广义赌博系统中任意树指标随机场关于二项乘积分布的一类强偏差定理 A Class of Strong Deviation Theorems for Arbitrary Random Field with Respect to the Binomial Distributions on Generalized Gambling Systems Indexed by a Tree

doi:10.12677/AAM.2018.77111

Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.07(2018), Article ID:26150,9 pages
10.12677/AAM.2018.77111

A Class of Strong Deviation Theorems for Arbitrary Random Field with Respect to the Binomial Distributions on Generalized Gambling Systems Indexed by a Tree

Zhong Qin, Kangkang Wang

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School of Science, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang Jiangsu

Received: Jul. 7^th, 2018; accepted: Jul. 23^rd, 2018; published: Jul. 30^th, 2018

ABSTRACT

In this paper, we study a class of strong limit theorems represented by inequalities , that is, strong deviation theorems for arbitrary random field with respect to product binomial distributions on the generalized gambling system indexed by an infinite tree with uniformly bounded degree by establishing the consistent distribution and nonnegative superior-martingale. As corollaries, some strong limit theorems for the independent random field with product binomial distributions and arbitrary random field indexed by a tree are obtained.

Keywords:Product Binomial Distribution, Strong Deviation, Random Field, Generalized Gambling System, Tree Index

广义赌博系统中任意树指标随机场关于二项乘积分布的一类强偏差定理

秦忠，王康康

江苏科技大学理学院，江苏镇江

收稿日期：2018年7月7日；录用日期：2018年7月23日；发布日期：2018年7月30日

摘要

本文通过构造局部有限无穷树上相容分布和非负上鞅的方法，研究任意树上随机场在广义赌博系统中关于二项乘积分布的一类用不等式表示的强极限定理，也即强偏差定理。作为推论，得到了服从二项乘积分布的独立随机场的极限定理以及任意树指标随机场的强极限定理。

关键词 :二项乘积分布，强偏差，随机场，广义赌博系统，树指标

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1. 引言

设T为一无限连通树图， $σ, t (σ \neq t)$ 是T中任意两个顶点。那么应该有从 $σ$ 到t的路径 $σ = x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m} = t$ ，其中 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ 是不相同的顶点，这里 $x_{i}$ 与 $x_{i + 1}$ 表示两个相邻的顶点。记 $m - 1$ 为 $σ$ 到t的距离。我们给T中的顶点进行编号，首先一个顶点被选定作为根顶点(简称根)，记为o。若一个顶点t在根顶点o到顶点 $σ$ 的路径上(且路径唯一)，则记 $t \leq σ$ 。设 $σ, t$ 是T上两个相异的顶点，把离根顶点o最远的满足条件

$σ \land t \leq σ$ 和 $σ \land t \leq t$

的顶点记为 $σ \land t$ 。

本文记任意局部有限无穷树为T。为了对树的概念加以解释，我们以Cayley树 $T_{C, N}$ 为例，我们设每个顶点都有 $N + 1$ 个顶点相连(根顶点0除外)，见图1。用t表示T中从根顶点o向上，从左向右依次数第t个顶点，记顶点t到根o的距离为 $| t |$ 。假如 $| t | = n$ ，则表示t位于第n层树上。同时把从根o到第n层所有顶点的子图记为 $T^{(n)}$ ，另外第n层上顶点的集合我们用 $L_{n}$ 表示，树图T上从m层到n层之间的所有顶点的集合用 $L_{m}^{n}$ 表示。对于任意顶点t，我们把从o顶点到t的路径上离顶点t最近的顶点称为t的第一代父代，记为 $1_{t}$ ，同时称t为 $1_{t}$ 子代。同理，t的第二代父代记为 $2_{t}$ 。以此类推， $n_{t}$ 表示t的第n代父代。设树图T的子图为B，记 $X^{B} = {X_{t}, t \in B}$ ，则称 $x^{B}$ 为 $X^{B}$ 的实现。从根顶点o到第n层的所有顶点的数目我们用 $| T^{(n)} |$ 表示。

我们取 $S = {0, 1, 2, \dots, N}$ ，记 $Ω = S^{T}$ 。又设 $ω = ω (\cdot) \in Ω$ 。其中 $ω (\cdot)$ 为定义在T上并于S中取值的函数。F为 $Ω$ 的所有有限维柱子集所产生的最小σ-代数。P为可测空间上的概率测度。设 $X = {X_{t}, t \in T}$ 是定义在测度空间 $(Ω, F, P)$ 上的标准随机过程。即对于任意 $ω = {ω (t), t \in T}$ 我们定义

$X_{t} (ω) = ω (t), t \in T$

$X^{T^{(n)}} ≜ {X_{t}, t \in T^{(n)}}$ ， $μ (X^{T^{(n)}} = x^{T^{(n)}}) = μ (x^{T^{(n)}})$ 。 (1)

近三十年来，人们广泛且深入地研究了一般随机过程，如马氏链，独立随机序列，相依随机序列的强极限定理(参见 [1] [2] )。近几年来，随着概率论和信息论发展，树图随机场的强极限定理引起了学者们的广泛兴趣(参见 [3] )。而今，物理学界，概率与信息论学界对树图模型产生了浓厚兴趣。齐次树图上若干平稳随机场的熵率在文献 [4] 中被研究。齐次树指标的PPG不变随机场的遍历性与熵率被叶中行与Berger [5] 所

Figure 1. Cayley tree T_C_,3

图1. Cayley树T_C_,3

探讨。然而其结果只讨论了依概率收敛。杨和刘 [6] [7] 探究了所谓齐次树指标以及Cayley树指标马氏链场的几乎必然收敛的熵定理。刘和王 [8] 也曾经讨论了有关树指标任意随机场状态序偶的若干小偏差定理。又有一类针对齐次树指标马氏链场的渐近均匀分割性质也曾经被杨卫国 [9] 讨论。王康康，李芳近来讨论了在所谓有限状态空间当中，齐次树图上任意随机场相对熵密度关于齐次的马氏分布一类所谓小偏差定理(参见 [10] )。王康康之后又进一步研究了广义Bethe树指标任意随机场相对于马氏链场的若干偏差定理(参见 [11] )。我们都知道，二项分布是一种经典分布，其在概率论，统计学与经济学等诸多领域均有广泛的应用。刘文曾经在文献 [12] 中专门研究了任意随机序列相对于Poisson分布的若干小偏差定理。

本文目的在于，在树指标随机场上构建一个相容分布和非负上鞅，研究广义赌博系统中任意局部有限无穷树图上乘积二项分布相对于任意随机场的若干强偏差定理。作为推论得到了树上服从独立二项乘积分布的随机场以及任意随机场的若干强极限定理。证明中采用了一种研究局部有限树指标随机场上强极限定理的新方法。

定义1：设 ${p_{t}, t \in T^{(n)}}$ 是一个正实数序列， $p_{t} \in (0, 1)$ ， $t \in T^{(n)}$ 。如果

$μ_{P} (X^{T^{(n)}}) = \prod_{k = 0}^{n} \prod_{t \in L_{k}} C_{N}^{X_{t}} p_{t}^{X_{t}} {(1 - p_{t})}^{N - X_{t}}, n \geq 0$ (2)

则 $μ_{P}$ 称为树图T上服从二项乘积分布的随机场。

定义2：树上广义随机选择的概念如下定义，我们先定义一个非负实值函数列 $f_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})$ ，它们在区间 $[0, 1]$ 上取值。令

$Y_{0} = y$ (y表示任意实数)，

$Y_{t} = f_{| t |} (X_{1_{t}}, X_{2_{t}}, X_{3_{t}}, \dots, X_{0}), t \geq 1$ ； (3)

其中代表从根顶点o到顶点t的边数，我们记 $f_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})$ 为广义随机选择函数列， ${Y_{t}, t \in T^{(n)}}$ 称为局部有限无穷树指标广义赌博系统。传统的链式赌博系统 [13] ${Y_{n}, n \geq 0}$ 在两点集 ${0, 1}$ 中取值。

为了表示任意随机场 ${X_{t}, t \in T^{(n)}}$ 与服从乘积二项分布的独立随机场之间的差异，我们引进如下定义：

定义3：设 ${X_{t}, t \in T^{(n)}}$ 是具有分布(1)的任意随机场， ${p_{t}, t \in T^{(n)}}$ 是正数列，称

$R_{n} (ω) = \frac{μ_{P} (X^{T^{(n)}})}{μ (X^{T^{(n)}})} = \frac{\prod_{k = 0}^{n} \prod_{t \in L_{k}} C_{N}^{X_{t}} p_{t}^{X_{t}} {(1 - p_{t})}^{N - X_{t}}}{μ (X^{T^{(n)}})}$ (4)

为 ${X_{t}, t \in T^{(n)}}$ 相对与乘积二项分布

$\prod_{k = 0}^{n} \prod_{t \in L_{k}} C_{N}^{X_{t}} p_{t}^{X_{t}} {(1 - p_{t})}^{N - X_{t}}, X_{t} \in S, t \in L_{k}, 0 \leq k \leq n$ (5)

的似然比。

2. 主要结果

定理1：设 ${X_{t}, t \in T^{(n)}}$ 是具有分布(1)的任意随机场， ${σ_{n} (ω), n \geq 1}$ 是定义在S上的任意非负实值函数序列， $R_{n} (ω)$ 由(4)定义。又设 $M > 0, 0 \leq c < 1$ 其为常数，令 $D (c)$ 为满足下列条件的样本点 $ω$ 的全体：

$D (c) = {ω : \lim_{n \to \infty} σ_{n} (ω) = + \infty, \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t} \leq M, \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \ln R_{n} (ω) \geq - c}$ (6)

则

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) \leq \sqrt{c} (2 M + 1) + c$ μ-a.s. $ω \in D (c)$ ，(7)

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) \geq - 5 \sqrt{c} (M + 1)$ μ-a.s. $ω \in D (c)$ 。(8)

证明：取 $(Ω, F, P)$ 为所考虑的概率空间，设 $λ \in (1 / 5, 2)$ 为常数，并设 $q_{t} = 1 - p_{t}, t \in T^{(n)}$ 。令

$μ_{Q} (X^{T^{(n)}}, λ) = λ^{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t}} \prod_{k = 0}^{n} \prod_{t \in L_{k}} {(\frac{1}{λ^{Y_{t}} p_{t} + q_{t}})}^{N} C_{N}^{X_{t}} p_{t}^{X_{t}} q_{t}^{N - X_{t}}$ (9)

则有

$\begin{array}{l} \sum_{x^{L_{n}} \in S} μ_{Q} (X^{T^{(n)}}, λ) \\ = \sum_{x^{L_{n}} \in S} λ^{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t}} \prod_{k = 0}^{n} \prod_{t \in L_{k}} {(\frac{1}{λ^{Y_{t}} p_{t} + q_{t}})}^{N} C_{N}^{X_{t}} p_{t}^{X_{t}} q_{t}^{N - X_{t}} \\ = μ_{Q} (X^{T^{(n - 1)}}, λ) \sum_{x^{L_{n}} \in S} \prod_{t \in L_{n}} λ^{y_{t} x_{t}} {(\frac{1}{λ^{y_{t}} p_{t} + q_{t}})}^{N} C_{N}^{x_{t}} p_{t}^{x_{t}} q_{t}^{N - x_{t}} \\ = μ_{Q} (X^{T^{(n - 1)}}, λ) \prod_{t \in L_{n}} \sum_{x_{t} \in S} {(\frac{1}{λ^{y_{t}} p_{t} + q_{t}})}^{N} C_{N}^{x_{t}} {(λ^{y_{t}} p_{t})}^{x_{t}} q_{t}^{N - x_{t}} \\ = μ_{Q} (X^{T^{(n - 1)}}, λ) \prod_{t \in L_{n}} {(\frac{1}{λ^{y_{t}} p_{t} + q_{t}})}^{N} {(λ^{y_{t}} p_{t} + q_{t})}^{N} = μ_{Q} (X^{T^{(n - 1)}}, λ) \end{array}$ (10)

因此，我们可知 ${μ_{Q} (X^{T^{(m)}}, λ), n \geq 0}$ 是定义在 $S^{T^{(n)}}$ 上的一族相容分布函数。又记

$U_{n} (λ, ω) = \frac{μ_{Q} (X^{T^{(n)}}, λ)}{μ (X^{T^{(n)}})}$ ， (11)

由(9)，我们可以把(11)整理为

$U_{n} (λ, ω) = \frac{1}{μ (X^{T^{(n)}})} λ^{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t}} \prod_{k = 0}^{n} \prod_{t \in L_{k}} {(\frac{1}{λ^{Y_{t}} p_{t} + q_{t}})}^{N} \cdot \prod_{k = 0}^{n} \prod_{t \in L_{k}} C_{N}^{X_{t}} p_{t}^{X_{t}} q_{t}^{N - X_{t}}$ (12)

由于 $μ_{Q}$ 和 $μ$ 是两个概率测度，由Doob鞅收敛定理 [4] [14] [15] 很容易看出 ${U_{n} (λ, ω), n \geq 1}$ 是一个非负上鞅。于是有

$\lim_{n \to \infty} U_{n} (λ, ω) = U_{\infty} (λ, ω) < \infty$ μ-a.s.(13)

由(13)与(6)式的第一式，我们有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \ln U_{n} (λ, ω) \leq 0$ μ-a.s. $ω \in D (c)$ (14)

由(4)与(12)，有

$\ln U_{n} (λ, ω) = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} \ln λ - \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N \ln (p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t}) + \ln R_{n} (ω)$ (15)

由(6)的第三式有

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \ln R_{n} (ω) \geq - c$ μ-a.s. $ω \in D (c)$ (16)

由(14)，(15)与(16)有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} [\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} \ln λ - \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N \ln (p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t})] \leq c$ μ-a.s. $ω \in D (c)$ (17)

取 $λ \in (1, 2)$ ，将(17)两边同除以 $\ln λ$ ，得：

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} [\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} - \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} \frac{N \ln (p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t})}{\ln λ}] \leq \frac{c}{\ln λ}$ μ-a.s. $ω \in D (c)$ (18)

由(18)及上极限的性质：

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} (a_{n} - b_{n}) \leq d \Rightarrow \underset{n \to \infty}{\lim \sup} (a_{n} - c_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{\lim \sup} (b_{n} - c_{n}) + d$

有

由(19)与不等式

$1 - 1 / x \leq \ln x \leq x - 1 (x > 0)$ ， $λ^{x} - 1 - x \ln λ \leq {(x \ln λ)}^{2} e^{| x \ln λ |} | x \ln λ |$ ，

及(6)式的第二式，并注意到 $0 \leq Y_{t} \leq 1, t \in T^{(n)}$ ，有

$\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) \\ \leq \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N (\frac{p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t} - 1}{\ln λ} - Y_{t} p_{t}) + \frac{c}{\ln λ} \\ = \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N (\frac{p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t} - 1}{\ln λ} - \frac{Y_{t} p_{t} \ln λ}{\ln λ}) + \frac{c}{\ln λ} \\ = \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N p_{t} (\frac{λ^{Y_{t}} - 1 - Y_{t} \ln λ}{\ln λ}) + \frac{c}{\ln λ} \end{array}$ (20)

$\begin{array}{l} \leq \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N p_{t} \frac{{(Y_{t} \ln λ)}^{2} λ^{Y_{t}}}{\ln λ} + \frac{c}{\ln λ} \\ \leq \ln λ \cdot \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N p_{t} Y_{t}^{2} λ^{Y_{t}} + \frac{c}{λ - 1} + c \\ \leq (λ - 1) λ \cdot \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t} + \frac{c}{λ - 1} + c \\ \leq 2 (λ - 1) \cdot M + \frac{c}{λ - 1} + c a .s . ω \in D ( c ) \end{array}$

当 $0 < c \leq 1$ 时，在(20)中令 $λ = 1 + \sqrt{c}$ ，于是由(18)有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) \leq \sqrt{c} (2 M + 1) + c$ a.s. 于 $D (c)$ (21)

即得当 $0 < c \leq 1$ 时，(7)成立。当 $c = 0$ 时，取 $λ_{i} \in (1, 2) (i = 1, 2, \dots)$ ，使 $λ_{i} \to 1 (i \to \infty)$ ，则对一切i，由(20)有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) \leq 0$ a.s. $ω \in D (0)$ (22)

故由(22)知当 $c = 0$ 时，(7)也成立。

取 $λ \in (1 / 5, 1)$ ，将(17)两边同除以 $\ln λ$ ，得：

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} [\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} - \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} \frac{N \ln (p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t})}{\ln λ}] \geq \frac{c}{\ln λ}$ a.s $ω \in D (c)$ (23)

由(23)与下极限的性质：

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} (a_{n} - b_{n}) \geq d \Rightarrow \underset{n \to \infty}{\lim \inf} (a_{n} - c_{n}) \geq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} (b_{n} - c_{n}) + d$

有

$\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) \\ \geq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N (\frac{p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t} - 1}{\ln λ} - Y_{t} p_{t}) + \frac{c}{\ln λ} \\ \geq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N (\frac{p_{t} λ^{Y_{t}} + q_{t} - 1}{\ln λ} - \frac{Y_{t} p_{t} \ln λ}{\ln λ}) + \frac{c}{\ln λ} \\ \geq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N p_{k} (\frac{λ^{Y_{t}} - 1 - Y_{t} \ln λ}{\ln λ}) + \frac{c}{\ln λ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \geq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N p_{k} \frac{{(Y_{t} \ln λ)}^{2} λ^{- Y_{t}}}{\ln λ} + \frac{c}{\ln λ} \\ \geq \ln λ \cdot \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N p_{t} Y_{t}^{2} λ^{- Y_{t}} + \frac{c}{\ln λ} \\ \geq λ^{- 1} \frac{λ - 1}{λ} \cdot \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t} + \frac{c}{λ - 1} \\ \geq \frac{λ - 1}{λ^{2}} M + \frac{c}{λ - 1} \geq 25 (λ - 1) M + \frac{c}{λ - 1} ω \in D (c) \end{array}$ (24)

当 $0 < c \leq 1$ 时，在(24)中令，得

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) \geq - 5 \sqrt{c} (M + 1)$ a.s. $ω \in D (c)$ (25)

故由(25)知当 $0 < c \leq 1$ 时，(8)成立。仿照(22)的证明可知当 $c = 0$ 时，(8)也成立。

推论1：在定理(1)的假设下，有

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) = 0$ a.s. $ω \in D (0)$ 。 (26)

证明：在(7)与(8)中令 $c = 0$ 即可。

推论2：设 ${X_{t}, t \in T^{(n)}}$ 是服从参数为 $(N, p_{t})$ 的二项分布的独立随机场，则有

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{| T^{(n)} |} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) = 0$ a.s. (27)

证明：在定理1中，令 $μ = μ_{P}$ ，此时有 $R_{n} (ω) \equiv 1$ 。当 $c = 0$ 时，(6)第三式显然成立。令 $σ_{n} (ω) = | T^{(n)} |$ ，则有 $\lim_{n \to \infty} | T^{(n)} | = \infty$ ，又设 $M = N$ ，则有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t} \leq \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{| T^{(n)} |} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} N p_{t} \leq \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{N | T^{(n)} |}{| T^{(n)} |} = N$

于是有 $D (0) = Ω$ 。因而由(26)便得(27)式。

推论3：在定理(1)的假设下，设

$H (0) = {ω : \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} = + \infty, \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t}} \ln R_{n} (ω) \geq 0}$ (28)

则有

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} (X_{t} - N p_{t}) = 0$ a.s. $ω \in H (0)$ (29)

证明：在推论1中令 $σ_{n} (ω) = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t}, M = N$ ，则显然有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t} \leq \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N \leq N$ ， (30)

所以当 $c = 0$ 时有 $D (0) = H (0)$ 。于是有(29)成立。

推论4：在定理(1)的条件下，令

$D = {ω : \lim_{n \to \infty} σ_{n} (ω) = + \infty}$ (31)

则

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{σ_{n} (ω)} \ln R_{n} (ω) \leq 0$ a.s. $ω \in D$ (32)

证明：在(14)中令 $λ = 1$ ，得

$R_{n} (ω) = U_{n} (1, ω)$ 。

由(14)与(31)即得(32)成立。

定理2：在设 ${X_{t}, t \in T^{(n)}}$ 是具有联合分布(1)的任意随机场， $R_{n} (ω)$ 由(4)定义。又设 $M > 0, 0 \leq c < 1$ 其为常数，令 $L (c)$ 为满足下列条件的样本点 $ω$ 的全体：

$L (c) = {ω : \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t} = + \infty, \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{1}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}} \ln R_{n} (ω) \geq - c}$ (33)

则有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} (\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} / \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}) \leq 1 + 3 \sqrt{c} + c$ μ-a.s. $ω \in L (c)$ ， (34)

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} (\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} / \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}) \geq 1 - 10 \sqrt{c}$ μ-a.s. $ω \in L (c)$ 。 (35)

证明：在定理1中令 $σ_{n} (ω) = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}, M = 1$ ，则显然有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{1}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t} \leq 1$ ， (36)

于是有 $D (c) = L (c)$ 。由(7)，(8)有

$\underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t}}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}} - 1 \leq \underset{n \to \infty}{\lim \sup} \frac{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} - \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}} \leq 3 \sqrt{c} + c$ μ-a.s. $ω \in L (c)$ ， (37)

$\underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t}}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}} - 1 \geq \underset{n \to \infty}{\lim \inf} \frac{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} X_{t} - \sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}}{\sum_{k = 0}^{n} \sum_{t \in L_{k}} Y_{t} N p_{t}} \geq - 10 \sqrt{c}$ μ-a.s. $ω \in L (c)$ 。 (38)

由(37)，(38)可知(34)，(35)成立。

基金项目

本文的工作被国家自然科学基金(11072107)，江苏省高校自然科学基金(13KJB110006)以及江苏科技大学校管基金(633051203)支持。

文章引用

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