ABSTRACT

The oscillation of a class of third-order semilinear differential equations is studied. Different functions are constructed using Riccati transformation techniques and classical inequalities. Some new oscillation criteria and asymptotic properties of this type of differential equations are established. The conclusions are generalized and improved. Some related results in the literature are given, and examples are used to illustrate the advanced nature of the results.

Keywords:Oscillation, Delay Differential Equation, Semilinear

一类三阶半线性时滞微分方程的振动性

李丹¹，陈淳智¹，林靖杰^1*，郑量天²

¹广东石油化工学院理学院数学与应用数学系，广东 茂名

²广东石油化工学院自动化学院电气工程系，广东 茂名

收稿日期：2020年3月4日；录用日期：2020年3月20日；发布日期：2020年3月27日

摘 要

研究了一类的三阶半线性微分方程的振动性，应用Riccati变换技巧和经典不等式等方法构造不同的函数，建立该类微分方程的一些新的振动准则和渐近性，所得结论推广和改进了文献中的某些相关结果，并以例子说明结果的先进性。

关键词 :振动性，时滞微分方程，半线性

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1. 引言

考虑如下一类三阶半线性时滞微分方程

${\left[r\left(t\right){\left|u″\left(t\right)\right|}^{\theta -1}u″\left(t\right)\right]}^{\prime }+q\left(t\right){\left|x\left(\tau \left(t\right)\right)\right|}^{\theta -1}x\left(\tau \left(t\right)\right)=0,t\ge t_0$ (E)

的振动性。

假设以下条件都成立

$\begin{array}{l}\left({\text{H}}_1\right):u\left(t\right)=x\left(t\right)+p\left(t\right)x\left(\sigma \left(t\right)\right);\\ \left({\text{H}}_2\right):r(t),\sigma \left(t\right)\in C^{rd}\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right),p,q,\tau \in \left(\left[t_0,\infty \right),R\right);\\ \left({\text{H}}_3\right):\tau \left(t\right)\le t,\sigma \left(t\right)\le t,\sigma \prime \left(t\right)>0,\tau \prime \left(t\right)>0,\underset{t\to \infty }{\lim }\sigma \left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\tau \left(t\right)=+\infty ;\\ \left({\text{H}}_4\right):0\le p\left(t\right)\le p_0\le 1,q\left(t\right)>0,r\left(t\right)>0,r\prime \left(t\right)>0.\end{array}$

一般来说，若连续可微函数 $x\left(t\right)$ 在定义域内是满足方程(E)有无穷多个零点的解，则说方程(E)是振动

的；若方程最终是一个正解或者负解，则说方程(E)是非振动的。对于 $\Omega \left(t\right)={\displaystyle {\int }_t^{+\infty }\frac{1}{r^{\frac{1}{\theta }}\left(s\right)}\text{d}s}$，若 $\Omega \left(t\right)=\infty$，

则称它是正则的，否则为收敛。

最近几年，微分方程这一理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的应用，他可以描述金融、经济、化学反应过程的稳定性的研究、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、人口统计、传播传染病过程等问题。很多学者对三阶半线性微分方程的振动性做了深入的研究，同时也获得了许多成果，如文 [1] - [13]。

在2017年，在文献 [2] 中，建立了方程(E)的所有解振动或者收敛到零的若干新的振动准则如下：

定理A：假设条件(H₁)~(H₅)及(3) [2] 式成立，如果

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }{\displaystyle {\int }_T^t\left[\rho \left(s\right)Q_1\left(s\right){\left(\gamma \delta \left(s\right)\right)}^{\beta }-{\left(\frac{Q_2\left(s\right)}{\lambda +1}\right)}^{\lambda +1}\frac{\rho \left(s\right)r\left(s\right)}{{\left(m{\delta }^{\prime }\left(s\right)\right)}^{\lambda }}\right]\text{d}s}=+\infty$

则式(1)的解 $x\left(t\right)$ 振动，或者 $\underset{t\to \infty }{\lim }x\left(t\right)=0$。

定理B：假设条件(H₁)~(H₅)及(3) [2] 式成立，如果

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{H\left(t,T\right)}{\displaystyle {\int }_T^t\left[H\left(t,s\right)\rho \left(s\right)Q_1\left(s\right){\left(\gamma \delta \left(s\right)\right)}^{\beta }-{\left(\frac{\left|h\left(t,s\right)\right|}{\lambda +1}\right)}^{\lambda +1}\frac{\rho \left(s\right)r\left(s\right)}{m\lambda {\left({\delta }^{\prime }\left(s\right)\right)}^{\lambda }}\right]\text{d}s}=+\infty$

则式(1)的解 $x\left(t\right)$ 振动，或者 $\underset{t\to \infty }{\lim }x\left(t\right)=0$。

最近文献 [13] 研究了式(1)在 $\beta >\alpha$ 情况下的振动性，得到的主要结果有：

定理C：若存在函数 $\rho \in C^{\text{1}}\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right)$，满足 $A_{\text{1}}\left(t\right)>0$ 和(2.1) [13] 式，且

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }{\displaystyle {\int }_{t_0}^t\left[\rho \left(s\right)A\left(s\right)-L\rho \left(s\right)r\left(s\right){\left(\frac{A_1\left(s\right)}{\alpha +1}\right)}^{\alpha +1}\right]\text{d}s}=+\infty .$

则式(1)的解 $x\left(t\right)$ 振动，或者当 $t\to \infty$ 时， $x\left(t\right)\to 0$。

定理D：若存在函数 $\rho \in C^{\text{1}}\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right)$，使(2.1) [13] 式成立，且满足

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{t_0}^t{\left(\gamma \sigma \left(s\right)\right)}^{\beta }{A}_3\left(s\right)\text{d}s}=\infty .$

则式(1)的解 $x\left(t\right)$ 振动，或者当 $t\to \infty$ 时， $x\left(t\right)\to 0$。

本文研究了方程(E)的振动性准则，参考了文献 [1] [2] [9] [10] [11] [12]，在文献 [2] [9] [13] 的启发下，应用Riccati变换和经典不等式等方法构造不同的函数，建立该类微分方程的一些新的振动性理论，获得合理的结果，并将举例说明主要结果的应用及其先进性。

引理1 [1]：如果 $x\left(t\right)$ 是方程(E)的非振动正解，则 $u\left(t\right)$ 只有以下两种情况：

1) $u\left(t\right)>0,u\prime \left(t\right)>0,u″\left(t\right)>0$ ；

2) $u\left(t\right)>0,u\prime \left(t\right)<0,u″\left(t\right)>0$。

引理2 [2]：设 $x\left(t\right)$ 是方程(E)的非振动正解，且 $u\left(t\right)>0,u\prime \left(t\right)>0,u″\left(t\right)>0$，则

${\left[r\left(t\right){\left(u″\left(t\right)\right)}^{\theta }\right]}^{\prime }+Q\left(t\right)u^{\theta }\left(\tau \left(t\right)\right)\le 0$

其中 $Q\left(t\right)=q\left(t\right){\left[\left(1-p\left(\tau \left(t\right)\right)\right)\right]}^{\theta }$。

证明：由 $u\left(t\right)=x\left(t\right)+p\left(t\right)x\left(\sigma \left(t\right)\right)$，可得 $x\left(t\right)=u\left(t\right)-p\left(t\right)x\left(\sigma \left(t\right)\right)$，利用条件(H₂)，(H₃)及 $u\prime \left(t\right)>0$ 可得，

$x\left(t\right)=u\left(t\right)-p\left(t\right)x\left(\sigma \left(t\right)\right)\ge u\left(t\right)\left(1-p\left(t\right)\right),$

$x{\left(\tau \left(t\right)\right)}^{\theta }\ge u{\left(\tau \left(t\right)\right)}^{\theta }{\left(1-p\left(\tau \left(t\right)\right)\right)}^{\theta },$ (1)

根据(1)和方程(E)可得

${\left[r\left(t\right){\left(u″\left(t\right)\right)}^{\theta }\right]}^{\prime }+Q\left(t\right)u^{\theta }\left(\tau \left(t\right)\right)\le 0,$

其中 $Q\left(t\right)=q\left(t\right){\left[\left(1-p\left(\tau \left(t\right)\right)\right)\right]}^{\theta }$。

引理3 [9]：存在 $t_1\in \left[t_0,+\infty \right)$，假设 $x\left(t\right)$ 为方程(E)在 $t\in \left[t_1,+\infty \right)$ 上的一个非振动正解，满足 $u\left(t\right)>0,u\prime \left(t\right)<0,u″\left(t\right)>0$，且有

$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{t_0}^t{L}^{\frac{1}{\theta }}{\displaystyle {\int }_{\mu }^{+\infty }{\left(\frac{1}{r\left(\upsilon \right)}{\displaystyle {\int }_v^{\infty }q\left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{\theta }}\text{d}\upsilon \text{d}\mu }}=\infty$

则有 $\underset{t\to \infty }{\lim }x\left(t\right)=0$。

引理4 [10]：设 $z\left(t\right)>0,z\prime \left(t\right)>0,z″\left(t\right)\le 0,t\ge t_0$，则对任一 $\alpha \in \left(0,1\right)$，存在 $T_{\alpha }\ge t_0$，使得 $z\left(\tau \left(t\right)\right)\ge \gamma \frac{\tau \left(t\right)}{t}z\left(t\right),t\ge T_{\alpha }$。

引理5 [11]：假设 $f\left(y\right)=By-A{y}^{\frac{\theta +1}{\theta }},A>0,B>0$，则当且仅当处有最大值.

引理6设存在，，假设为方程(E)在上的一个非振动正解，满足，则对任一，存在，使得

证明：由于，，则有

(2)

将(2)在上对t积分，且令，得

(3)

由引理4，令，对任一，存在，使得

(4)

将(4)代入(3)中，得

即

(5)

2. 主要结果

定理2.1：如果存在函数，满足

(6)

和

(7)

其中，是正则的，，则方程(E)是振动的或者最终趋于0。

证明：不失一般性，存在，不妨设为方程(E)在上的一个非振动正解。由引理1可知，结果只有两种情况。若满足第一种情况，则方程(E)可变成

由广义Riccati变换得

根据求导性质可得

由于，，，，可得，从而可得

(8)

由引理2和(8)得

(9)

由引理6得，令，对任一，存在，使得

(10)

将(10)代入(9)，可得

(11)

令，由引理5，可得

(12)

对(12)从上对s积分，其中，有

(13)

显然，式(13)与条件(6)矛盾；因此，当满足时，方程(E)是振动的。若满足情况，由引理3可知，最终趋于0，定理得证。

3. 例子

例考虑三阶微分方程

(14)

其中，，取，

且，则，

令，，且

显然式(14)满足定理2.1，故方程(14)是振动的或者。而方程(14)的结论无法由文献 [9] 的相关结论得到。

基金项目

广东省化工学院理学院科研扶持基金重点项目(KY2018001)；广东石油化工学院大学生创新创业培育项目(733442)。

文章引用

李 丹,陈淳智,林靖杰,郑量天. 一类三阶半线性时滞微分方程的振动性
Oscillation of a Class of Third-Order Semilinear Delay Differential Equations[J]. 应用数学进展, 2020, 09(03): 437-443. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.93053

参考文献