Pure Mathematics
Vol.
13
No.
11
(
2023
), Article ID:
76431
,
7
pages
10.12677/PM.2023.1311348
丢番图方程(75n)x + (308n)y = (317n)z
黄日娣,邓乃娟
湛江幼儿师范专科学校数学系,广东 湛江
收稿日期:2023年10月22日;录用日期:2023年11月23日;发布日期:2023年11月30日
摘要
设
是两两互素的正整数且
。Jesmanowicz猜想:对于任意给定的正整数n,方程
只有正整数解
。本文利用数论中的一些方法证明了:对任意的正整数n,方程
只有正整数解
,即当
时,Jesmanowicz猜想成立。
关键词
Jesmanowicz猜想,丢番图方程,正整数解
On the Diophantine Equation (75n)x + (308n)y = (317n)z
Ridi Huang, Naijuan Deng
Department of Mathematics, Zhanjiang Preschool Education College, Zhanjiang Guangdong
Received: Oct. 22nd, 2023; accepted: Nov. 23rd, 2023; published: Nov. 30th, 2023
ABSTRACT
Let
be a primitive Pythagogrean triples such that
. Jesmanowicz conjectured that, for any positive integer n, the Diophantine equation
has only positive integer solution
. In this paper, by using some methods of number theory,we prove that, for any positive integer n, the Diophantine equation
has only positive integer solution
, that is the Jesmanowicz conjecture is true, when
.
Keywords:Jesmanowicz’s Conjecture, Diophantine Equation, Positive Integer Solution
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
不定方程是数论领域中一个重要的分支,古希腊数学家丢番图曾在三世纪初就开始研究这样的方程,所以不定方程又称为丢番图方程,其中指数型不定方程是较为重要的一部分,并且它在群论、组合论和编码理论中也被广泛运用,但是对它的求解往往比较困难,因此对于不定方程的求解过程中更能体现出技巧性和趣味性。
设
是本原商高数组。Jesmanowicz [1] 曾猜想:对于任意正整数n,丢番图方程
(1)
只有正整数解
。这一猜想至今只证明了对一些较为简单的商高数组是正确的。对于
,Terai [2] 证明了方程
只有正整数解
;李双志 [3] 证明了当
时,方程
只有正整数解
。等等。对于n为任意正整数,Miyazaki [4] 证明了当
时,Jesmanowicz猜想正确;陈凤娟 [5] 证明了当
,p为素数,
时,若
或
,则Jesmanowicz猜想正确;孙翠芳 [6] 证明了当
且p为素数时,若
或
,则Jesmanowicz猜想正确。等等。虽然在很多特殊情况下,Jesmanowicz猜想是正确的,但一般情形仍未解决,目前的结果大都集中在
的情形,而对于
,只有为数不多的特殊情形被解决。记
为n的所有素因子的乘积,
为雅克比符号。
本文考虑方程(1)中
的情形,证明了Jesmanowicz猜想正确。结果如下
定理1 对于任意正整数n时,丢番图方程
(2)
只有正整数解
。
2. 预备知识
定义2.1 [7] 给定一个正整数m,如果用m去除两个整数a和b所得的余数相同,我们就说
对模m同余,记作
,把该式称为模m的同余式,简称同余式。如果余数不同,我们就说
对m不同余,记作
。
定义2.2 [8] 设
,
,
,若该同余式有解,则n称为模n的二次剩余;若该同余式无解,则n称为模m的二次非剩余。
定义2.3 [8] 勒让德(Legendre)符号
(读作a对p的勒让德符号)是一种对于给定的奇素数p定
义在一切整数a上的函数,它的值规定如下:
定义2.4 [8] 雅可比符号
(读作a对m的雅可比符号)是一个对于给定的大于1的单整数m定
义在一切整数a上函数,它在a上的函数值是
其中
,
是素数,
是a对
的勒让德符号。
性质2.5 设
为正奇数
1) 若
和
,则
;
2) 若
,则
;
3) 若
,则
。
性质2.6
;
。
性质2.7 若m和n是两个正奇数,且
,则
。
引理2.1 [9] 当
,
时,丢番图方程
只有正整数解
。
引理2.2 [10] 设
是两两互素的正整数且
只有正整数解
。如果
是方程
的正整数解,则其满足下列条件之一:
1)
;
2)
。
3. 定理的证明
定理1的证明:因为
,
,
,且
,由引理1知,方程
只有正整数解
。下面我们不妨设
。假设
是方程(2)的正整数解,故由引理2可知,
或
。
下面分两种情况进行讨论:
情形1当
时,则方程(2)可整理为
(3)
不妨设
,其中
均为非负整数且
。
情形1.1:如果
,则
,于是方程(3)可整理为
(4)
对(4)式模5得
,故
。令
,于是,
。因为
,由
雅克比符号
可得
。
即
。但是
这不可能。
情形1.2:如果
,则
,方程(3)可整理为
(5)
对(5)式模3得
,于是
。对(5)式模5得
,于是
。对(5)式模7得
(6)
又因为
,由雅克比符号的性质得
。
结合(6)式可得
,于是
,即
。从而
。令
,则
。
又因为
,故
,
得,
,即
,假设
,即
,因为
,
,所以
,即
。此时若
,
,因为
,
,所以
,这不可能。又因为
,
所以
,又因为
,故
且
,于是
,即
,这与
矛盾。
情形1.3:如果
,则
,于是方程(3)可整理为
(7)
对(7)式模16得
,于是
或
。对(7)式模3得
,于是
。对(7)式模317得
。又因为
,
于是有
,所以
与x同奇偶,所以
,故
。令
,(7)式整理为
。
又因为
,故
所以
。又
,故不可能。
情形2,当
时,方程(2)可整理为
(8)
不妨设
,其中
均为非负整数且
。
情形2.1:如果
,则
,即
。于是方程(8)可整理为
(9)
对(9)式模5得
,故
。令
,
,(9)式整理为
因为
且
,于是有
即
。故
。
又因为
且
,
当
时,则
,这不可能。
于是
且
,即
(10)
对(10)式模7得
。因为
且
,于是
,这不可能。
情形2.2:如果
,则
,即
于是方程(8)可整理为
(11)
对(11)模5得
。于是
,对(11)式模11得
,因为
,
,
,于是有
,即
,这意味着
。对
(11)式模16得
。又因为
,故
。令
,(11)式整理为
。
因为
,于是
,
但是
。这不可能。
情形2.3:如果
,则
,即
。于是方程(8)可整理为
(12)
对(12)式模3得
,于是
。对(12)式模4得
,于是
。
令
,故
。
因为
且
,所以有
或
。但是
,这不可能,与事实矛盾。
情形2.4:如果
,则
,即
。于是方程(8)可整理为
(13)
对(13)式模3得
,于是
。令
,(13)式整理为
,因为
,故
或
。
这与
矛盾。
情形2.5:
,则
,方程(8)可整理为
(14)
对(14)式模5得
,即
。又因为
,所以
,从而
。令
,(13)式整理为
。
因为
,所以有
或
。但是
,这不可能。
情形2.6:如果
,则
,(8)式可整理为
(15)
对(15)式模5得
,于是
。对(15)式模3得
,于是
。令
,(15)式整理为
,
又因为
,故
或
。
这与
矛盾。
情形2.7:如果
,则
,(8)式可整理为
(16)
对(16)式模3得
,于是
。对(15)式模5得
,于是
。
令
,(16)式整理为
,又因为
,故
或
。这与
矛盾。
4. 结语
邢静静证明了当
,
时,丢番图方程
只有正整数解
[9] 。由此可知令
时,方程
只有正整数解
。本文证明了更一般的情况,即当n为任意正整数时,丢番图方程
只有正整数解
。但是对于k为其他值时的情况还有待进一步研究。另外,要彻底解决Jesmanowicz猜想,还需要寻求一些新的方法,这就需要研究者有较深的数论基础,为数学进步贡献自己的力量。
文章引用
黄日娣,邓乃娟. 丢番图方程(75n)x+ (308n)y= (317n)z
On the Diophantine Equation (75n)x+ (308n)y= (317n)z[J]. 理论数学, 2023, 13(11): 3358-3364. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1311348
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