Pure Mathematics
Vol. 12  No. 01 ( 2022 ), Article ID: 48363 , 9 pages
10.12677/PM.2022.121022

Morita环上的Gorenstein内射模

秦军霞

西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州

收稿日期:2021年12月16日;录用日期:2022年1月19日;发布日期:2022年1月26日

摘要

Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) 是Morita环,其中 A B 是环, N ( A , B ) -双模, M ( B , A ) -双模,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数。本文主要研究了Morita环 Δ ( φ , ψ ) 上的Gorenstein内射模与代数A和代数B的关系。给出了函子 H A 和函子 H B 保持Gorenstein内射模的等价条件。设 ( X , Y , f , g ) 是Morita环 Δ ( φ , ψ ) 上的一个Gorenstein内射模,本文也证明了在一定条件下 X A Y B 也是Gorenstein内射模。

关键词

Morita环,Gorenstein内射模,Artin代数,Gorenstein代数

Gorenstein-Injective Modules over Morita Rings

Junxia Qin

College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Dec. 16th, 2021; accepted: Jan. 19th, 2022; published: Jan. 26th, 2022

ABSTRACT

Let Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) be a Morita ring, where A and B are rings, N is ( A , B ) -bimodule, M is ( B , A ) -bimodule, and Δ ( φ , ψ ) is an Artin algebra. In this paper we investigate the relations between the Gorenstein injective modules over a Morita ring Δ ( φ , ψ ) and algebras A and B. The equivalent conditions for functors H A and H B to preserve Gorenstein injective modules are given. Let ( X , Y , f , g ) be a Gorenstein injective module on Morita ring Δ ( φ , ψ ) . It is also proved that X A and Y B are Gorenstein injective modules under certain conditions.

Keywords:Morita Ring, Gorenstein Injective Modules, Artin Algebras, Gorenstein Algebras

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

H. Bass在其著作中介绍了Morita环的概念,这种环包含很多的代数例子。1969年,Auslander等人在文献 [1] 中引入了双边Noether环上的Gorenstein维数为零的模。2000年,Jenda等人在文献 [2] 中对于一个任意环R,研究了Gorenstein投射(内射、平坦)模及其维数。随后很多作者对Gorenstein投射(内射、平坦)模做了进一步的探索和推广,证明了它们的很多性质与投射(内射、平坦)模的性质类似。

本文讨论了Morita环上Gorenstein内射模与代数A和代数B之间的关系,定理3.2和定理3.6介绍了函子 H A 和函子 H B 保持Gorenstein内射模的等价条件。对于一个Morita环上的Gorenstein内射模 ( X , Y , f , g ) ,定理3.7给出了使 X A Y B 成为Gorenstein内射左A-模和左B-模的条件。

2. 预备知识

本文中,环是具有单位元的结合环,模均是有限生成模。

设A是一个Artin代数,记 A m o d 为有限生成左A-模范畴。用 A i n j ( A p r o j ) 表示内射(投射)左A-模,用 A G i n j ( A G p r o j ) 表示Gorenstein内射(投射)左A-模,用 p d ( M ) ( i d ( M ) ) 表示M的投射(内射)维数。

设A,B是环, N A B ( A , B ) -双模, M B A ( B , A ) -双模,模同态 φ : M A N B ,模同态 ψ : N B M A 。记 Moritacontext = ( A , N , M , B , φ , ψ ) ,设 Δ ( φ , ψ ) ( ) = ( A N A B M B A B ) Δ ( φ , ψ ) 中的加法按分量计算,乘法为

( a n m b ) ( a n m b ) = ( a a + ψ ( n m ) a n + n b m a + b m b b + φ ( m n ) )

为了使 Δ ( φ , ψ ) 作成一个结合环,规定 φ ( m n ) m = m ψ ( n m ) n φ ( m n ) = ψ ( n m ) n m , m M n , n N ,则 Δ ( φ , ψ ) 关于普通矩阵的加法和上述定义的乘法作成一个环,文献 [3] 中称之为Morita环。

在文献 [3] 和文献 [4] 中已经对 Δ ( φ , ψ ) 环上的模进行了刻画。为了叙述方便,引入范畴 ( Δ ( φ , ψ ) ) ,它中的对象是四元组 ( X , Y , f , g ) ,其中 X A m o d Y B m o d f H o m B ( M A X , Y ) g H o m A ( N B Y , X ) 并且满足如下交换图

态射 N B M A X ψ I d A A X 和态射 A A X X 的合成记为 ψ X ,态射和态射 B B Y Y 的合成记为 φ Y

设函子 G : ( Δ ( φ , ψ ) ) Δ ( φ , ψ ) m o d ,对于任意的 ( X , Y , f , g ) ( Δ ( φ , ψ ) ) G ( X , Y , f , g ) = X Y ,其中是 X Y 是一个Abel群,对 a A b B n N m M x X y Y Δ ( φ , ψ ) -模的结构如下

( a n m b ) ( x , y ) = ( a x + g ( n y ) , b y + f ( m x ) ) .

( a , b ) : ( X , Y , f , g ) ( X , Y , f , g ) ( Δ φ , ψ ) 中的任意一个态射,定义

G ( a , b ) = ( a 0 0 b ) = X Y

由文献 [4] 可知 ( Δ ( φ , ψ ) ) Δ ( φ , ψ ) m o d 等价,因此可用 ( Δ ( φ , ψ ) ) 中的对象 ( X , Y , f , g ) 代替 Δ ( φ , ψ ) -模。由文献 [5] 得一个Morita环 Δ ( φ , ψ ) 可以作为Artin代数的等价条件是存在交换环R,并且是Artin环,使得代数A与代数B均是Artin R-代数,M和N是有限生成R-模,并且R在M和N上都起中心作用。

设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,则根据文献 [6] 有:

1) 范畴 Δ ( φ , ψ ) m o d 中的序列 0 ( X 1 , Y 1 , f 1 , g 1 ) ( X 2 , Y 2 , f 2 , g 2 ) ( X 3 , Y 3 , f 3 , g 3 ) 0 正合 范畴 A m o d 中的序列 0 X 1 X 2 X 3 0 正合且范畴 B m o d 中的序列 0 Y 1 Y 2 Y 3 0 正合。

2) 设 ( a , b ) : ( X , Y , f , g ) ( X , Y , f , g ) 是范畴 Δ ( φ , ψ ) m o d 中的一个态射,同态 c : K e r a X ,同态 d : K e r b Y ,则有 K e r ( a , b ) = ( K e r a , K e r b , h , j ) ,h和j由以下交换图诱导得出

3) 设 ( a , b ) : ( X , Y , f , g ) ( X , Y , f , g ) 是范畴 Δ ( φ , ψ ) m o d 中的一个态射,同态 c : X C o k e r a ,同态 d : Y C o k e r b ,则有 C o k e r ( a , b ) = ( C o k e r a , C o k e r b , h , g ) h j 由以下交换图诱导得出

根据文献 [5],考虑如下几个函子:

对任意 X A m o d 和A-同态 a : X X ,函子 T A : A m o d Δ ( φ , ψ ) m o d 定义为

T A ( X ) : = ( X , M A X , I d M A X , ψ X ) T A ( a ) : = ( a , I d M a ) .

对任意 Y B m o d 和B-同态 b : Y Y ,函子 T B : B m o d Δ ( φ , ψ ) m o d 定义为

T B ( Y ) : = ( N B Y , Y , φ Y , I d N Y B ) T B ( b ) : = ( I d N b , b ) .

对任意 ( X , Y , f , g ) Δ ( φ , ψ ) m o d Δ ( φ , ψ ) -态射 ( a , b ) : ( X , Y , f , g ) ( X , Y , f , g ) ,函子 U A : Δ ( φ , ψ ) m o d A m o d 定义为 U A ( X , Y , f , g ) : = X U A ( a , b ) : = a

对任意 ( X , Y , f , g ) Δ ( φ , ψ ) m o d Δ ( φ , ψ ) -态射 ( a , b ) : ( X , Y , f , g ) ( X , Y , f , g ) ,函子 U B : Δ ( φ , ψ ) m o d B m o d 定义为 U B ( X , Y , f , g ) : = Y U B ( a , b ) : = b

对于每个 X A m o d ,记 ε X : N B H o m A ( N , X ) X 为由involution给出的A-同态,构造B-同态 δ M X A : M A X H o m A ( N , N B M A X ) ,它将 m A x 作用到 H o m A ( N , N B M A X ) 中,对任意 X A m o d 和A-同态 a : X X ,函子 H A : A m o d Δ ( φ , ψ ) m o d 定义为

H A ( X ) : = ( X , H o m A ( N , X ) , H o m A ( N , ψ X ) δ M A X , ε X ) H A ( a ) : = ( a , H o m A ( N , a ) ) .

对于每个 Y B m o d ,记 ε Y : M A H o m B ( M , Y ) Y 为由involution给出的B-同态,构造A-同态 δ N B Y : N B Y H o m B ( M , M A N B Y ) ,它将 n B y 作用到 H o m B ( M , M A N B Y ) 中,对任意 Y B m o d 和B-同态 b : Y Y ,函子 H B : B m o d Δ ( φ , ψ ) m o d 定义为

H B ( Y ) : = ( H o m B ( M , Y ) , Y , ε Y , H o m A ( M , φ Y ) δ N B Y ) H B ( b ) : = ( H o m B ( M , b ) , b ) .

下面命题是对以上几个函子的进一步刻画。

命题2.1 [5] 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数,则

1) 函子 T A T B H A H B 都是满忠实的;

2) 对子 ( T A , U A ) ( T B , U B ) ( U A , H A ) ( U B , H B ) 均为函子的伴随对;

3) 函子 U A U B 均为正合函子。

下面命题刻画了不可分解投射 Δ ( φ , ψ ) -模和不可分解内射 Δ ( φ , ψ ) -模。

命题2.2 [5] 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数,则

1) 不可分解投射 Δ ( φ , ψ ) -模恰是

T A ( P ) = ( P , M A P , I d M B P , ψ P )

T B ( Q ) = ( N B Q , Q , φ Q , I d N B Q )

P A P r o j ,且P不可分解, Q B P r o j ,且Q不可分解。

2) 不可分解内射 Δ ( φ , ψ ) -模恰是

H A ( I ) = ( I , H o m A ( N , I ) , H o m A ( N , ψ I ) δ M A I , ε I )

H B ( J ) = ( H o m B ( M , J ) , J , ε J , H o m B ( M , φ J ) δ N B J )

I A I n j 且I不可分解, J B I n j 且J不可分解。

定理2.3 [7] 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) 是一个Gorenstein代数。

1) 若 M A N A 的投射维数有限,则A是Gorenstein代数;

2) 若 N B M B 的投射维数有限,则B是Gorenstein代数。

3. 主要结果

引理3.1 设A是一个Artin代数, N A B 是一个 ( A , B ) -双模,并且 p d N A < I : = I n 1 I n I n + 1 是内射左A-模的正合复形,则 H o m A ( N , I ) 正合。

证明 设 N A 的一个投射分解为 0 P n P 0 N A 0 。因为每个 I i 是左A-内射的,所以有正合复形 0 H o m A ( P n , I ) H o m A ( P 0 , I ) H o m A ( N A , I ) 0 。又由于 P i A p r o j ,所以对 i Z ,有 H o m A ( P i , I ) 正合,因此 H o m A ( N A , I ) 正合。

定理3.2 设 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) 是Gorenstein代数。

1) 设 p d N A < 。若 I A G i n j ,则 H A ( I ) = ( I , H o m A ( N , I ) , H o m A ( N , ψ I ) δ M A I , ε I ) Δ ( φ , ψ ) G i n j

2) 设 p d M B < 。若 J B G i n j ,则 H B ( J ) = ( H o m B ( M , J ) , J , ε J , H o m B ( M , φ J ) δ N B J ) Δ ( φ , ψ ) G i n j

证明 1) 因为 I A G i n j ,所以存在 I A 的完全内射分解 I : = I 1 I 0 I 1 ,使得 I A K e r ( I 0 I 1 ) 。又因为 p d N A < ,所以由引理3.1知 H o m A ( N , I ) 正合。因此有内射 Δ ( φ , ψ ) -模的正合列 H A ( I ) : = H A ( I 1 ) H A ( I 0 ) H A ( I 1 ) ,使得

H A ( I ) = ( I , H o m A ( N , I ) , H o m A ( N , ψ I ) δ M A I , ε I ) K e r ( H A ( I 0 ) H A ( I 1 ) ) .

又因为 Δ ( φ , ψ ) 是Gorenstein代数,所以对任意的内射 Δ ( φ , ψ ) -模 ( X , Y , f , g ) ,它的投射维数有限。因此可由引理3.1知 H o m Δ ( φ , ψ ) ( ( X , Y , f , g ) , H A ( I ) ) 正合,即 H A ( I ) 是一个完全内射分解,故 H A ( I ) = ( I , H o m A ( N , I ) , H o m A ( N , ψ I ) δ M A I , ε I ) Δ ( φ , ψ ) G i n j

2) 与1)的证明类似。

注记3.2 [7] Artin代数A是一个Gorenstein代数 M A p r o j ,有 i d ( M A ) < ,并且对 N A i n j ,有 P d ( N A ) <

定义3.3 [8] 称一个内射左R-模的正合复形 I : = I 1 I 0 I 1 是完全正合的,如果对 I R I n j H o m R ( I , I 1 ) H o m R ( I , I 0 ) H o m R ( I , I 1 ) 正合。

命题3.4 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数。

1) 设函子 H o m A ( N , ) 将内射左A-模的正合复形作用成左B-模的正合复形,并且 M A 是投射的,则复形 I 完全正合当且仅当复形 H A ( I ) 完全正合。

2) 设函子 H o m B ( M , ) 将内射左B-模的正合复形作用成左A-模的正合复形,并且 N B 是投射的,则复形 I 完全正合当且仅当复形 H B ( I ) 完全正合。

证明 1) )设完全正合复形 I : = I 1 I 0 I 1 I i A I n j i Z ,则有 H o m A ( N , I ) 正合。因此 H A ( I ) : = H A ( I 1 ) H A ( I 0 ) H A ( I 1 ) 正合。又因为 ( U A , H A ) 是伴随对,并且 U A 正合,所以 H A 保持内射对象,从而每个 H A ( I i ) Δ ( φ , ψ ) i n j 。下证对任意 ( X , Y , f , g ) Δ ( φ , ψ ) i n j H o m Δ ( φ , ψ ) ( ( X , Y , f , g ) , H A ( I ) ) 正合。事实上,根据命题2.2(2),只需证明复形 H o m Δ ( φ , ψ ) ( H ( I ) A , H A ( I ) ) 和复形 Ho m Δ ( φ,ψ ) ( H B ( J ), H A ( I ) ) 正合,其中 I A i n j J B i n j 。又因为 I 完全正合,所以对任意 I A i n j ,复形 H o m A ( I , I ) 正合,而由命题2.1知函子 H A 是满忠实的,所以复形 H o m Δ ( φ , ψ ) ( H A ( I ) , H A ( I ) ) 正合。设 J B i n j ,由 ( U A , H A ) 是伴随对可得 H o m A ( U A ( H B ( J ) ) , I i ) H o m Δ ( φ , ψ ) ( H B ( J ) , H A ( I i ) ) ,而 H o m A ( U A ( H B ( J ) , I i ) ) = H o m A ( H o m B ( M , J ) , I i ) ,因此有交换图

因为 H o m B ( M , J ) 是内射左A-模,所以复形 H o m A ( H o m ( B , J ) , I ) 正合,因此复形 H o m Δ ( φ , ψ ) ( H B ( J ) , H A ( I ) ) 正合,从而 H A ( I ) 完全正合。

) 设 I 是左A-模的复形,使得 H A ( I ) 完全正合。用函子 U A 作用 H A ( I ) 可得正合复形

I : I 1 I 0 I 1

( U A , H A ) 是伴随对可得 H A 左正合,并且 H A 满忠实,因此每个 I i A i n j 。因为 H A ( I ) 完全正合, H A 满忠实,所以对任意内射左A-模I, H o m A ( I , I ) 正合。

2)与1)的证明对偶。

由命题3.4可得以下推论。

推论3.5 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数。

1) 设函子 H o m A ( N , ) 将内射左A-模的正合复形作用成左B-模的正合复形,并且 M A 是投射的。若 I A G i n j ,则 H A ( I ) Δ ( φ , ψ ) G i n j

2) 设函子 H o m B ( M , ) 将内射左B-模的正合复形作用成左A-模的正合复形,并且 N B 是投射的。若 J B B G i n j ,则 H B ( J ) Δ ( φ , ψ ) G i n j

命题3.6 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数。

1) 设 p d N A < M A 是投射的。若 I A A G i n j ,则

H A ( I ) = ( I , H o m A ( N , I ) , H o m A ( N , ψ I ) δ M A I , ε I ) Δ ( φ , ψ ) G i n j

2) 设 p d M B < N B 是投射的。若 J B B G i n j ,则

H B ( J ) = ( H o m ( M , J ) B , J , ε J , H o m B ( M , φ J ) δ N B J ) Δ ( ϕ , ψ ) G i n j .

证明 1) 设 I : = I 1 I 0 I 1 正合,其中 I i A I n j i Z 。由题设知 p d N A < ,所以由引理3.1可得 H o m A ( N , I ) 正合。又因为 M A 是投射的, I A A G i n j ,所以可由推论3.5得

H A ( I ) = ( I , H o m A ( N , I ) , H o m A ( N , ψ I ) δ M A I , ε I ) Δ ( φ , ψ ) G i n j .

2) 与1)的证明类似。

定理3.7 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数, ( X , Y , f , g ) 是Gorenstein内射 Δ ( φ , ψ ) -模。

1) 若 M A 是自由的,A是Gorenstein代数,则 X A A G i n j

2) 若 N B 是自由的,B是Gorenstein代数,则 Y B B G i n j

证明 1) 设 ( X , Y , f , g ) Δ ( φ , ψ ) G i n j ,由命题2.2知存在完全内射分解

用函子 U A 作用后得

因为 M A 是自由的,并且 I i B i n j ,所以 H o m B ( M , J i ) A i n j ,因此 I i H o m B ( M , J i ) A i n j 。由于A是Gorenstein代数,故任意内射左A-模I有有限投射维数,由引理3.1知 H o m A ( I , I ) 正合,从而 I 是完全内射分解,因此 X A A G i n j

2)与1)的证明类似。

推论3.8 设Morita环 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) ,并且 Δ ( φ , ψ ) 是Artin代数。

1) 设 M A 是投射的, p d N A < ,并且A是Gorenstein代数。设 X A 是一个左A-模,则

H A ( X ) = ( X , H o m A ( N , X ) , H o m A ( N , ψ X ) δ M A X , ε X ) Δ ( ϕ , ψ ) G i n j 当且仅当 X A A G i n j

2) 设 N B 是投射的, p d M B < ∞,并且 B 是Gorenstein代数。设 Y B 是一个左B-模,则

H B ( Y ) = ( H o m B ( M , Y ) , Y , ε Y , H o m B ( M , φ Y ) δ N B Y ) Δ ( φ , ψ ) G i n j 当且仅当 Y B B G i n j

证明 由定理3.7和定理3.6可得。

推论3.9 设 Δ ( φ , ψ ) = ( A N A B M B A B ) 是一个Gorenstein代数。

1) 设 M A 是投射的, p d N A < 。设 X A 是一个左A-模,则

H A ( X ) = ( X , H o m A ( N , X ) , H o m A ( N , ψ X ) δ M A X , ε X ) Δ ( φ , ψ ) G i n j 当且仅当 X A A G i n j

2) 设 N B 是投射的, p d N B < 。设 Y B 是一个左B-模,则

H B ( Y ) = ( H o m B ( M , Y ) , Y , ε Y , H o m B ( M , φ Y ) δ N B Y ) Δ ( φ , ψ ) G i n j 当且仅当 Y B B G i n j

证明 由定理2.4,定理3.7和定理3.2可得。

本文主要研究了Morita环 Δ ( φ , ψ ) 上的Gorenstein内射模与代数A和代数B的关系,给出了函子 H A 和函子 H B 保持Gorenstein内射模的等价条件。

文章引用

秦军霞. Morita环上的Gorenstein内射模
Gorenstein-Injective Modules over Morita Rings[J]. 理论数学, 2022, 12(01): 174-182. https://doi.org/10.12677/PM.2022.121022

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