ABSTRACT

A sufficient condition ensuring that the subdirect sum of Nekrasov matrix and Nekrasov matrix is in the class of Nekrasov matrices is given. And the conclusion is illustrated by a numerical example.

Keywords:Nekrasov Matrix, Subdirect Sum, Strictly Diagonally Dominant

Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和

赵晶，刘丹，胡汭炎

云南大学数学与统计学院，云南 昆明

收稿日期：2016年11月11日；录用日期：2016年11月26日；发布日期：2016年11月30日

摘 要

本文给出了Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和为Nekrasov矩阵的充分条件，并用数值例子对所给结论进行了说明。

关键词 :Nekrasov矩阵，子直和，严格对角占优

1. 引言

矩阵在诸如概率统计，微分方程，最优化，控制论与系统理论，计算数学等数学分支都有着重要应用。1999年Fallat和Johonson引入方阵的k-子直和的概念 [1] 。由于矩阵的子直和在很多领域具有重要应用 [1] [2] [3] [4] ，之后对矩阵的子直和的研究相继取得许多重要结果。2005年Pedroche和Szyld等给出两个非奇异M矩阵的子直和是非奇异M矩阵的一些充分条件 [2] ，2006年他们再次给出S严格对角占优矩阵的k-子直和是S严格对角占优阵的充分条件 [5] 。2007年朱燕，黄廷祝研究了双对角占优矩阵的子直和 [6] ，2010年Bru，Cvetkovic，Kostic，Pedroche对S-严格对角占优矩阵的子直和进行了研究 [7] ，2015年李朝迁，李耀堂等对Nekrasov矩阵的子直和进行了研究 [8] 。2016年赵晶，李耀堂等对严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和进行了研究 [9] 。

本文我们继续研究Nekrasov矩阵的子直和，期望找到Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵的条件。下面先给出本文中要用到的基本知识。

定义1.1 [1] ：设A为阶方阵，B为阶方阵，为正整数且，A和B有如下分块形式：

(1)

其中和是阶方阵。令

，

称C为A和B的()阶k-子直和，记为。

注1 [5] ：设，，，则由定义1.1易得：

其中

。(2)

。

故C有可表示如下：

定义1.2 [10] [11] [12] ：设矩阵是阶矩阵，若对任意一个，成立，其中，则称A为严格对角占优矩阵。

定义 1.3 [13] [14] ：设矩阵是阶矩阵，令

若对任意一个，成立，则A称是Nekrasov矩阵。

注2 [13] ：由严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的定义得严格对角占优矩阵是Nekrasov矩阵的一个子类。

2. Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和

首先我们用一个例子说明Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。

例2.1：设

，。

容易验证A是Nekrasov矩阵，B是Nekrasov矩阵。由定义得A与B的3-子直和为

。

直接计算得，，，，。显然，，因此不是Nekrasov矩阵。

注3：例2.1表明任意给出的Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。下面我们来寻找Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的条件。为此先给出下面引理。

引理2.1：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，且，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和有：对任意的，。

证明：该引理的结论可由注1直接得到。

引理2.2 [9] ：设是阶严格对角占优矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，分布如(2)所示，其中，，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和和有：

1)；

2) 当时：

；

3)。

引理2.3 [9] ：设是阶严格对角占优矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，和的主对角线元素全正(或全负)，且

，

则在A与B的k-子直和中，对任意的，成立。

首先说明文献 [9] 中引理2.2，即本文引理2.2 [9] 不完整。在此，我们先将结论进行更正。其证明方法同本文引理2.4。

引理2.2 [9] 更正：设是阶严格对角占优矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，分布如(2)所示，其中，，，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和，分三种情形讨论：

1) 当时：。

2) 当时：分下面2种情形讨论：

；

。

3) 当时：分下面3种情形讨论：

；

当时：

；

。

引理2.4：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，分布如(2)所示，其中，，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和，分三种情形讨论：

1) 当时：。

2) 当时：分下面2种情形讨论：

；

。

3) 当时：分下面3种情形讨论：

；

当时：

；

。

证明：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵。下面分三种情形讨论：

情形一：当时：

。

情形二：当时：

。

。

情形三：当时：分下面3种情形讨论：

情形1：当时：

。

情形2：当时：

。

当时：

。

现假设，其中()，

成立。

则

。

情形3：当时：

。

类似引理2.3 [9] 证明下证引理2.5。

引理2.5：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，和的主对角线元素全正(或全负)，且

，

则在A与B的k-子直和中，对任意的，成立。

证明：我们用数学归纳法证明。设A是阶Nekrasov矩阵，B是阶的Nekrasov矩阵。任取，当时：

。 (3)

由

。 (4)

和条件

，

得

。 (5)

当时：

。 (6)

由

。 (7)

和条件

及(5)得

。 (8)

现假设任取，成立，下证成立，其中。

当时：

。 (9)

由

。 (10)

和条件

及假设条件当时得

。

由此得中任取，成立。

下面我们给出Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的一个充分条件。

定理2.6：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，，的主对角线元素全正(或全负)，且

，

则A与B的k-子直和是Nekrasov矩阵。

证明：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，下面分三种情形讨论。

情形1：当时：

。

情形2：当时：分2种情形讨论：

(1) 当时，：

。

(2) 当时，时：

。

现假设时，成立，则当时：

由条件

，

得

。 (11)

。 (12)

于是由条件

，

及(11)、(12)得

。

因此对任意的成立。

情形3：当时：

。 (13)

。 (14)

由条件

，

及(13)、(14)得

。

现设对任意，成立，则当时：

。

由引理2.5知对任意的，。由此得

。

因此对任意成立，从而是Nekrasov矩阵。

例2.2：设

，。

容易验证A是Nekrasov矩阵，B是Nekrasov矩阵，于是

。

通过计算可得：

，，，

，，，

，，，

，，，

，，，

，，，

，，。

于是由定理2.6知是Nekrasov矩阵。事实上，直接计算得：

，，，，。

显然，当时成立，因此是Nekrasov矩阵。

在定理2.6中，当k分别取1和2时得如下两个推论。

推论2.7：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，，，，其中，且，的主对角线元素全正(或全负)，，则是Nekrasov矩阵。

推论2.8：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，，，，其中，且，的主对角线元素全正(或全负)，

，

。

则是Nekrasov矩阵。

3. 结论

本文给出的定理能够判定在满足定理的条件下Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵，且只用到矩阵自身元素，便于计算。

文章引用

赵晶,刘丹,胡汭炎. Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和
Subdirect Sums of Nekrasov Matrices and Nekrasov Matrices[J]. 应用数学进展, 2016, 05(04): 798-812. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.54092

参考文献 (References)