Advances in Applied Mathematics
Vol.05 No.03(2016), Article ID:18464,11 pages
10.12677/AAM.2016.53061

Subdirect Sums of Strictly Diagonally Dominant Matrices and Nekrasov Matrices

Jing Zhao, Ruiyan Hu, Yaotang Li*

School of Mathematics and Statistics, Yunnan University, Kunming Yunnan

Received: Aug. 10th, 2016; accepted: Aug. 25th, 2016; published: Aug. 31st, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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ABSTRACT

A sufficient condition ensuring that the subdirect sum of strictly diagonally dominant matrix and Nekrasov matrix is in the class of Nekrasov matrices is given. And the conclusion is illustrated by a numerical example.

Keywords:Nekrasov Matrix, Strictly Diagonally Dominant, Subdirect Sum

严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和

赵晶,胡汭炎,李耀堂*

云南大学数学与统计学院,云南 昆明

收稿日期:2016年8月10日;录用日期:2016年8月25日;发布日期:2016年8月31日

摘 要

给出了严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和为Nekrasov矩阵的充分条件,并用数值例子对所给结论进行了说明。

关键词 :Nekrasov矩阵,严格对角占优,子直和

1. 引言

矩阵在诸如微分方程,概率统计,最优化,计算数学,控制论与系统理论等数学分支都有着重要应用。1999年Fallat和Johonson引入方阵的k-子直和的概念 [1] 。由于矩阵的子直和在许多领域具有重要应用 [1] - [4] ,之后对矩阵的子直和的研究相继取得许多重要结果。2005年Pedroche和Szyld等给出两个非奇异M矩阵的子直和是非奇异M矩阵的一些充分条件 [2] ,2006年他们又给出S严格对角占优矩阵的k-子直和是S严格对角占优阵的充分条件 [5] 。2007年朱燕,黄廷祝对双对角占优矩阵的子直和进行了研究 [6] ,2010年Bru R,Cvetkovic L,Kostic V,Pedroche F对S-严格对角占优矩阵的子直和进行了研究 [7] ,2015年李朝迁,李耀堂等对Nekrasov矩阵的子直和进行了研究 [8] 。

本文我们继续研究Nekrasov矩阵的子直和,期望找到严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵的条件。下面先给出本文中要用到的基本知识。

定义1.1 [1] :设A为阶方阵,B为阶方阵,为正整数且,A和B有如下分块形式:

, (1)

其中阶方阵。令

称C为A和B的阶k-子直和,记为

注1 [5] :设,则由定义1.1易得:

其中

。 (2)

故C有可表示如下:

定义1.2 [9] - [11] :设矩阵阶矩阵,若对任意一个成立,其中,则称A为严格对角占优矩阵。

定义1.3 [12] [13] :设矩阵阶矩阵,令

若对任意一个成立,则A称是Nekrasov矩阵。

2. 严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和

首先我们用一个例子说明严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。

例2.1:设

容易验证A是严格对角占优矩阵,B是Nekrasov矩阵。由定义得A与B的3-子直和

直接计算得。显然,,因此不是Nekrasov矩阵。

注2:例2.1表明任意给出的严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。下面我们来寻找严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的条件。为此先给出三个引理。

引理2.1:设阶严格对角占优矩阵,阶的Nekrasov矩阵,其分块如(1)所示,若如(2)所示,其中,且的主对角线元素全正(或全负),则对于k-子直和有:对任意的

证明:该引理的结论可由注1直接得到。

引理2.2:设阶严格对角占优矩阵,阶的Nekrasov矩阵,其分块如(1)所示,若分布如(2)所示,其中,的主对角线元素全正(或全负),则对于k-子直和有:

1)

2) 当时:

3)

证明:设阶严格对角占优矩阵,阶的Nekrasov矩阵。下面分三种情形讨论:

情形一:当时:

情形二:当时:

时:

现假设,其中(),

成立。

情形三:当时:

。□

引理2.3:设阶严格对角占优矩阵,阶的Nekrasov矩阵,其分块如(1)所示,若如(2)所示,其中的主对角线元素全正(或全负),且

则在A与B的k-子直和中,对任意的成立。

证明:我们用数学归纳法证明。设A是阶严格对角占优矩阵,B是阶的Nekrasov矩阵。任取,当时:

。 (3)

。 (4)

和条件

。 (5)

时:

。 (6)

。 (7)

和条件

。 (8)

现假设任取成立,下证成立,其中

时:

。 (9)

。(10)

和条件

及假设条件当

由此得中任取成立。□

下面我们给出严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的一个充分条件。

定理2.4:设阶严格对角占优矩阵,阶的Nekrasov矩阵,其分块如(1)所示,若如(2)所示,其中的主对角线元素全正(或全负),且

则A与B的k-子直和是Nekrasov矩阵。

证明:因为A是严格对角占优矩阵,故

情形1:当时:

情形2:当时:

现假设时,成立,则当时:

。(11)

。 (12)

于是由条件及(11)、(12)得

因此对任意的成立。

情形3:当时:

。 (13)

。 (14)

由条件及(13)、(14)得

现设对任意成立,则当时:

由引理2.3知对任意的。由此得

因此对任意成立,从而是Nekrasov矩阵。

例2.2:设

容易验证A是严格对角占优矩阵,B是Nekrasov矩阵,于是

通过计算可得:

于是由定理2.4知是Nekrasov矩阵。事实上,直接计算得:

显然,当。时成立,因此是Nekrasov矩阵。

在定理2.4中,当k分别取1和2时得如下两个推论:

推论2.5:设阶严格对角占优矩阵,阶的Nekrasov矩阵,其分块如(1)所示,若,其中,且的主对角线元素全正(或全负),,则是Nekrasov矩阵。

推论2.6:设阶严格对角占优矩阵,阶的Nekrasov矩阵,其分如(1)所示,的主对角线元素全正(或全负),

是Nekrasov矩阵。

基金项目

本文受国家自然科学基金资助项目(11361074)资助。

文章引用

赵晶,胡汭炎,李耀堂. 严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和
Subdirect Sums of Strictly Diagonally Dominant Matrices and Nekrasov Matrices[J]. 应用数学进展, 2016, 05(03): 505-515. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.53061

参考文献 (References)

  1. 1. Fallat, S.M. and Johnson, C.R. (1999) Sub-Direct Sums and Positivity Classes of Matrices. Linear Algebra and its Applications, 288, 149-173. http://dx.doi.org/10.1016/S0024-3795(98)10194-5

  2. 2. Bru, R., Pedroche, F. and Szyld, D.B. (2005) Subdirect Sums of Nonsingular M-Matrices and of Their Inverse. Electronic Journal of Linear Algebra, 13, 162-174.

  3. 3. Frommer, A. and Szyld, D.B. (1999) Weighted Max Norms, Splittings, and Overlapping Additive Schwarz Iterations. Numerische Mathematik, 83, 259-278. http://dx.doi.org/10.1007/s002110050449

  4. 4. Bru, R., Pedroche, F. and Szyld, D.B. (2005) Additive Schwarz Iterations for Markov Chains. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27, 445-458. http://dx.doi.org/10.1137/040616541

  5. 5. Bru, R., Pedroche, F. and Szyld, D.B. (2006) Subdirect Sums of S-Strictly Diagonally Dominant Matrices. The Electronic Journal of Linear Algebra, 15, 201-209.

  6. 6. Zhu, Y. and Huang, T.Z. (2007) Subdirect Sum of Doubly Diagonally Dominant Matrices. The Electronic Journal of Linear Algebra, 16, 171-182.

  7. 7. Bru, R., Cvetkovic, L., Kostic, V. and Pedroche, F. (2010) Sums of Strictly Diagonally Dominant Matrices. Linear and Multilinear Algebra, 58, 75-78. http://dx.doi.org/10.1080/03081080802379725

  8. 8. Li, C.Q., Liu, Q.L., Gao, L. and Li, Y.T. (2016) Subdirect Sums of Nekrasov Matrices. Linear Multilinear Algebra, 64, 208-218. http://dx.doi.org/10.1080/03081087.2015.1032198

  9. 9. Cvetkovic, L. (2006) H-Matrix Theory vs. Eigenvalue Location. Numerical Algorithms, 42, 229-245. http://dx.doi.org/10.1007/s11075-006-9029-3

  10. 10. Horn, R.A. and Johnson, C.R. (1985) Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge. http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511810817

  11. 11. Berman, A. and Plemmons, R.J. (1979) Nonnegative Matrices in the Ma-thematical Sciences. Academic Press, New York.

  12. 12. Li, W. (1998) On Nekrasov Matrices. Linear Algebra and its Applications, 281, 87-96. http://dx.doi.org/10.1016/S0024-3795(98)10031-9

  13. 13. Cvetkovic, L., Dai, P.F., Doroslovackic, K. and Li, Y.T. (2013) Infinity Norm Bounds for the Inverse of Nekrasov Matrices. Applied Mathematics and Computation, 219, 5020-5024. http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2012.11.056

*通讯作者。

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