西华大学理学院，四川 成都

收稿日期：2024年1月28日；录用日期：2024年2月22日；发布日期：2024年2月29日

摘要

本文讨论一类具有规定信号浓度的趋化–流体耦合方程组解的性质。利用二维有界区域上的插值不等式和边界上的逐点不等式，得到细胞密度和化学信号浓度梯度的联合估计，并结合算子半群理论，最终证得该方程组的初边值问题存在整体有界的经典解。

关键词

趋化–流体模型，Dirichlet边界条件，整体经典解，有界性

Study on a Chemotaxis-Fluid Model with Dirichlet Signal Boundary

Wang Kuang, Zhibo Hou^*

School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan

Received: Jan. 28^th, 2024; accepted: Feb. 22^nd, 2024; published: Feb. 29^th, 2024

ABSTRACT

In this paper, the properties of solutions to the chemotaxis-fluid system with prescribed signal concentration on the boundary are considered. By using the interpolation inequality in a two-dimensional bounded domain and a pointwise inequality on the boundary, the joint estimates to cell density and chemical signal concentration gradient are obtained, and combined with the operator semigroup theory, it is shown that the initial boundary value problem of the chemotaxis-fluid system exists a global and bounded classical solution.

Keywords:Chemotaxis-Fluid System, Dirichlet Boundary Condition, Global Classical Solution, Boundedness

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

在自然界中，细菌种群的运动与其生存环境密切相关。特别地，周围环境中化学物质的代谢、液体的流动以及空气–液体接触面的物质交换等对细菌种群运动的方向、速率和稳态行为有相当复杂的影响。通过细致观察和分析悬浮液中好氧细菌的趋化运动现象，Tuval等 [1] 2005年报告了一种有趣的“趋化抵制效应”(chemotactic Boycott effect)机制，该机制说明悬浮液中细菌的集体运动可以提高种群的生存能力，并得到如下趋化–流体耦合方程组

$\{\begin{array}{ll}{n}_t+u\cdot \nabla n=\text{Δ}n-\nabla \cdot \left(nS\nabla c\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ c_t+u\cdot \nabla c=\text{Δ}c-nf\left(c\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_t+\kappa \left(u\cdot \nabla \right)u+\nabla P=\text{Δ}u+n\nabla \varphi ,\nabla \cdot u=0,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \end{array}$ (1)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ ，未知函数n表示细菌种群密度，c表示化学信号浓度， $u$ 和P分别表示流体速度场和相应的标量压力，参数 $\kappa \in ℝ$ 刻画了非线性对流项的强度，S表示趋化灵敏度函数并且可能依赖于变量n，c和x的取值。 $\varphi$ 和 $f\left(c\right)$ 分别表示给定的重力势函数和氧气消耗率。

由于生物背景的多样性和重要性，许多学者致力于结合不同的生物背景研究方程组(1)在不同的初边值条件下解的性质，并且已经取得了重大的进展。当 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个边界光滑的有界区域，考虑方程组(1)在Neumann-Neumann-Dirichlet边界条件下的初边值问题，即未知函数满足( $\upsilon$ 为边界 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量)

$\nabla n\cdot \upsilon =\nabla c\cdot \upsilon =0,u=0,x\in \partial \Omega ,t>0$ . (2)

当 $S\equiv 1$ 时，Winkler [2] 已经证明 $N=2$ 时方程组(1)经典解整体存在且唯一； $N=3$ 且 $\kappa =0$ 时，方程组(1)弱解整体存在。之后，模型(1)~(2)及其变体解的整体有界性、最终光滑性和大时间渐近行为等被广泛研究 [3] [4] [5] [6] 。特别地，Painter和Hillen [7] 发现细菌的趋化运动存在“体积填充”效应(volume-filling effect)，此时趋化灵敏度函数 $S=S\left(n,c,x\right)$ 满足代数衰减条件 $\left|S\left(n,c,x\right)\right|\le C{\left(1+n\right)}^{-\alpha }$ 。文献 [8] 基于该衰减条件证明得到 $N=3$ 时，对任意的 $\alpha >\frac{1}{6}$ ，模型(1)~(2)存在整体经典解。进一步地，文献 [9] 将文献 [8] 的指标范围提升到 $\alpha >0$ 。另外，当 $N=2$ ，灵敏度函数S为矩阵值函数时，Cao [10] 证得小初值条件下，模型(1)~(2)有整体经典解。

上述研究均是在Neumann信号边界条件下进行。然而，某些情况下，Dirichlet信号边界条件更能反映客观实际。由于氧气在空气中的扩散速率比在水中强，所以文献 [1] 的理论和数值分析都假定在空气–液体接触面(区域边界部分)有一个固定的氧气浓度。因此，学者们开始考虑方程组(1)在Neumann-Dirichlet-Dirichlet型边界条件

$\begin{array}{cccc}\left(\nabla n-nS\nabla c\right)\cdot \upsilon =0,& c=c_{\ast },& u=0,& \begin{array}{c}x\in \partial \Omega ,t>0\end{array}\end{array}$ (3)

下解的性质。Wang等 [11] 2021年证明 $N=3$ 且 $\kappa =0$ 时，方程组(1)在条件(3)下存在整体广义解。之后，Tian和Xiang [12] 在2023年讨论方程组(1)中 $\Delta n$ 被 $\nabla \cdot \left(n^{m-1}\nabla n\right)$ 替换时，弱解的整体存在性。此外，文献 [13] 中证明 $N=2$ 时，若 ${\Vert n_0\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}{\Vert c_0\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^2$ 足够小，则方程组(1)存在整体经典解。受上述工作的启发，本文考虑如下一类边界上具有规定化学信号浓度的趋化–流体耦合模型

$\{\begin{array}{ll}{n}_t+u\cdot \nabla n=\text{Δ}n-\nabla \cdot \left(n{\left(1+n\right)}^{-\alpha }\nabla c\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ c_t+u\cdot \nabla c=\text{Δ}c-nc,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_t=\text{Δ}u+\nabla P+n\nabla \varphi ,\nabla \cdot u=0,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ \left(\nabla n-n{\left(1+n\right)}^{-\alpha }\nabla c\right)\cdot \upsilon =0,c=c_{\ast },u=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,t>0,\hfill \\ n\left(x,0\right)=n_0\left(x\right),c\left(x,0\right)=c_0\left(x\right),u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\hfill & x\in \Omega \hfill \end{array}$ (4)

解的整体存在性和有界性，其中 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $c_{\ast }$ 是固定的非负常数， $\alpha$ 为大于零的数，重力势函数 $\varphi$ 满足 $\varphi \in W^{2,\infty }\left(\Omega \right)$ 。另外，假定初始函数 $\left(n_0,c_0,u_0\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}{n}_0\in C^0\left(\bar{\Omega }\right)\text{,}{n}_0\ge 0且n_0\cancel{\equiv }0,\hfill \\ c_0\in W^{1,\infty }\left(\Omega \right)\text{,}{c}_0\ge 0且c_0|{}_{\partial \Omega }=c_{\ast },\hfill \\ u_0\in W^{2,\infty }\left(\Omega ;{ℝ}^2\right)\text{,}\nabla \cdot u_0=0且u_0|{}_{\partial \Omega }=0.\hfill \end{array}$ (5)

2. 局部存在性和预备引理

为了处理模型(4)的非线性边界条件 $\left(\nabla n-n{\left(1+n\right)}^{-\alpha }\nabla c\right)\cdot \upsilon =0$ ，根据文献 [14] 中正则化处理方式14]，我们定义截断函数族 ${\left({\rho }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}$ 和函数 ${\left({\chi }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}$ 分别满足 ${\left({\rho }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}\subset C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ ， $0\le {\rho }_{\epsilon }\le 1$ ， ${\rho }_{\epsilon }\to 1$ ( $\epsilon \to 0$ )和 ${\left({\chi }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}\subset C_0^{\infty }\left(\left[0,\infty \right)\right)$ ， $0\le {\chi }_{\epsilon }\le 1$ ， ${\chi }_{\epsilon }\to 1$ ( $\epsilon \to 0$ )。令

$F_{\epsilon }\left(x,n\right):={\rho }_{\epsilon }\left(x\right)\cdot {\chi }_{\epsilon }\left(n\right)\cdot {\left(1+n\right)}^{-\alpha }$ ，

那么对任意的 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ ，模型(4)相应的正则化模型为

$\{\begin{array}{ll}{n}_{\epsilon t}+u_{\epsilon }\cdot \nabla n_{\epsilon }=\text{Δ}{n}_{\epsilon }-\nabla \cdot \left(n_{\epsilon }{F}_{\epsilon }\left(x,n_{\epsilon }\right)\nabla c_{\epsilon }\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ c_{\epsilon }{}_t+u_{\epsilon }\cdot \nabla c_{\epsilon }=\text{Δ}{c}_{\epsilon }-n_{\epsilon }{c}_{\epsilon },\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_{\epsilon }{}_t=\text{Δ}{u}_{\epsilon }+\nabla P_{\epsilon }+n_{\epsilon }\nabla \varphi ,\nabla \cdot u_{\epsilon }=0,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ \nabla n_{\epsilon }\cdot \upsilon =0,c_{\epsilon }=c_{\ast }\text{,}{u}_{\epsilon }=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,t>0,\hfill \\ n_{\epsilon }\left(x,0\right)=n_0\left(x\right),c_{\epsilon }\left(x,0\right)=c_0\left(x\right)\text{,}{u}_{\epsilon }\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\hfill & x\in \Omega .\hfill \end{array}$ (6)

引理1 [13] 假设(5)式成立， $\varphi \in W^{2,\infty }\left(\Omega \right)$ ，那么对任意的 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ ，模型(6)存在经典解 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 使得

$\{\begin{array}{l}{n}_{\epsilon }\in C^0\left(\bar{\Omega }\times \left[0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right),\hfill \\ c_{\epsilon }\in {\cap }_{q\ge 1}{C}^0\left(\left[0,T_{\max ,\epsilon }\right);W^{1,q}\left(\Omega \right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right),\hfill \\ u_{\epsilon }\in {\cap }_{\vartheta \in \left(\frac{1}{2},1\right)}{C}^0\left(\left[0,T_{\max ,\epsilon }\right);D\left(A^{\vartheta }\right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right);{ℝ}^2\right),\hfill \\ P_{\epsilon }\in C^{1，0}\left(\bar{\Omega }\times \left[0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right)\hfill \end{array}$

成立，其中 $n_{\epsilon }$ 和 $c_{\epsilon }$ 在 $\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ 上均是非负的， $D\left(A\right)$ 的定义参见文献 [15] 。此外，如果 $T_{\max ,\epsilon }<\infty$ ，那么当 $t\to T_{\max ,\epsilon }$ 时，有 ${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\to \infty$ 成立。并且对任意的 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ 有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_0}$ ， ${\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M:=\max \left\{{\Vert c_0\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)},c_{\ast }\right\}$

成立。

引理2 [16] 设 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 是正则化模型(6)的经典解。对任意的 $p>1$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ ，存在常数 $C>0$ ，有 ${\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\le C$ 成立。

引理3 假设 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $q>1$ ， $\gamma >1$ ， $\theta \ge \frac{2\gamma }{2\gamma -1}\left(q+1\right)$ 。则存在正常数C和M，只要 $\phi \in C^2\left(\bar{\Omega }\right)$ 且满足 ${\phi |}_{\partial \Omega }=0$ 和 ${\Vert \phi \Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M$ ，那么不等式

${\Vert \nabla \phi \Vert }_{L^{\theta }\left(\Omega \right)}^{\theta }\le C{\Vert {\left|\nabla \phi \right|}^{q-1}{D}^2\phi \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{\left(2\gamma -1\right)\theta -2\gamma }{q\left(2\gamma -1\right)}}+C$

成立，其中 $D^2\phi$ 表示 $\phi$ 的Hessian矩阵。

证明 根据文献 [16] 中的引理2.7和条件 ${\Vert \phi \Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M$ 可得结论成立。

3. 经典解的整体存在性和有界性

为证得模型(6)存在整体有界的经典解，还需要建立 $n_{\epsilon }$ 和 $c_{\epsilon }$ 更高的正则性估计。

引理4 设 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 是正则化模型(6)的经典解。对任意的 $\alpha >0$ ， $p>1$ ， $q>1$ ， $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ ，存在常数 $C>0$ ，有

${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{2q}\left(\Omega \right)}\le C$

成立。

证明 在模型(6)第一个方程两端同乘 $n_{\epsilon }^{p-1}$ 并在 $\Omega$ 上积分，利用分部积分公式和条件 $\nabla \cdot u_{\epsilon }=0$ 有等式

$\frac{1}{p}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}=-\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2}{\left|\nabla n_{\epsilon }\right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }{\rho }_{\epsilon }{\chi }_{\epsilon }{\left(1+n_{\epsilon }\right)}^{-\alpha }\nabla c_{\epsilon }\cdot \nabla n_{\epsilon }^{p-1}}$

成立，再由截断函数的性质和Young不等式可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+\frac{3\left(p-1\right)}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\le p\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2\alpha }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}$ . (7)

根据Hölder不等式，存在 $\theta >1$ 和 ${\theta }^{\prime }=\theta /\left(\theta -1\right)$ 使得当

$\left(p-2\alpha \right){\theta }^{\prime }>1$ (8)

时，有

$p\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2\alpha }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}\le p\left(p-1\right){\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{\left(p-2\alpha \right){\theta }^{\prime }}}\right)}^{\frac{1}{{\theta }^{\prime }}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2\theta }}\right)}^{\frac{1}{\theta }}$ (9)

成立。应用Gagliardo-Nirenberg不等式和引理1的质量守恒式 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_0}$ ，存在常数 $C_1>0$ 使得

${\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{\left(p-2\alpha \right){\theta }^{\prime }}}\right)}^{\frac{1}{{\theta }^{\prime }}}\le C_1{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)}^{\frac{p-2\alpha }{p}-\frac{1}{p{\theta }^{\prime }}}+C_1$ (10)

成立。接下来处理(9)式中 $\nabla c_{\epsilon }$ 项，做变换 ${\hat{c}}_{\epsilon }=c_{\epsilon }-c_{\ast }$ ，则 ${{\hat{c}}_{\epsilon }|}_{\partial \Omega }=0$ 且满足 $\nabla {\hat{c}}_{\epsilon }=\nabla \left(c_{\epsilon }-c_{\ast }\right)=\nabla c_{\epsilon }$ ， $D^2{\hat{c}}_{\epsilon }=D^2\left(c_{\epsilon }-c_{\ast }\right)=D^2{c}_{\epsilon }$ ，根据引理1和引理3可得当

$\theta \ge \frac{{\gamma }_1}{2{\gamma }_1-1}\left(q+1\right)$ (11)

时，有

${\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2\theta }}\right)}^{\frac{1}{\theta }}\le C_2{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{q-1}{D}^2{c}_{\epsilon }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{\left(2{\gamma }_1-1\right)2\theta -2{\gamma }_1}{q\theta \left(2{\gamma }_1-1\right)}}+C_2=C_2{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\right)}^{\frac{\left(2{\gamma }_1-1\right)\theta -{\gamma }_1}{q\theta \left(2{\gamma }_1-1\right)}}+C_2$ ， (12)

其中 $q>1$ ， ${\gamma }_1>1$ 和 $C_2>0$ 。结合(9)，(10)和(12)式以及Young不等式可得当

$\frac{p-2\alpha }{p}-\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{\theta }\right)+\frac{\left(2{\gamma }_1-1\right)\theta -{\gamma }_1}{q\theta \left(2{\gamma }_1-1\right)}<1$ (13)

时，对任意的 ${\eta }_0>0$ 有

$p\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2\alpha }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}\le {\eta }_0\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}}\right)+C_0$ (14)

成立，其中常数 $C_0>0$ 。由文献 [17] 中引理5.7可得对任意的 $q>1$ 有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}+\frac{2\left(q-1\right)}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\\ \le 4q^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}{\left|u_{\epsilon }\right|}^2}+4q^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|n_{\epsilon }{c}_{\epsilon }\right|}^2}+q{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}\frac{\partial {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}{\partial \upsilon }}-2q{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}\left(n_{\epsilon }{c}_{\ast }\right)\frac{\partial c_{\epsilon }}{\partial \upsilon }}\\ =:I_1+I_2+I_3+I_4.\end{array}$ (15)

利用引理2和Hölder不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式，Young不等式可得当 $r>2$ 时，对任意的 ${\eta }_1>0$ 有

$\begin{array}{c}{I}_1=4q^2{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\left|u_{\epsilon }\right|\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\le 4q^2{\Vert u_{\epsilon }\Vert }_{L^r\left(\Omega \right)}^2{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^{\frac{2r}{r-2}}\left(\Omega \right)}^2\\ \le C_3\left(C_4{\Vert \nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{4}{r}}{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{2\left(r-2\right)}{r}}+C_4{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{2\left(r-2\right)}{r}}\right)\\ \le {\eta }_1{\Vert \nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+C_5{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+C_5\end{array}$ (16)

成立，其中常数 $C_3$ ， $C_4$ 和 $C_5>0$ 。再结合文献 [17] 中引理5.9，做变换 ${\hat{c}}_{\epsilon }=c_{\epsilon }-c_{\ast }$ 可得对任意的 ${\eta }_2>0$ 有

$C_5{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\le {\eta }_2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+{C^{\prime }}_5\left({\eta }_2\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|c_{\ast }-c_{\epsilon }\right|}^{2q}}$ (17)

成立，其中常数 ${C^{\prime }}_5\left({\eta }_2\right)>0$ 。将(17)式代入(16)式并结合引理2.1，存在常数 $C_6>0$ 使得

$I_1\le {\eta }_1{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+{\eta }_2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_6$ (18)

成立。之后，类似(14)式的构造，由Hölder不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式，引理1，引理3和Young不等式可得当

$2\left(q-1\right)\mu \ge \frac{{\gamma }_2}{2{\gamma }_2-1}\left(q+1\right)$ 和 $\frac{p-2\alpha }{p}-\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{\mu }\right)+\frac{\left(2{\gamma }_2-1\right)\left(q-1\right)\mu -{\gamma }_2}{q\mu \left(2{\gamma }_2-1\right)}<1$ (19)

时，存在常数 $C_7$ ， $C_8$ ， $C_9$ 和 $C_{10}>0$ 使得对任意的 ${\eta }_3>0$ 有

$\begin{array}{c}{I}_2\le C_7{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{\left(2q-2\right)\mu }}\right)}^{\frac{1}{\mu }}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|n_{\epsilon }\right|}^{2{\mu }^{\prime }}}\right)}^{\frac{1}{{\mu }^{\prime }}}\\ \le C_8{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{\left(2q-2\right)\mu }}\right)}^{\frac{1}{\mu }}\left\{{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)}^{\frac{2}{p}-\frac{1}{p{\mu }^{\prime }}}+1\right\}\\ \le C_9\left\{{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{q-1}{D}^2{c}_{\epsilon }\Vert }^{\frac{\left(2{\gamma }_2-1\right)2\left(q-1\right)\mu -2{\gamma }_2}{q\mu \left(2{\gamma }_2-1\right)}}+1\right\}\left\{{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)}^{\frac{2}{p}-\frac{1}{p{\mu }^{\prime }}}+1\right\}\\ \le {\eta }_3\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)+C_{10},\end{array}$ (20)

其中 $\mu >1$ ， ${\mu }^{\prime }=\frac{\mu }{\mu -1}$ ， $p>1$ ， $q>1$ ， ${\gamma }_2>1$ 。

由文献 [17] 中边界上的逐点不等式(引理5.8)和引理5.10，结合引理1可得对任意的 ${\eta }_4>0$ 有

$I_3+I_4\le {\eta }_4{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+{\eta }_4{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_{11}$ ， (21)

其中常数 $C_{11}>0$ 。利用文献 [16] 中的引理2.8可知存在满足(8)，(11)，(13)和(19)式的参数，因此联立(7)，(14)，(15)，(18)，(20)和(21)式，存在常数 $C_{12}>0$ 使得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left\{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right\}+\frac{3\left(p-1\right)}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+\frac{2\left(q-1\right)}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\\ \le \left({\eta }_0+{\eta }_3\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+\left({\eta }_1+{\eta }_4\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+\left({\eta }_0+{\eta }_2+{\eta }_3+{\eta }_4\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_{12}\end{array}$ (22)

成立。由 ${\eta }_i\left(i=0,1,2,3,4\right)$ 的任意性，可取 $\eta :={\eta }_0+{\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_3+{\eta }_4=\min \left\{\frac{2\left(p-1\right)}{p},\frac{q-1}{q},\frac{q}{2}\right\}$ ，故整理(22)式可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left\{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right\}+\frac{p-1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+\frac{q-1}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+\frac{q}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\le C_{12}$ . (23)

由Gagliardo-Nirenberg不等式和引理1，存在常数 $C_{13}>0$ ， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}\le \frac{p-1}{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+C_{13}$ 。再由文献 [17] 中引理5.9和本文引理1，存在常数 $C_{14}>0$ ， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\le \frac{q}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_{14}$ 。因此整理(23)式可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right)+\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right)+\frac{p-1}{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\le C_{15}:=C_{12}+C_{13}+C_{14}$ ，

令 $y\left(t\right):={\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}$ ，则有 $y^{\prime }\left(t\right)+y\left(t\right)\le C_{15}$ ，故

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\le \max \left\{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_0^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_0\right|}^{2q}}\right),C_{15}\right\}$ .

引理5 设 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 是正则化模型(6)的经典解。对任意的 $\alpha >0$ ， $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ ，存在常数 $C>0$ ，有不等式

${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C$

成立。

证明 结合引理1和引理4，存在常数 $C_1>0$ ，对任意的 $q>1$ ， $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ 有 ${\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le C_1$ 。若引理4中选取 $p>3$ ，根据文献 [14] 的推论3.4，存在常数 $C_2>0$ ，使得 ${\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C_2$ 。再由文献 [18] 引理A.1中Moser迭代方法，可得 ${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}$ 有界。最后，根据文献 [19] 中引理3.7，可得 ${\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}$ 有界。

定理1 假设 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 是具有光滑边界的有界区域， $c_{\ast }\ge 0$ ，重力势函数 $\varphi \in W^{2,\infty }\left(\Omega \right)$ 和初值函数 $\left(n_0,c_0,u_0\right)$ 满足(5)式。则对任意的 $\alpha >0$ ，模型(4)存在整体经典解 $\left(n,c,u,P\right)$ ，并且存在常数 $C>0$ ，使得对任意的 $t>0$ ，有

${\Vert n\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert c\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C$ .

证明 由引理1和引理5，正则化模型(6)的经典解整体有界。根据文献 [9] 的引理6.3，该经典解收敛到原模型(4)的弱解，再由抛物型方程的Schauder理论，存在 $\beta \in \left(0,1\right)$ ，使得

$n\in C_{loc}^{2+\beta ,1+\frac{\beta }{2}}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,\infty \right)\right)$ ， $c\in C_{loc}^{2+\beta ,1+\frac{\beta }{2}}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,\infty \right)\right)$ ， $u\in C_{loc}^{2+\beta ,1+\frac{\beta }{2}}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,\infty \right);{ℝ}^2\right)$

成立。上述n，c和 $u$ 是模型(4)的整体有界的经典解。详细的证明过程请参见文献 [19] 中引理4.2和文献 [20] 中引理10.1。

4. 结论

本文讨论一类边界上具有规定信号浓度的趋化–流体耦合方程组解的性质。此前，当方程组中信号浓度满足齐次Neumann边界条件时，通常采用构造能量泛函的方法进行一系列的先验估计。但由于本文中信号浓度满足非齐次Dirichlet边界条件，处理边界项时会产生困难。因此，需要引入边界上的逐点不等式，即文献 [17] 引理5.8，获得所需的先验估计。进一步，借助Moser迭代方法、逼近理论和抛物型方程的Schauder理论，证得二维情形下，边界上具有规定信号浓度的趋化–流体耦合方程组存在整体有界的经典解。

文章引用

况 旺,侯智博. 具有Dirichlet信号边界的一类趋化–流体模型的研究
Study on a Chemotaxis-Fluid Model with Dirichlet Signal Boundary[J]. 应用数学进展, 2024, 13(02): 730-737. https://doi.org/10.12677/AAM.2024.132071

参考文献