带参数PH曲线几何特征及过渡曲线构造 Geometric Characteristics of PH Curve with Parameters and Construction of Transition Curve

doi:10.12677/AAM.2021.109329

Advances in Applied Mathematics
Vol. 10 No. 09 ( 2021 ), Article ID: 45342 , 11 pages
10.12677/AAM.2021.109329

带参数PH曲线几何特征及过渡曲线构造

宋九锡，王研，沈洋，秦凌云，彭兴璇

●How to Cite this Article

辽宁师范大学数学学院，辽宁大连

收稿日期：2021年8月17日；录用日期：2021年9月9日；发布日期：2021年9月22日

摘要

本文通过选取恰当的带参数Bézier曲线模型，得到其成为PH曲线的几何特征条件，构造了一类带参数的三次PH曲线。基于该曲线，构造了不互相包含两圆之间的过渡曲线，该曲线是G²连续的C型过渡曲线，并且在一定条件下，曲线内部的曲率有且仅有一个曲率极值点。数值例子验证了该方法的有效性。

关键词

三次PH曲线，过渡曲线，G²连续，C型

Geometric Characteristics of PH Curve with Parameters and Construction of Transition Curve

Jiuxi Song, Yan Wang, Yang Shen, Lingyun Qin, Xingxuan Peng

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Aug. 17^th, 2021; accepted: Sep. 9^th, 2021; published: Sep. 22^nd, 2021

ABSTRACT

In this paper, by selecting the appropriate Bézier curve model with parameters, the geometric characteristic conditions of PH curve are obtained. A kind of cubic PH curve with parameters is constructed. Based on this curve, a transition curve is constructed. The curve is a second order continuous c-type transition curve, and the curvature inside the curve has only one curvature extreme point under certain conditions. Numerical examples show the effectiveness of the proposed method.

Keywords:Cubic PH Curve, Transition Curve, G² Continuous, Type C

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1. 引言

在CAD中，等距线在工业领域应用十分广泛，如机器人行走路线、数控机器加工等工业领域。Bézier曲线计算高效，但是它在求单位法向量时会涉及到求根公式，这会使其等距线不是有理多项式，并不兼容于CAD系统。Farouki提出了PH (Pythagorean hodograph)曲线 [1] ，其弧长函数和等距线为多项式或有理多项式，兼容于CAD系统。

到目前为止，关于PH曲线已经有了比较深入的研究，众所周知，对于给定Bézier曲线的控制多边形，其相关边长和内角不依赖于坐标选则的固有内在几何参量，具体数据可由实际测量获得，因此，从控制多边形的长度和角度来讨论曲线的几何性质无论在理论时，还是实际应用中都具有重要意义。Farouki [1] 和Sakalis给出具有不同控制顶点 ${P_{i}}_{i = 0}^{3}$ 的3次Bézier曲线为PH曲线分离形式的边长的约束条件。文献 [1] 根据PH曲线的定义，构造了Bézier曲线形式的四次PH曲线。文献 [2] 给出了C-Bézier曲线成为了PH曲线条件的方法并证明。

在几何造型中，曲面曲线的形状调整是一个非常活跃的研究课题。近年来，为了满足几何造型工业中对曲线曲面调整的要求，国内外学者提出了许多不同的方法。其中带参数的曲线曲面逐渐成为一个研究热点，这些方法的主要目的是在曲线模型中引入参数，并通过修改参数的取值实现对曲线形状的调整。例如，文献 [3] 和文献 [4] 中的带形状参数的Bézier曲线、文献 [5] 和文献 [6] 中的带形状参数的B样条曲线，文献 [7] 和文献 [8] 中的带形状参数的三角曲线等。

另外，在CAGD中，由于几何拼接的需要，经常会涉及到平面上两条曲线之间的光滑拼接，例如，道路轨迹、机器人的行走路线、数控加工中机床的刀具中心轨迹的设计等等，一般都是通过构造过渡曲线来实现的。很多文献从不同角度围绕过渡曲线的设计展开研究，文献 [9] 以铁路中的过渡曲线为例，从反射值角度对多项式过渡曲线的形状进行了分化；文献 [10] 对两圆间一条三次Bézier曲线的过渡曲线进行了研究；文献 [11] [12] 对两圆之间应用了五次PH过渡曲线进行了研究。

本文得到带参数Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件，构造了一类带参数的三次PH曲线。并应用该曲线，构造了过渡曲线，这个曲线是G²连续的C型过渡曲线，并且当控制顶点不变时，通过参数的取值的改变可以调整过渡曲线的形状。

2. 带形状参数的m-Bézier曲线

定义1 带形状参数的m-Bézier曲线为

$P (t) = (x (t), y (t)) = \sum_{i = 0}^{3} P_{i} B_{i}^{3} (t)$ (1)

其中 $B_{0}^{3} (t) = (1 - m t) {(1 - t)}^{2}$ ， $B_{1}^{3} (t) = (2 + m) t {(1 - t)}^{2}$ ， $B_{2}^{3} (t) = (2 + m) t {(1 - t)}^{2}$ ， $B_{3}^{3} (t) = (1 - m + m t) t^{2}$ 为m-Bézier曲线的基函数，m为参数， $P_{i} = (x_{i} y_{i})$ 为三次PH曲线的控制顶点， $i = 0, 1, 2, 3$ 。

3. m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件

定理2.1 [2] 若平面参数曲线 $P (t) = (x (t), y (t))$ 分量导数表达式为：

$x^{'} (t) = w (t) (u^{2} (t) - v^{2} ( t ))$

$y^{'} (t) = 2 w (t) u (t) v ( t )$

其中 $u (t), v (t), w (t)$ 为实系数多项式，并且多项式 $u (t), v (t)$ 互质，则 $P (t)$ 曲线为PH曲线。

令 $u (t), v (t)$ 为一次多项式，

${\begin{cases} u (t) = u_{0} (1 - t) + u_{1} t \\ v (t) = v_{0} (i - t) + v_{1} t \end{cases}$ (2)

由m-Bézier曲线的基函数，并根据定理2.1得到

$u^{2} (t) - v^{2} (t) = (u_{0}^{2} - v_{0}^{2}) B_{0}^{2} (t) + (u_{0} u {}_{1}- v_{0} v_{1}) B_{1}^{2} (t) + (u_{1}^{2} - v_{1}^{2})$

$2 u (t) v (t) = 2 u_{0} v_{0} B_{0}^{2} (t) + (u_{0} v_{1} + u_{1} v_{0}) B_{1}^{2} (t) + 2 u_{1} v_{1} B_{2}^{2} ( t )$

则

$x (t) = \int_{0}^{t} u {(t)}^{2} - v {(t)}^{2} d t = \sum_{k = 0}^{3} x_{k} B_{k}^{3} ( t )$

$y (t) = \int_{0}^{t} 2 u (t) v (t) d t = \sum_{k = 0}^{3} y_{k} B_{k}^{3} ( t )$

得到满足PH曲线的控制顶点，

${\begin{cases} P_{0} = (x_{0}, y_{0}) \\ P_{1} = P_{0} + \frac{1}{2 + m} (u_{0}^{2} - v_{0}^{2}, 2 u_{0} v_{0}) \\ P_{2} = P_{0} + \frac{1}{3} (u_{0}^{2} - v_{2}^{2} + u_{0} u_{1} - v_{0} v_{1} + \frac{m - 1}{2 + m} (u_{1}^{2} - v_{1}^{2}), 2 u_{0} v_{0} + u_{0} v_{1} + u_{1} v_{0} + \frac{2 m - 2}{2 + m} u_{1} v_{1}) \\ P_{3} = P_{0} + \frac{1}{3} (u_{0}^{2} - v_{0}^{2} + u_{0} u_{1} - v_{0} v_{1} + (u_{1}^{2} - v_{1}^{2}), 2 u_{0} v_{0} + u_{0} v_{1} + u_{1} v_{0} + 2 u_{1} v_{1}) \end{cases}$ (3)

其中 $P_{0}$ 任意选取，本文中取 $P_{0} = (0, 0)$ ，取 $P_{1} - P_{0} = (1, 0)$ ，故

$P^{'} (0) | | (1, 0)$ (4)

将(3)式代入(2)式，计算得 $v_{0} = 0$ 。由(3)式和(4)式经计算得

${\begin{cases} P_{0} = (0, 0) \\ P_{1} = (\frac{1}{2 + m} u_{0}^{2}, 0) \\ P_{2} = (\frac{1}{3} u_{0}^{2} + \frac{1}{3} u_{0} u_{1} + \frac{m - 1}{3 (2 + m)} (u_{1}^{2} - v_{1}^{2}), \frac{1}{3} u_{0} v_{1} + \frac{2 m - 2}{3 (2 + m)} u_{1} v_{1}) \\ P_{3} = (\frac{1}{3} u_{0}^{2} + \frac{1}{3} u_{0} u_{1} + \frac{1}{3} (u_{1}^{2} - v_{1}^{2}), \frac{1}{3} u_{0} v_{1} + \frac{2}{3} u_{1} v_{1}) \end{cases}$ (5)

定理2.2如果m-Bézier曲线的控制多边形的边长及其两个顶角满足以下条件：

${\begin{cases} L_{1} = \frac{1}{2 + m} (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) \\ L_{2}^{2} = {(\frac{m - 1}{2 (2 + m)})}^{2} [(u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) + (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})] + \frac{1}{9} (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) + 2 {(\frac{m - 1}{2 (2 + m)})}^{2} [{(u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1})}^{2} \\ - {(u_{0} v_{1} - u_{1} v_{0})}^{2}] + \frac{2}{3} (\frac{m - 1}{2 (2 + m)}) [(u_{0}^{2} + v_{0}^{2} + u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) (u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1})] \\ L_{3} = \frac{1}{2 + m} (u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) \end{cases}$ (6)

$\frac{\cos θ_{1}}{\cos θ_{2}} = \frac{\frac{2 (1 - m)}{3 {(2 + m)}^{2}} {(u_{0}^{2} + v_{0}^{2})}^{2} (u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) + F}{\frac{2 (1 - m)}{3 {(2 + m)}^{2}} (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) {(u_{1}^{2} + v_{1}^{2})}^{2} + G}$

$\begin{matrix} F = \frac{2 (1 - m)}{3 {(2 + m)}^{2}} [{(u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1})}^{2} - {(u_{1} v_{0} - u_{0} v_{1})}^{2}] (u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) \\ - \frac{2}{3 (2 + m)} (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1}) (u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) \\ G = \frac{2 (1 - m)}{3 {(2 + m)}^{2}} [{(u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1})}^{2} - {(u_{1} v_{0} - u_{0} v_{1})}^{2}] (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) \\ - \frac{2}{3 (2 + m)} (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1}) (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) \end{matrix}$

其中 ${L_{i} = | P_{i - 1} - P_{i} |}_{i = 1}^{3}$ 为控制多边形的边长，此时m-Bézier曲线为PH曲线。其控制多边形如图所示：

证明：根据公式(3)中的坐标以及两点间距离公式我们可以得出控制多边形各边长为(6)式。

由余弦定理可得 $\cos θ_{1} = \frac{L_{1}^{2} + L_{2}^{2} - L_{02}^{2}}{2 L_{1} L_{2}}$ ， $\cos θ_{2} = \frac{L_{2}^{2} + L_{3}^{2} - L_{13}^{2}}{2 L_{2} L_{3}}$

其中

$\begin{array}{l} F = \frac{2 (1 - m)}{3 {(2 + m)}^{2}} [{(u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1})}^{2} - {(u_{1} v_{0} - u_{0} v_{1})}^{2}] (u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) - \frac{2}{3 (2 + m)} (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1}) (u_{1}^{2} + v_{1}^{2}) \\ G = \frac{2 (1 - m)}{3 {(2 + m)}^{2}} [{(u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1})}^{2} - {(u_{1} v_{0} - u_{0} v_{1})}^{2}] (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) - \frac{2}{3 (2 + m)} (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1}) (u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) \end{array}$

由定理2.1得

当m = 0时， ${\begin{cases} L_{1} = \frac{u_{0}^{2} + v_{0}^{2}}{3} \\ L_{2}^{2} = \frac{(u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})}{9} \\ L_{3} = \frac{u_{1}^{2} + v_{1}^{2}}{3} \end{cases}$ ，此时 $L_{2}^{2} = L_{1} L_{3}$ 显然成立。

根据(6)式控制多边形的边长长度满足的关系，由余弦定理可得

$\cos ∠ P_{0} P_{1} P_{2} = \cos ∠ P_{1} P_{2} P_{3} = \frac{- (u_{0} u_{1} + v_{0} v_{1})}{\sqrt{(u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})}}$

则可得

$∠ P_{0} P_{1} P_{2} = ∠ P_{1} P_{2} P_{3}$ 或 $∠ P_{0} P_{1} P_{2} = π - ∠ P_{1} P_{2} P_{3}$ 为进一步确定多边形两个夹角之间的关系，计算 $\sin ∠ P_{0} P_{1} P_{2}, \sin ∠ P_{1} P_{2} P_{3}$ ，即

$\begin{array}{l} \sin ∠ P_{0} P_{1} P_{2} = \frac{(Δ P_{1} \times Δ P_{0}) \cdot z}{L_{2} L_{1}} \\ \sin ∠ P_{1} P_{2} P_{3} = \frac{(Δ P_{2} \times Δ P_{1}) \cdot z}{L_{3} L_{2}} \end{array}$ (7)

其中z是单位向量，并与平面B(t)正交，则可得，

$\sin ∠ P_{0} P_{1} P_{2} = \sin ∠ P_{1} P_{2} P_{3} = \frac{u_{1} v_{0} - u_{0} v_{1}}{\sqrt{(u_{0}^{2} + v_{0}^{2}) (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})}}$ ，即 $∠ P_{0} P_{1} P_{2} = ∠ P_{1} P_{2} P_{3}$

结合(7)式可知 $L_{1} = L_{3}, \frac{\cos θ_{1}}{\cos θ_{2}} = 1, \cos θ_{1} = \cos θ_{2}$ 。

4. 构造三次带形状参数的PH过渡曲线

给定平面参数曲线方程 $P (t) = (x (t), y (t))$ ，该参数曲线的切向量为 $P^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t))$ ，曲线 $P (t)$ 的曲率为

$κ (t) = | P^{'} (t) \times P^{″} (t) | / {| P^{'} (t) |}^{3}$

其中

$P^{″} (t) = (x^{″} (t), y^{″} (t))$ ；

$| P^{'} (t) | = \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}}$ 。

由(2)~(4)，可得：

${\begin{cases} κ (t) = \frac{2 (u v^{'} - u^{'} v)}{{(u^{2} + v^{2})}^{2}} \\ κ (0) = \frac{2 (u_{0} v_{1} - u_{1} v_{0})}{{(u_{0}^{2} + v_{0}^{2})}^{2}} \\ κ (1) = \frac{2 (u_{0} v_{1} - u_{1} v_{0})}{{(u_{1}^{2} + v_{1}^{2})}^{2}} \\ κ^{'} (t) = {2 [(u v^{″} - u^{″} v) (u^{2} + v^{2}) - 4 (u v^{'} - u^{'} v) (u u^{'} + v v^{'})]} / {(u^{2} + v^{2})}^{3} \end{cases}$ (8)

${\begin{cases} κ (0) = \frac{2 u_{0} v_{1}}{u_{0}^{4}} \\ κ (1) = \frac{2 u_{0} v_{1}}{{(u_{1}^{2} + v_{1}^{2})}^{2}} \end{cases}$ (9)

由(8)式可以得出 $κ_{0}$ 和 $κ_{1}$ 符号相同，所以在两圆不互相包含的情况下，过渡曲线是一个C型过渡曲线。

给定始末控制定点 $P_{0}$ 、 $P_{3}$ ，且 $P_{0}$ 的曲率圆心为 $C_{0}$ ，其曲率的半径为 $r_{0}$ ，由 $G^{2}$ 连续可得：

${\begin{cases} P_{0} = (0, 0) \\ P^{'} (0) | | (1, 0) \\ (κ (0), κ (1)) = (\frac{1}{r_{0}}, \frac{1}{r_{1}}) \end{cases}$

假设 $r_{1} > r_{0}$ ，若令：

$λ = \sqrt[4]{r_{0} / r_{1}}$ (10)

可得 $0 < λ < 1$ 。设控制多边形中 $P_{1} - P_{0}$ 与 $P_{2} - P_{1}$ 的夹角依次为 $α$ 、 $β$ ，其中 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，则

$v_{1} / u_{1} = \tan \frac{α + β}{2}$

将(8)式和(9)式带入(6)式可得：

${\begin{cases} u_{0} = \sqrt{2} r_{0}^{\frac{3}{8}} r_{1}^{\frac{1}{8}} \sqrt{\sin \frac{α + β}{2}} \\ u_{1} = \sqrt{2} r_{0}^{\frac{1}{8}} r_{1}^{\frac{3}{8}} \cos \frac{α + β}{2} \sqrt{\sin \frac{α + β}{2}} \\ v_{1} = \sqrt{2} r_{0}^{\frac{1}{8}} r_{1}^{\frac{3}{8}} \sin^{\frac{3}{2}} \frac{α + β}{2} \end{cases}$

引理1 [3] (Kneser定理) Spiral上任何一点的曲率圆一定包含较小的曲率圆，并且一定被较大的曲率圆所包含。

由引理1可知，在两圆不相互包含的前提下，曲率内部必有极值点。为了使曲线尽可能光滑，要求曲线内部的极值点尽可能的少，本文假设所要构造的Ｃ型过渡曲线曲率有且仅有一个极值点。

下面讨论PH过渡曲线的存在性。

定理3.1 当两圆互不包含时，即当 $r > r_{1} - r_{0}$ ，若

$0 < \cos \frac{α + β}{2} < λ < 1$

此时过渡曲线是一个Ｃ型过渡曲线。

证明三次PH曲线导数为：

$κ^{'} (t) = \frac{- 8 (u v^{'} - u^{'} v) (u u^{'} + v v^{'})}{{(u^{2} + v^{2})}^{3}} = \frac{- 8 f (t)}{{(u^{2} + v^{2})}^{3}}$ ，其中

$\begin{array}{l} f (t) = \sum_{i = 0}^{3} f_{i} (t) B_{i}^{t} (t); \\ f_{1} = 4 r_{0} r_{1}^{3 / 4} \sin^{3} \frac{α + β}{2} (r_{1}^{1 / 4} \cos \frac{α + β}{2} - r_{0}^{1 / 4}); \\ f_{2} = 2 r_{0}^{3 / 4} r_{1}^{3 / 4} \sin^{3} \frac{α + β}{2} (r_{1}^{1 / 2} - r_{0}^{1 / 2}); \\ f_{3} = 4 r_{0}^{3 / 4} r_{1} \sin^{3} \frac{α + β}{2} (r_{1}^{1 / 4} - r_{0}^{1 / 4} \cos \frac{α + β}{2}) \end{array}$

当 $0 < \cos \frac{α + β}{2} < λ < 1$ 时， $f_{1} < 0, f_{3} > 0$ ， $f (0) f (1) < 0$ ，这时曲线有尽可能少的曲率极值点。所以

构造的过渡曲线是C型G²连续。

定理2 令端点曲率 $κ_{0}$ ， $κ_{1}$ 对应的曲率半径为 $r_{0}$ ， $r_{1}$ ， $λ = \sqrt[4]{r_{0} / r_{1}}$ 。如果

$0.5176 < λ < 1$ (11)

且

$r_{1} - r_{0} < r < m (λ) (r_{1} - r_{0})$

其中 $m (λ) = \frac{\sqrt{9 - 8 λ^{2} + 14 λ^{4} - 8 λ^{6} + 9 λ^{8}}}{3 (1 - λ^{4})}$ 。

满足上述条件的三次PH过渡曲线是唯一的。

证明给定曲线的两个端点 $P_{0}$ 、 $P_{3}$ ，三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆圆心和半径如图1所示。若圆心距为r，则有 $| C_{1} - C_{0} | = r$ 。

Figure 1. Coordinate system setting and end point curvature circle of cubic PH curve

图1. 三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆

由图1得： $C_{0} = (0, r_{0})$ ， $C_{1} = (x_{3} - r_{1} \sin (α + β), y_{3} + r_{1} \cos (α + β))$ ，则两圆之间的圆心距向量为 $C_{1} - C_{0} = (x_{3} - r_{1} \sin (α + β), y_{3} + r_{1} \cos (α + β) - r_{0})$ 。

构造关于 $\frac{α + β}{2}$ 的函数 $g (\frac{α + β}{2}) = {| C_{1} - C_{0} |}^{2} - r^{2}$ 。令 $q = \cos \frac{α + β}{2}$ ，则 $0 \leq q < 1$ 。将 $r_{0} = λ^{4} r_{1}$ 带入 $g (\frac{α + β}{2})$ 得到一个四次方程，它的变量是q，方程如下：

$\begin{matrix} \tilde{g} (q) = - \frac{16}{9} λ^{4} r_{1}^{2} q^{4} + \frac{16}{9} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q^{3} + \frac{8}{9} λ^{2} (- 1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q^{2} - \frac{16}{9} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q \\ + \frac{1}{9} [- 9 r^{2} + (9 - 8 λ^{2} + 14 λ^{4} - 8 λ^{6} + 9 λ^{8}) r_{1}^{2}] \\ = 0 \end{matrix}$

由(10)式可得出结论， $0 \leq q = \cos \frac{α + β}{2} < λ$ 。考虑方程 $\tilde{g} (q) = 0$ 在开区间 $(0, λ)$ 内根的情况，根据函

数的零点存在性定理，方程 $\tilde{g} (q) = 0$ 在区间 $(0, λ)$ 内可以有根的条件为 $\tilde{g} (0) \tilde{g} (λ) < 0$ 。

$\begin{matrix} \tilde{g} (0) = \frac{1}{9} [- 9 r^{2} + (9 - 8 λ^{2} + 14 λ^{4} - 8 λ^{6} + 9 λ^{8}) r_{1}^{2}] \\ = \frac{9 - 8 λ^{2} + 14 λ^{4} - 8 λ^{6} + 9 λ^{8}}{9 {(1 - λ^{4})}^{2}} {(r_{1} - r_{0})}^{2} - r^{2} \end{matrix}$ ，

$\begin{matrix} \tilde{g} (λ) = \frac{1}{9} [- 9 λ^{2} + {(- 1 + λ^{2})}^{2} (9 + 10 λ^{2} + 17 λ^{4}) r_{1}^{2}] \\ = \frac{9 + 10 λ^{2} + 17 λ^{4}}{9 {(1 + λ^{2})}^{2}} {(r_{1} - r_{0})}^{2} - r^{2} \end{matrix}$ 。

由 $0 < λ < 1$ 得： $0 < \frac{\sqrt{9 + 10 λ {}^{2}+ 17 λ^{4}}}{3 (1 + λ^{2})} < 1$ 。因为 $r > r_{1} - r_{0}$ ，所以 $\tilde{g} (λ) < 0$ 。由此得 $\tilde{g} (0) > 0$ 。

由 $\tilde{g} (0) > 0$ 得：

$\frac{\sqrt{9 - 8 λ^{2} + 14 λ^{4} - 8 λ^{6} + 9 λ^{8}}}{3 (1 - λ^{4})} (r_{1} - r_{0}) > r_{0}$

当 $0.5176 < λ < 1$ 时，上面所述的不等式成立。故当 $(r_{1} - r_{0}) < r < m (λ) (r_{1} - r_{0})$ 时，有 $g (0) g (λ) < 0$ ，此时方程 $\tilde{g} (q) = 0$ 在 $(0, λ)$ 内一定有根。

上面已经讨论了方程 $\tilde{g} (q) = 0$ 的根一定存在，下面讨论根的唯一性的。

由(11)式得：

${\tilde{g}}^{'} (q) = - \frac{16}{9} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} + \frac{16}{9} λ^{2} {(- 1 + λ^{2})}^{2} r_{1}^{2} q^{2} + \frac{16}{3} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q - \frac{64}{9} λ^{4} r_{1}^{2} q^{3}$ ，

且

${\tilde{g}}^{'} (0) = - \frac{16}{9} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} < 0, {\tilde{g}}^{'} (λ) = 0$ 。

因为

$g^{″} (q) = \frac{16}{9} λ^{2} {(- 1 + λ^{2})}^{2} r_{1}^{2} + \frac{32}{3} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q - \frac{64}{3} λ^{4} r_{1}^{2} q^{2}$ ，

$\begin{matrix} \tilde{g} (q) = - \frac{16}{9} λ^{4} r_{1}^{2} q^{4} + \frac{16}{9} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q^{3} \\ + \frac{8}{9} λ^{2} (- 1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q^{2} - \frac{16}{9} λ^{3} (1 + λ^{2}) r_{1}^{2} q \\ + \frac{1}{9} [- 9 r^{2} + (9 - 9 λ^{2} + 14 λ^{4} - 8 λ^{6} + 9 λ^{8}) r_{1}^{2}] \end{matrix}$

是一个二次函数其变量为q，并且该曲线的开口是向下的，

$\begin{array}{l} {\tilde{g}}^{″} (0) = \frac{16}{9} λ^{2} {(- 1 + λ^{2})}^{2} r_{1}^{2} > 0, \\ {\tilde{g}}^{″} (q) = \frac{16}{9} λ^{2} r_{1}^{2} (1 - λ^{4} + 4 λ^{2} (1 - λ^{2})) > 0 \end{array}$

所以 ${\tilde{g}}^{'} (q)$ 是一个单调递增的函数。固 $\tilde{g} (q) = 0$ 在开区间 $(0, λ)$ 内的根具有唯一性。

5. 数值例子

例1取 $m = 1$ ，起始点 $P_{0} = (0, 0)$ ，并选取 $r_{0} = 1$ ，由定理2，可选 $r_{1} = 1.5$ ，此时可设 $P_{0}$ 的曲率圆为 $Ω_{0}$ ，它的圆心是 $(0, 1)$ ，通过计算可得，所要构造的带参数的PH过渡曲线，其端点曲率圆的圆心距的取值区

间为 $(r_{1} - r_{0}) < r < 3.3833 (r_{1} - r_{0})$ 。令 $r = 3.3 (r_{1} - r_{0})$ ，得到结论 $\frac{α + β}{2} = 1.5448$ ，因此确定此带参数的三次

PH过渡曲线，如图2所示。

Figure 2. The cubic PH transition curve when $r_{1} = 1.5$ (solid line part)

图2. $r_{1} = 1.5$ 时的三次PH过渡曲线(实线部分)

例2令 $m = 2$ ，起始点 $P_{0} = (0, 0)$ ，并选取 $r_{0} = 2$ ，由定理2，可选 $r_{1} = 1.5$ ，此时可设 $P_{0}$ 的曲率圆为 $Ω_{0}$ ，它的圆心是 $(0, 1)$ ，通过计算可得，所要构造的带参数的PH过渡曲线，其端点曲率圆的圆心距的取值区

间为 $(r_{1} - r_{0}) < r < 3.3833 (r_{1} - r_{0})$ 。令 $r = 3.3 (r_{1} - r_{0})$ ，得到结论 $\frac{α + β}{2} = 1.5448$ ，因此确定此带参数的三次

PH过渡曲线，如图3所示。

Figure 3. The cubic PH transition curve when m = 2 (solid line part)

图3. 当m = 2时的三次PH过渡曲线(实线部分)

Figure 4. The cubic PH transition curve when m = 3 (solid line part)

图4. 当m = 3时的三次PH过渡曲线(实线部分)

例3令 $m = 3$ ，起始点 $P_{0} = (0, 0)$ ，并选取 $r_{0} = 1$ ，由定理2，可选 $r_{1} = 1.5$ ，此时可设 $P_{0}$ 的曲率圆为 $Ω_{0}$ ，它的圆心是 $(0, 1)$ ，通过计算可得，所要构造的带参数PH过渡曲线，其端点曲率圆的圆心距的取值区间

为 $(r_{1} - r_{0}) < r < 3.3833 (r_{1} - r_{0})$ 。令 $r = 3.3 (r_{1} - r_{0})$ ，得到结论 $\frac{α + β}{2} = 1.5448$ ，因此确定此带参数的三次

PH过渡曲线，如图4所示。

文章引用

宋九锡,王研,沈洋,秦凌云,彭兴璇. 带参数PH曲线几何特征及过渡曲线构造
Geometric Characteristics of PH Curve with Parameters and Construction of Transition Curve[J]. 应用数学进展, 2021, 10(09): 3148-3158. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.109329

参考文献

1. 桂校生. C1四次Pythagorean Bézier样条曲线的构造[J]. 安庆师范学院学报(自然科学版), 2011, 17(1): 27-30.

2. Bashir, U., Abbsa, M. and Ali, J.M. (2013) The G2 and G2 Rational Quadratic Trigonmetric Bézier Curve with Two Shape Parameters with Applications. Applied Mathematics and Computation, 219, 10183-10197. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.03.110

3. Liang, X.K. (2011) Extension of the Cubic Uniform B-Spline Curve Based on the Linear Combination of Curves. Journal of Image and Graphics, 16, 118-123.

4. Cao, J. and Wang, G.Z. (2011) Non-Uniform B-Spline Curves with Multiple Shape Parameters. Journal of Zhejiang University-Science Computers & Electronics, 12, 800-808. https://doi.org/10.1631/jzus.C1000381

5. Han, X.L. and Zhu, Y.P. (2012) Curve Construction Based on Five Trigonometric Blending Functions. BIT Numerical Mathematics, 52, 953-979. https://doi.org/10.1007/s10543-012-0386-0

6. 严兰兰, 韩旭里. 高阶连续的形状可调三角多项式曲线曲面[J]. 中国图形学报, 2015, 20(3): 427-436.

7. Walton, D.J. and Meek, D.S. (1996) A Planar Cubic Bézier Spiral. Journal of Computational and Applied Mathematics, 72, 85-100. https://doi.org/10.1016/0377-0427(95)00246-4

8. Walton, D.J. and Meek, D.S. (1998) G2 Curves Composed of Planar Cubic and Pythagorean Hodographs Quintic Spirals. Computer Aided Geometric Design, 15, 547-566. https://doi.org/10.1016/S0167-8396(97)00028-9

9. Zhang, P. and Liang, P. (2017) Optimization of Polynomial Transition Curves from the Viewpoint of Jerk Value. Archives of Civil Engineering, 63, 181-199. https://doi.org/10.1515/ace-2017-0012

10. Walton, D.J. and Meek, D.S. (1999) G2 Transition between Two Circles with a Fair Cubic Bézier Curve. Computer-Aided Design, 31, 857-866. https://doi.org/10.1016/S0010-4485(99)00073-1

11. Walton, D.J. and Meek, D.S. (2002) G2 Transition between Two Circles with a Fair Pythagorean Hodograph Quintic Curve. Journal Computational and Applied Mathematics, 138, 109-126. https://doi.org/10.1016/S0377-0427(01)00359-4

12. Han, X.A., Ma, Y.V. and Huang, X.L. (2009) The Cubic Trigonmetriv Bezier Curve with Two Shape Parameters. Applied Mathematics Letters, 22, 226-231. https://doi.org/10.1016/j.aml.2008.03.015

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