上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2021年3月19日；录用日期：2021年4月6日；发布日期：2021年4月25日

摘要

本文研究了一类非线性分数阶泛函微分方程组边值问题正解的存在性。首先，将所研究的问题转化为积分方程形式，通过做变换得到等价积分方程。然后建立比较定理，运用上下解方法证明了边值问题正解的存在性。最后给出一个例子说明结论的适用性。

关键词

泛函微分方程，边值问题，Riemann-Liouville分数阶导数，上下解

Solvability for Boundary Value Problems of Nonlinear Fractional Functional Differential Systems

Huan Quan

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 19^th, 2021; accepted: Apr. 6^th, 2021; published: Apr. 25^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, the existence of positive solutions for a class of boundary value problems of nonlinear fractional functional differential system with time delays is studied. Firstly, the problems studied in this paper are transformed into integral equations, and the equivalent integral equation is obtained by transformation. Secondly, a comparison theorem is established and the existence of positive solutions of boundary value problem is proved by using upper and lower solution method. Finally, an example is given to illustrate the applicability of the conclusion.

Keywords:Functional Differential System, Boundary Value Problem, Riemann-Liouville Fractional Derivative, Upper and Lower Solutions

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

近年来，分数阶微分方程在化学工程、自动控制、热弹力学等领域得到广泛应用，分数阶微分方程的理论研究受到学者们的高度重视 [1] [2] [3] [4]。

在科学研究和工程技术领域等诸多领域中，如果假设事物的变化规律与过去的历史无关，只和当时的状态有关，那么可以用经典的微分方程刻画它的数学模型 [5] [6]。然而在实际需要中，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于它过去和未来的发展状态。带时滞的泛函微分方程是刻画这类客观事物运动规律的数学模型。近年来，分数阶泛函微分方程边值问题受到研究者的关注，取得了很多研究成果 [7] [8] [9] [10]。

分数阶微分方程组在各大领域有着广泛应用，例如复数领域中的量子发展、动力系统、计算流体系统、生物遗传领域等 [11] - [21]。尽管分数阶微分方程组边值问题已经取得大量研究成果，但对分数阶泛函微分方程组的研究还不是很多。

基于前面提及的实际应用和研究成果，本文研究了一类非线性分数阶泛函微分方程组边值问题：

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+f\left(t,v\left(t\right),v_t\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ D_{0^{+}}^{\beta }v\left(t\right)+g\left(t,u\left(t\right),u_t\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ u\left(t\right)=\varphi \left(t\right),v\left(t\right)=\psi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right],\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(1\right)=a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,v\left(s\right)\right)\text{d}s},\\ D_{0^{+}}^{\beta -1}v\left(1\right)=b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s},\end{array}$ (1.1)

其中 $1<\alpha ,\beta \le 2$ , $a,b\in ℝ$。 $D_{0^{+}}^{\alpha }$，$D_{0^{+}}^{\beta }$ 是Riemann-Liouville分数阶导数， $u_t=u\left(t+\theta \right)$，$v_t=v\left(t+\theta \right)$，$\theta \in \left[-\tau ,0\right]$，$\tau >0$，$f,g\in C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\times C\left[-\tau ,0\right],\left[0,+\infty \right)\right)$，$\phi ,\psi \in C\left(\left[-\tau ,0\right],\left[0,+\infty \right)\right)$，且 $\phi \left(0\right)=\psi \left(0\right)=0$，$p,q\in C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right),\left[0,+\infty \right)\right)$。

2. 预备知识

首先，给出一些基本定义和引理。

定义2.1 [4] 函数 $h:\left(0,+\infty \right)\to R$ 的 $\alpha >0$ 阶Riemann-Liouville分数积分定义为

$I_{0^{+}}^{\alpha }h\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}h\left(s\right)\text{d}s}$ ,

等式的右端在 $\left(0,\infty \right)$ 有定义。

定义2.2 [4] 连续函数 $h:\left(0,\infty \right)\to R$ 的 $\alpha >0$ 阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

$D_{0^{+}}^{\alpha }h\left(t\right)=D^n{I}_{0^{+}}^{n-\alpha }h\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}{\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)}^n{\displaystyle {\int }_0^t\frac{h\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{\alpha -n+1}}\text{d}s}$ ,

只要等式的右端在 $\left(0,\infty \right)$ 有定义。

引理2.1 [4] 假设n为正整数， $n-1<\alpha \le n$，则Riemann-Liouville分数阶微分方程 $D_{0^{+}}^{\alpha }h\left(t\right)=0$ 的通解为

$h\left(t\right)=c_1{t}^{\alpha -1}+c_2{t}^{\alpha -2}+\cdots +c_n{t}^{\alpha -n}$ ,

其中 $c_i\in ℝ,i=1,2,\cdots n$。

引理2.2 [4]

1) 若 $h\in L\left(0,1\right)$，$\rho >\sigma >0$ 则

$D^{\sigma }{I}^{\rho }h\left(t\right)=I^{\rho -\sigma }h\left(t\right)$ , $D^{\sigma }{I}^{\sigma }h\left(t\right)=h\left(t\right)$ .

2) 若 $\rho >0$，$\lambda >0$ 则

$D^{\rho }{t}^{\lambda -1}=\frac{\Gamma \left(\lambda \right)}{\Gamma \left(\lambda -\rho \right)}{t}^{\lambda -\rho -1}$ .

引理2.3 设 $x,y\in C\left[0,1\right]$，$a_1,a_2\in ℝ$。则边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+x\left(t\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\beta }v\left(t\right)+y\left(t\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ u\left(0\right)=v\left(0\right)=0,\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(1\right)=a_1,D_{0^{+}}^{\beta -1}v\left(1\right)=a_2,\end{array}$ (2.1)

存在唯一解

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{G}_1\left(t,s\right)x\left(s\right)\text{d}s}+\frac{a_1{t}^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}$ , (2.2)

$v\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{G}_2\left(t,s\right)y\left(s\right)\text{d}s}+\frac{a_2{t}^{\beta -1}}{\Gamma \left(\beta \right)}$ , (2.3)

其中

$G_1\left(t,s\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\{\begin{array}{l}{t}^{\alpha -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -1},0\le s\le t\le 1,\\ t^{\alpha -1},0\le t\le s\le 1,\end{array}$ (2.4)

$G_2\left(t,s\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\beta \right)}\{\begin{array}{l}{t}^{\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\beta -1},0\le s\le t\le 1,\\ t^{\beta -1},0\le t\le s\le 1.\end{array}$ (2.5)

证明 假设 $\left(u,v\right)=\left(u\left(t\right),v\left(t\right)\right)$ 是边值问题(2.1)的解，由引理2.1可得，存在 $c_1,c_2,d_1,d_2\in ℝ$ 使得

$u\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\alpha }x\left(t\right)+c_1{t}^{\alpha -1}+c_2{t}^{\alpha -2}$ ,

$v\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\beta }y\left(t\right)+d_1{t}^{\beta -1}+d_2{t}^{\beta -2}$ .

由边界条 $u\left(0\right)=v\left(0\right)=0$ 可得， $c_2=0$，$d_2=0$。所以

$u\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\alpha }x\left(t\right)+c_1{t}^{\alpha -1}$ ,

$v\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\beta }y\left(t\right)+d_1{t}^{\beta -1}$ ,

由引理2.2可得

$D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(t\right)=-D_{0^{+}}^{\alpha -1}{I}_{0^{+}}^{\alpha }x\left(t\right)+c_1{D}_{0^{+}}^{\alpha -1}{t}^{\alpha -1}=-{\displaystyle {\int }_0^{t}x\left(s\right)\text{d}s}+c_1\Gamma \left(\alpha \right)$ ,

$D_{0^{+}}^{\beta -1}v\left(t\right)=-D_{0^{+}}^{\beta -1}{I}_{0^{+}}^{\beta }y\left(t\right)+d_1{D}_{0^{+}}^{\beta -1}{t}^{\beta -1}=-{\displaystyle {\int }_0^{t}y\left(s\right)\text{d}s}+a_2\Gamma \left(\beta \right)$ ,

因此，

$D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(1\right)=-{\displaystyle {\int }_0^{1}x\left(s\right)\text{d}s}+c_1\Gamma \left(\alpha \right)$ ,

$D_{0^{+}}^{\beta -1}v\left(1\right)=-{\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(s\right)\text{d}s}+d_1\Gamma \left(\beta \right)$ ,

由边界条件 $D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(1\right)=a_1$，$D_{0^{+}}^{\beta -1}v\left(1\right)=a_2$ 可得

$c_1=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{1}x\left(s\right)\text{d}s}+\frac{a_1}{\Gamma \left(\alpha \right)}$ ,

$d_1=\frac{1}{\Gamma \left(\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(s\right)\text{d}s}+\frac{a_2}{\Gamma \left(\beta \right)}$ ,

因此，边值问题(2.1)的唯一解是

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=-\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}x\left(s\right)\text{d}s}+\frac{t^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\displaystyle {\int }_0^{1}x\left(s\right)\text{d}s}+a_1\right)\\ =\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\displaystyle {\int }_0^t\left(t^{\alpha -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\right)x\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_t^1{t}^{\alpha -1}x\left(s\right)\text{d}s}\right)+\frac{a_1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1{G}_1\left(t,s\right)x\left(s\right)\text{d}s}+\frac{a_1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}\end{array}$ .

类似地，

$v\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{G}_2\left(t,s\right)y\left(s\right)\text{d}s}+\frac{a_2{t}^{\beta -1}}{\Gamma \left(\beta \right)}$ .

易证 $\left(u,v\right)=\left(u\left(t\right),v\left(t\right)\right)$ 满足(2.1)，即为边值问题(2.1)的解。

证毕。

引理2.4 边值问题(1.1)等价于积分方程组

$u\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1\left(t,s\right)f\left(s,v\left(s\right),v_s\right)\text{d}s}+\frac{a}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{t}^{\alpha -1}p\left(s,v\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,1\right],\\ \varphi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (2.6)

$v\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2\left(t,s\right)g\left(s,u\left(s\right),u_s\right)\text{d}s+\frac{b}{\Gamma \left(\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{t}^{\beta -1}q\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}},t\in \left[0,1\right],\\ \psi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (2.7)

由 $G_1\left(t,s\right)$，$G_2\left(t,s\right)$ 的表达式可以得到如下引理：

引理2.5 1) $G_1\left(t,s\right)$，$G_2\left(t,s\right)$ 是 $\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ 上的连续函数；

2) 对任意的 $t,s\in \left(0,1\right)$ 有

$0\le G_1\left(t,s\right)\le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}$ .

3) 对任意的 $t,s\in \left(0,1\right)$ 有

$0\le G_2\left(t,s\right)\le \frac{1}{\Gamma \left(\beta \right)}$ .

证明 1) 由函数 $G_1$，$G_2$ 的表达式可知，函数 $G_1$，$G_2$ 在 $\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ 上连续；

2) 当 $0\le t\le s\le 1$ 时，显然有 $G_1\left(t,s\right)\ge 0$。当 $0\le s\le t\le 1$ 时，有

$\begin{array}{l}{G}_1\left(t,s\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left[t^{\alpha -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\right]\\ =\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}\left[1-{\left(1-\frac{s}{t}\right)}^{\alpha -1}\right]\\ \ge 0\end{array}$ ,

因此，对任意的 $t,s\in \left[0,1\right]$，都有 $G_1\left(t,s\right)\ge 0$。

由(2.4)式可知，对任意的 $t,s\in \left[0,1\right]$，都有

$G_1\left(t,s\right)\le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{\alpha -1}\le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}$ .

因此， $0\le G_1\left(t,s\right)\le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}$。

同理可证，对任意的 $t,s\in \left[0,1\right]$，$0\le G_2\left(t,s\right)\le \frac{1}{\Gamma \left(\beta \right)}$。

证毕。

令 $E=\left\{\left(u,v\right):u,v\in C\left[-\tau ,1\right]\right\}$，定义范数 ${\Vert \left(u,v\right)\Vert }_E=\max \left\{\underset{t\in \left[-\tau ,1\right]}{\max }\left|u\left(t\right)\right|,\underset{t\in \left[-\tau ,1\right]}{\max }\left|v\left(t\right)\right|\right\}$，在 $C\left[-\tau ,0\right]$ 上定义范数 ${\Vert x\Vert }_{\tau }=\underset{t\in \left[-\tau ,0\right]}{\max }\left|x\left(t\right)\right|$，则 $\left(E,{\Vert \cdot \Vert }_E\right)$ 和 $\left(C\left[-\tau ,0\right],{\Vert \cdot \Vert }_{\tau }\right)$ 是Banach空间。

令

$E_0=\left\{\left(r,z\right)\in E:\left(r\left(t\right),z\left(t\right)\right)\equiv (0,0),t\in \left[-\tau ,0\right]\right\}$ ,

定义 $E_0$ 上的范数 ${\Vert \left(r,z\right)\Vert }_{E_0}=\max \left\{\underset{t\in \left[-\tau ,1\right]}{\max }\left|r\left(t\right)\right|,\underset{t\in \left[-\tau ,1\right]}{\max }\left|z\left(t\right)\right|\right\}=\max \left\{\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|r\left(t\right)\right|,\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|z\left(t\right)\right|\right\}$ 及 $P=\left\{\left(u,v\right)\in E:u\left(t\right)\ge 0,v\left(t\right)\ge 0,t\in \left[-\tau ,0\right]\right\}$。显然， $E_0\subset E$ 且 $\left(E_0,{\Vert \cdot \Vert }_{E_0}\right)$ 是Banach空间， $P\subset E_0$ 是正规体锥。

对任意的 $\left(u_1,v_1\right)$，$\left(u_2,v_2\right)\in E_0$，$\left(u_1,v_1\right)\underset{\_}{\prec }\left(u_2,v_2\right)$ 当且仅当 $\left(u_2-u_1,v_2-v_1\right)\in P$。于是 $\left(E_0,\underset{\_}{\prec }\right)$ 为半序的Banach空间。若 $\left(u_1,v_1\right)\underset{\_}{\prec }\left(u_2,v_2\right)\in E_0$ 且 $\left(u_1,v_1\right)\ne \left(u_2,v_2\right)$，记为 $\left(u_1,v_1\right)\prec \left(u_2,v_2\right)$，若 $\left(u_2-u_1,v_2-v_1\right)\in p^0$，记为 $\left(u_1,v_1\right)\prec \prec \left(u_2,v_2\right)$。

对函数 $\varphi \left(t\right)$ 和 $\psi \left(t\right)$ 补充定义，当 $t\in \left[0,1\right]$ 时，令 $\varphi \left(t\right)=\psi \left(t\right)=0$。显然。 $\varphi ,\psi \in E$。

任意的 $\left(r,z\right)\in E_0$，设

$u\left(t\right)=\varphi \left(t\right)+r\left(t\right)=\{\begin{array}{l}r\left(t\right),t\in \left[0,1\right],\\ \varphi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$

$v\left(t\right)=\psi \left(t\right)+z\left(t\right)=\{\begin{array}{l}z\left(t\right),t\in \left[0,1\right],\\ \psi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$

因此，对任意 $t\in \left[0,1\right]$ , $\theta \in \left[-\tau ,1\right]$，有

$u_t={\varphi }_t+r_t=\varphi \left(t+\theta \right)+r\left(t+\theta \right)$，$v_t={\psi }_t+z_t=\psi \left(t+\theta \right)+z\left(t+\theta \right)$ .

易得到以下引理：

引理2.6 $\left(u,v\right)\in E$ 是方程组(2.6) (2.7)的解当且仅当 $\left(r,z\right)\in E_0$ 是积分方程组

$r\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0,t\in \left[-\tau ,0\right],\\ {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1\left(t,s\right)f\left(s,z\left(s\right),{\psi }_s+z_s\right)\text{d}s}+\frac{a}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{t}^{\alpha -1}p\left(s,z\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,1\right],\end{array}$ (2.8)

$z\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0,t\in \left[-\tau ,0\right],\\ {\displaystyle {\int }_0^1{G}_2\left(t,s\right)g\left(s,r\left(s\right),{\phi }_s+r_s\right)\text{d}s+\frac{b}{\Gamma \left(\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{t}^{\beta -1}q\left(s,r\left(s\right)\right)\text{d}s}},t\in \left[0,1\right],\end{array}$ (2.9)

的解。因此 $\left(u,v\right)\in E$ 是方程组(3.1)的解当且仅当 $\left(r,z\right)\in E_0$ 是泛函微分方程组

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }r\left(t\right)+f\left(t,z\left(t\right),{\psi }_t+z_t\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ D_{0^{+}}^{\beta }z\left(t\right)+g\left(t,r\left(t\right),{\varphi }_t+r_t\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}r\left(1\right)=a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,z\left(s\right)\right)\text{d}s},\\ D_{0^{+}}^{\beta -1}z\left(1\right)=b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,r\left(s\right)\right)\text{d}s,}\\ r\left(t\right)=0,z\left(t\right)=0,t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (2.10)

的解。

3. 解的存在性

定义3.1设 $\left(u,v\right)\in E$，若 $\left(u,v\right)=\left(u\left(t\right),v\left(t\right)\right)$ 满足(1.1)中各等式，那么我们称 $\left(u,v\right)$ 是边值问题(1.1)的一个解，若当 $t\in \left[0,1\right]$ 时， $u\left(t\right)\ge 0$，$v\left(t\right)\ge 0$，则称 $\left(u,v\right)$ 为边值问题(1.1)的一个正解。

定义3.2设 $\left(u,v\right)\in E_0$，如果

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+f\left(t,v\left(t\right),{\psi }_t+v_t\right)\le 0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\beta }v\left(t\right)+g\left(t,u\left(t\right),{\varphi }_t+u_t\right)\le 0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(1\right)\ge a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,v\left(s\right)\right)\text{d}s},\\ D_{0^{+}}^{\beta -1}v\left(1\right)\ge b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s,}\\ u\left(t\right)=0,v\left(t\right)=0,t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (3.1)

则称 $\left(u,v\right)$ 是边值问题(2.10)的上解。

定义3.3 设 $\left(x,y\right)\in E_0$，如果

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }x\left(t\right)+f\left(t,y\left(t\right),{\psi }_t+y_t\right)\ge 0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\beta }y\left(t\right)+g\left(t,x\left(t\right),{\varphi }_t+x_t\right)\ge 0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}x\left(1\right)\le a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,y\left(s\right)\right)\text{d}s},\\ D_{0^{+}}^{\beta -1}y\left(1\right)\le b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s,}\\ x\left(t\right)=0,y\left(t\right)=0,t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (3.2)

则称 $\left(x,y\right)$ 是边值问题(2.10)的下解。

引理3.1 (比较定理)设 $\left(u,v\right)\in E_0$，如果 $\left(u\left(t\right),v\left(t\right)\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\le 0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\beta }v\left(t\right)\le 0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(1\right)\ge 0,D_{0^{+}}^{\beta -1}v\left(1\right)\ge 0,\\ u\left(t\right)=0,v\left(t\right)=0,t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (3.3)

则当 $t\in \left[-\tau ,1\right]$ 时， $u\left(t\right)\ge 0$，$v\left(t\right)\ge 0$。

证明 令 $D_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=-x\left(t\right)\le 0$，$D_{0^{+}}^{\alpha }v\left(t\right)=-y\left(t\right)\le 0$，$D_{0^{+}}^{{\gamma }_1}u\left(1\right)=a_1\ge 0$，$D_{0^{+}}^{{\gamma }_2}v\left(1\right)=a_2\ge 0$。由 $x\left(t\right)\ge 0$ , $y\left(t\right)\ge 0$ , $a_1\ge 0$ , $a_2\ge 0$ 及引理2.3，边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+x\left(t\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\beta }v\left(t\right)+y\left(t\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ u\left(0\right)=v\left(0\right)=0,\\ D_{0^{+}}^{{\gamma }_1}u\left(1\right)=a_1,D_{0^{+}}^{{\gamma }_2}v\left(1\right)=a_2,\end{array}$

有唯一解

$u\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0,t\in \left[-\tau ,0\right]\\ {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1\left(t,s\right)x\left(t\right)\text{d}s+\frac{a_1{t}^{\alpha -1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}},t\in \left[0,1\right],\end{array}$

$v\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0,t\in \left[-\tau ,0\right],\\ {\displaystyle {\int }_0^1{G}_2\left(t,s\right)y\left(s\right)\text{d}s+\frac{a_2{t}^{\beta -1}}{\Gamma \left(\beta \right)}},t\in \left[0,1\right].\end{array}$

由引理2.5，当 $t\in \left[-\tau ,1\right]$ 时， $u\left(t\right)\ge 0$，$v\left(t\right)\ge 0$。

证毕。

为了证明方便，先给出如下假设：

(H) 任意的 $x_1,x_2\in \left[0,+\infty \right)$ 和任意的 $p_1,p_2\in C\left[-\tau ,0\right]$， 当 $x_1\le x_2$，$p_1\le p_2$，对任意的 $t\in \left[0,1\right]$，有

$f\left(t,x_1,p_1\right)\le f\left(t,x_2,p_2\right)$ , $g\left(t,x_1,p_1\right)\le g\left(t,x_2,p_2\right)$ , $p\left(t,x_1\right)\le p\left(t,x_2\right)$ , $q\left(t,x_1\right)\le q\left(t,x_2\right)$ .

引理3.2假如(H)成立，边值问题(1.1)存在上解 $\left(u_0+{\varphi }_t,v_0+{\psi }_t\right)\in P$ 和下解 $\left(x_0+{\varphi }_t,y_0+{\psi }_t\right)\in P$，且 $\left(x_0,y_0\right)\underset{\_}{\prec }\left(u_0,v_0\right)$。若 $\left(u_1+{\varphi }_t,v_1\text{+}{\psi }_t\right),\left(x_1+{\varphi }_t,y_1+{\psi }_t\right)\in P$ 满足

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }{u}_1\left(t\right)+f\left(t,v_0\left(t\right),{\psi }_t+v_{0t}\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\beta }{v}_1\left(t\right)+g\left(t,u_0\left(t\right),{\varphi }_t+u_{0t}\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}{u}_1\left(1\right)=a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,v_0\left(s\right)\right)\text{d}s},\\ D_{0^{+}}^{\beta -1}{v}_1\left(1\right)=b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,u_0\left(s\right)\right)\text{d}s,}\\ u_1\left(t\right)=0,v_1\left(t\right)=0,t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (3.4)

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }{x}_1\left(t\right)+f\left(t,y_0\left(t\right),{\psi }_t+y_{0t}\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\beta }{y}_1\left(t\right)+g\left(t,x_0\left(t\right),{\varphi }_t+x_{0t}\right)=0,t\in \left(0,1\right),\\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}{x}_1\left(1\right)=a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,y_0\left(s\right)\right)\text{d}s},\\ D_{0^{+}}^{\beta -1}{y}_1\left(1\right)=b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,x_0\left(s\right)\right)\text{d}s,}\\ x_1\left(t\right)=0,y_1\left(t\right)=0,t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$ (3.5)

则 $\left(x_0,y_0\right)\underset{\_}{\prec }\left(x_1,y_1\right)\underset{\_}{\prec }\left(u_1,v_1\right)\underset{\_}{\prec }\left(u_0,v_0\right)$，且 $\left(u_1+{\varphi }_t,v_1+{\psi }_t\right)$，$\left(x_1+{\varphi }_t,y_1+{\psi }_t\right)$ 分别是边值问题(1.1)的上解和下解。

证明 由引理2.3可得 $\left(u_1+{\varphi }_t,v_1+{\psi }_t\right)$，$\left(x_1+{\varphi }_t,y_1+{\psi }_t\right)$ 有定义。

由上解的定义及(3.4)可得，对任意 $t\in \left[0,1\right]$，

$D_{0^{+}}^{\alpha }\left(u_0\left(t\right)-u_1\left(t\right)\right)=D_{0^{+}}^{\alpha }{u}_0\left(t\right)-D_{0^{+}}^{\alpha }{u}_1\left(t\right)\le -f\left(t,v_0\left(t\right),{\psi }_t+v_{0t}\right)+f\left(t,v_0\left(t\right),{\psi }_t+v_{0t}\right)=0$ ,

$D_{0^{+}}^{\beta }\left(v_0\left(t\right)-v_1\left(t\right)\right)=D_{0^{+}}^{\beta }{v}_0\left(t\right)-D_{0^{+}}^{\beta }{v}_1\left(t\right)\le -g\left(t,u_0\left(t\right),{\varphi }_t+u_{0t}\right)+g\left(t,u_0\left(t\right),{\varphi }_t+u_{0t}\right)=0$ ,

$D_{0^{+}}^{\alpha -1}\left(u_0\left(1\right)-u_1\left(1\right)\right)=D_{0^{+}}^{\alpha -1}{u}_0\left(1\right)-D_{0^{+}}^{\alpha -1}{u}_1\left(1\right)\ge a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,v_0\left(s\right)\right)\text{d}s}-a{\displaystyle {\int }_0^{1}p\left(s,v_0\left(s\right)\right)\text{d}s}=0$ ,

$D_{0^{+}}^{\beta -1}\left(v_0\left(1\right)-v_1\left(1\right)\right)=D_{0^{+}}^{\beta -1}{v}_0\left(1\right)-D_{0^{+}}^{\beta -1}{v}_1\left(1\right)\ge b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,u_0\left(s\right)\right)\text{d}s}-b{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(s,u_0\left(s\right)\right)\text{d}s}=0$ .

对任意的 $t\in \left[-\tau ,0\right]$，

$u_0\left(t\right)-u_1\left(t\right)=0$ , $v_0\left(t\right)-v_1\left(t\right)=0$ .

由引理3.1可得，当 $t\in \left[-\tau ,1\right]$ 时，

,.

所以

.

类似地，容易证明。

由(3.4)，(3.5)及(H)可得，对任意，

,

,

,

.

对于任意的时，

,.

由引理3.1得，当时，

,.

所以

.

综上所述。

对任意的，由(3.4)和(H)可得

,

,

,

,

所以

由上解定义可得是边值问题(1.1)的上解。

类似地，容易证明是边值问题(1.1)的下解。

证毕。

记序区间

.

定理3.1 假设(H)成立，若存在，且和分别是边值问题(1.1)的上解和下解。则边值问题(1.1)存在两个正解，，且，分别是边值问题(1.1)在该区间上的最大正解和最小正解。

证明 分别以，为初始元，通过迭代公式

(3.6)

(3.7)

和

(3.8)

(3.9)

产生两个序列，。由引理2.3知，分别为边值问题

(3.10)

(3.11)

的唯一解。

由引理3.2可得

.

易知序列，都一致有界，即存在常数使得对任意的，都有

, ,

因此

, , ,.

因为

,.

所以对任给定的，任意的，由的连续性可知，存在常数，，，使得任意的，都有

, ,

,.

对任意的，由于，在上连续，故，在上一致连续。对任意的，存在，当时，有

,.

因为，在上连续，所以，在上一致连续。对于上述，存在，当时，有

,.

取，则

.

类似地，可以证明任意的时，对任意的，存在，当时，有

.

所以函数列等度连续，由Ascoli-Arzela定理可知函数列相对列紧。类似地，容易证明相对列紧。又因为，是单调的，所以存在，使得

,.

这就暗示是边值问题(2.10)的一个下解，是边值问题(2.10)的一个上解，且。

由(3.6)，(3.7)及Lebegsgue控制收敛定理，有

由引理2.3可知是边值问题(1.1)的解。类似地，容易证明是边值问题(1.1)的解。

假设是边值问题(2.10)在Y中的解，则。 假设对任意正整数n，都成立。与引理3.2类似可证

.

由数学归纳法可得，对任意的，有。

由迭代序列的收敛性可得。所以，分别是边值问题(1.1)在Y上的最大正解和最小正解。

证毕。

4. 例子

为了说明结论的适用性，我们考虑如下非线性分数阶泛函微分方程组边值问题：

(4.1)

其中，，，，，，，，，，。

对任意的，取

由于

则，分别为边值问题(4.1)的上解和下解，且满足。

另一方面，对任意的，，，，当，

时

,

,

,

,

满足条件(H)。由定理3.1可得，边值问题(17)在Y中的正解为，，且，分别是边值问题(4.1)的最大正解和最小正解。

文章引用

全 欢. 非线性分数阶泛函微分方程组边值问题的可解性
Solvability for Boundary Value Problems of Nonlinear Fractional Functional Differential Systems[J]. 应用数学进展, 2021, 10(04): 1039-1052. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104113

参考文献