14pq阶的五度对称图 Pentavalent Symmetric Graphs of Order 14pq

doi:10.12677/AAM.2024.132072

Advances in Applied Mathematics
Vol. 13 No. 02 ( 2024 ), Article ID: 82263 , 6 pages
10.12677/AAM.2024.132072

14pq阶的五度对称图

赵路清，凌波^*

●How to Cite this Article

云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明

收稿日期：2024年1月28日；录用日期：2024年2月22日；发布日期：2024年2月29日

摘要

称一个图为对称图，如果它的自同构群在这个图的弧集上是传递的。丁素云、凌波、娄本功和潘江敏教授2016年在文献(Graphs and Combinatorics, 32, 2355-2366, 2016)中证明了：无平方因子阶的五度对称图要么同构于图 $C D_{n, k}$ 、 $C_{390}$ 、 $C_{2926}$ ，要么这类图的全自同构群为 $P S L (2, p)$ 和 $P G L (2, p)$ 。本文的主要工作是在假定一个五度图的阶为14pq时，完全确定其图全自同构群为 $P S L (2, p)$ 和 $P G L (2, p)$ 对应的对称图，其中 $q > p > 5$ 为素数。

关键词

对称图，自同构群，正规商图

Pentavalent Symmetric Graphs of Order 14pq

Luqing Zhao, Bo Ling^*

School of Mathematics and Computer Sciences, Yunnan Minzu University, Kunming Yunnan

Received: Jan. 28^th, 2024; accepted: Feb. 22^nd, 2024; published: Feb. 29^th, 2024

ABSTRACT

A graph is said to be symmetric if its automorphism group acts transitively on its arcs. In 2016, Ding Suyun, Ling Bo, Lou Bengong and professors Pan Jiangmin published a paper in the (Graphs and Combinatorics, 32, 2355-2366, 2016), proved that: Arc-transitive pentavalent graphs of square-free order are either isomorphic to graphs $C D_{n, k}$ 、 $C_{390}$ 、 $C_{2926}$ , or the full automorphism group of such graphs is $P S L (2, p)$ and $P G L (2, p)$ . The main work of this paper is to completely determine that the full automorphism group of a pentavalent graph as $P S L (2, p)$ and $P G L (2, p)$ corresponds to a symmetric graph when the order of the graph is assumed to be 14pq, where $q > p > 5$ are primes.

Keywords:Symmetric Graph, Automorphism Group, Normal Quotient Graph

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1. 引言

本文所考虑的图均为有限简单无向图。给定图Γ，分别用 $V (Γ)$ ， $E (Γ)$ 和 $A (Γ)$ 表示图Γ的顶点集，边集和自同构群。设s是一个正整数，称Γ中 $s + 1$ 个顶点序列 $V_{0} V_{1} \dots V_{S}$ 为一个s-弧，如果 $(V_{i}, V_{i + 1}) \in E (Γ)$ ， $0 \leq i \leq s - 1$ ，并且对 $s \geq 2$ ，有 $V_{i} \neq V_{i + 2}$ ， $0 \leq i \leq s - 2$ 。称Γ为s-弧传递图，如果 $Aut (Γ)$ 在Γ的所有s-弧上是传递的。称Γ为s-传递图，如果Γ是s-弧传递的，但不是 $(s + 1)$ -弧传递的。特别地，1-弧是一个弧，0-弧是一个顶点。令 $G \leq S_{Ω}$ ，对任意的 $α \in Ω$ ，恒有 $G_{α} = 1$ ，则称G是半正则的。如果群G既是半正则的又是传递的则称G是正则的。如果 $Aut (Γ)$ 在Γ上是正则的，则Γ被称为1-弧正则的。A在Γ的弧集上的作用是传递的当且仅当A在Γ的点集上 $V (Γ)$ 上是传递的，并且任一点 $v \in V (Γ)$ 在A中的稳定子群 $A_{v}$ 在v的邻域 $Γ_{1} (v)$ 上也是传递的。

研究群与图里面的对称性，也就是图的自同构群作用在图的顶点集，边集，弧集等上面的传递性，而图的弧传递图的分类一直是一个比较热门的话题。近年来，给定阶的对称图的分类得到了广泛的关注。Chao在文献 [1] 中分类了p阶的对称图，Conder [2] 等分类了所有阶小于或等于768个点的3度对称图。冯等 [3] 分类阶为8p，8p²的三度对称图。对于四度对称图的阶的分类的一些结果可以参考 [4] [5] 。而对于五度对称图的分类有许多显著的结果，只有一个素因子阶的五度对称图的分类可以参考文献 [6] [7] [8] [9] ，一个素因子阶的五度对称图大多数被分类完全，接下来对于两个素因子阶的五度对称图的分类可以参考文献 [10] [11] 。本文的主要目的是对14pq阶的五度对称图进行分类，主要采用的方法是取正规商图。

本文的主要结果是下面的定理。

定理1.1 设Γ是一个阶为14pq的连通五度对称图，其中 $p > q > 5$ 是素数，所以下列表述之一成立。

(1) $Γ ≅ {CD}_{14 p q, k}$ ，其中 $5 | p - 1$ 和 $q - 1$ 。

(2) 当 $p = 139, q = 23$ 时，在同构意义下，存在图 $Γ ≅ C_{44758}$ ，进一步地， $Aut (Γ) = PGL (2, 139)$ ， $A_{α} = A_{5}$ ，其中 $α \in V (Γ)$ 。

2. 预备知识

在这一节中我们将引用一些基本的结果，方便后面的讨论。

以下定理在文献( [12] ，定理1.2)中得到证明。

定理2.1 令Γ是一个阶为n的连通弧传递五度图，其中n是一个无平方因子阶的整数，且至少有四个素因子。下列之一成立。

(1) $Γ ≅ {CD}_{n, k}, n = 2 \cdot 5^{t} p_{1} p_{2} \dots p_{s}$ 和 $Aut (Γ) ≅ D_{n} : Z_{5}$ ，其中 $0 \leq t \leq 1, s \geq 2$ ， $p_{1} p_{2} \dots p_{s}$ 是不同的素数，当 $i = 1, 2, \dots, s$ 时， $5 | p_{i} - 1$ ，在同构的情况下恰好有 $4^{s - 1}$ 个这样的n阶图。

(2) $Aut (Γ) ≅ PSL (2, p)$ 或 $PGL (2, p)$ ， $p \geq 29$ 为一个素数。

(3) 三元组 $(Γ, n, Aut (Γ))$ 见表1。

Table 1. Pentavalent symmetric graphs of square-free order

表1. 无平方因子阶的五度对称图

$PSL (2, q)$ 的极大子群是已知的，参见文献( [13] ，第239章节)。

引理2.2 设 $T ≅ PSL (2, q)$ ，其中 $q = p^{n} \geq 5$ ，p是素数。那么T的极大子群同构于下列群之一，其中 $d = (2, q - 1)$ 。

(1) $D_{2 (p - 1) / d}$ ，其中 $q \neq 5, 7, 9, 11$ ；

(2) $D_{2 (p - 1) / d}$ ，其中 $q \neq 7, 9$ ；

(3) $Z_{q} : Z_{(q - 1) / d}$ ；

(4) $A_{4}$ ，其中 $q = p = 5$ 或者 $q = p \equiv 3, 13, 27, 37 (\mod 40)$ ；

(5) $S_{4}$ ，其中 $q = p \equiv \pm 1 (\mod 8)$ ；

(6) $A_{5}$ ，其中 $q = p \equiv \pm 1 (\mod 5)$ ，或者 $q = p^{2} \equiv - 1 (\mod 5)$ ，p为一个奇素数；

(7) $PSL (2, p^{m})$ ，n/m为一个奇整数；

(8) $PGL (2, P^{n / 2})$ ，n为偶整数。

根据文献 [14] [15] 得到五度弧传递图的点稳定子的结构。

引理2.4 设Γ是一个连通的五度 $(G, s)$ -传递图，其中 $G \leq Aut (Γ)$ ， $s \geq 1$ ，设 $α \in V (Γ)$ ，则下列表述之一成立：

(1) 如果 $G_{α}$ 是可解的，则 $| G_{α} | | 80$ ，且 $s \leq 3$ 。此外， $(G_{α}, s)$ 如表2所示。

Table 2. Soluble vertex-stabilizers

表2. 可解的点稳定子

(2) 如果 $G_{α}$ 是不可解的，则 $| G_{α} | | 2^{9} \cdot 3^{2} \cdot 5$ 且 $2 \leq s \leq 5$ 。此外， $(G_{α}, s)$ 如表3所示。

Table 3. Insoluble vertex-stabilizers

表3. 非可解的点稳定子

研究顶点传递图的一种典型方法是取正规商图。设Γ是一个G-顶点传递图，其中 $G \leq Aut (Γ)$ ，令 $N ⊲ G$ ，且N在 $V (Γ)$ 上是不传递的。称商图 $Γ_{N}$ 是G-正规的，如果 $V (Γ_{N})$ 是G的某个正规子群N的轨道的集合。由N诱导的正规商图 $Γ_{N}$ 定义为顶点集 $V (Γ_{N})$ 的图。在商图 $Γ_{N}$ 中 $(B_{1}, B_{2}) \in E (Γ_{N})$ 当且仅当 $x \in B_{1}$ 和 $y \in B_{2}$ ，使得 $(x, y) \in E (Γ)$ 。如果原图的度数 $Val (Γ)$ 与块图的度数 $Val (Γ_{N})$ 相等，那么Γ被叫做 $Γ_{N}$ 的正规覆盖(参见文献( [16] 引理2.5)和( [17] ，定理4.1)。

定理2.5 设Γ是奇数度的G-弧传递图，令 $N ⊲ G$ 在 $V (Γ)$ 上至少有三个轨道。那么下列的陈述成立。

(1) N是 $V (Γ)$ 上的半正则， $G / N \leq Aut (Γ_{N})$ ，Γ是的正规覆盖。

(2) $G_{α} ≅ {(G / N)}_{δ}$ ，其中 $α \in V (Γ)$ ， $δ \in V (Γ_{N})$ 。

(3) Γ是 $(G, s)$ -传递的当且仅当 $Γ_{N}$ 是 $(G / N, s)$ -传递。

3. 定理1.1的证明

不设Γ是阶为14pq的连通五度对称图，其中 $5 < q < p$ 是素数。令 $A = Aut (Γ)$ ， $α \in V (Γ)$ 。

如果A是可解的，根据定理2.1， $Γ ≅ {CD}_{14 p q, k}$ 且 $5 | p - 1$ 和 $5 | q - 1$ ，定理1.1第一部分成立，假设A是不可解的，定理2.1表明，A是几乎单的 $T : = soc (A) ≅ PSL (2, r)$ ，其中 $r \geq 29$ 是素数。因为 $| PSL (2, r) |$ 不整除 $| V (Γ) | = 14 p q$ ，根据定理2.5(1)，T在 $V (Γ)$ 上最多有两个轨道， $| T : T_{α} | = 7 p q$ 或14pq。因为 $T \leq A \leq PGL (2, r)$ ，我们有 $| A_{α} : T_{α} | \leq 2$ ，所以 $5 | T_{α}$ ，由于 $| T | = | T_{α} | n$ ，于是 $35 p q | | T | = | PSL (2, r) |$ 。此外，根据引理2.4， $| A_{α} | | 2^{9} \cdot 3^{2} \cdot 5$ ，所以 $| T | | 2^{10} \cdot 3^{3} \cdot 5 p q$ 。因此 $r = p$ 。

我们现在确定了p的所有可能。如果 $3 | | A_{α} |$ ，根据引理2.4， $A_{α}$ 是不可解的，所以当 $A_{α} \leq T_{α} . Z_{2}$ ，因为 $T_{α} \leq PSL (2, p)$ ，根据引理2.2我们进一步有 $T_{α} ≅ A_{5}$ 。如果3不整除 $| A_{α} |$ ，根据引理2.4， $A_{α}$ 是可解的，则 $| T_{α} | | 80$ 。因此 $| T | | 840 p q$ 或1120pq。 $| T | = p (p - 1) (p + 1) / 2$ 且 $((p + 1) / 2, (p - 1) / 2) = 1$ 。如果q整除 $(p + 1) / 2$ ，则 $p - 1 | 840$ 或1120，其中 $p \geq 29$ 并且p是一个素数。我们有 $p = 31, 41, 43, 61, 71, 113, 281, 421$ 。进一步地，我们的p还需要满足下列两个条件：

(1) $35 p q | | T | = | PSL (2, p) | =$ $p (p - 1) (p + 1) / 2$ 。

(2) $| T | = | PSL (2, p) | | 840 p q$ 或1120pq，其中 $p > q > 5$ 是素数。

① 当 $p = 31$ 时，由q整除 $(p + 1) / 2 = 16$ ，与 $p > q > 5$ 是素数矛盾。

② 当 $p = 41$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 41$ ，由q需要整除 $(p + 1) / 2 = 21$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 7$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 7 \cdot 41$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 41$ ，矛盾。

③ 当 $p = 43$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 43$ ，由q需要整除 $(p + 1) / 2 = 22$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 11$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 11 \cdot 43$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 43$ ，矛盾。

④ 当 $p = 61$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 31 \cdot 61$ ，由q需要整除 $(p + 1) / 2 = 31$ ，可得 $q = 31$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 31 \cdot 61$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 43$ ，矛盾。

⑤ 当 $p = 71$ 时，由q整除 $(p + 1) / 2 = 36$ ，与 $p > q > 5$ 是素数矛盾。

⑥ 当 $p = 113$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) = 2^{4} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 113$ ，由q需要整除 $(p + 1) / 2 = 57$ ，可得 $q = 19$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 19 \cdot 113$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 43$ ，矛盾。

⑦ 当 $p = 421$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 421$ 。由q需要整除 $(p + 1) / 2 = 211$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 13$ 或17。于是对q分情况讨论：

对于 $q = 13$ ，我们把 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 421 \cdot 13$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 421$ ，矛盾。

对于 $q = 13$ ，我们把 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 421 \cdot 17$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 421$ ，矛盾。

因此通过条件(1)和条件(2)的简单计算，我们可以排除 $p = 31, 41, 43, 61, 71, 113, 421$ ，最后得到 $p = 281$ 。

类似地，如果q整除 $(p - 1) / 2$ ，则 $p + 1 | 840$ 或1120，其中 $p \geq 29$ 并且p是一个素数，我们有 $p = 29, 31, 41, 59, 79, 83, 139, 167, 223, 419, 839$ 。更进一步地，计算还需要满足两个条件：

(1) $15 p q | | T | = | PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2$ 。

(2) $| T | = | PSL (2, p) | | 840 p q$ 或1120pq，其中 $p > q > 5$ 是素数。

① 当 $p = 29$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 29$ ，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 14$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 7$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 7 \cdot 29$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 29$ ，矛盾。

② 当 $p = 31$ 时，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 15$ ，与 $p > q > 5$ 是素数矛盾。

③ 当 $p = 41$ 时，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 15$ ，与 $p > q > 5$ 是素数矛盾。

④ 当 $p = 59$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 \cdot 59$ ，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 29$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 29$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 29 \cdot 59$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 \cdot 59$ ，矛盾。

⑤ 当 $p = 79$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 79$ ，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 39$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 13$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 13 \cdot 79$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 79$ ，矛盾。

⑥ 当 $p = 83$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 83$ ，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 41$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 41$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 41 \cdot 83$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 83$ ，矛盾。

⑦ 当 $p = 167$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 83 \cdot 167$ ，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 83$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 83$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 41 \cdot 83$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 83 \cdot 167$ ，矛盾。

⑧ 当 $p = 223$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2 = 2^{5} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 37 \cdot 223$ ，由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 111$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 37$ 。接下来，将 $p, q$ 的值代入条件(1)，此时 $35 \cdot 111 \cdot 223$ 不整除 $| T | = | PSL (2, p) | = 2^{5} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 37 \cdot 223$ ，矛盾。

⑨ 当 $p = 419$ 时，我们有 $| PSL (2, p) | = p (p - 1) (p + 1) / 2 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 419$ 。由q需要整除 $(p - 1) / 2 = 209$ ，且 $p > q > 5$ 是素数，可得 $q = 11$ 或19。将 $p, q$ 的值代入条件(2)，此时矛盾。

因此通过条件(1)和条件(2)的简单计算，我们可以排除 $p = 29, 31, 41, 59, 79, 83, 167, 223, 419$ 。最后得到 $p = 139, 839$ 。

综上在这种情况下，我们有 $p = 139, 281, 839$ 。因此，T的唯一可能是以下的单群： $PSL (2, 139)$ ， $PSL (2, 81)$ ， $PSL (2, 839)$ 。

假设 $T ≅ PSL (2, 139)$ ，我们有 $q = 23$ ， $p = 139$ ，则 $V (Γ) = 14 p q = 44758$ ，如果T在 $V (Γ)$ 上传递，则Γ是T-弧传递的，所以 $| T_{α} | = | T | / 44758 = 30$ ，根据引理2.4，这是不可能的。因此，T在 $V (Γ)$ 上恰好有两个轨道，当 $Out (PSL (2, 139)) ≅ Z_{2}$ 时，我们有 $A ≅ PGL (2, 139)$ ，则 $| A_{α} | = | A | / 44758 = 60$ 。通过Magma [18] 直接计算， $Γ ≅ C_{44758}$ 。

假设 $T ≅ PSL (2, 281)$ ，我们有 $q = 47$ ， $p = 281$ ，则 $V (Γ) = 184898$ ，当 $Out (PSL (2, 281)) ≅ Z_{2}$ 时， $A ≅ PSL (2, 281)$ 或 $PGL (2, 281)$ ，于是 $| A_{α} | = | A | / 184898 = 60$ 或120，由Magma [18] 计算，在这种情况下没有五度对称图。

假设 $T ≅ PSL (2, 839)$ ，我们有 $q = 419$ ， $p = 839$ ，则 $V (Γ) = 14 p q = 4921574$ ，当 $Out (PSL (2, 839)) ≅ Z_{2}$ 时， $A ≅ PSL (2, 839)$ 或 $PGL (2, 839)$ ，于是 $| A_{α} | = | A | / 14 p q = 60$ 或120，由Magma [18] 计算，在这种情况下没有五度对称图。定理1.1的证明完成。

文章引用

赵路清,凌波. 14pq阶的五度对称图
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NOTES

^*通讯作者。

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