半群Ink的秩和平方幂等元秩 On the Rank and Quasi-Idempotent Rank of Semigroup Ink

doi:10.12677/PM.2023.1310305

Pure Mathematics
Vol. 13 No. 10 ( 2023 ), Article ID: 74480 , 10 pages
10.12677/PM.2023.1310305

半群 $I_{n}^{k}$ 的秩和平方幂等元秩

肖坚，余江慧，罗永贵

●How to Cite this Article

贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳

收稿日期：2023年9月15日；录用日期：2023年10月16日；发布日期：2023年10月26日

摘要

设自然数 $n \geq 3$ ， $I_{n}$ 和 $S_{n}$ 是有限集 $X_{n} = {1, 2, \dots, n}$ 上的对称逆半群和置换群。对任意的正整数k满足 $1 \leq k \leq n$ ，令 $S_{k} = {α \in S_{n} : \forall x \in {k + 1, \dots, n}, x α = x}$ 。易见， $S_{k}$ 是 $S_{n}$ 的子群，则称 $S_{k}$ 是 $X_{n}$ 上的k-局部置换群，再令 $I_{n}^{k} = S_{k} \cup (I_{n} \ S_{n})$ 。易证， $I_{n}^{k}$ 是对称逆半群 $I_{n}$ 的子半群。通过分析半群 $I_{n}^{k}$ 的格林关系和平方幂等元，获得了半群 $I_{n}^{k}$ 的极小生成集和平方幂等元极小生成集。进一步，确定了半群 $I_{n}^{k}$ 的秩和平方幂等元秩。

关键词

格林关系，(平方幂等元)极小生成集，(平方幂等元)秩

On the Rank and Quasi-Idempotent Rank of Semigroup $I_{n}^{k}$

Jian Xiao, Jianghui Yu, Yonggui Luo

School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou

Received: Sep. 15^th, 2023; accepted: Oct. 16^th, 2023; published: Oct. 26^th, 2023

ABSTRACT

Let $I_{n}$ and $S_{n}$ be symmetric inverse semigroup and permutation group on the finite set $X_{n} = {1, 2, \dots, n}$ if nature number $n \geq 3$ , respectively. For any positive integer k that satisfies $1 \leq k \leq n$ , let $S_{k} = {α \in S_{n} : \forall x \in {k + 1, \dots, n}, x α = x}$ . It is easy to prove that $S_{k}$ is a subgroup of $S_{n}$ , then $S_{k}$ is called the k-local permutation group on $X_{n}$ , and then let $I_{n}^{k} = S_{k} \cup (I_{n} \ S_{n})$ , it is easy to prove that $I_{n}^{k}$ is a subsemigroup of symmetric inverse semigroup $I_{n}$ . By analyzing the Green’s relations and the quasi idempotent of the semigroup $I_{n}^{k}$ , the minimal generating set and the minimal generating set of quasi idempotent be obtained, respectively. Further, the rank and quasi idempotent rank are definite, respectively.

Keywords:Green’s Relations, (Quasi-Idempotent) Minimal Generating Set, (Quasi-Idempotent) Rank

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1. 引言

设S是半群，A是S的非空子集且 $a, e \in S$ 。若对任意 $s \in S$ 存在 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m} \in A$ 使得 $s = a_{1} a_{2} \dots a_{m}$ 称A为半群S的生成集，记为 $S = 〈 A 〉$ 。对半群S的任意的生成集B，如果 $| A | \leq | B |$ 称A为半群S的极小生成集，进而称 $| A |$ 为半群S的秩，记为 $rank S = min {| A | : A \subseteq S, 〈 A 〉 = S}$ 。若 $e^{2} = e$ ，则称e为半群S的幂等元，S中所有的幂等元之集记为 $E (S)$ 。类似的，A中所有的幂等元之集记为 $E (A)$ 。若 $a^{2} \neq a$ 且 ${(a {}^{2})}^{2} = a^{2}$ 则称a是半群S的平方幂等元，S中所有平方幂等元之集记为 $E^{2} (S)$ 。类似的，A中所有平方幂等元之集记为 $E^{2} (A)$ 。若 $A \subseteq E^{2} (S)$ 且对任意 $s \in S$ 存在 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{t} \in A$ 使得 $s = b_{1} b_{2} \dots b_{t}$ ，则称A为半群S的平方幂等元生成集。对半群S的任意的平方幂等元生成集B，如果 $| A | \leq | B |$ ，称A为半群S的平方幂等元极小生成集。进而称 $| A |$ 为半群S的平方幂等元秩，记为 ${rank}^{2} S = \min {| A | : A \subseteq E^{2} (S), 〈 A 〉 = S}$ 。对于有限半群的秩，平方幂等元秩的研究一直以来都是半群代数理论的研究热点之一 [1] - [12] 。

设 $X_{n} = {1, 2, \dots, n}$ ，并赋予自然序。 $I_{n}$ ， $S_{n}$ 是 $X_{n}$ 上的对称逆半群和置换群。对任意的正整数k满足 $1 \leq k \leq n$ ，令 $S_{k} = {α \in S_{n} : \forall x \in {k + 1, \dots, n}, x α = x}$ 。易见， $S_{k}$ 是 $S_{n}$ 的子群，则称 $S_{k}$ 是 $X_{n}$ 上的k-局部置换群，再令 $I_{n}^{k} = S_{k} \cup (I_{n} \ S_{n})$ 。易证， $I_{n}^{k}$ 是对称逆半群 $I_{n}$ 的子半群。

1982年，喻方元 [1] 证明了交错群及对称群的生成元组；2012年，罗永贵，游泰杰和高荣海 [2] 确定了 $K_{D} (n, r)$ 的秩为 $C_{n}^{r}$ ；2013年至2017年，文 [3] [4] [5] 获得了若干类型半群的秩；2019年，李晓敏等 [6] 研究了双边k型–保序严格部分一一变换半群 $O I_{n}^{k}$ 的双边理想 $O I_{(n, r)}^{k}$ 的秩和相关秩；2021年，龙伟锋和涂晨 [7] 证明了保序且保距严格部分一一变换半群 $O D I_{n}$ 的秩为n；2021年，吕会等 [8] 确立了半群 $C I_{n}$ 的秩为2或3；1990年，GARBA G U [9] 获得了部分变换半群 $P_{n}$ 的理想的幂等元秩；1995年，Howie J M [13] 证明了部分变换半群 $P I_{n}$ 和 $S I_{n}$ 的相关秩为 $S (n, r)$ ；在文献 [1] - [14] 的基础上研究半群 $I_{n}^{k}$ 的(平方幂等元)极小生成集和(平方幂等元)秩。得到了如下结果：

定理1 设 $n \geq 3$ ， $1 \leq k \leq n$ ， $K = {α_{(1, k + 1)}, α_{(k + 1, k + 2)}, α_{(k + 2, k + 3)}, \dots, α_{(n - 1, n)}, α_{(n, 1)}^{*}}$ ，则

$I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = {\begin{array}{l} 〈 {g_{k}} \cup D_{n - 1} 〉, & k = 1; \\ 〈 {(12)} \cup K 〉, & k = 2; \\ 〈 {g_{k}, (23)} \cup K 〉, & 3 \leq k \leq n . \end{array}$

定理2 设 $n \geq 3$ ， $1 \leq k \leq n$ ，则

$rank I_{n}^{k} = {\begin{matrix} n - k + 2, & k = 2; \\ n - k + 3, & k = 1, 3 \leq k \leq n . \end{matrix}$

定理3 设 $n \geq 3$ ， $2 \leq k \leq n$ ， $W = {α_{(k, k + 1)}, α_{(k + 1, k + 2)}, α_{(k + 2, k + 3)}, \dots, α_{(n - 1, n)}, α_{(n, 1)}^{* *}}$ ，则

$I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 {(12) (23) \dots (k - 1 k)} \cup W 〉 .$

注：当 $k = 1$ 时， $I_{n}^{k}$ 不可由平方幂等元生成。

定理4 设 $n \geq 3$ ， $2 \leq k \leq n$ ，则 ${rank}^{2} I_{n}^{k} = n$ 。

2. 预备知识

以下给出本文将用到的基本概念及符号。

设 $α \in I_{n}^{k}$ 分别用 $dom (α)$ 和 $im (α)$ 表示 $α$ 的原象集和象集。 $\ker (α)$ 表示在 $dom (α)$ 上的等价关系： $\ker (α) = {(x, y) \in dom α \times dom α : x α = y α}$ 。

为了方便叙述，在这里引入Green’s-等价关系 [13] [14] ，在半群 $I_{n}^{k}$ 中 $L, R, H, J$ 有如下刻划：对任意的 $α, β \in I_{n}^{k}$ ，有：

1) $(α, β) \in L \Leftrightarrow im α = im β$ ；

2) $(α, β) \in R \Leftrightarrow \ker (α) = \ker (β)$ ；

3) $(α, β) \in J$ 当且仅当 $| im α | = | im β |$ ；

4) $(α, β) \in H$ 当且仅当 $\ker (α) = \ker (β)$ ， $im α = im β$ ；

5) $D = J$ 。

令 $D_{r} = {α \in I_{n}^{k} : | im α | = r}$ 则 $I_{n}^{k} = D_{0} \cup D_{1} \cup \dots \cup D_{n - 1} \cup D_{n}$ ，其中， $D_{n} = S_{k}$ 。

对任意 $i, j \in X_{n}$ ，在 $D_{n - 1}$ 中定义下列符号：

$R_{i} = {α \in D_{n - 1} : dom α = X_{n} \ {i}}; L_{j} = {α \in D_{n - 1} : im α = X_{n} \ {j}}; H_{i j} = R_{i} \cap L_{j};$

$Θ = {X_{n} \ {i} : 1 \leq i \leq k}, Λ = {X_{n} \ {i} : k + 1 \leq i \leq n};$

$α (Θ, Θ) = {α \in D_{n - 1} : dom α \in Θ, im α \in Θ};$

$α (Θ, Λ) = {α \in D_{n - 1} : dom α \in Θ, im α \in Λ};$

$α (Λ, Θ) = {α \in D_{n - 1} : dom α \in Λ, im α \in Θ};$

$α (Λ, Λ) = {α \in D_{n - 1} : dom α \in Λ, im α \in Λ};$

则 $D_{n - 1} = α (Θ, Θ) \cup α (Θ, Λ) \cup α (Λ, Θ) \cup α (Λ, Λ)$ 。

$α_{i j} = {\begin{array}{l} (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots & j - 1 & j & j + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & 2 & \dots & i - 1 & i & \dots & j - 2 & j - 1 & j + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}), \underset{\begin{array}{l} \end{array}}{} & i < j . \\ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & i - 2 & i - 1 & i + 1 & i + 2 & \dots & \dots & n - 2 & n - 1 & n \\ 1 & 2 & \dots & i - 2 & i - 1 & i + 1 & i + 2 & \dots & \dots & n - 2 & n - 1 & n \end{matrix}), \underset{\begin{array}{l} \end{array}}{} & i = j; \\ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & j - 1 & j & j + 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & 2 & \dots & j - 1 & j + 1 & j + 2 & \dots & i & i + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}), & i > j . \end{array}$

$α_{i j}^{*} = {\begin{array}{l} (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots & j - 1 & j & j + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 3 & \dots & i & i + 1 & \dots & j - 1 & j + 1 & j + 2 & \dots & n - 1 & 1 \end{matrix}), \underset{\begin{array}{l} \end{array}}{} & i < j . \\ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & i - 2 & i - 1 & i + 1 & i + 2 & \dots & \dots & n - 2 & n - 1 & n \\ 2 & 3 & \dots & i - 1 & i + 1 & i + 2 & i + 3 & \dots & \dots & n - 1 & n & 1 \end{matrix}), \underset{\begin{array}{l} \end{array}}{} & i = j; \\ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & j - 1 & j & j + 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 3 & \dots & j + 1 & j + 2 & j + 3 & \dots & i + 1 & i + 2 & \dots & n & 1 \end{matrix}), & i > j . \end{array}$

$α_{i j}^{* *} = {\begin{array}{l} (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots & j - 1 & j & j + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 3 & \dots & i & i + 1 & \dots & j - 1 & j + 1 & j + 2 & \dots & n - 1 & 1 \end{matrix}), \underset{\begin{array}{l} \end{array}}{} & i < j . \\ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & i - 2 & i - 1 & i + 1 & i + 2 & \dots & \dots & n - 2 & n - 1 & n \\ 2 & 3 & \dots & i - 1 & i + 1 & i + 2 & i + 3 & \dots & \dots & n - 1 & n & 1 \end{matrix}), \underset{\begin{array}{l} \end{array}}{} & i = j; \\ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & j - 1 & j & j + 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 3 & \dots & j + 1 & j + 2 & j + 3 & \dots & i + 1 & i + 2 & \dots & n & 1 \end{matrix}), & i > j . \end{array}$

注：当 $i = j$ 时， $α_{i j} = α_{i j}^{* *}$ 。

$K = {α_{(1, k + 1)}, α_{(k + 1, k + 2)}, α_{(k + 2, k + 3)}, \dots, α_{(n - 1, n)}, α_{(n, 1)}^{*}}$

$W = {α_{(k, k + 1)}, α_{(k + 1, k + 2)}, α_{(k + 2, k + 3)}, \dots, α_{(n - 1, n)}, α_{(n, 1)}^{* *}}$

$M = {α_{(12)}, α_{(23)}, \dots α_{(k - 1_{} k)}, α_{(k_{} k + 1)}, \dots, α_{(n - 1_{} n)}, α_{(n_{} 1)}}$

其中M中元素分别位于不同的L-类和R-类。易证：

$g_{k} = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & k - 1 & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 3 & \dots & k & 1 & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in S_{k} .$

本文未定义的术语及符号参见文 [13] [14] 。

3. 半群 $I_{n}^{k}$ 的秩

为完成定理1和定理2的证明需要引入下列引理和推论。

引理1 [1] 设 $n \geq 2$ ， $S_{n}$ 是 $X_{n}$ 上的对称群， $(i_{1} i_{2} \dots i_{n})$ 为 $X_{n}$ 上任一长为n的轮换， $(i_{s} i_{t}) (s < t)$ 为对换，满足 $t - s$ 与n互素，即有 $S_{n} = 〈 (i_{1} i_{2} \dots i_{n}), (i_{s} i_{t}) 〉$ 。

引理2 [1] 设 $n \geq 3$ ， $1 \leq k \leq n$ 有 $S_{k} = {\begin{matrix} 〈 g_{k} 〉, & k = 1; \\ 〈 (12) 〉, & k = 2; \\ 〈 g_{k}, (23) 〉, & 3 \leq k \leq n . \end{matrix}$

推论3 [1] 设 $n \geq 3$ ， $1 \leq k \leq n$ 有 $rank S_{k} = {\begin{matrix} 1, & k = 1, 2; \\ 2, & 3 \leq k \leq n . \end{matrix}$ 。

证由引理2可知，当 $k = 1$ 时， $S_{k} = {〈 g_{k} 〉}$ ，易见 $rank S_{k} = 1$ ；当 $k = 2$ 时，由 $S_{k} = 〈 (12) 〉$ 可知 $rank S_{k} \leq 1$ ，又因为 $S_{k}$ 中至少有一个元素，即 $rank S_{k} \geq 1$ ，故 $rank S_{k} = 1$ ；当 $3 \leq k \leq n$ 时， $S_{k} = 〈 g_{k}, (23) 〉$ ，则 $rank S_{k} \leq 2$ ，假设 $rank S_{k} = 1$ ，则 $S_{k}$ 为循环群进而是交换群与 $S_{k}$ 是非交换群矛盾，即有 $rank S_{k} = 2$ 。

引理4 [13] 设 $0 \leq r \leq n - 2$ ，则 $D_{r} \subseteq D_{r + 1} \cdot D_{r + 1}$ 。

结合 $I_{n}^{k} = D_{0} \cup D_{1} \cup \dots \cup D_{n - 1} \cup D_{n}^{}$ 及引理4可得

推论5半群 $I_{n}^{k} = 〈 D_{n} \cup D_{n - 1} 〉$ 。

引理6 设A与B是有限集且 $A \subseteq B$ ， $| A | = | B |$ ，则 $A = B$ 。

证若A真包含于B，则 $| A | \neq | B |$ 与 $| A | = | B |$ 矛盾，故 $A = B$ 。

引理7 设 $n \geq 3$ ， $1 \leq k \leq n$ ，

1) 对任意的 $ξ$ ， $η \in S_{k}$ ， $α_{i j} \in H_{i j} \subseteq α (Θ, Θ)$ ，则存在 $1 \leq t_{1}$ ， $t_{2} \leq k$ 使得 $ξ α_{i j} η \in H_{t_{1}_{} t_{2}} \subseteq α (Θ, Θ)$ ；

2) 对任意的 $ξ \in S_{k}$ ， $α_{i j} \in H_{i j} \subseteq α (Λ, Θ)$ ，则存在 $1 \leq t_{3} \leq k$ 使得 $ξ α_{i j} \in H_{t_{3}_{} j} \subseteq α (Λ, Θ)$ ；

3) 对任意的 $η \in S_{k}$ ， $α_{i j} \in H_{i j} \subseteq α (Θ, Λ)$ ，则存在 $1 \leq t_{4} \leq k$ 使得 $α_{i j} η \in H_{i_{} t_{4}} \subseteq α (Θ, Λ)$ ；

4) 对任意的 $ξ$ ， $η \in S_{k}$ ， $α_{i j} \in H_{i j} \subseteq α (Λ, Λ)$ 有 $ξ α_{i j} η \in H_{i j} \subseteq α (Λ, Λ)$ 。

证对任意的 $H_{i j} = {α \in D_{n - 1} : i \notin dom α, j \notin im α}$ ，有

1) 若 $dom α \in Θ$ 且 $i m α \in Θ$ ，即是 $H_{i j} \in α (Θ, Θ)$ 。因为 $g_{k} \in S_{k}$ ，经验证，当 $1 \leq l \leq i - 1$ ， $1 \leq s \leq k - j$ 时，有 $g_{k}^{l} H_{i j} g_{k}^{s} = H_{i - l_{} j + s} \in α (Θ, Θ)$ ；当 $1 \leq l \leq i - 1$ ， $1 \leq s \leq j$ 时，有 $g_{k}^{l} H_{i j} g_{k}^{k - j + s} = H_{i - l_{} s} \in α (Θ, Θ)$ ；当 $1 \leq l \leq k - i - 1$ ， $1 \leq s \leq k - j$ 时，有 $g_{k}^{i + l} H_{i j} g_{k}^{s} = H_{k - l_{} j + s} \in α (Θ, Θ)$ ；当 $1 \leq l \leq k - i - 1$ ， $1 \leq s \leq j$ 时，有 $g_{k}^{i + l} H_{i j} g_{k}^{k- j + s} = H_{k - l_{} s} \in α (Θ, Θ)$ 。当 $i = 2$ 时， $(23) H_{i j} (23) = H_{3 j} \in α (Θ, Θ)$ ；当 $i = 3$ 时， $(23) H_{i j} (23) = H_{2 j} \in α (Θ, Θ)$ ；当 $i \neq 2$ 且 $i \neq 3$ 时， $(23) H_{i j} (23) = H_{i j} \in α (Θ, Θ)$ 。由引理2可知对任意的 $ξ, η \in S_{k} = 〈 g_{k}, (23) 〉$ ，则存在 $l, s, p, q \in X_{n}$ ， $1 \leq t_{1}$ ， $t_{2} \leq k$ 满足 $ξ = g_{k}^{l} {(23)}^{p}$ ， $η = g_{k}^{s} {(23)}^{q}$ 使得 $ξ H_{i j} η = g_{k}^{l} {(23)}^{p} H_{i j} g_{k}^{s} {(23)}^{q} \in H_{t_{1}_{} t_{2}} \subseteq α (Θ, Θ)$ 。

2) 若 $dom α \in Λ$ 且 $im α \in Θ$ ，即是 $H_{i j} \in α (Λ, Θ)$ 。因为 $g_{k} \in S_{k}$ ，经验证，当 $1 \leq l \leq i$ 时，有 $g {}_{k}^{i - l}H_{i j} = H_{l j} \in α (Λ, Θ)$ ；当 $0 \leq l \leq k - i - 1$ 时，有 $g {}_{k}^{i + l}H_{i j} = H_{k - l_{} j} \in α (Λ, Θ)$ 。当 $j = 2$ 时， $(23) H_{i j} = (23) H_{i 2} = H_{i 3} \in α (Λ, Θ)$ ；当 $j = 3$ 时， $(23) H_{ij} = (23) H_{i 3} = H_{i 2} \in α (Λ, Θ)$ ；当 $j \neq 2$ 且 $j \neq 3$ 时， $(23) H_{ij} = H_{i j} \in α (Λ, Θ)$ ，由引理2可知对任意的 $ξ \in S_{k} = 〈 g_{k}, (23) 〉$ ，则存在 $l, p \in X_{n}$ ， $1 \leq t_{3} \leq k$ 满足 $ξ = g_{k}^{l} {(23)}^{p}$ 使得 $ξ H_{i j} = g_{k}^{l} {(23)}^{p} H_{i j} \in H_{t_{3}_{} j} \subseteq α (Λ, Θ)$ 。

3) 若 $dom α \in Θ$ 且 $im α \in Λ$ ，即是 $H_{i j} \in α (Θ, Λ)$ 。因为 $g_{k} \in S_{k}$ ，经验证，当 $1 \leq s \leq j$ 时，有 $H_{i j} g_{k}^{k - j + s} = H_{i_{} s} \in α (Θ, Λ)$ ；当 $0 \leq s \leq k - j$ 时，有 $H_{i j} g_{k}^{s} = H_{s_{} j + s} \in α (Θ, Λ)$ 。当 $i = 2$ 时， $H_{i j} (23) = H_{2 j} (23) = H_{3 j} \in α (Θ, Λ)$ ；当 $i = 3$ 时， $H_{i j} (23) = H_{3 j} (23) = H_{2 j} \in α (Θ, Λ)$ ；当 $i \neq 2$ 且 $i \neq 3$ 时， $H_{i j} (23) = H_{i j} \in α (Θ, Λ)$ ，由引理2可知对任意的 $η \in S_{k} = 〈 g_{k}, (23) 〉$ ，则存在 $s, q \in X_{n}, 1 \leq t_{4} \leq k$ 满足 $η = g_{k}^{s} {(23)}^{q}$ 使得 $H_{i j} η = H_{i j} g_{k}^{s} {(23)}^{q} \in H_{i_{} t_{4}} \subseteq α (Θ, Λ)$ 。

4) 若 $dom α \in Λ$ 且 $im α \in Θ$ ，即是 $H_{i j} \in α (Λ, Λ)$ 。由 $g_{k} \in S_{k}$ ，经验证， $g_{k}^{l} H_{i j} g_{k}^{s} = H_{i j} \in α (Λ, Λ)$ ； $(23) H_{i j} (23) = H_{i j} \in α (Λ, Λ)$ 。由引理2可知对任意的 $ξ, η \in S_{k} = 〈 g_{k}, (23) 〉$ ，有 $ξ H_{i j} η \in H_{t_{1}_{} t_{2}} \subseteq α (Λ, Λ)$ 。

引理8 [13] 设 $a, b$ 是D-类D中的元素，则 $a b \in R_{a} \cap L_{b}$ 当且仅当 $R_{b} \cap L_{a}$ 中有幂等元。

引理9 设 $n \geq 3$ ， $2 \leq k \leq n$ ，则 $D_{n - 1} \subseteq 〈 K \cup S_{k} 〉 = {\begin{matrix} 〈 K \cup {(12)} 〉, & k = 2; \\ 〈 K \cup {(12), (12 \dots k)} 〉, & 3 \leq k \leq n . \end{matrix}$

证当 $n \geq 3$ ， $k = 2$ 时， $K = {α_{(13)}, α_{(34)}, α_{(45)}, \dots, α_{(n - 1_{} n)}, α_{(n_{} 1)}^{*}} \subseteq D_{n - 1}$ 。

易证， $α_{(n 1)}^{*} α_{(13)} α_{(34)} α_{(45)} \dots α_{(n - 1_{} n)} = (12 \dots n - 1) \in H_{n n}$ 。存在

$β = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 1 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in S_{k},$

$α_{n n} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 2 & n - 1 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 2 & n - 1 \end{matrix}) \in D_{n - 1}$

使得 $(12) = α_{n n} β \in H_{n n}$ ，即

$(12) = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 2 & n - 1 \\ 1 & 2 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 2 & n - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 1 & 3 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in H_{n n}$

由引理1可得群 $H_{n n} = 〈 (12) (12 \dots n - 1) 〉$ 。再由引理7及引理8可得 $M = {α_{(12)}, α_{(23)}, \dots α_{(k - 1_{} k)}, α_{(k_{} k + 1)}, \dots, α_{(n - 1_{} n)}, α_{(n_{} 1)}}$ ，其中M中元素分别位于不同的L-类和R-类。即 $D_{n - 1} \subseteq 〈 {(12) (12 \dots n - 1)} \cup M 〉 \subseteq 〈 {α_{(13)}, α_{(34)}, α_{(45)}, \dots, α_{(n - 1_{} n)}, α_{(n 1)}^{*}}, β 〉 \subseteq 〈 K \cup S_{k} 〉$ 。

当 $3 \leq k \leq n$ 时， $K = {α_{（ 1_{} k + 1)}, α_{(k + 1_{} k + 2)}, α_{(k + 2_{} k + 3)}, \dots, α_{(n - 1_{} n)}, α_{(n_{} 1)}^{*}} \subseteq D_{n - 1}$ 。

易证 $α_{（ 1_{} k + 1)} α_{(k + 1_{} k + 2)} α_{(k + 2_{} k + 3)} \dots α_{(n - 1_{} n)} α_{(n_{} 1)}^{*} = (23 \dots n) \in H_{11}$ ，

$α_{11} = (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in D_{n - 1}$ ,

令

$α_{12} = (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in D_{n - 1}$

则存在

$β = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 1 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in S_{k},$

$σ = (\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 3 & 2 & 1 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in S_{k},$

使得 $α_{12} = α_{11} β$ 且 $(23) = α_{12} σ = α_{11} β σ \in H_{11}$ ，即

$(23) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 3 & 2 & 1 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in H_{11},$

由引理1可得群 $H_{11} = 〈 (23) (23 \dots n) 〉$ 。再由引理7及引理8可得 $M = {α_{(12)}, α_{(23)}, \dots α_{(k - 1_{} k)}, α_{(k_{} k + 1)}, \dots, α_{(n - 1_{} n)}, α_{(n_{} 1)}}$ ，其中M中元素分别位于不同的L-类和R-类。即 $D_{n - 1} \subseteq 〈 {(23) (23 \dots n)} \cup M 〉 \subseteq 〈 {α_{（ 1_{} k + 1)}, α_{(k + 1_{} k + 2)}, α_{(k + 2_{} k + 3)}, \dots, α_{(n - 1_{} n)}, α_{(n_{} 1)}^{*}}, β, σ 〉 \subseteq 〈 K \cup S_{k} 〉$ 。

由引理2以及上述证明可得

$D_{n - 1} \subseteq 〈 K \cup S_{k} 〉 = {\begin{matrix} 〈 K \cup {(12)} 〉, & k = 2; \\ 〈 K \cup {(12), (12 \dots k)} 〉, & 3 \leq k \leq n . \end{matrix}$

因为当 $k = 2$ ， $| 〈 K \cup {(12)} 〉 | = n - k + 2$ ； $3 \leq k \leq n$ ， $| 〈 K \cup {(12), (12 \dots k)} 〉 | = n - k + 3$ ，再结合引理9得出如下推论：

推论10 设 $n \geq 3$ ， $2 \leq k \leq n$ ，有 $rank I_{n}^{k} \leq {\begin{matrix} n - k + 2, & k = 2; \\ n - k + 3, & 3 \leq k \leq n . \end{matrix}$

引理11 [13] 对任意的 $α, β \in S_{n}$ ，有 $dom (α β) \subseteq dom α$ ， $im (α β) \subseteq im β$ 。

引理12 设 $α, α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \in D_{n}$ 使得 $α = α_{1} α_{2} \dots α_{s}$ 则 $(α, α_{1}) \in R$ ， $(α, α_{s}) \in L$ 。

证第一步：证明 $(α, α_{1}) \in R$ 。

对任意 $(x, y) \in \ker (α_{1})$ 有 $x α_{1} = y α_{1}$ 可知 $x α_{1} α_{2} \dots α_{s} = y α_{1} α_{2} \dots α_{s}$ ，即是 $(α, α_{s}) \in D$ ， $(x, y) \in \ker (α)$ ， $x α = y α$ ，易见 $\ker (α_{1}) \subseteq \ker (α)$ 。对任意的 $a \in dom α$ ，有 $a \ker (α_{1}) \in dom α / ker (α_{1})$ 。对任意的 $x \in a \ker (α_{1})$ ，有 $(x, a) \in \ker (α_{1})$ ，所以 $(x, a) \in \ker (α)$ ，

因此 $x \in a \ker (α) \in dom α / \ker (α)$ 。所以 $a \ker (α_{1}) \subseteq a \ker (α)$ ，则 $| a \ker (α_{1}) | \leq | a \ker (α) |$ ，由于 $α_{1} \in D_{n - 1}$ ，则 $\ker (α_{1})$ 有 $n - 1$ 个不同的同余类，设为 $a_{1} \ker (α_{1}), a_{2} \ker (α_{1}), \dots a_{n - 1} \ker (α_{1})$ ，则 $a_{1} \ker (α), a_{2} \ker (α), \dots, a_{n - 1} \ker (α) \in dom α / ker (α)$ 。

另一方面 $a_{1} \ker (α_{1}) \cup a_{2} \ker (α_{1}) \cup \dots \cup a_{n - 1} \ker (α_{1}) = dom (α_{1}), a_{1} \ker (α) \cup a_{2} \ker (α) \cup \dots \cup a_{n - 1} \ker (α)$ 由 $α = α_{1} α_{2} \dots α_{s}$ ，可知 $dom α \subseteq dom α_{1}$ 即有 $| dom α | \leq | dom α_{1} |$ 。因 $α_{1} \in D_{n - 1}$ 则 $| dom α | = | dom α_{1} | = n - 1$ 在这种条件下，存在 $| a_{i} \ker (α_{1}) | < | a_{i} \ker (α) |$ ，

$\begin{array}{l} | dom α_{1} | = | a_{1} \ker (α_{1}) | + \dots + | a_{i} \ker (α_{1}) | + \dots + | a_{n - 1} \ker (α_{1}) | \\ < | a_{1} \ker (α) | + \dots + | a_{i} \ker (α) | + \dots + | a_{n - 1} \ker (α) | = | dom α | \end{array}$

与假设矛盾，则 $| a_{i} \ker (α_{1}) | = | a_{i} \ker (α) |$ ，所以 $\ker (α_{1}) = \ker (α)$ ，即 $(α, α_{1}) \in R$ 。

第二步：证明 $(α, α_{s}) \in L$ 。

由 $α = α_{1} α_{2} \dots α_{s}$ 可知 $im α \leq im α_{s}$ ，因为 $α, α_{s} \in D_{n - 1}$ 则 $| im α | = | im α_{s} | = n - 1$ ，所以 $im α = im α_{s}$ ，再由格林L关系可知 $(α, α_{s}) \in L$ 。

由以上引理12可知以下推论：

推论13 设 $A \subseteq D_{n - 1}$ 使得 $D_{n - 1} \subseteq 〈 A 〉$ ，则A覆盖 $D_{n - 1}$ 中的每一个R-类，每一个L-类。

引理14 令 $R_{1}^{*} = \cup_{i = 1}^{k} R_{i}$ ， $R_{j}^{*} = R_{j}$ ， $j = k + 1, \dots, n$ ； $L_{1}^{*} = \cup_{i = 1}^{k} L_{i}$ ， $L_{j}^{*} = L_{j}$ ， $j = k + 1, \dots, n$ 。

设 $A \subseteq S_{k} \cup D_{n - 1}$ 且 $S_{k} \cup D_{n - 1} \subseteq 〈 A 〉$ ，则

1) 当 $k \geq 3$ 时， $| A \cap S_{k} | \geq 2$ ；当 $k = 2$ 时， $| A \cap S_{k} | \geq 1$ ；

2) $A \cap R_{1}^{*} \neq \emptyset$ ， $A \cap R_{j}^{*} \neq \emptyset$ ， $j = k + 1, \dots, n - 1, n$ ；

3) $A \cap L_{1}^{*} \neq \emptyset$ ， $A \cap L_{j}^{*} \neq \emptyset$ ， $j = k + 1, \dots, n - 1, n$ 。

证

1) 若 $A \cap S_{k} = \emptyset$ ，由 $A \subseteq S_{k} \cup D_{n - 1}$ ，则 $A \subseteq D_{n - 1}$ ，故 $〈 A 〉 \subseteq 〈 D_{n - 1} 〉 = T_{n} \ S_{n}$ 与 $〈 A 〉 = I_{n}^{k}$ 矛盾，即 $A \cap S_{k} \neq \emptyset$ ，故当 $k = 2$ 时， $| A \cap S_{k} | \geq 1$ ；当 $k = 3$ 时，若 $| A \cap S_{k} | = 1$ ，不妨设 $A \cap S_{k} = α$ ，则 $〈 A \cap S_{k} 〉 = 〈 α 〉$ 是循环群，即 $〈 α 〉$ 是交换群与 $S_{k}$ 是非交换群矛盾。则 $| A \cap S_{k} | \geq 2$ 。

2) 若 $A \cap R_{1}^{*} = \emptyset$ ，由引理7有 $〈 \cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \cup S_{k} 〉 \cap R_{1}^{*} = \emptyset$ ，则 $\cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \cup S_{k}$ 为 $I_{n}^{k}$ 真子半群，则 $〈 A 〉 \subseteq 〈 \cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \cup S_{k} 〉$ ， $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 \subseteq 〈 A 〉 \subseteq 〈 \cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \cup S_{k} 〉$ 矛盾，则 $A \cap R_{1}^{*} \neq \emptyset$ ；若 $A \cap R_{j}^{*} = \emptyset$ ， $j = k + 1, \dots, n$ ，由引理7有 $〈 R_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \ R_{j}} 〉 \cap R_{j}^{*} = \emptyset$ ，则 $〈 R_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \ R_{j}} 〉$ 为 $I_{n}^{k}$ 真子半群，则 $〈 A 〉 \subseteq 〈 R_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \ R_{j}} 〉$ ， $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 \subseteq 〈 A 〉 \subseteq 〈 R_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} R_{j}^{*} \ R_{j}} 〉$ ，矛盾，则 $A \cap R_{j}^{*} = \emptyset$ ；

3) 若 $A \cap L_{1}^{*} = \emptyset$ ，由引理7有 $〈 \cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \cup S_{k} 〉 \cap L_{1}^{*} = \emptyset$ ，则 $\cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \cup S_{k}$ 为 $I_{n}^{k}$ 真子半群，则 $〈 A 〉 \subseteq 〈 \cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \cup S_{k} 〉$ ， $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 \subseteq 〈 A 〉 \subseteq 〈 \cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \cup S_{k} 〉$ 矛盾，则 $A \cap L_{1}^{*} \neq \emptyset$ ；若 $A \cap L_{j}^{*} = \emptyset$ ， $j = k + 1, \dots, n$ ，由引理7 $〈 L_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \ L_{j}} 〉 \cap L_{j}^{*} = \emptyset$ ，则 $〈 L_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \ L_{j}} 〉$ 为 $I_{n}^{k}$ 真子半群，则 $〈 A 〉 \subseteq 〈 L_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \ L_{j}} 〉$ ， $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 \subseteq 〈 A 〉 \subseteq 〈 L_{1}^{*} \cup S_{k} \cup {\cup_{j = k + 1}^{n} L_{j}^{*} \ L_{j}} 〉$ ，矛盾，则 $A \cap L_{j}^{*} = \emptyset$ ；

定理1的证明：

由 $I_{n}^{k}$ 的定义可知， $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉$ 。当 $k = 1$ 时，由引理2可知 $S_{k} = 〈 g_{k} 〉$ ，由推论5可知 $I_{n}^{k} = 〈 D_{n} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 g_{k} 〉$ ；当 $k = 2$ 时，由引理2可知 $S_{k} = 〈 (12) 〉$ ，由推论5和引理9可知， $I_{n}^{k} = 〈 D_{n} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 K \cup S_{k} 〉 = 〈 K \cup (12) 〉$ ，当 $3 \leq k \leq n$ 时，由引理2可知 $S_{k} = 〈 g_{k}, (23) 〉$ ，由推论5和引理9可 $I_{n}^{k} = 〈 D_{n} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 K \cup S_{k} 〉 = 〈 K \cup {(23), g_{k}} 〉$ ，从而

$I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = {\begin{matrix} 〈 {g_{k}} \cup D_{n - 1} 〉, \\ 〈 {(12)} \cup K 〉, \\ 〈 {g_{k}, (23)} \cup K 〉, \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} k = 1; \\ k = 2; \\ 3 \leq k \leq n . \end{matrix}$

定理2的证明：

当 $k = 1$ 时， $I_{n}^{k} = 〈 D_{n} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 g_{k} \cup D_{n - 1} 〉$ ，故 $rank I_{n}^{k} = n + 2$ ，由K的定义可知 $| K | = n - k - 1 + 2 = n - k + 1$ 。根据推论3，推论10可知 $2 \leq k \leq n$ ，有

$rank I_{n}^{k} \leq {\begin{matrix} n - k + 3, & 3 \leq k \leq n; \\ n - k + 2, & k = 2. \end{matrix}$

由推论10，引理12，推论13，引理14可知

$rank I_{n}^{k} \geq {\begin{matrix} n - k + 3, & 3 \leq k \leq n; \\ n - k + 2, & k = 2. \end{matrix}$

从而

$rank I_{n}^{k} = {\begin{matrix} n - k + 3, & 3 \leq k \leq n; \\ n - k + 2, & k = 2. \end{matrix}$

4. 半群 $I_{n}^{k}$ 的平方幂等元秩

为完成定理3和定理4的证明需要引入下列引理。

引理15 [1] 设 $S_{k}$ 是 $X_{n}$ 上的k-局部对称群， $S_{k}$ 可由 $k - 1$ 个对换 $(12), (23), \dots, (k - 1 \begin{matrix} \end{matrix} k)$ 生成，则 $S_{k} = 〈 (12) (23) \dots (i \begin{matrix} \end{matrix} i + 1) \dots (k - 1 \begin{matrix} \end{matrix} k) 〉$ 。

引理16 [1] ${rank}^{2} S_{k} = k - 1$ 。

引理17 设 $n \geq 3$ ， $2 \leq k \leq n$ ，则 $D_{n - 1} \subseteq 〈 W \cup S_{k} 〉 = 〈 W \cup {(12) (23) \dots (k - 1_{} k)} 〉$ 。

证当 $n \geq 3$ ， $2 \leq k \leq n$ 时， $W = {α_{(k, k + 1)}, α_{(k + 1, k + 2)}, α_{(k + 2, k + 3)}, \dots, α_{(n - 1, n)}, α_{(n, 1)}^{* *}} \subseteq D_{n - 1}$ 。易证 $g^{k - 1} α_{(k, k + 1)} = α_{(1, k + 1)}$ 及 $α_{(1, k + 1)} α_{(k + 1, k + 2)} \dots α_{(n - 1, n)} α_{(n, ` 1)}^{* *} = g^{k - 1} α_{(k, k + 1)} α_{(k + 1, k + 2)} \dots α_{(n - 1, n)} α_{(n, ` 1)}^{* *} = (n_{} n - 1 \dots 32)$ ；

${(n_{} n - 1 \dots 32)}^{n - 1} = (23 \dots n - 1_{} n) \in H_{11}$ 。

由

$α_{11} = (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in H_{11}$ ,

令

$α_{12} = (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in D_{n - 1}$ ,

存在

$β = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 2 & 1 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in S_{k}$ ,

使得 $α_{12} = α_{11} β$ 且存在

$γ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & 3 & 2 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in S_{k}$ ,

满足 $γ β = (23) (12) = (123)$ ， ${(γ β)}^{2} = {(123)}^{2} = (132)$ ，

不防令

$τ = (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 3 & 2 & 4 & 5 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in H_{11}$ ,

则 $τ = α_{12} {(γ β)}^{2} = α_{11} β {(γ β)}^{2}$ ，即

$τ = (23) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & 3 & 4 & 5 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \\ 3 & 2 & 1 & 4 & \dots & k & k + 1 & \dots & n - 1 & n \end{matrix}) \in H_{11}$

即 $D_{n - 1} \subseteq 〈 {(23) (23 \dots n)} \cup M 〉 \subseteq 〈 {α_{(k, k + 1)}, α_{(k + 1, k + 2)}, α_{(k + 2, k + 3)}, \dots, α_{(n - 1, n)}, α_{(n, 1)}^{* *}}, β, γ 〉 \subseteq 〈 W \cup S_{k} 〉$ 。再结合引理15有 $D_{n - 1} \subseteq 〈 W \cup S_{k} 〉 〈 W \cup {(12) (23) \dots (k - 1_{} k)} 〉$ 。

引理18设 $A \subseteq E^{2} (S_{k} \cup D_{n - 1})$ 且 $〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 \subseteq A$ ，则

1) 当 $k \geq 3$ 时， $| A \cap S_{k} | = k - 1$ ；

2) 当 $k = 2$ 时， $| A \cap S_{k} | \geq 1$ 。

证证明过程类似于引理14可得。

定理3的证明：

由 $I_{n}^{k}$ 的定义可知 $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉$ 。由引理15可知 $S_{k} = 〈 (12) (23) \dots (i \begin{matrix} \end{matrix} i + 1) \dots (k - 1 \begin{matrix} \end{matrix} k) 〉$ 。由引理17可知 $D_{n - 1} \subseteq 〈 W \cup S_{k} 〉$ ，从而 $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 {(12) (23) \dots (k - 1_{} k)} \cup W 〉$ 。

定理4的证明：

由W的定义可知 $| W | = n - k + 1$ 。再由定理3可知，当 $2 \leq k \leq n$ 时， $I_{n}^{k} = 〈 S_{k} \cup D_{n - 1} 〉 = 〈 W \cup {(12) (23) \dots (k - 1_{} k)} 〉$ ，故 ${rank}^{2} I_{n}^{k} \leq n - k + 1 + k - 1 = n$ 。结合引理13，引理18可知 ${rank}^{2} I_{n}^{k} \geq n - k + 1 + k - 1 = n$ ，即 ${rank}^{2} I_{n}^{k} = n - k + 1 + k - 1 = n$ 。

5. 结语

本文通过分析半群 $I_{n}^{k}$ 的格林关系和平方幂等元，当 $0 \leq r \leq n - 2$ 时，秩为r的元素可由秩为 $r + 1$ 的元素生成，获得了半群 $I_{n}^{k}$ 的极小生成集和平方幂等元极小生成集，从而确定了半群 $I_{n}^{k}$ 的秩和平方幂等元秩。本文的研究方法对于其他非幂等元生成的半群的研究具有一定的借鉴意义。

基金项目

贵州师范大学学术新苗基金项目(黔师新苗[2021] B08号)}；国家自然科学基金项目(11861022)。

文章引用

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