ABSTRACT

In this paper, we study existence of solutions for a class of fractional differential equations with boundary value problems on infinite interval by using cone compression, cone expansion fixed point theorem and Leggett-Williams fixed point theorem. Example is presented to illustrate our results.

Keywords:Infinite Interval, Fractional Differential Equations, The Boundary Value Problem, Fixed Point

一类无穷区间上分数阶微分方程组 边值问题正解的存在性

张瑞鑫，王文霞^*

太原师范学院数学系，山西 晋中

收稿日期：2019年4月29日；录用日期：2019年5月9日；发布日期：2019年5月24日

摘 要

本文研究了一类无穷区间上分数阶微分方程组的边值问题。先构造Green函数，并讨论相关性质，再利用锥拉伸与锥压缩定理和Leggett-Williams不动点定理讨论边值问题解的存在性，最后给出例子说明定理的适用性。

关键词 :无穷区间，分数阶微分方程组，边值问题，不动点

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1. 引言

分数阶微分方程在很多领域都有着广泛的应用，尤其在流体力学、分数控制系统、气体力学、电子动学、化学工程等方面，目前已取得了很多优秀的研究成果，如文献 [1] - [10] 。但在分数阶微分方程的边值问题的研究中，有限区间上的研究较多，无穷区间上的研究较少。

在文献 [3] 中杨凯军运用锥拉伸与锥压缩不动点定理和不动点指数理论研究如下分数阶微分方程m点边值问题。

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }{u}_1\left(t\right)+f_1\left(t,u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)\right)=0,t\in \left(0,\infty \right)\hfill \\ D_{0^{+}}^{\alpha }{u}_2\left(t\right)+f_2\left(t,u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)\right)=0,t\in \left(0,\infty \right)\hfill \\ u_1\left(0\right)={u^{\prime }}_1\left(0\right)=u_2\left(0\right)={u^{\prime }}_2\left(0\right)=0,\hfill \\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}{u}_1\left(+\infty \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m-2}{\sum }}{\beta }_i{u}_1\left({\xi }_i\right)},D_{0^{+}}^{\alpha -1}{u}_2\left(+\infty \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m-2}{\sum }}{\beta }_i{u}_2\left({\xi }_i\right)}\hfill \end{array}$ (1.1)

其中， $\text{2}<\alpha <\text{3}$ ， $\text{0}<{\xi }_{\text{1}}<{\xi }_{\text{2}}<{\xi }_{\text{3}}<\cdots <{\xi }_{m-\text{2}}<+\infty$ ， ${\beta }_i>\text{0}$ ， $i=1,2,3,\cdots ,m-2$ ，得到边值问题(1.1)至少存在一个和两个正解的充分条件。受上文的启发，本文研究如下的一类分数阶微分方程组的边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }{u}_1\left(t\right)+a_1\left(t\right)f_1\left(t,u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)\right)=0,t\in R^{+}\hfill \\ D_{0^{+}}^{\alpha }{u}_2\left(t\right)+a_2\left(t\right)f_2\left(t,u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)\right)=0,t\in R^{+}\hfill \\ u_1\left(0\right)=u_2\left(0\right)=0,D_{0^{+}}^{\alpha -2}{u}_1\left(0\right)=D_{0^{+}}^{\alpha -2}{u}_1\left(0\right)=0,\hfill \\ D_{0^{+}}^{\alpha -1}{u}_1\left(+\infty \right)=\xi I^{\beta }{u}_1\left(\eta \right),D_{0^{+}}^{\alpha -1}{u}_2\left(+\infty \right)=\xi I^{\beta }{u}_2\left(\eta \right)\hfill \end{array}$ (1.2)

其中， $\text{2}<\alpha \le \text{3}$ ， $\beta >\text{0}$ ， $\xi \in R$ ， $\eta \in \left[0,+\infty \right)$ ， $\Gamma \left(\alpha +\beta \right)>\xi {\eta }^{\alpha +\beta -1}$ ， $R^{+}=\left[0,+\infty \right)$ ， $D_{{\text{0}}^{+}}^{\alpha }$ 与 $D_{{\text{0}}^{+}}^{\alpha -\text{1}}$ 都是标准的Riemann-Liouville分数阶微分， $I^{\beta }$ 是标准的Riemann-Liouville分数阶积分。

2. 预备知识及引理

定义1.1 [2] 连续函数f： $\left(0,+\infty \right)\to R$ 的 $\alpha >\text{0}$ 阶Riemann-Liouville分数阶积分的定义为：

$I_{{\text{0}}^{+}}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{\text{1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\text{1}}f\left(s\right)\text{d}s}$ ,

对任意的 $\alpha >\text{0}$ ，右端在 $R^{+}$ 上逐点可积。

定义1.2 [2] 函数f： $\left(0,+\infty \right)\to R$ 的 $\alpha >\text{0}$ 阶Riemann-Liouville分数阶积分的定义为：

$D_{{\text{0}}^{+}}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{\text{1}}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}{\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)}^n{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{\alpha -n+\text{1}}}\text{d}s}$

其中，n是大于等于 $\alpha$ 的最小正整数，等式的右端在 $\left(0,+\infty \right)$ 有定义。

引理1.1 [2] 假设 $\alpha >\text{0}$ ，如果 $u\in C\left(0,+\infty \right)$ 且有 $D_{0^{+}}^{\alpha }u\in L^{\text{1}}\left(0,+\infty \right)$ 则：

$I_{0^{+}}^{\alpha }{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=u\left(t\right)+c_1{t}^{\alpha -1}+c_2{t}^{\alpha -2}+\cdots +c_n{t}^{\alpha -n}$

其中 $c_i\in R\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 为任意常数，n为大于等于 $\alpha$ 的最小正整数。

引理1.2 设 $h\in L^{\text{1}}\left[0,+\infty \right)$ 连续，那么边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+h\left(t\right)=0,0\le t<+\infty ,\hfill \\ u\left(0\right)=D_{0^{+}}^{\alpha -2}u\left(0\right)=0,D_{0^{+}}^{\alpha -1}u\left(+\infty \right)=\xi I^{\beta }u\left(\eta \right).\hfill \end{array}$ (2.1)

有唯一解： $u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }G\left(t,s\right)h\left(s\right)\text{d}s}$ ，其中， $G\left(t,s\right)=G_{\text{1}}\left(t,s\right)+G_{\text{2}}\left(t,s\right)$ ，

$G_{\text{1}}\left(t,s\right)=\frac{\text{1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}\{\begin{array}{l}{t}^{\alpha -\text{1}}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\text{1}},\text{0}\le s\le t<+\infty ,\hfill \\ t^{\alpha -\text{1}},\text{0}\le t<s<+\infty .\hfill \end{array}$

$G_{\text{2}}\left(t,s\right)=\frac{\xi t^{\alpha -\text{1}}}{\Delta }\{\begin{array}{l}{\eta }^{\alpha +\beta -\text{1}}-{\left(\eta -s\right)}^{\alpha +\beta -\text{1}},\text{0}\le s\le \eta <+\infty ,\hfill \\ {\eta }^{\alpha +\beta -\text{1}},\text{0}\le \eta <s<+\infty .\hfill \end{array}$

$\Delta =\Gamma \left(\alpha \right)\left[\Gamma \left(\alpha +\beta \right)-\xi {\eta }^{\alpha +\beta -\text{1}}\right]$ .

证明：由引理1.1及 $D_{{\text{0}}^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=-h\left(t\right)$ 得。由边界条件得，所以，于是

,

由得，因此，

,

,

,

由边值条件可得

,

证毕。

引理1.3 函数满足如下性质

1)和均在上连续，并且对任意的，；

2)，；

3)，其中。

证明：由的定义容易证明(1)，接下来证明(2)和(3)。

当时，

, ,

,

即性质(2)成立。

,

,

, ,

,

由文献 [6] 可知：

,

所以

,

即性质(3)成立。

定义空间：

,

其范数

,

空间，其范数为

.

定理1.1 [7] 和是Banach空间。

令锥，，显然P是X中的一个锥。

定义算子

其中。

引理1.4 [3] 设是一个有界集，若

1) 对任意的，在的任意紧区间上是等度连续的；

2) 给定，存在常数，使得对任意的及有：

均成立，则Z是一个相对紧集。

引理1.5 [2] 设K是Banach空间X中的闭锥，，是K中的有界开集，，设全连续，并且满足下列条件之一：

1), , ,;

2), , ,;

则F在上必有不动点。

定义1.3 [2] 设E为Banach空间，P为E中的锥，称映射为锥P上的一个连续凹泛函，如果对任意的，，

.

对于定义，，如下，

,

,

.

引理1.6 [2] (Leggett-Williams不动点定理)设是全连续算子，为P上的非负连续凹泛函，且满足()。假定存在使得

1)，并且当时，恒有

;

2) 当时恒有；

3) 当且时，恒有。

则T在中至少有三个不动点。

定义1.4 [5] 若满足如下条件：

1) 对任何的，可测；

2) 对每个，几乎处处连续；

3) 对每个的，存在，对所有的，，在几乎处处有

.

则称满足-Caratheodory条件。

3. 主要结果

(H0)满足-Caratheodory条件；

(H1)，。

引理2.1 假设(H0)(H1)成立，则T是全连续的。

证明：1) 证明T是。

当，，。

,

所以，。

2) T是连续的。

对任意的收敛序列即当时，，，则存在常数，使得

和。

由满足-Caratheodory条件可知，对几乎处处当时有

,

,

由勒贝格控制收敛定理可知，

,

所以，，

.

T是连续的。

3)是相对紧的。

设是P中的有界集，对任意的，则存在，使得，。

,

，即有界。

，为中的紧区间。因在上一致连续，假设，，，有

.

,

因此，在中的任意紧区间上等度连续，从而可得在中的任意紧区间上等度连续。

因(H1)成立，有，故对任意的，存在使。

由于，故存在，当时，

.

，存在，当，且时，

取，，假设，，

所以，对任意的，，存在一个充分大的，当时，有

,

在无穷远处等度收敛，从而可得T在无穷远处等度连续。

故T是全连续的。证毕。

(H2) 存在函数，函数，使得

, ,

.

下面给出一些记号:

, ,

, ,

,.

定理2.1 假设条件(H0)，(H1)，(H2)成立，并且存在常数，，使得，，，，，则边值问题(1.2)至少有一个解。

证明：因，则存在一个正实数，使得

,

令，对任意的，

即。

所以，

,

即，。

因，则存在正实数，使得

, , ,

令，对任意的，

,

,

,

即，。

从而根据引理1.5可知在集合中T至少有一个不动点，因此边值问题(1.2)至少有一个解。证毕。

定理2.2 假设条件(H0)，(H1)，(H2)成立，并且存在常数，，使得，，，，，则边值问题(1.2)至少有一个解。

证明：因，则存在一个正实数，使得

, , ,

令，对任意的

,

,

,

即，。

因，则存在一个正实数，使得

, ,

令，

, ,

则存在一个正实数，令，对任意的

,

所以，

,

即，。

从而根据引理1.5可知在集合中T至少有一个不动点，因此边值问题(1.2)至少有一个解。证毕。

定义泛函，则为非负连续凹泛函。

,

定理2.3 假设条件(H1)成立，并且存在常数，使得

(H3),;

(H4),;

(H5),;

则边值问题(1.2)至少有三个正解。

证明 令，则

,

，所以，同理可得引理1.8中条件(2)满足，类似引理2.1的证明可得T是全连续的。

取，，并且

,

所以。

若，则，则

则，引理1.8中条件(1)满足。

假设则，，所以，由前面的得，引理1.8中条件(3)满足。

根据引理1.6可知T在中至少有三个不动点，因此边值问题(1.2)至少有三个正解。证毕。

4. 例子

考虑下面边值问题：

式中

, , ,

, , , , ,

,

常数，取，取则。

由于，，取，，则满足定理2.1中的条件，所以由定理2.1可知边值问题至少有一个解。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11361407)。

文章引用

张瑞鑫,王文霞. 一类无穷区间上分数阶微分方程组边值问题正解的存在性
Existence of Solutions for a Class of Fractional Differential Equations with Boundary Value Problems on Infinite Interval[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 427-440. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93058

参考文献