关于Z2pm广义分圆类的一个注记 A Note on the Generalized Cyclotomic Classes of Z2pm

doi:10.12677/AAM.2021.102065

Advances in Applied Mathematics
Vol. 10 No. 02 ( 2021 ), Article ID: 40760 , 5 pages
10.12677/AAM.2021.102065

关于 $Z_{2 p^{m}}$ 广义分圆类的一个注记

裴孟莹，亓万锋，李丽彦

●How to Cite this Article

辽宁师范大学数学学院，辽宁大连

收稿日期：2021年1月23日；录用日期：2021年2月17日；发布日期：2021年2月26日

摘要

分圆类是有限域里经典理论，广泛应用于构造差集、设计编码等众多领域。广义分圆类是有限域上分圆类的推广。本文给出一个 $Z_{2 p^{m}}$ 广义分圆类的性质，并猜测利用若干特定组合，可以构造出 $Z_{2 p^{m}}$ 上的差集偶。

关键词

分圆类、广义分圆类、差集偶

A Note on the Generalized Cyclotomic Classes of $Z_{2 p^{m}}$

Mengying Pei, Wanfeng Qi, Liyan Li

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Jan. 23^rd, 2021; accepted: Feb. 17^th, 2021; published: Feb. 26^th, 2021

ABSTRACT

The cyclotomic class is a classic theory in finite fields, which is widely used in many fields such as constructing difference sets and encoding design. The generalized cyclotomic class is a generalization of the cyclotomic class on a finite field. This paper gives one property of cyclotomic classes of $Z_{2 p^{m}}$ , and proposes two conjectures about the existence of some difference set pairs consisting of a number of specific combinations of cyclotomic classes.

Keywords:Cyclotomic Classes, Generalized Cyclotomic Classes, Difference Set Pairs

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

理想序列偶主要被广泛地应用于信息通讯系统、导航、编码以及密码学等众多领域 [1]。然而，直接进行序列偶的构造，其难度颇大。因此，众多学者利用差集、几乎差集、差集偶、几乎差集偶 [2] [3] [4] [5] 等一些工具去构造序列偶。在组合设计理论中，经典分圆类是通常会被应用到差集、几乎差集、差集偶、几乎差集偶的构造中。经典分圆类的一个重要推广是广义分圆类。Whiteman [6]、Ding和Helleseth [7]、Fan和Ge [8]、Zeng等 [9] 给出了各种广义分圆类。Yi和Xie [10] 给出了周期为 $2 p^{m}$ 的广义分圆序列的定义。本文对环 $Z_{2 p^{m}}$ 的广义分圆类，给出若干分圆类的性质，并给出两个猜想。

2. 差集偶的概念

定义 [1] 设 $Z_{2 p^{m}} = {0, 1, \dots, 2 p^{m} - 1}$ 是模 $2 p^{m}$ 的剩余类环， $U, V$ 是 $Z_{2 p^{m}}$ 的两个子集， $| U | = k$ ， $| V | = k^{'}$ ， $| U \cap V | = e$ 。若对 $Z_{2 p^{m}}$ 中的任意非零元r，方程 $x - y \equiv r (\mod 2 p^{m})$ 恰有 $λ$ 个解对 $(x, y) \in (U, V)$ ，其中 $x \in U$ ， $y \in V$ ，则称 $(U, V)$ 是 $Z_{2 p^{m}}$ 上的一个 $(2 p^{m}, k, k^{'}, e, λ)$ 差集偶。

3. 基于 $Z_{2 p^{m}}$ 的广义分圆类构造差集偶

以下介绍 $Z_{2 p^{m}}$ 广义分圆类 [7]。

记奇素数 $p = e f + 1$ ，f是一个偶数。g是模 $p^{m}$ 的原根，则g或 $g + p^{m}$ 是奇数，且是模 $2 p^{j} (1 \leq j \leq m)$ 的一个公共原根。下面用g来表示这个公共原根，且不妨假设g为奇数 [11]。对于任意的j，令 $d_{j} = \frac{ϕ (p^{j})}{e} = p^{j - 1} f$ ，其中， $ϕ (\cdot)$ 是欧拉函数。

对于 $i \in Z$ ， $s = p^{j}$ 或 $s = 2 p^{j}$ 定义

$D_{i}^{(s)} : = {g^{i + d_{j} t} (\mod s) : 0 \leq t < e} = g^{i} D_{0}^{(s)} .$

由定义可知 $D_{i}^{(s)}$ 只取决于同余类 $i (\mod d_{j})$ ，若 $n (\mod s) \in D_{i}^{(s)}$ ，则 $n \in D_{i}^{(s)}$ 。

对于 $(s, a) = (p^{j}, p^{m - j})$ ， $(p^{j}, 2 p^{m - j})$ 或者 $(2 p^{j}, p^{m - j})$ 定义

$a D_{i}^{(s)} : = {a g^{i + d_{j} t} (\mod a s) : 0 \leq t < e}$

对于 $p^{j}$ 的 $d_{j}$ 阶广义分圆类，可知 $Z_{p_{j}}^{*}$ 中 ${D_{0}^{(p_{j})}, D_{1}^{(p_{j})}, \dots, D_{d_{j} - 1}^{(p_{j})}}$ 构成。从而有

$Z_{p^{m}} = \cup_{j = 1}^{m} \cup_{i = 0}^{d_{j} - 1} p^{m - j} D_{i}^{(p^{j})} \cup {0}$ ，

$Z_{2 p^{m}} = \cup_{j = 1}^{m} \cup_{i = 0}^{d_{j} - 1} p^{m - j} (2 D_{i}^{(p^{j})} \cup D_{i}^{(2 p^{j})}) \cup {0, p^{m}}$ 。

引理1 设 $k \in D_{i}^{(2 p^{j})}, 1 \leq k < p^{j} - 1$ 。若 $k$ 为奇数，则 $k \in D_{i}^{(2 p^{j})}$ ；若k为偶数，则 $k + p^{j} \in D_{i}^{(2 p^{j})}$ 。

证：因为 $k \in D_{i}^{(2 p^{j})}$ ，所以存在 $0 \leq t_{0} < e$ ，使得 $g^{i + d_{j} t_{0}} \equiv k (\mod p^{j})$ 。

若k为奇数，因g是奇数，故 $g^{i + d_{j} t_{0}} - k$ 为偶数，因此 $2 | (g^{i + d_{j} t_{0}} - k)$ ，又 $p^{j} | (g^{i + d_{j} t_{0}} - k)$ ，所以 $2 p^{j} | (g^{i + d_{j} t_{0}} - k)$ ， $g^{i + d_{j} t_{0}} \equiv k (\mod 2 p^{j})$ ，即 $k \in D_{i}^{(2 p^{j})}$ 。

若 $k$ 为偶数， $g^{i + d_{j} t_{0}} - k - p^{j}$ 为偶数，因此 $2 | (g^{i + d_{j} t_{0}} - k - p^{j})$ 。显然 $p^{j} | (g^{i + d_{j} t_{0}} - k - p^{j})$ ，所以 $2 p^{j} | (g^{i + d_{j} t_{0}} - k - p^{j})$ ， $g^{i + d_{j} t_{0}} \equiv (k + p^{j}) (\mod 2 p^{j})$ ，即 $k + p^{j} \in D_{i}^{(2 p^{j})}$ 。

定理1 记 $C_{0}^{(p^{j})} = \cup_{k = 0}^{d_{j} / 2 - 1} D_{2 k}^{(p^{j})}$ ， $C_{1}^{(p^{j})} = \cup_{k = 0}^{d_{j} / 2 - 1} D_{2 k + 1}^{(p^{j})}$ 。设 $s \in (C_{1}^{(p^{j})} - C_{0}^{(p^{j})}) \subset Z_{p^{j}}$ 且 $1 \leq s \leq p^{j} - 1$ 。

1) 若s为偶数，则 $s \in (C_{1}^{(2 p^{j})} - C_{0}^{(2 p^{j})})$ ，其中 $C_{0}^{(2 p^{j})} = \cup_{k = 0}^{d_{j} / 2 - 1} D_{2 k}^{(2 p^{j})}$ ， $C_{1}^{(2 p^{j})} = \cup_{k = 0}^{d_{j} / 2 - 1} D_{2 k + 1}^{(2 p^{j})}$ ；

2) 若s为奇数，则 $s + p^{j} \in (C_{1}^{(2 p^{j})} - C_{0}^{(2 p^{j})})$ 。

证：设 $x \in C_{1}^{(p^{j})}$ ， $y \in C_{0}^{(p^{j})}$ ， $1 \leq x, y \leq p^{j} - 1$ ，其中 $x, y$ 分奇偶共四种情况，我们仅以x为偶数y为奇数或偶数这两种情况进行证明，其余两种情况类似。

设x为偶数，y为偶数。由引理1， $x + p^{j} \in C_{1}^{(2 p^{j})}$ ， $y + p^{j} \in C_{0}^{(2 p^{j})}$ 。若 $x > y$ ，则 $1 \leq x - y = s \leq p^{j} - 1$ 为偶数，且 $s \in C_{1}^{(p^{j})} - C_{0}^{(p^{j})}$ ，此时，

$1 \leq (x + p^{j}) - (y + p^{j}) = x - y = s \leq p^{j} - 1 \leq 2 p^{j} - 1 \in C_{1}^{(2 p^{j})} - C_{0}^{(2 p^{j})}$ 。

若 $x < y$ ，则 $1 - p^{j} \leq x - y \leq - 1$ 为偶数，令 $s = x - y + p^{j}$ ，则 $1 \leq s \leq p^{j} - 1$ 为奇数，且 $s \in C_{1}^{(p^{j})} - C_{0}^{(p^{j})}$ ， $1 - p^{j} \leq x + p^{j} - (y + p^{j}) = x - y \leq - 1$ ，此时，

$p^{j} \leq x - y + 2 p^{j} \leq - 1 + 2 p^{j} \in C_{1}^{(2 p^{j})} - C_{0}^{(2 p^{j})}$ ， $x - y = s + p^{j}$ 。

设 $x$ 为偶数，y为奇数。若 $x > y$ ，则 $1 \leq x - y \leq p^{j} - 1$ ，令 $x - y = s$ ，则 $s$ 为奇数，且 $s \in C_{1}^{(p^{j})} - C_{0}^{(p^{j})}$ ，此时， $1 + p^{j} \leq x + p^{j} - y = s + p^{j} \leq 2 p^{j} - 1 \in C_{1}^{(2 p^{j})} - C_{0}^{(2 p^{j})}$ 。若 $x < y$ ，则 $1 - p^{j} \leq x - y \leq - 1$ ，令 $s = x - y + p^{j}$ ，则 $1 \leq s \leq p^{j} - 1$ 为偶数，而 $1 \leq x + p^{j} - y = s \leq p^{j} - 1 \leq 2 p^{j} - 1 \in C_{1}^{(2 p^{j})} - C_{0}^{(2 p^{j})}$ 。证毕。

Ding和Helleseth [7] 给出了 $Z_{p^{m}}$ 上的分圆数，刻画了可逆元素在分圆类的差的集合中出现的次数。这里给出更加详细的刻画。记 $Δ (A, A)$ 是一个多重集， $Δ (A, A) = {x - y, x \in A, y \in A}$ ，则有如下结论：

定理2 若 $p \equiv 1 (\mod 4)$ ，则

$Δ (C_{0}^{(p^{j})}, C_{0}^{(p^{j})}) = \frac{p^{j - 1} (p - 5)}{4} C_{0}^{(p^{j})} \cup \frac{p^{j - 1} (p - 1)}{4} C_{1}^{(p^{j})} \cup \frac{p^{j - 1} (p - 1)}{2} Z_{p^{j}} \ Z_{p^{j}}^{*}$ ；

若 $p \equiv 3 (\mod 4)$ ，则

$Δ (C_{0}^{(p^{j})}, C_{0}^{(p^{j})}) = \frac{p^{j - 1} (p - 3)}{4} C_{0}^{(p^{j})} \cup \frac{p^{j - 1} (p - 3)}{4} C_{1}^{(p^{j})} \cup \frac{p^{j - 1} (p - 1)}{2} Z_{p^{j}} \ Z_{p^{j}}^{*}$ ；

证：根据文献 [7]， $| (C_{0}^{p^{j}} + τ) \cap C_{0}^{(p^{j})} | = p^{j - 1} | (C_{0}^{(p)} + τ_{p}) \cap C_{0}^{(p)} |$ ，其中， $τ_{p} \equiv τ (\mod p)$ 。若 $τ \in C_{0}^{(p^{j})}$ ，即 $τ \equiv g^{2 k} (\mod p^{j})$ ，则 $τ_{p} \equiv τ \equiv g^{2 k} (\mod p)$ ，因此 $τ_{p} \in C_{0}^{(p)}$ 。此时， $| C_{0}^{(p^{j})} + τ \cap C_{0}^{(p^{j})} | = p^{j - 1} [{(1, 1)}_{2}]$ 。若 $τ$ 是不可逆元，则 $τ_{p} \equiv 0 (\mod p)$ ，此时 $| C_{0}^{(p^{j})} + τ \cap C_{0}^{(p^{j})} | = p^{j - 1} \cdot | C_{0}^{(p)} | = p^{j - 1} \cdot \frac{p - 1}{2} \cdot \frac{p - 1}{2}$ 为奇数，因此，

$Δ (C_{0}^{(p^{j})}, C_{0}^{(p^{j})}) = p^{j - 1} [{(0, 0)}^{(p)}] C_{0}^{(p^{j})} \cup p^{j - 1} [{(1, 1)}^{(p)}] C_{1}^{(p^{j})} \cup \frac{p^{j - 1} (p - 1)}{2} (Z_{p^{j}} - Z_{p^{j}}^{*})$ ，

而根据文献 [7]， $p \equiv 1 (\mod 4)$ ， ${(0, 0)}^{(p)} = \frac{p - 5}{4}$ ， ${(1, 1)}^{(p)} = \frac{p - 1}{4}$ ；当 $p \equiv 3 (\mod 4)$ ， ${(0, 0)}^{(p)} = {(1, 1)}^{(p)} = \frac{p - 3}{4}$ 。代入即可得证。

环上的广义分圆类常用来构造差集、差族等。对于环 $Z_{2 p^{m}}$ 上的广义分圆类，通过数值实验，我们给出如下两个猜测：

猜想1 $U = \cup_{j = 1}^{m} \cup_{i = 0}^{d_{j} / 2 - 1} p^{m - j} (2 D_{2 i}^{(p^{j})} \cup D_{2 i + 1}^{(2 p^{j})}), V = \cup_{j = 1}^{m} \cup_{i = 0}^{d_{j} / 2 - 1} p^{m - j} (2 D_{2 i}^{(p^{j})} \cup D_{2 i}^{(2 p^{j})}) \cup {p^{m}}$ 构成参数为 $(2 p^{m}, p^{m} - 1, p^{m}, \frac{p^{m} - 1}{2}, \frac{p^{m} - 1}{2})$ 的差集偶。

例1 当 $e = 1, f = 2, m = 1, p = 3, p^{m} = 3, 2 p^{m} = 6$ 时， $d_{1} = 2$ 。此时

$U = {2, 5}$ ， $V = {2, 1, 3}$ 。

经验证， $(U, V)$ 是环 $Z_{6}$ 上一个参数为 $(6, 2, 3, 1, 1)$ 的差集偶。

例2 当 $e = 1, f = 2, m = 3, p = 3, p^{m} = 27, 2 p^{m} = 54$ 时， $d_{1} = 2, d_{2} = 6, d_{3} = 18$ 。此时

$U = {18, 6, 24, 42, 2, 8, 32, 20, 26, 50, 38, 44, 14, 45, 33, 51, 15, 29, 35, 5, 47, 53, 23, 11, 17, 41}$ ，

$V = {18, 6, 24, 42, 2, 8, 32, 20, 26, 50, 38, 44, 14, 9, 3, 39, 21, 1, 31, 43, 37, 13, 25, 19, 49, 7, 27}$ 。

经验证， $(U, V)$ 是环 $Z_{54}$ 上一个参数为 $(54, 26, 27, 13, 13)$ 的差集偶。

例3 当 $e = 2, f = 2, m = 2, p = 5, p^{m} = 25, 2 p^{m} = 50$ 时， $d_{1} = 2, d_{2} = 10$ 。根据猜想1可得到

$U = {10, 40, 2, 48, 8, 42, 32, 18, 28, 22, 12, 38, 35, 15, 27, 23, 33, 17, 7, 43, 3, 47, 37, 13}$

$V = {10, 40, 2, 48, 8, 42, 32, 18, 28, 22, 12, 38, 5, 45, 1, 49, 29, 21, 41, 9, 39, 11, 31, 19, 25}$

经验证， $(U, V)$ 是环 $Z_{50}$ 上一个参数为 $(50, 24, 25, 12, 12)$ 的差集偶。

例4 当 $e = 6, f = 2, m = 1, p = 13, p^{m} = 13, 2 p^{m} = 26$ 时， $d_{1} = 2$ 。此时

$U = {2, 8, 6, 24, 18, 20, 15, 21, 19, 11, 5, 7}$ ，

$V = {2, 8, 6, 24, 18, 20, 1, 17, 3, 25, 9, 23, 13}$ 。

经验证， $(U, V)$ 是环 $Z_{26}$ 上一个参数为 $(26, 12, 13, 6, 6)$ 的差集偶。

猜想2 $U = \cup_{j = 1}^{m} \cup_{i = 0}^{d_{j} / 2 - 1} p^{m - j} (2 D_{2 i}^{(p^{j})} \cup D_{2 i + 1}^{(2 p^{j})}), V = \cup_{j = 1}^{m} \cup_{i = 0}^{d_{j} / 2 - 1} p^{m - j} (2 D_{2 i}^{(p^{j})} \cup D_{2 i}^{(2 p^{j})}) \cup {0}$ 构成参数为 $(2 p^{m}, p^{m} - 1, p^{m}, \frac{p^{m} - 1}{2}, \frac{p^{m} - 1}{2})$ 的差集偶。

例5 当 $e = 5, f = 2, m = 1, p = 11, p^{m} = 11, 2 p^{m} = 22$ 时， $d_{1} = 2$ 。此时

$U = {13, 19, 21, 7, 17, 2, 8, 10, 18, 6}$ ，

$V = {1, 15, 5, 9, 3, 2, 8, 10, 18, 6, 0}$ 。

经验证， $(U, V)$ 是环 $Z_{22}$ 上一个参数为 $(22, 10, 11, 5, 5)$ 的差集偶。

例6 当 $e = 2, f = 2, m = 1, p = 5, p^{m} = 5, 2 p^{m} = 10$ 时， $d_{1} = 2$ 。根据猜想2可得到

$U = {2, 8, 7, 3}$ ， $V = {2, 8, 1, 9, 0}$ 。

经验证， $(U, V)$ 是环 $Z_{10}$ 上一个参数为 $(10, 4, 5, 2, 2)$ 的差集偶。

例7 当 $e = 9, f = 2, m = 1, p = 19, p^{m} = 19, 2 p^{m} = 38$ 时， $d_{1} = 2$ 。根据猜想2可得到

$U = {2, 8, 32, 14, 18, 34, 22, 12, 10, 21, 27, 13, 33, 37, 15, 3, 31, 29}$ ，

$V = {2, 8, 32, 14, 18, 34, 22, 12, 10, 1, 23, 35, 7, 9, 17, 11, 25, 5, 0}$ 。

经验证， $(U, V)$ 是环 $Z_{38}$ 上一个参数为 $(38, 18, 19, 9, 9)$ 的差集偶。

基金项目

辽宁省教育厅一般项目[LQ2020020]。

文章引用

裴孟莹,亓万锋,李丽彦. 关于Z_2p^m广义分圆类的一个注记
A Note on the Generalized Cyclotomic Classes of Z_2p^m[J]. 应用数学进展, 2021, 10(02): 598-602. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.102065

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