生产规模不经济闭环供应链的应急决策研究 Study on Disruption Decision-Making of Closed-Loop Supply Chain with Diseconomies of Production Scale

doi:10.12677/ASS.2018.79231

Advances in Social Sciences
Vol. 07 No. 09 ( 2018 ), Article ID: 26845 , 7 pages
10.12677/ASS.2018.79231

Study on Disruption Decision-Making of Closed-Loop Supply Chain with Diseconomies of Production Scale

Qi Li, Ning Zhang, Zongyu Mu

●How to Cite this Article

Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Aug. 24^th, 2018; accepted: Sep. 10^th, 2018; published: Sep. 17^th, 2018

ABSTRACT

The problems of disrupting decision and coordination are researched for closed-loop supply chain with one manufacture exhibiting diseconomies of production scale and one retailer collecting used products under demand disruption. The results show that compared with the equilibrium decision of normal operating environment, when the degree of disturbance is not large, the order quantity/sales volume and the amount of waste products recovered are robust. When the degree of disturbance is large, it should be adjusted according to the disturbance direction, the order/sales volume of the product and the amount of recycling of the waste product; when the degree of reduction is larger, the closed-loop supply chain system will be destroyed.

Keywords:Closed-Loop Supply Chain, Diseconomies of Scale, Demand Disruption, Disruption Decision-Making

生产规模不经济闭环供应链的应急决策研究

李琦，张宁，牟宗玉

青岛大学，商学院，山东青岛

收稿日期：2018年8月24日；录用日期：2018年9月10日；发布日期：2018年9月17日

摘要

针对由单一回收废旧品的制造商和单一销售产品的零售商所组成的生产规模不经济闭环供应链，在突发事件干扰其最大市场需求规模发生扰动的情况下，研究了系统的应急均衡决策问题。结果表明：相比较正常运营环境的均衡决策，当扰动程度不大时，产品的订购/销售量及废旧品的回收量均具鲁棒性；当扰动程度较大时，均应按扰动方向调整产品的订购/销售量及废旧品的回收量；当减少程度很大时，闭环供应链系统会被破坏。

关键词 :闭环供应链，规模不经济，需求扰动，应急决策

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1. 引言

闭环供应链的有效管理可很好地实现社会的经济和生态效益，已成为国内外学者广泛研究的热点问题。Savaskan较早通过构建闭环供应链的回收渠道决策模型，研究了回收废旧品的渠道选择问题 [1] ；随后，Savaskan等将成果拓展到由竞争零售商组成的闭环供应链系统的回收渠道选择问题 [2] 。然而，文献 [1] [2] 均是在正常运营环境下开展的研究。实践中，各类突发事件会干扰供应链的正常运营，使得产品的市场需求和生产成本等因素发生扰动。Qi等较早以传统供应链为对象，考虑产品的市场需求受突发事件干扰的情况，研究了其应急决策问题 [3] 。基于Qi的研究，一些学者开展了闭环供应链的应急决策问题。如：考虑产品的市场需求发生扰动，韩小花等研究了竞争型闭环供应链的应急决策问题 [4] ，孙嘉轶等以两周期闭环供应链为对象，发现及时改变正常运营环境下的决策对各企业更有利 [5] ；考虑产品的生产成本发生扰动，Wu等以竞争型闭环供应链为对象，发现正常运营环境下的均衡决策在扰动较小时具有鲁棒性，在扰动较大时应按扰动方向进行调整 [6] ；吴海燕等考虑制造商处产品的生产成本发生扰动、竞争对手处产品的生产成本发生扰动，以及二者的产品生产成本同时发生扰动，研究了闭环供应链的应急决策，发现单扰动较大影响产量与制造商利润，双扰动较大影响产品的销售价格、回收率与零售商利润 [7] ；考虑产品的市场需求和生产成本同时发生扰动，王玉燕等研究发现价格和产量在扰动较大时需做出调整 [8] 。

然而，文献 [1] - [8] 均未考虑系统生产会存在规模不经济问题。近年我国经济发展处于新旧动能转换的关键时期，传统产业落后的生产技术、低效的管理能力使得产品生产普遍面临规模不经济问题 [9] [10] 。因此，一些学者开始研究生产规模不经济供应链的运营决策问题。如：赵海霞等研究发现供应链中各成员确定的利润分享比例随规模不经济程度的增大而增大，但当其增至一定范围后开始降低 [11] ；Ha等研究发现规模不经济系数越大，信息共享对供应链越有利 [12] ；聂佳佳等研究发现规模不经济因素影响明显时，不开通供应链的直销渠道是最优选择 [13] 。然而，成果 [11] [12] [13] 均以传统供应链为研究对象，未考虑兼顾经济和生态效益的闭环供应链面临生产规模不经济时的均衡决策问题。

针对现有成果不足，本文构建经济模型研究生产规模不经济闭环供应链的均衡决策问题，进而考虑突发事件干扰产品的最大市场需求规模发生扰动的情况，研究生产规模不经济闭环供应链的应急均衡决策问题；最后，比较分析正常运营环境和突发事件干扰下的均衡决策，得到具管理学启示的应急管理成果。

2. 基本模型

2.1. 模型描述

闭环供应链系统由单一的制造商和单一的零售商所组成，两者存在着Stackelberg博弈关系，制造商为领导者，零售商为跟随者；制造商一方面利用原材料生产新产品，另一方面利用自身回收的废旧品生产再制品，且新产品和再制品的均面临生产规模不经济问题；新产品与再制品同质；企业间信息对称。

2.2. 模型假设及符号说明

产品的单位批发价格为w，制造商的决策变量；制造商回收废旧品的单位价格为A，制造商的决策变量；生产新产品的规模不经济弹性系数为 $c_{n}$ ，生产再制品的规模不经济弹性系数为 $c_{r}$ ，参考文献 [12] ，假设生产新产品的总成本为 $c_{n} q_{n}^{2}$ ，生产再制品的总成本为 $c_{r} q_{r}^{2}$ ；新产品的订购/销售量为 $q_{n}$ ，零售商的决策变量；零售商回收废旧品的单位价格为 $p_{r}$ ，废旧品的回收量为 $q_{r}$ ，参考文献 [14] ，废旧品的回收量是其单位销售价格的增函数，即零售商提供的回收废旧品的单位价格越高，回收量越大，令 $q_{r} = a + b p_{r}$ ；产品的单位销售价格为p，产品的订购/销售量为q，满足一般市场规律，为其单位销售价格的线性减函数，有 $q = α - β p$ ，其中， $q = q_{n} + q_{r}$ ， $α$ 为产品的最大市场需求规模为， $β$ 为产品的价格敏感系数。

制造商和零售商的利润函数分别为：

$Π_{m} (w, q_{r}) = w (q_{n} + q_{r}) - p_{r} q_{r} - c_{n} q_{n}^{2} - c_{r} q_{r}^{2}$ (1)

$Π_{r} (q_{n}) = (\frac{α - q_{n} - q_{r}}{β} - w) (q_{n} + q_{r})$ (2)

3. 正常运营环境下的均衡决策

正常运营环境中，制造商和零售商作为理性决策者，均为追求自身利润最大化的利己者。作为Stackelberg博弈领导者的制造商率先决策产品的单位批发价格和废旧品的回收量；作为跟随者的零售商随后决策产品的订购/销售量。基于式(1)和(2)，利用逆向归纳法求解得命题1。

命题1：正常运营环境中，制造商决策产品的单位批发价格为 $w^{*} = \frac{α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] - β a c_{n}}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ ，废旧品的回收量为 $q_{r}^{*} = \frac{α b c_{n} + a (2 + β c_{n})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ ，零售商决策新产品的订购量为 $q_{n}^{*} = \frac{α (1 + b c_{r}) - 2 a}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ ，各企业可得最优利润。

证明：利用逆向归纳法求解，先求零售商关于制造商决策的反应函数。因为 $\frac{d Π_{r}^{2} (q_{n})}{d q_{n}^{2}} = - 2 < 0$ ，故 $Π_{r} (q_{n})$ 存在关于 $q_{n}$ 的极大值点。令 $\frac{d Π_{r} (q_{n})}{d q_{n}} = 0$ ，可得： $q_{n} (w, q_{r}) = \frac{α - q_{r} - β q_{r} - β w}{(1 + β)}$ 。

将 $q_{n} (w, q_{r})$ 代入制造商的利润函数 $Π_{m} (w, q_{r})$ 可得： $Π_{m} (w, q_{r}) = w (\frac{α - q_{r} - β q_{r} - β w}{1 + β} + q_{r}) - p_{r} q_{r} - c_{n} {(\frac{α - q_{r} - β q_{r} - β w}{1 + β})}^{2} - c_{r} q_{r}^{2}$ 。

令 $A = \frac{\partial Π_{m}^{2} (w, q_{r})}{\partial w^{2}} = - \frac{2 β (1 + β + β c_{n})}{{(1 + β)}^{2}} < 0$ 、 $B = \frac{\partial Π_{m}^{2} (w, q_{r})}{\partial w \partial q_{r}} = \frac{\partial Π_{m}^{2} (w, q_{r})}{\partial q_{r} \partial w} = - \frac{2 c_{n} β}{(1 + β)}$ 、 $C = \frac{\partial Π_{m}^{2} (w, q_{r})}{\partial q_{r}^{2}} = - \frac{2 (1 + b c_{n} + b c_{r})}{b}$ ，可知 $A < 0$ 、 $A C - B^{2} = \frac{4 β (1 + β) [(1 + c_{n}) (1 + b c_{r}) + b c_{n}]}{b {(1 + β)}^{2}} > 0$ 。故函数 $Π_{m} (w, q_{r})$ 的海塞矩阵 $[\begin{matrix} A & B \\ B & C \end{matrix}]$ 负定，其为严格凹函数，存在唯一最优产品批发价w和废旧品回收率 $q_{r}$ ，使制造商获得的利润最大。

令 $\frac{\partial Π_{m} (w, q_{r})}{\partial w} = 0$ 、 $\frac{\partial Π_{m} (w, q_{r})}{\partial q_{r}} = 0$ ，可得： $w^{*} = \frac{α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] - β a c_{n}}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 $q_{r}^{*} = \frac{α b c_{n} + a (2 + β c_{n})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 。

将 $w^{*}$ 和 $q_{r}^{*}$ 代入 $q_{n} (w, q_{r})$ 可得： $q_{n}^{*} = \frac{α (1 + b c_{r}) - 2 a}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 。

命题1得证。

4. 突发事件干扰下的应急均衡决策

正常运营环境中，制造商和零售商依据命题1安排生产/销售计划。突发事件发生了，使得产品的最大市场需求规模由 $α$ 变为 $α + Δ α$ ，则其市场需求函数变为 $q = α + Δ α - β p$ 。相比正常运营环境中系统的均衡决策，产品订购/销售量的变化为 $Δ q = q - q^{d *}$ 。其中，1) 当 $Δ q > 0$ 时，调整生产计划多生产产品会产生额外单位生产成本 $λ_{1} > 0$ ；2) 当 $Δ q < 0$ 时，调整生产计划处理产品会产生额外单位处理成本 $λ_{2} > 0$ 。假设由制造商承担额外总成本，可得制造商和零售商的利润函数分别为：

${\bar{Π}}_{m} (w, q_{r}) = w (q_{n} + q_{r}) - p_{r} q_{r} - c_{n} q_{n}^{2} - c_{r} q_{r}^{2} - λ_{1} {(q - q^{d *})}^{+} - λ_{2} {(q^{d *} - q^{M})}^{+}$ (3)

${\bar{Π}}_{r} (q_{n}) = (\frac{α + Δ α - q_{n} - q_{r}}{β} - w) (q_{n} + q_{r})$ (4)

其中， ${(x)}^{+} = \max {0, x}$ 。

命题2：最大市场需求规模扰动下，制造商决策产品的单位批发价格为 $\bar{w}$ ，废旧品的回收量为 ${\bar{q}}_{r}$ ，零售商决策新产品的订购/销售量为 ${\bar{q}}_{n}$ ，各企业可得最优利润。其中，1)当 $Δ α \geq β λ_{1}$ ， $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] + β λ_{1} (1 + b c_{n} + b c_{r})}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*} + \frac{b c_{n} (Δ α - β λ_{1})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{(1 + b c_{r}) (Δ α - β λ_{1})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ ；2)当 $- β λ_{2} < Δ α < β λ_{1}$ ， $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α}{β}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*}$ ；3)当 $\frac{2 a}{(1 + b c_{r})} - α - β λ_{2} < Δ α \leq - β λ_{2}$ ， $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] - β λ_{2} (1 + b c_{n} + b c_{r})}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*} + \frac{b c_{n} (Δ α + β λ_{2})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{(1 + b c_{r}) (Δ α + β λ_{2})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 。

证明：首先，分析 $Δ α > 0$ ，即突发事件干扰最大市场需求规模变大的情况。

假设1：当 $Δ α > 0$ 时，有 $\bar{q} \geq q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} \geq q_{r}^{*}$ 成立。基于式(3)和(4)，利用逆向归纳法求解，易得零售商关于制造商决策的反应函数为 ${\bar{q}}_{n} = \frac{α + Δ α - 2 q_{r} - β w}{2}$ ，将其代入式(3)可得：

$\begin{matrix} {\bar{Π}}_{m} (w, q_{r}) = w (\frac{α + Δ α - β w}{2} + q_{r}) \\ - \frac{q_{r}^{2}}{b} + \frac{a}{b} q_{r} - c_{n} {(\frac{α + Δ α - 2 q_{r} - β w}{2})}^{2} \\ - c_{r} q_{r}^{2} - λ_{1} (\frac{α + Δ α - β w}{2} + q_{r} - q^{*}) \end{matrix}$ (5)

基于本假设约束，可得如下K-T条件：

${\begin{cases} \frac{α + Δ α - 2 {\bar{q}}_{r} - 2 β \bar{w}}{2} + {\bar{q}}_{r} + β c_{n} (\frac{α + Δ α - β \bar{w} - 2 {\bar{q}}_{r}}{2}) + \frac{β λ_{1}}{2} - \frac{β γ_{1}}{2} = 0 \\ - \frac{2 {\bar{q}}_{r}}{b} + \frac{a}{b} + c_{n} (α + Δ α - 2 {\bar{q}}_{r} - β \bar{w}) - 2 c_{r} {\bar{q}}_{r} + γ_{2} = 0 \\ γ_{1} (\frac{α + Δ α - β \bar{w}}{2} - q^{d *}) = 0, γ_{2} ({\bar{q}}_{r} - q_{r}^{*}) = 0 \\ γ_{1}, γ_{2} \geq 0, \bar{w} \geq 0, \bar{q} \geq q^{*} > 0, {\bar{q}}_{r} \geq q_{r}^{*} > 0 \end{cases}$ (6)

情况1：当 $γ_{1} = 0, γ_{2} > 0$ 时，由式(6)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α (1 + β c_{n}) + β λ_{1}}{β (2 + β c_{n})}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{Δ α - β λ_{1}}{2 (2 + β c_{n})}$ 。由 $\bar{q} \geq q^{*}$ ，可得 $Δ α \geq β λ_{1}$ ；由 $γ_{2} > 0$ ，可得 $Δ α < β λ_{1}$ ，故 $Δ α$ 为空集，此解无效。

情况2：当 $γ_{1} > 0, γ_{2} = 0$ 时，由式(6)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α}{β}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*}$ ；由 $γ_{1} > 0$ ，可得 $Δ α < β λ_{1}$ ，故 $0 < Δ α < β λ_{1}$ 时，此解有效。

情况3：当 $γ_{1} = 0, γ_{2} = 0$ 时，由式(6)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] + β λ_{1} (1 + b c_{n} + b c_{r})}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*} + \frac{b c_{n} (Δ α - β λ_{1})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{(1 + b c_{r}) (Δ α - β λ_{1})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ ；由 $\bar{q} \geq q^{*}$ ，可得 $Δ α \geq β λ_{1}$ ；由 ${\bar{q}}_{r} \geq q_{r}^{*}$ ，可得 $Δ α \geq β λ_{1}$ ，故 $Δ α \geq β λ_{1}$ 时，此解有效。

情况4：当 $γ_{1} > 0, γ_{2} > 0$ 时，由式(6)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α}{β}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*}$ ；由 $γ_{1} > 0$ ，可得 $Δ α < β λ_{1}$ ；由 $γ_{2} > 0$ ，可得 $Δ α < β λ_{1}$ ，同时 $Δ α > 0$ ，故 $0 < Δ α < β λ_{1}$ 时，此解有效。

综合情况1~4，1)若 $0 < Δ α < β λ_{1}$ ， $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α}{β}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*}$ ；2)若 $Δ α \geq β λ_{1}$ ， $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] + β λ_{1} (1 + b c_{n} + b c_{r})}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*} + \frac{b c_{n} (Δ α - β λ_{1})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{(1 + b c_{r}) (Δ α - β λ_{1})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 。

同理可证，当 $Δ α > 0$ 时，假设2：有 $\bar{q} \geq q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} < q_{r}^{*}$ 成立；假设3：有 $\bar{q} < q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} \geq q_{r}^{*}$ 成立；假设4：有 $\bar{q} < q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} < q_{r}^{*}$ 成立，均不存在有效解。

其次，分析 $Δ α < 0$ ，即突发事件干扰最大市场需求规模变小的情况。

假设5：当 $Δ α < 0$ 时，有 $\bar{q} \leq q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} \leq q_{r}^{*}$ 成立。基于式(3)和(4)，利用逆向归纳法求解，易得零售商关于制造商决策的反应函数为 ${\bar{q}}_{n} = \frac{α + Δ α - 2 q_{r} - β w}{2}$ ，将其代入式(3)可得：

$\begin{matrix} {\bar{Π}}_{m} (w, q_{r}) = w (\frac{α + Δ α - β w}{2} + q_{r}) \\ - \frac{q_{r}^{2}}{b} + \frac{a}{b} q_{r} - c_{n} {(\frac{α + Δ α - 2 q_{r} - β w}{2})}^{2} \\ - c_{r} q_{r}^{2} + λ_{2} (\frac{α + Δ α - β w}{2} + q_{r} - q^{*}) \end{matrix}$ (7)

基于本假设约束，可得如下K-T条件：

${\begin{cases} \frac{α + Δ α - 2 {\bar{q}}_{r} - 2 β \bar{w}}{2} + {\bar{q}}_{r} + β c_{n} (\frac{α + Δ α - β \bar{w} - 2 {\bar{q}}_{r}}{2}) - \frac{β λ_{4}}{2} + \frac{β γ_{3}}{2} = 0 \\ - \frac{2 {\bar{q}}_{r}}{b} + \frac{a}{b} + c_{n} (α + Δ α - 2 {\bar{q}}_{r} - β \bar{w}) - 2 c_{r} {\bar{q}}_{r} - γ_{4} = 0 \\ γ_{3} (q^{*} - \frac{α + Δ α - β \bar{w}}{2}) = 0, γ_{4} (q_{r}^{*} - {\bar{q}}_{r}) = 0 \\ γ_{3} 、 γ_{4} \geq 0, \bar{w} \geq 0, q^{*} \geq \bar{q} > 0, q_{r}^{*} \geq {\bar{q}}_{r} > 0 \end{cases}$ (8)

情况5：当 $γ_{3} = 0, γ_{4} > 0$ 时，由式(8)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α (1 + β c_{n}) - β λ_{2}}{β (β c_{n} + 2)}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{Δ α + β λ_{2}}{2 (β c_{n} + 2)}$ 。由 $\bar{q} \leq q^{*}$ ，可得 $Δ α \leq - β λ_{2}$ ；由 $γ_{4} > 0$ ，可得 $Δ α > - β λ_{2}$ ，故 $Δ α$ 为空集，此解无效。

情况6：当 $γ_{3} > 0, γ_{4} = 0$ 时，由式(8)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α}{β}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*}$ ；由 $γ_{3} > 0$ ，可得 $Δ α > - β λ_{2}$ ，故 $- β λ_{2} < Δ α < 0$ 时，此解有效。

情况7：当 $γ_{3} = 0, γ_{4} = 0$ 时，由式(8)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] - β λ_{2} (1 + b c_{n} + b c_{r})}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*} + \frac{b c_{n} (Δ α + β λ_{2})}{2 [(1+ b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{(1 + b c_{r}) (Δ α + β λ_{2})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ ；由 $\bar{q} \leq q^{*}$ ，可得 $Δ α \leq - β λ_{2}$ ；由 ${\bar{q}}_{r} \leq q_{r}^{*}$ ，可得 $Δ α \leq - β λ_{2}$ ，故 $\frac{2 a}{(1 + b c_{r})} - α - β λ_{2} < Δ α \leq - β λ_{2}$ 时，此解有效。

情况8：当 $γ_{3} > 0, γ_{4} > 0$ 时，由式(8)可得 $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α}{β}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*}$ ；由 $γ_{3} > 0$ ，可得 $Δ α > - β λ_{2}$ ；由 $γ_{4} > 0$ ，可得 $Δ α > - β λ_{2}$ ，同时 $Δ α < 0$ ，故 $- β λ_{2} < Δ α < 0$ 时，此解有效。

综合情况5-8，1)若 $- β λ_{2} < Δ α < 0$ ， $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α}{β}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*}$ ；2)若 $\frac{2 a}{(1 + b c_{r})} - α - β λ_{2} < Δ α \leq - β λ_{2}$ ， $\bar{w} = w^{*} + \frac{Δ α [(1 + b c_{r}) (1 + β c_{n}) + b c_{n}] - β λ_{2} (1 + b c_{n} + b c_{r})}{β [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{r} = q_{r}^{*} + \frac{b c_{n} (Δ α + β λ_{2})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 、 ${\bar{q}}_{n} = q_{n}^{*} + \frac{(1 + b c_{r}) (Δ α + β λ_{2})}{2 [(1 + b c_{r}) (2 + β c_{n}) + 2 b c_{n}]}$ 。

同理可证，当 $Δ α > 0$ 时，假设6：有 $\bar{q} \geq q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} < q_{r}^{*}$ 成立；假设7：有 $\bar{q} < q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} \geq q_{r}^{*}$ 成立；假设8：有 $\bar{q} < q^{*}$ 、 ${\bar{q}}_{r} < q_{r}^{*}$ 成立，均不存在有效解。

命题2得证。

命题2表明，与正常运营环境下闭环供应链系统的均衡决策相比：

1) 当最大市场需求规模的正扰动程度不大，即 $0 < Δ α < β λ_{1}$ 时，制造商应保持废旧品的回收量不变，而应提高产品的单位批发价格，以获取更多的利润；同时，零售商应保持产品的订购/销售量不变。

2) 当最大市场需求规模的负扰动程度不大，即 $- β λ_{2} < Δ α < 0$ 时，制造商应保持废旧品的回收量不变，而应降低产品的单位批发价格，以此来激励零售商保持产品的订购/销售量不变。

3) 当最大市场需求规模的扰动程度较大，即 $Δ α \geq β λ_{1}$ 或 $Δ α \leq - β λ_{2}$ 时，制造商应按扰动的方向调整废旧品的回收量和产品的单位批发价格，零售商应按扰动的方向调整产品的订购/销售量。即在产品的最大市场需求规模变的较大时，提高其价格和销量，以获取更多的利润；在产品的最大市场需求规模变的较小时，降低其价格和销量，以此来拉动需求，避免利润的过多损失。

4) 当最大市场需求规模减少的程度很大，即 $Δ α < \frac{2 a}{(1 + b c_{r})} - α - β λ_{2}$ 时，因产品的订购/销售量小于零，闭环供应链系统会停产。

5. 结论

本文针对生产规模不经济闭环供应链，考虑突发事件会干扰其最大市场需求规模发生扰动的情况，研究了系统的应急均衡决策问题。结果表明：相比较正常运营环境的均衡决策，当产品的最大市场需求规模扰动程度不大时，废旧品的回收量和产品的订购/销售量均具鲁棒性；当产品的最大市场需求规模扰动程度较大时，废旧品的回收量和产品的订购/销售量均应按扰动方向进行调整；当产品的最大市场需求规模减少很大时，闭环供应链系统会被破坏。

在本文研究的基础上，可考虑企业生产由规模不经济向规模经济转变，以及突发事件干扰生产成本等因素发生扰动，探讨闭环供应链的应急决策问题。

基金项目

山东省自然科学基金项目(ZR2017BG002)；中国博士后科学基金项目(2016M592149)。

文章引用

李琦,张宁,牟宗玉. 生产规模不经济闭环供应链的应急决策研究
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