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Modern Physics
现代物理
, 2011, 1, 41-46
http://dx.doi.org/10.12677/mp.2011.12007
Published Online August 2011 (http://www.hanspub.org/journal/mp/)
Copyright © 2011 Hanspub
MP
Level Set Method for Numerical Simulation of Droplets
Impacting on Solid Interface
*
Xiaohui Qian
1
, Shuang Xu
1
, Chunwu Wang
2
, Ning Zhao
1
1
College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing
1
College of Science, Nanjing University
of A eronautics & Astronautics, Nanjing
Email: shuangxu@nuaa.edu.cn
Received: Jun. 28th, 2011; revised: Jul. 26th, 2011; accepted: Jul. 29th, 2011.
Abstract:
Level Set method show advantage of dealing with multiphase flows where interfaces can make
large deformation and complex topological change. In this paper, we first use the Riemann ghost fluid me-
thod (RGFM) advanced by Wang et al. to define the boundary conditions and then solve the compressible
Euler equations, using 5th WENO scheme to update level set function which can capture interface more ac-
curately. Based on the current scheme we can easily
simulate the multiphase flows which have density ratio
of 1000 between two fluids, such as water and gas .In this work, we simulate the movement and topological
changes of two droplets which are different in shape when they imp
act and splash on the solid interface. At
the same time we compute the lost ratio of droplet to validate the accuracy of accurate algorithm. Based on
the obtained numerical results, we can get the trajectory of droplets. It is helpful to accurately simulate the
procedure of icing on the surface of aircraft.
Keywords:
Level-Set Method ; Multiphase Flow; RGFM; Droplet; Lost Ratio
水滴撞击固体界面问题的
Level Set
数值模拟
*
钱晓辉
1
,徐 爽
1
,王春武
2
,赵 宁
1
1
南京航空航天大学航空宇航学院,南京
2
南京航空航天大学理学院数学系,南京
Email: shuangxu@nua a.edu.cn
收稿日期:
2011
年
6
月
28
日;修回日期:
2011
年
7
月
26
日;录用日期:
2011
年
7
月
29
日
摘 要:
Level Set
界面追踪方法对于大变形及复杂拓扑 结构变化的多相流问题具有 一定的优势。本文利
用
RGFM(Riemann Ghost Fluid M et hod)
定义界面边界条件,然后求解可压缩欧拉方程,用五阶
WENO
格
式推进
Level Set
函数从而更准确的捕捉界面,处理界面两边密度比为
1000
的水气多相流运动问题,通
过模拟两个不同形状的水滴与平板撞 击后的形态变化及 其运动过程,并计算运动过 程中的水滴损失率,
验证方法的准确性,进而了解水滴撞击特性,为研究飞行器部件表面结冰数值模拟提供技术积累。
关键词:
Level-Set
方法;多相流;
RGFM
;水滴;损失率
1.
引言
飞行器在降雨区域或过冷云层中飞行时,常常会
遇到危险的结冰现象,严重影响飞行安全
[1]
。欧美等
发达国家自
20
世纪中期就开始了数值模拟飞机结冰
问题的研究,其中,主要包括以下四个方面的内容:
贴体坐标网格生成;单相气流流场计算;拉格朗日法
或欧拉法计算水滴轨迹;基于热平衡的结冰量和结冰
区计算。忽略了很多因素的影响,如空气粘性,结冰
表面粗糙度的变化等。近年来国内也开展了对结冰数
值模拟的研究,目前主要工作都是集中在跟踪国外技
*
基金项目:国家自然科学基金
(10972106)
资助项目。
钱晓辉 等水滴撞击固体界面问题的数值模拟
42
|
Level Set
术,积累了一定的基础,但缺乏对结冰数值模拟模型
和算法的系统性的研究。目前结冰数值模拟方法都是
基于以下假设
[1-2]
:一,过冷水滴足够小,可忽略水滴
运动对气流流场造成的影响;二,飞机部件表面足够
光顺,三,水滴撞击到机翼表面后仍保持一定直径的
球形不变,并迅速冻结;四,水滴在运动中,温度和
密度等保持不变,并采用贴体结构或非结构网格进行
数值分析。针对其中第三个假设,由于云层中含有不
同形状,不同大小的水滴,撞击到机翼时与机翼表面
发生相互作用,必然会发生形态和运动轨迹的变化,
进而会影响飞机机翼表面冰的收集特性。所以在水滴
结冰问题的模拟中,简单的采取球形不变会直接影响
数值模拟的准确性,必须对不同形状,不同大小的水
滴与翼面相互作用及其变形、分裂迸溅等现象进行细
致的模拟。研究水滴撞击是进行结冰数值模拟研究的
初始步骤,目前关于水滴撞击液体表面的研究工作已
经开展
[3]
,但关于水滴撞击固体表面的水滴界面变化
的研究并不多,因此运用
Level Set
方法进行水滴撞击
固体表面数值模拟,进而了解水滴撞击特性,对提高
飞行器部件表面结冰数值模拟精度具有重要意义。
Level Set
方法是一种多相流运动界面捕捉方法,
由
Osher
等人提出,后来
Fedkiw
在
1999
年开创性的
提出了虚拟流方法
(GFM)
[4]
并利用等熵装配技术解决
了一类弱间断界面问题,能有效的抑制界面处的非物
理振荡。虚拟流方法的基本思想是在界面附近定义每
种流体的虚拟流体,由于压强和法向速度穿过界面是
连续的,虚拟流体的压强和法方向速度用该网格点上
真实流体的压强和法向速度,密度是通过等熵装配技
术单侧熵插值求得。
引入
Level-Set
函数可以捕捉运动
界面的位置,并能够根据网格点上
Level Set
函数值的
符号选择正确的状态方程进行计算。原始的
GFM
方
法在解决气–气流动问题时效果比较好,但是对于水
–气流动问题,由于界面两边流体的密度和状态方程
差别比较大,
GFM
不能给出正确的界面边界条件从而
引入很大的数值误差,因此,后来又出现了很多种改
进的虚拟流方法,如刘铁钢等人的
MGFM ( Mod ified
Ghost Fluid Method)
[5]
,以及由王春武等人发展的
RGFM(Riemann Ghost Fluid Method)
[6-7]
。这二者都是
在界面处定义了
Riemann
问题,通过求解
Riemann
问
题的解重新定义界面处的真实流体和虚拟流体的值,
其中
MGFM
只是修改了界面处的虚拟流体的状态,
对于界面处的真实流体的值,只是通过等熵装配法对
密度进行了修改。而
RGFM
根据
Riemann
问题的解定
义了界面处真实流体的状态,然后外推到界面处的虚
拟流体上,从而更准确的定义了界面边界条件,因此
能很好的处理界面两边密度差很大的水气运动问题。
本文用可压缩欧拉方程作为水和气体的控制方
程,其中气体的状态方程为理想状态方程,水的状态
方程采用
Tait
方程,
采用
RGFM
方法定义界面边界条
件,用五阶
WENO
方法来推进
level set
函数,从而更
准确的捕捉界面。数值试验中下方平板采用固壁反射
边界条件处理,并计算模拟过程中的水滴体积损失率,
验证数值试验的准确性。
2.
控制方程
2.1.
二维可压缩流体力学方程组
:
0
FU GU
U
tx y
(1)
其中:
,,,
T
UuvE
2
,,,
T
F
UuupuvEpu
2
,, ,
T
GUvuvvpEpv
为密度,
u
和
v
分别为
x
和
y
方向的速度,
p
为压力,
E
为单位总能,可取
22
2
Ee uv
,
这里
e
为单位质量的内能。
2.2.
状态方程
:
可压缩气体和水的状态方程可以表示为统一形
式:
1
peB
(2)
这里
和
B
为常数。
对于理想气体:
1.4, 0
B
;
对于水
(Tait
方程
)
:
7.15, 3309.
B
2.3. Level-Set
方程
:
为了跟踪流体的界面移动,建立如下
Level-Set
方程:
Cop
yright © 2011 Hanspub
MP
钱晓辉 等水滴撞击固体界面问题的数值模拟
43
|
Level Set
0
txy
uv
(3)
Level-Set
函数是距离符号函数,它的零值代表界
面所在的位置,其正值对应于一种流体,而负值对应
于另一种,每一种流体都满足上面的
Euler
方程。上
面方程的空间离散采用五阶
WENO
格式,
时间离散采
用三阶
TVD Runge-Kutta
方法。由于计算误差和流场
可能出现大梯度变化,
Level Set
函数等值线可能交织
在一起,由于
Level Set
函数不能保持为界面的距离符
号函数,因此要对
Level Set
函数进行重新初始化保证
其为界面的距离符号函数。
3. RGFM
本文采用的虚拟流方法是
RGFM(Riemann ghost
fluid method)
,其方法如下:在界面处定义
Riemann
问题,并通过
Riemann
问题的解定义界面处真实流场
的状态,然后把其按照法线方向外推导界面另一边的
虚拟流场上。具体对于二维情况时,界面处真实流体
的压力,法向速度和密度取为
Riemann
问题解的压力
和速度,然后把压力,密度,法向速度和切向速度沿
着法线方向外推到界面另一边的
Ghost
流体上,这样
便在界面处定义了界面边界条件。由于
Riemann
问题
的解能较准确地给定界面处真实的流动状态,因此这
种方法引入较小误差,可以适用于更多状态方程,具
有更加良好的稳健性。
由上可知,虚拟流动方法主要包括三 个要点:一,
定义虚拟流体,也即定义合 理的界面边界条件。二,对
于每一种流体各自求解
Euler
方程。三,用
Level-Set
方程捕捉界面运动。下面我们通过着重介绍第一个要
点,即虚拟流体的定义,来阐述虚拟 流方法的主要思想 。
对于二维问题,要定义虚拟流体,我们需要给定
4
个基本变量,分别取为压力,密度,法向速度和切
向速度。如图
1
所示,我们考虑流体
1
,构 造
Riemann
问题:任意选择流体
1
中紧邻界面的网格点,寻找流
体
2
中紧邻界面且与点法向所成的角最小的点。由于
点和点流体的状态已知,分别设为
, ,其中
,,
T
AA A
AN
Uup
,,
T
BB B
BN
Uup
A
N
u
和
B
N
u
分别为
A
点和
B
点的法向速度,这样在界面法向方向
定义的
Riemann
问题的初始条件就可以取为:
0
A
B
U
U
U
界面
流体1
流体2
A
B
Figure 1 . Define the ghost cell with RGFM in 2D
图
1.
二维
RGFM
方法虚拟流体定义
通过求解
Riemann
问题就可以得到界面处流体的
流动状态:
I
L
,
I
R
,
I
N
u
,
I
p
。更新
A
点的状态,
由于在界面处法向速度和压力连续,
A
点的法向速度
和压力分别取为
I
N
u
和
I
p
,切向速度仍然取
A
点原来
的切向速度,密度则取为
I
L
。在流体
1
中紧邻界面的
所有网格点的状态都得到了更新后,求解外推方程:
0
t
INI
(4)
如下定义流体
1
的虚拟流体:在流体
2
中选择带
状区域,使得
(
为带状区域宽度,根据采用的
数值格式不同,可选取不同的值,如采用三阶
ENO
格式,则可取
5,max ,
x
y
。假设流体
1
中
0
,则在方程
(4)
中选择“
+
”
,取
I
分别为压力、密
度、法向速度和切向速度,在虚拟时间步内进行迭代,
使得在带状区域内该方程的解收敛到定解,这样就使
得界面处流体状态沿法线外推到
Ghost
点上,从而就
定义了流体
1
的虚拟流体。
同理,可以定义流体
2
的虚拟流体,此时由于假
定流体
1
中
0
,因此流体
2
中
0
,在利用方程
(4)
定义
Ghost
点状态时选择“
–
”。
上述内容详尽阐述了虚拟流方法中的第一要点,
即如何定义虚拟流体。当定义完虚拟流体之后,运用
数值方法即对每一种流体求解
Euler
方程,可以得到
我们需要的流动状态数据,之后利用五阶
WENO
格式
推进
Level-Set
方程,通过更新过的
Level Set
函数值
可以重新确定全流场界面位置。
4.
水滴撞击试验
为提高结冰数值模拟效果,首先应进行水滴撞击
数值模拟试验。试验需要建立水滴撞击特性模型,采
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yright © 2011 Hanspub
MP
钱晓辉 等水滴撞击固体界面问题的数值模拟
44
|
Level Set
用
Level Set
方法研究不同尺寸的水滴撞击在机翼表
面上的形变及其运动情况,从而得出翼型表面水滴收
集的特性。本文主要开展该项研究的初步工作,即模
拟水滴撞击固体表面发生形变的过程。以下是数值模
拟试验背景:
1)
水滴垂直下落,具有一定的初始速度,在水滴
撞击平板过程中考虑重力作用;
2)
水滴撞击平板时,下方边界条件设定为固壁反
射边界条件,左右采用周期边界条件;
3)
参照文献
[8]
,本文先对半球水滴模型进行数值
模拟试验,而后进行整球水滴模型进行撞击模拟试验。
4)
对于每一部试验结果,我们都计算相对于原有
水滴的质量损失率,用来评估数值试验的精确度。
需要说明的是,在实际计算模拟过程中,我们对
Level-Set
函数推进进行了相关处理,对每一步
Level-Set
函数的推进,不是利用流场当地的速度,而
是从界面处对整个流场速度进行外推更新,之后再用
外推后的流场速度推进
Level-Set
函数。用经过处理和
未经过处理的方法都进行了水滴撞击数值试验,试验
结果表明有处理过程的
Level-Set
方法能够更准确的
捕捉到界面。
4.1.
半球水滴模型撞击试验结果及分析
:
在
0.1,0.1 0,0.1
1.0
的区域上,水滴圆心坐标为
,半径为
0.02
,流体的初始状态为:水滴的密度
为
0,0
w
0.
,速度 ,压强
0, 4.0
ww
uv
1.0
w
p
,
7.15
w
;空气的密度为
0.001
G
1.0
G
,速度
,压强
0.0, 0.0
G
uv
p
G
,
。图
2
至
5
分别给出了不同时间
t
的密度云图。
1.4
G
r
由以上半球模型试验结果图可知,试验得到了清
晰的水滴撞击固壁的变化过程。以下我们选择部分数
值试验结果与文献
[8]
的结果进行比较:在图
6
中,左
边和中间分别为参考文献
[8]
的高速摄像与
VOF
方法
(
图中
)
计算水滴撞击固壁的试验结果,右边 为本次数
值试验结果。通过比较,本文数值试验结果一定程度
上模拟出水滴撞击过程中的大致形态变化,与实验结
果大致吻合,由于
Level Set
方法是不守恒的界面追踪
方法,界面的拓扑结构的复杂变化可能使
Level Set
函数不能精确的保持为距离符号函数,因此定量上,
在数值模拟的过程中可能会造成水滴量上的流失。
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
Figure 2.
t
= 0.000521, the lost ratio of droplet is 0.01%
图
2.
t
= 0 .000521
,
水滴损失率
0.01%
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
Figure 3.
t
= 0.001046, the lost ratio of droplet is 0.01%
图
3.
t
= 0 .001046
,
水滴损失率
0.01%
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
Figure 4.
t
= 0.003157, the lost ratio of droplet is 0.01%
图
4.
t
= 0 .003157
,
水滴损失率
0.01%
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钱晓辉 等水滴撞击固体界面问题的数值模拟
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|
Level Set
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05 0
0.05
Figure 5.
t
= 0.008465, the lost ratio of droplet is 1.3%
图
5.
t
= 0 .008465
,
水滴损失率
1.3%
Figure 6. The constrant of splashing half droplet results
图
6.
半球水滴撞击试验结果对比图
4.2.
整球水滴模型撞击试验结果及分析
在
0.1,0.1 0,0.1
1.0
w
的区域上,水滴圆心坐标为
,半径为
0.02
,流体的初始状态为:水滴的
密度为
0,0.02
0
7.15
w
,速度 ,压强
,
0.0, 4.0
ww
uv
1.
w
p
;空气的密度为
0.00
G
1
1.0
G
p
1.4
G
r
,速
度
,压强,
。图
7
至
13
分别给出了不同时间
t
的密度云图。
0.0, 0.0
GG
uv
在以上数值试验中,通过对比发现,半球模拟过
程中能较好的模拟出水滴界面变化,并且在模拟过程
中水滴的损失率很小。在整球水滴的模拟过程中,模
拟水滴完全摊开过程中水滴的损失率比较大,通过分
析可能是由于界面的拓扑结果变化比较大,
Level Set
函数不能保持为距离符号函数引起的水滴损失率变
大。
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
00.05
Figure 7.
t
= 0.000, the lost ratio of droplet is 0.0%
图
7.
t
= 0 .000
,
水滴损失率
0.0%
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
Figure 8.
t
= 0.001421, the lost ratio of droplet is 1.9%
图
8.
t
= 0 .001421
,
水滴损失率
1.9%
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
Figure 9.
t
= 0.001941, the lost ratio of droplet is 3.8%
图
9.
t
= 0 .001941
,
水滴损失率
3.8%
Cop
yright © 2011 Hanspub
MP
钱晓辉
等
|
水滴撞击固体界面问题的
Level Set
数值模拟
Copyright © 2011 Hanspub
MP
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0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
Figure 10.
t
= 0.002944, the lost ratio of droplet is 14.6%
图
10.
t
= 0 .002944
,
水滴损失率
14.6%
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05
0
0.05
Figure 11.
t
= 0.008230, the lost ratio of droplet is 24.2%
图
11.
t
= 0.008230
,
水滴损失率
24.2%
0.15
0.1
0.05
Y
X
-0.05 0 0.05
Figure 12.
t
= 0.006656, the lost ratio of droplet is 24.1%
图
12.
t
= 0 .006656
,
水滴损失率
24.1%
Figure 13.
t
= 0.
015075, the lost ratio of droplet is 26.0%
图
13.
t
= 0 .015075
,
水滴损失率
26.0%
5.
结束语
基于
Riemann
问题的
RGF M
界面捕捉方
法,
参考文献
(References)
多圆柱的冰风洞水滴参数
分析方法
22(2): 180-186.
ry calcula-
dr
op over flat and spherical
本文利用
开展了水滴撞击问题的数值模拟试验,通过对水
滴数值试验的条件设定,建立半球水滴模型、整球水
滴模型,对水滴撞击形变过程进行了数值模拟,并计
算了模拟过程中水滴质量的损失率,数值试验的结果
可以为提高飞行器部件表面结冰数值模拟精度进行研
究积累。
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朱春玲
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李宇钦
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张泉
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