4月26日；录用日期：2019年5月6日；发布日期：2019年5月22日

摘 要

本文主要介绍了偏 $\nu$ -度量空间中有关Meir-Keeler-Rational型映射的不动点定理，我们的结果推广了以往论文中的一些结论。

关键词 :Meir-Keeler-Rational型映射，偏 $\nu$ -度量空间，不动点

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1. 引言

Banach [1] 引入的Banach收缩原理是数学分析中最重要的结果之一，它是数学许多分支中应用最广泛的不动点理论，并在许多不同的方向上被进行了推广。其中一方面推广涉及度量空间的各种推广，且在新的框架中得到不动点的结果，例如，在b-度量空间、广义度量空间和偏序度量空间中发表了一些关于这个主题的论文。2014年，Shukla [2] 推广了b-度量空间和偏序度量空间，定义了偏b-度量空间的概念。Mitrovic和Radenovic [3] 推广了 $\nu$ -度量空间 [4] ，引入了 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间的概念。Abdullahi和Kumam [5] 推广了偏序度量空间和 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间，定义了偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间，且在其中建立了不动点理论。他们在论文中提出了一些开放型问题：是否可以类似的在推广的 $\nu$ -度量空间， $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间，偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间中证明Chatterjee型压缩、Hardy-Roger型压缩、Ciric型压缩和Suzuki型压缩的不动点问题。

另一方面是对压缩条件进行推广。Meir-Keeler [6] 采用了一种不同的方法来概括受到广泛关注的Banach收缩原理。准确地说，他们取得了以下令人印象深刻的结果。

定理1.1： [6] 假设映射A是完备度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的一个自映射，且满足下述条件：对给定的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，对于任意的 $x,y\in X$，有

$\epsilon \le d\left(x,y\right)<\epsilon +\delta \Rightarrow d\left(Ax,Ay\right)<\epsilon$

这个结果随后被推广到很多方面。例如Jachymski [7] 提出了一些等同于Meir-Keeler类型条件的条件，并建立了一个完善的不动点理论，该理论将Meir-Keeler的理论广泛化。

定理1.2： [7] 假设映射A是完备度量空间 $\left(X,d\right)$ 上的一个自映射，且满足下述条件：

1) 对给定的 $\epsilon >0$，存在 $$，对于任意的 $x,y\in X$，有

$\epsilon <m\left(x,y\right)<\epsilon +\delta \Rightarrow d\left(Ax,Ay\right)\le \epsilon$

其中

$m\left(x,y\right)=\max \left\{d\left(x,y\right),d\left(x,Ax\right),d\left(y,Ay\right),\left[d\left(x,Ay\right)+d\left(y,Ax\right)\right]/2\right\}$ ;

2) 对任意的 $x,y\in X$，且 $m\left(x,y\right)>0$，

$d\left(Ax,Ay\right)<m\left(x,y\right)$

若A是连续的则A有唯一的不动点。

本文中我们将在偏 $\nu$ -度量空间中建立推广的Meir-Keeler型映射的不动点理论，并且给出这一理论的一些直接的结果。

2. 预备知识

从现在开始，我们用 $N,R,R^{+},R_{+}$ 分别代表正整数，实数，正实数，非负实数。下面我们回顾一下偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间的定义。

定义2.1： [5] 令X是非空集合，映射 $d:X\times X\to \left[0,\infty \right)$，$\nu \in N$，若对于任意的 $x,y\in X$，存在互不相同的元素 $u_1,u_2,\cdots ,u_{\nu }\in X$，且它们与x和y是互异的，有下列条件成立：

1) $x=y$ 当且仅当 $d\left(x,y\right)=d\left(x,x\right)=d\left(y,y\right)$ ；

2) $d\left(x,x\right)\le d\left(x,y\right)$ ；

3) $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$ ；

4) 存在 $s\in R$ 且 $s\ge 1$，有 $d\left(x,y\right)\le s\left[d\left(x,u_1\right)+d\left(u_1,u_2\right)+\cdots +d\left(u_{\nu },y\right)\right]-{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\nu }d\left(u_k,u_k\right)}$ (偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -不等式)。

则d称为X上的偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -距离， $\left(X,d\right)$ 称为偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间，且系数 $s\ge 1$。

注1 [5] 在偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间 $\left(X,d\right)$ 中，若对 $x,y\in X$，有 $d\left(x,y\right)=0$，则 $x=y$。反之不一定成立。

注2 [5]

1) 偏 $b_1\left(1\right)$ -度量空间是偏度量空间 [8] ；

2) 偏 $b_1\left(s\right)$ -度量空间是偏b-度量空间，系数 $s\ge 1$ [2] ；

3) 偏 $b_2\left(1\right)$ -度量空间是偏矩形度量空间 [9] ；

4) 偏 $b_2\left(s\right)$ -度量空间是偏矩形b-度量空间，系数 $s\ge 1$ ；

5) 偏 $b_{\nu }\left(1\right)$ -度量空间是偏 $\nu$ -度量空间。

定义2.2：令X是一个非空集合，映射 $d:X\times X\to \left[0,\infty \right)$，$\nu \in N$。若对任意的 $x,y\in X$，存在互不相同的元素 $u_1,u_2,\cdots ,u_{\nu }\in X$，且它们与x和y是互异的，有下列条件成立：

1) $x=y$ 当且仅当 $d\left(x,y\right)=d\left(x,x\right)=d\left(y,y\right)$ ；

2) $d\left(x,x\right)\le d\left(x,y\right)$ ；

3) $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$ ；

4) $d\left(x,y\right)\le d\left(x,u_1\right)+d\left(u_1,u_2\right)+\cdots +d\left(u_{\nu },y\right)-{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\nu }d\left(u_k,u_k\right)}$ (偏 $\nu$ -不等式)。

则d称为X上的偏 $\nu$ -距离。 $\left(X,d\right)$ 称为偏-度量空间。

定义2.3： [5] 令 $\left(X,d\right)$ 是偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间，数列 $\left\{x_n\right\}\subset X$，且 $x\in X$。则

1) 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x\right)=d\left(x,x\right)$，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 称为X中的收敛列，且收敛于x。x称为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限，记为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$，或 $x_n\to x$，$n\to \infty$。

2) 若 $\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)$ 存在，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 称为X中的柯西列。

3) 若对于X中的每个柯西列 $\left\{x_n\right\}$，存在 $x\in X$，且 $\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)=\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x\right)=d\left(x,x\right)$，则 $\left(X,d\right)$ 称为完备的偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间。

在 [5] 中我们给出了一些例子来说明偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间上的拓扑与推广的度量空间上的拓扑是不相容的 [10] 。因此，我们在偏 $b_{\nu }\left(s\right)$ -度量空间中定义了连续性。

定义2.4：若当 $n\to \infty$，$x_n\to x\in X$ 时，有 $T{x}_n\to Tx$，则称映射T是连续的。

Samet等人 [11] 通过定义 $\alpha -\psi$ -收缩映射和 $\alpha$ -容许映射给出了一个有趣的结果，同时也推广了Banach收缩原理。

定义2.5： [11] 令T是集合X上的一个自映射，函数 $\alpha :X\times X\to \left[0,\infty \right)$，我们称T是 $\alpha$ -容许映射，若对 $x,y\in X$，下列条件成立：

$\alpha \left(x,y\right)\ge 1\Rightarrow \alpha \left(Tx,Ty\right)\ge 1$

定义2.6： [12] 令X是非空集合，映射 $T:X\to X$，函数 $\alpha :X\times X\to \left[0,\infty \right)$。我们称T是三角 $\alpha$ -容许映射，若有下列条件成立：

1) 对任意 $x,y\in X$，且 $\alpha \left(x,y\right)\ge 1$，有 $\alpha \left(Tx,Ty\right)\ge 1$ 成立。

2) 对任意的 $x,y,z\in X$，且 $\alpha \left(x,z\right)\ge 1$，$\alpha \left(z,y\right)\ge 1$，有 $\alpha \left(x,y\right)\ge 1$ 成立。

若对所有的 $x\in X$，有 $\alpha \left(x,x\right)\ge 1$ 成立，我们称 $\alpha$ 具有反身性。

引理2.1： [12] 令T是三角 $\alpha$ -容许映射。假设存在 $x_0\in X$，且 $\alpha \left(x_0,T{x}_0\right)\ge 1$。通过如下方式来定义数列 $\left\{x_n\right\}$ ： $x_n=T^n{x}_0$。则对所有的 $m,n\in N$，且 $m<n$，有 $\alpha \left(x_m,x_n\right)\ge 1$ 成立。

下面的引理将用于证明我们的主要结论。

引理2.2：令 $\left(X,d\right)$ 是偏 $\nu$ -度量空间，数列 $\left\{x_n\right\}$ 是X中的柯西列，当 $n\ne m$ 时，有 $x_n\ne x_m$，且 $\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)=0$。则数列 $\left\{x_n\right\}$ 至多收敛于一个点。

证明：假设 $x,y\in X$ 是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的两个极限，且

$\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)=\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x\right)=d\left(x,x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,y\right)=d\left(y,y\right)$

由偏 $\nu$ -不等式，我们有

$\begin{array}{c}d\left(x,y\right)\le d\left(x,x_{n+1}\right)+d\left(x_{n+1},x_{n+2}\right)+\cdots +d\left(x_{n+\nu -1},x_{n+\nu }\right)+d\left(x_{n+\nu },y\right)-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\nu }{\sum }}d\left(x_{n+k},x_{n+k}\right)}\\ \le d\left(x,x_{n+1}\right)+d\left(x_{n+1},x_{n+2}\right)+\cdots +d\left(x_{n+\nu -1},x_{n+\nu }\right)+d\left(x_{n+\nu },y\right)\end{array}$

因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,y\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+1}\right)=0$，我们得到 $d\left(x,y\right)=0$。由偏 $\nu$ -推广度量空间的定义，有 $x=y$。

引理2.3：令 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 是非负数列。若 $$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\max \left\{a_n,b_n\right\}=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$。

在本文中，我们用 $F\left(T\right)$ 代表映射T的不动点集合。

3. 主要结论

在这一节中，我们将在完备的偏 $\nu$ -度量空间中来证明我们的结论。

定理3.1：令 $\left(X,d\right)$ 是完备的偏 $\nu$ -度量空间，函数 $\alpha :X\times X\to \left[0,\infty \right)$，映射 $T:X\to X$。假设下列条件成立：

1) 对所有的，且 $\alpha \left(x,y\right)\ge 1,M\left(x,y\right)>0$，有

$d\left(Tx,Ty\right)<M\left(x,y\right)$ (3.1)

其中

$M\left(x,y\right)=\max \left\{d\left(x,y\right),d\left(x,Tx\right),d\left(y,Ty\right),\frac{d\left(x,Tx\right)d\left(y,Ty\right)}{1+d\left(x,y\right)+d\left(x,Ty\right)+d\left(y,Tx\right)},\frac{d\left(x,Tx\right)d\left(y,Ty\right)}{1+d\left(Tx,Ty\right)}\right\}$ ;

2) 对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，对所有的 $x,y\in X$，有

$\alpha \left(x,y\right)\ge 1$ , $M\left(x,y\right)<\epsilon +\delta \Rightarrow d\left(Tx,Ty\right)\le \epsilon$ ; (3.2)

3) T是三角 $\alpha$ -容许映射，且 $\alpha$ 具有反身性；

4) 存在 $x_0\in X$，有 $\alpha \left(x_0,T{x}_0\right)\ge 1$ 成立；

5) T是连续的。

则T有唯一的不动点u，且 $\left\{T^n{x}_0\right\}$ 收敛于u。更进一步，若对所有的 $x,y\in F\left(T\right)$，有 $\alpha \left(x,y\right)\ge 1$，则T在X中有唯一的不动点。

证明：令 $x_0\in X$ 且满足 $\alpha \left(x_0,T{x}_0\right)\ge 1$。我们通过下列方式来构造数列 $\left\{x_n\right\}$ ： $x_n=T{x}_{n-1}=T^n{x}_0$，$n\in N$。若对某个 $n\in N$，有 $x_n=x_{n+1}$，则 $x_n$ 是T的不动点。在接下来的证明中，我们假设对所有的 $n\in N$，$x_n\ne x_{n+1}$。因为T是 $\alpha$ -容许映射，对所有的 $n,m\in N$，$n<m$，我们有

$\alpha \left(x_n,x_m\right)\ge 1$ (3.3)

1) 我们首先证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_{n-1},x_n\right)=0$。

在(3.1)中令 $x=x_{n-1}$，$y=x_n$，我们得到

$d\left(x_n,x_{n+1}\right)=d\left(T{x}_{n-1},T{x}_n\right)<M\left(x_{n-1},x_n\right)$ (3.4)

其中

$\begin{array}{l}M\left(x_{n-1},x_n\right)\\ =\max \{d\left(x_{n-1},x_n\right),d\left(x_{n-1},T{x}_{n-1}\right),d\left(x_n,T{x}_n\right),\frac{d\left(x_{n-1},T{x}_{n-1}\right)d\left(x_n,T{x}_n\right)}{1+d\left(x_{n-1},x_n\right)+d\left(x_{n-1},T{x}_n\right)+d\left(x_n,T{x}_{n-1}\right)},\\ \frac{d\left(x_{n-1},T{x}_{n-1}\right)d\left(x_n,T{x}_n\right)}{1+d\left(T{x}_{n-1},T{x}_n\right)}\}\\ =\max \left\{d\left(x_{n-1},x_n\right),d\left(x_{n-1},x_n\right),d\left(x_n,x_{n+1}\right),\frac{d\left(x_{n-1},x_n\right)d\left(x_n,x_{n+1}\right)}{1+d\left(x_{n-1},x_n\right)+d\left(x_{n-1},x_{n+1}\right)},\frac{d\left(x_{n-1},x_n\right)d\left(x_n,x_{n+1}\right)}{1+d\left(x_n,x_{n+1}\right)}\right\}\\ =\max \left\{d\left(x_{n-1},x_n\right),d\left(x_n,x_{n+1}\right)\right\}\end{array}$ (3.5)

利用(3.4)和(3.5)，对所有的 $n\in N$，我们得到

$d\left(x_n,x_{n+1}\right)<d\left(x_{n-1},x_n\right)$ (3.6)

因此 $\left\{d\left(x_n,x_{n+1}\right)\right\}$ 是递减数列。故存在 $r\ge 0$，使 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+1}\right)=r$。明显地，对于所有的 $n\in N$，$d\left(x_n,x_{n+1}\right)>r$。若 $r>0$，令 $\epsilon =r$，存在 $\delta >0$，对所有的 $x,y\in X$，有

$\alpha \left(x,y\right)\ge 1$ , $M\left(x,y\right)<\epsilon +\delta \Rightarrow d\left(Tx,Ty\right)\le \epsilon$ (3.7)

因为对于所有的 $n\in N$，$d\left(x_n,x_{n+1}\right)=M\left(x_n,x_{n+1}\right)$，$\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+1}\right)=r$，则存在 $n_0\in N$，对所有的 $n\ge n_0$，有

$M\left(x_n,x_{n+1}\right)=d\left(x_n,x_{n+1}\right)<r+\delta$

由(3.7)，对所有的 $n\ge n_0$，我们得到 $d\left(x_{n+1},x_{n+2}\right)\le r$，这与 $d\left(x_n,x_{n+1}\right)>r$，$\forall n\in N$ 是矛盾的。因此得到 $r=0$。因此

$\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+1}\right)=0$ (3.8)

2) 下面我们证明对所有的 $n\ne m$，有 $x_n\ne x_m$。假设若对某一 $n>m$，有 $x_n=x_m$ 成立，因此我们得到

$x_{n+1}=T{x}_n=T{x}_m=x_{m+1}$。由(3.6)，得到 $d\left(x_n,x_{n+1}\right)<d\left(x_{n-1},x_n\right)<\cdots <d\left(x_m,x_{m+1}\right)=d\left(x_n,x_{n+1}\right)$，矛盾。因此，对任意 $n\ne m$，$x_n\ne x_m$。

3) 接下来证明，对任意的 $p\in N$，且 $p\ge 2$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+p}\right)=0$ 成立。

因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+1}\right)=0$，对任意的 $n\in N$，我们可以假设 $d\left(x_n,x_{n+1}\right)<1$。在(3.1)中，令 $x=x_{n-1}$，$y=x_{n+p-1}$。因 $M\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)\ge d\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)>0$，$\alpha \left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)\ge 1$，我们得到

$d\left(x_n,x_{n+p}\right)<M\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)$ (3.9)

其中

$\begin{array}{l}M\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)\\ =\max \{d\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right),d\left(x_{n-1},T{x}_{n-1}\right),d\left(x_{n+p-1},T{x}_{n+p-1}\right),\begin{array}{c}\\ \end{array}\\ \frac{d\left(x_{n-1},T{x}_{n-1}\right)d\left(x_{n+p-1},T{x}_{n+p-1}\right)}{1+d\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)+d\left(x_{n-1},T{x}_{n+p-1}\right)+d\left(T{x}_{n-1},x_{n+p-1}\right)},\frac{d\left(x_{n-1},T{x}_{n-1}\right)d\left(x_{n+p-1},T{x}_{n+p-1}\right)}{1+d\left(T{x}_{n-1},T{x}_{n+p-1}\right)}\}\\ =\max \{d\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right),d\left(x_{n-1},x_n\right),d\left(x_{n+p-1},x_{n+p}\right),\begin{array}{c}\\ \end{array}\\ \frac{d\left(x_{n-1},x_n\right)d\left(x_{n+p-1},x_{n+p}\right)}{1+d\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)+d\left(x_{n-1},x_{n+p}\right)+d\left(x_n,x_{n+p-1}\right)},\frac{d\left(x_{n-1},x_n\right)d\left(x_{n+p-1},x_{n+p}\right)}{1+d\left(x_n,x_{n+p}\right)}\}\end{array}$

因为数列 $\left\{d\left(x_n,x_{n+1}\right)\right\}$ 是递减的，且对所有的 $n\in N$，有 $d\left(x_n,x_{n+1}\right)<1$，故得到

$M\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right)=\max \left\{d\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right),d\left(x_{n-1},x_n\right)\right\}$ (3.10)

由(3.9)和(3.10)，得到

$d\left(x_n,x_{n+p}\right)<\max \left\{d\left(x_{n-1},x_{n+p-1}\right),d\left(x_{n-1},x_n\right)\right\}$ (3.11)

令 $a_n=d\left(x_n,x_{n+p}\right)$，$b_n=d\left(x_n,x_{n+1}\right)$，故

$a_n<\max \left\{a_{n-1},b_{n-1}\right\}$

因为 $b_n<b_{n-1}\le \max \left\{a_{n-1},b_{n-1}\right\}$，因此对任意的 $n\in N$，得到 $\max \left\{a_n,b_n\right\}<\max \left\{a_{n-1},b_{n-1}\right\}$。故数列 ${\left\{\max \left\{a_n,b_n\right\}\right\}}_{n\in N}$ 是递减的，假设它收敛于某一 $t\ge 0$。因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$，由引理2.3得到

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\max \left\{a_n,b_n\right\}=t$

若 $t>0$，因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\max \left\{a_n,b_n\right\}=t>0$，接下来，我们假设 $a_n>b_n$，$n\in N$，即 $a_n=\max \left\{a_n,b_n\right\}>t$，$n\in N$。

令 $\epsilon =t$，存在 $\delta >0$，对任意的 $x,y\in X$，有

$\alpha \left(x,y\right)\ge 1$ , $M\left(x,y\right)<\epsilon +\delta \Rightarrow d\left(Tx,Ty\right)\le \epsilon$ (3.12)

因为对所有的 $n\in N$，$d\left(x_n,x_{n+p}\right)=M\left(x_n,x_{n+p}\right)$，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+p}\right)=t$，则存在 $n_0\in N$，对 $n\ge n_0$，有

$M\left(x_n,x_{n+p}\right)=d\left(x_n,x_{n+p}\right)<t+\delta$

由(3.12)，对所有的 $n\ge n_0$，$d\left(x_{n+1},x_{n+p+1}\right)\le t$，这与 $d\left(x_n,x_{n+p}\right)>t$，$n\in N$ 是矛盾的。故 $t=0$。即

$\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+p}\right)=0$ (3.13)

4) 下面我们证明 $\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)=0$。相反地，我们假设 $\left\{d\left(x_n,x_m\right)\right\}$ 不收敛于0，选取子列 $\left\{x_{m_i}\right\},\left\{x_{n_i}\right\}\subset \left\{x_n\right\}$，存在 ${\epsilon }_0>0$，$n_i$ 是使下列式子成立的最小指标

$$ , $d\left(x_{m_i},x_{n_i}\right)>2{\epsilon }_0$ (3.14)

由定理3.1条件(2)知，存在 $\delta >0$，对任意的 $x,y\in X$，

$\alpha \left(x,y\right)\ge 1$ , $M\left(x,y\right)<{\epsilon }_0+\delta \Rightarrow d\left(Tx,Ty\right)\le {\epsilon }_0$ (3.15)

显然地，(3.15)式中用 ${\delta }^{\prime }=\min \left\{{\epsilon }_0,\delta \right\}$ 来代替 $\delta$，(3.15)仍成立。因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_{n+p}\right)=0$，$p=1,2,\cdots ,\nu$，则存在 $i_0\in N$，对所有 $n\ge i_0$，有

$d\left(x_n,x_{n+p}\right)<\frac{{\delta }^{\prime }}{3\nu }$ (3.16)

对 $j\in \left[m_{i_0},n_{i_0}\right]$，由偏 $\nu$ -不等式，有

$\begin{array}{c}d\left(x_{m_{i_0}},x_j\right)\le d\left(x_{m_{i_0}},x_{j+1}\right)+d\left(x_{j+1},x_{j+2}\right)+\cdots +d\left(x_{j+\nu -1},x_{j+\nu }\right)+d\left(x_{j+\nu },x_j\right)-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\nu }{\sum }}d\left(x_{j+k},x_{j+k}\right)}\\ \le d\left(x_{m_{i_0}},x_{j+1}\right)+\nu \times \frac{{\delta }^{\prime }}{3\nu }=d\left(x_{m_{i_0}},x_{j+1}\right)+\frac{{\delta }^{\prime }}{3}\end{array}$

$\begin{array}{c}d\left(x_{m_{i_0}},x_{j+1}\right)\le d\left(x_{m_{i_0}},x_j\right)+d\left(x_j,x_{j+2}\right)+\cdots +d\left(x_{j+\nu -1},x_{j+\nu }\right)\\ +d\left(x_{j+\nu },x_{j+1}\right)-d\left(x_j,x_j\right)-{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{\nu }{\sum }}d\left(x_{j+k},x_{j+k}\right)}\\ \le d\left(x_{m_{i_0}},x_j\right)+\nu \times \frac{{\delta }^{\prime }}{3\nu }=d\left(x_{m_{i_0}},x_j\right)+\frac{{\delta }^{\prime }}{3}\end{array}$

即 $\left|d\left(x_{m_{i_0}},x_j\right)-d\left(x_{m_{i_0}},x_{j+1}\right)\right|\le \frac{{\delta }^{\prime }}{3}$。

因为 $d\left(x_{m_{i_0}},x_{m_{i_0}+1}\right)<{\epsilon }_0$，$d\left(x_{m_{i_0}},x_{n_{i_0}}\right)>{\epsilon }_0+{\delta }^{\prime }$，即能推得存在 $j_0\in \left[m_{i_0},n_{i_0}\right]$，有

${\epsilon }_0+\frac{2{\delta }^{\prime }}{3}<d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right)<{\epsilon }_0+{\delta }^{\prime }$ (3.17)

其中

$\begin{array}{l}M\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right)\\ =\max \{d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right),d\left(x_{m_{i_0}},T{x}_{m_{i_0}}\right),d\left(x_{j_0},T{x}_{j_0}\right),\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\\ \frac{d\left(x_{m_{i_0}},T{x}_{m_{i_0}}\right)d\left(x_{j_0},T{x}_{j_0}\right)}{1+d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right)+d\left(x_{m_{i_0}},T{x}_{j_0}\right)+d\left(T{x}_{m_{i_0}},x_{j_0}\right)},\frac{d\left(x_{m_{i_0}},T{x}_{m_{i_0}}\right)d\left(x_{j_0},T{x}_{j_0}\right)}{1+d\left(T{x}_{m_{i_0}},T{x}_{j_0}\right)}\}\\ =\max \{d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right),d\left(x_{m_{i_0}},x_{m_{i_0}+1}\right),d\left(x_{j_0},x_{j_0+1}\right),\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\\ \frac{d\left(x_{m_{i_0}},x_{m_{i_0}+1}\right)d\left(x_{j_0},x_{j_0+1}\right)}{1+d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right)+d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0+1}\right)+d\left(x_{m_{i_0}+1},x_{j_0}\right)},\frac{d\left(x_{m_{i_0}},x_{m_{i_0}+1}\right)d\left(x_{j_0},x_{j_0+1}\right)}{1+d\left(x_{m_{i_0}+1},T{x}_{j_0+1}\right)}\}\\ =d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right)\end{array}$ (3.18)

利用定理3.1条件(2)，我们有 $d\left(x_{m_{i_0}+1},x_{j_0+1}\right)\le {\epsilon }_0$。然而，由(3.15)~(3.18)知

$\begin{array}{c}{\epsilon }_0+\frac{2{\delta }^{\prime }}{3}<d\left(x_{m_{i_0}},x_{j_0}\right)\\ \le d\left(x_{m_{i_0}},x_{m_{i_0}+1}\right)+d\left(x_{m_{i_0}+1},x_{j_0+1}\right)+d\left(x_{j_0+1},x_{j_0+2}\right)+\cdots +d\left(x_{j_0+\nu -2},x_{j_0+\nu -1}\right)\\ +d\left(x_{j_0+\nu -1},x_{j_0}\right)-d\left(x_{m_{i_0}+1},x_{m_{i_0}+1}\right)-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\nu -1}{\sum }}d\left(x_{j_0+k},x_{j_0+k}\right)}\\ <d\left(x_{m_{i_0}+1},x_{j_0+1}\right)+\nu \times \frac{{\delta }^{\prime }}{3\nu }\le {\epsilon }_0+\frac{{\delta }^{\prime }}{3}\end{array}$

这与已知的矛盾。故 $\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)=0$，即 $\left\{x_n\right\}$ 是柯西列。因为 $\left(X,d\right)$ 是完备的，所以存在 $u\in X$，使得

$\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_n,u\right)=d\left(u,u\right)=0$

5) 假设T是连续的，下面我们证明u是T的不动点。因为T是连续的，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(T{x}_n,Tu\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }d\left(x_{n+1},Tu\right)=d\left(Tu,Tu\right)$

因为对于 $n\ne m$，数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_n\ne x_m$，我们可以假设每一 $x_n$ 与 $u,Tu$ 都是不同的。考虑

$\begin{array}{c}d\left(u,Tu\right)\le d\left(u,x_{n+\nu }\right)+d\left(x_{n+\nu },x_{n+\nu -1}\right)+\cdots +d\left(x_{n+2},x_{n+1}\right)+d\left(x_{n+1},Tu\right)-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\nu }{\sum }}d\left(x_{n+k},x_{n+k}\right)}\\ \le d\left(u,x_{n+\nu }\right)+d\left(x_{n+\nu },x_{n+\nu -1}\right)+\cdots +d\left(x_{n+2},x_{n+1}\right)+d\left(x_{n+1},Tu\right)\end{array}$

因 $\underset{n,m\to \infty }{\lim }d\left(x_n,x_m\right)=0$，得到 $d\left(u,Tu\right)\le d\left(Tu,Tu\right)$。因此

$d\left(u,Tu\right)=d\left(Tu,Tu\right)$ (3.19)

假设u不是T的不动点，即 $u\ne Tu$，则

$\begin{array}{c}M\left(u,u\right)=\max \left\{d\left(u,u\right),d\left(u,Tu\right),d\left(u,Tu\right),\frac{d\left(u,Tu\right)d\left(u,Tu\right)}{1+d\left(u,u\right)+d\left(u,Tu\right)+d\left(u,Tu\right)},\frac{d\left(u,Tu\right)d\left(u,Tu\right)}{1+d\left(Tu,Tu\right)}\right\}\\ =d\left(u,Tu\right)>0\end{array}$

因为 $\alpha$ 具有反身性，由(3.1)， $x=u,y=u$，我们得到

$d\left(Tu,Tu\right)<M\left(u,u\right)=d\left(u,Tu\right)$

这与(3.19)是矛盾的。即u是T的不动点。

6) 最后，我们证明T的不动点是唯一的。假设 $u,v$ 是T的两个不动点，且 $u\ne v$。则由假设 $\alpha \left(u,v\right)\ge 1$。

所以由(3.1)式， $x=u,y=v$，得到

$d\left(u,v\right)=d\left(Tu,Tv\right)<M\left(u,v\right)$

其中

$M\left(u,v\right)=\max \left\{d\left(u,v\right),d\left(u,Tu\right),d\left(v,Tv\right),\frac{d\left(u,Tu\right)d\left(v,Tv\right)}{1+d\left(u,v\right)+d\left(u,Tv\right)+d\left(v,Tu\right)},\frac{d\left(u,Tu\right)d\left(v,Tv\right)}{1+d\left(Tu,Tv\right)}\right\}=d\left(u,v\right)$

即

$d\left(u,v\right)<d\left(u,v\right)$

矛盾。因此 $u=v$。

推论3.2：令 $\left(X,\prec ,d\right)$ 是完备的偏 $\nu$ -度量空间。映射 $T:X\to X$ 是单调的，且满足下列条件：

1) 对任意的 $x,y\in X$，且 $x\prec y$，若 $M\left(x,y\right)>0$，则有 $d\left(Tx,Ty\right)<M\left(x,y\right)$，其中

$M\left(x,y\right)=\max \left\{d\left(x,y\right),d\left(x,Tx\right),d\left(y,Ty\right),\frac{d\left(x,Tx\right)d\left(y,Ty\right)}{1+d\left(x,y\right)+d\left(x,Ty\right)+d\left(y,Tx\right)},\frac{d\left(x,Tx\right)d\left(y,Ty\right)}{1+d\left(Tx,Ty\right)}\right\}$ ;

2) 对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，且对任意的 $x,y\in X$，有

$x\prec y$ , $M\left(x,y\right)<\epsilon +\delta \Rightarrow d\left(Tx,Ty\right)\le \epsilon$ ;