Advances in Applied Mathematics
Vol.
10
No.
05
(
2021
), Article ID:
42680
,
7
pages
10.12677/AAM.2021.105177
von Neumann代数上保持绝对连续和奇异的映射
车晶晶,刘爱芳
太原理工大学数学学院,山西 晋中
收稿日期:2021年4月25日;录用日期:2021年5月8日;发布日期:2021年5月27日
摘要
设 是无限维复Hilbert空间上的一个von Neumann代数。 为所有正算子的锥。本文证明了一个双射 在两个方向上都保持绝对连续,则其在两个方向上也保持奇异。并证明了这个双射 可以由有界、可逆、线性或共轭线性的算子来刻画。
关键词
von Neumann代数,线性保持,绝对连续,奇异
Maps Preserving Absolute Continuity and Singularity on a von Neumann Algebra
Jingjing Che, Aifang Liu
Department of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Jinzhong Shanxi
Received: Apr. 25th, 2021; accepted: May 8th, 2021; published: May 27th, 2021
ABSTRACT
Let be a von Neumann algebra on an infinite dimensional, complex Hilbert space. stands for the cone of all positive operators. In this paper, we obtain that bijective maps that preserves absolute continuity in both directions are also preserve singularity in both directions. Moreover, we show that these maps can be characterized by invertible, linear or conjugate linear operators.
Keywords:von Neumann Algebra, Linear Preserver, Absolute Continuity, Singular
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
从一个代数到另一个代数的线性映射,若其保持了代数里边某些元素特性不变,则称它是一个线性保持映射。关于线性保持问题最早的论文可以追溯到1897年,此后算子空间上的线性保持问题一直受到了众多学者的广泛关注 [1] [2] [3] [4]。而其中一类算子代数von Neumann代数上的线性保持问题,国内外许多学者对其进行了研究与探索并已取得许多成果。例如:2013年齐霄霏和侯晋川在文献 [5] 中刻画了von Neumann代数上的强斜交换线性保持映射;2013年杜宁在文献 [6] 中刻画了von Neumann代数上保持自Jordan积和半*-Jordan积的映射;2016年费秀海和张建华在文献 [7] 中刻画了von Neumann代数上保持投影的映射;2018年C. Li,F. Zhao,Q. Chen在文献 [8] 中刻画了在von Neumann代数上保乘积 的映射。
受以上文献的启发,本文我们将主要研究von Neumann代数上保持绝对连续和奇异的映射。映射保持绝对连续和奇异性的相关内容在文献 [9] [10] [11] 中有学者进行过研究。我们将说明若von Neumann代数上的双射 在两个方向上都保持绝对连续,则其在两个方向上也保持奇异。并且借助有界、可逆、线性或共轭线性的算子将这个双射 完全刻画。下面先介绍一些概念并固定一些符号。
设 是一个无限维的复Hilbert空间,用 表示它上面的内积, 表示 上所有有界线性算子的全体。令 是 上的一个 -子代数,若 包含恒等算子且具有前对偶,即存在一个Banach空间 使得 的对偶空间为 ,则称 为von Neumann代数。若 ,( ),则称 为自伴算子。若A是自伴的且对任意的 有 成立,则称 为正算子。并用 表示所有正算子的锥。设 是一个von Neumann代数, 称为 的一秩元,如果a的值域投影 是 中的一个极小投影 [12]。
对任意 若 称为偏序,记作: 。
定义1.1:(1) 任意 ,如果满足 且 的 只能是零算子,则称A和B是奇异的,记作: 。
(2) 若存在一个正算子序列 和一个非负实数序列 ,满足 且 ,这里 是指 单调递增且 强收敛于A,则称A是B-绝对连续的,记作: 。
下面给出一个双射在两个方向上保持绝对连续性和奇异性的定义:
定义1.2:(1) 称双射 在两个方向上保持绝对连续,如果对于任意 有, 。
(2) 称双射 在两个方向上保持奇异,如果对于任意的 有, 。
2. 主要定理及其证明
引理2.1 ( [13],引理4)对有界算子S和T,下列条件等价:
(i) ;
(ii) 存在 使得 。
定理2.1 令 ,则 当且仅当 。
证明 当 , 时,有 和 均有意义,此时我们有 。由引理2.1知,存在 ,使得 (这比A是B-绝对连续条件更强)。因此我们有A是B-绝对连续的。
反之,若A是B-绝对连续的,则由绝对连续的定义我们有,存在一个正算子序列 和一个非负实数序列 ,满足 且 ,即 。由引理2.1可知 。 □
定理2.2 令 ,则 当且仅当 。
证明 对任意的 ,令 ,则显然有 。
反之,若 ,定义
表示正算子A和B的平行和,正算子序列 是单调递增的,以B为上界,记作: 。
由文献( [13],引理4)我们有
等价于 。因此 可以推出 。□
引理2.2 ( [13],定理5)若 ,则 当且仅当在 中稠密。
定理2.3 令 ,A的值域 是闭的当且仅当 闭。
证明 对任意 ,则显然有
因此,若 是闭的,则 也是闭的。
反之,若 是闭的,我们有
即 。故 是闭的。
由这个定理可知,对任意的 ,若 和 是闭的,则 。 □
下面我们给出von Neumann代数上的一个双射 在两个方向上保持绝对连续和奇异的等价刻画。
定理2.4 设 是无限维复Hilbert空间上的一个von Neumann代数。 为von Neumann代数上的一个正锥。若 是一个双射,则下列四个叙述等价:
(i) 在两个方向上保持绝对连续;
(ii) 在两个方向是保持奇异;
(iii) 存在一个有界、可逆、线性或共轭线性算子 ,使得对所有的 有
(iv) 存在一个有界、可逆、线性或共轭线性算子 和一族可逆正算子 ,使得对所有的 有
证明 (i) Þ (ii):因为对所有的正算子B来说,0是 上唯一B-绝对连续的元。所以由(i)可知 。现假设 满足(i)但不满足(ii),则存在 使得 但 与 不垂直。特别地,在von Neumann代数中我们可以找到一个极小投影R,满足 ,因此
且
又存在非零的秩一元 ,使得 ,从而 且 。但这表明 ,因此A与B不垂直,这与假设相矛盾。
(ii) Þ (iii):对任意 ,假设 且 ,则由定理2.2知,
对任意的 ,定义
我们有
其中 。
我们定义一个新的映射:
其中, 。
显然 有定义且是一个双射,由
和
我们可知 在这两个方向上保零交。即
其中 。
接下来我们进一步看映射 ,易知
因此 在两个方向上保包含关系:
其中 。
事实上,由以上两式我们有 且 。注意到
对任意正整数n,令 ,则当 限制到 时是 到自身的一个双射。类似地,我们有:
从而, 也是一个双射。由以上结论我们可得 是一个射影,且 可以将任何三个共面元素映成共面元素。因此应用射影几何的基本定理可以得到:存在一个半线性映射 使得
其中 。
接下来我们考虑 作用到更一般的 。通过上边的性质,对任意的 和 ,我们有
和
因此,对所有的 我们有
进而,通过 和T的定义我们有对任意的 ,
接下来我们的主要任务就是证明半线性映射T是有界的、线性或共轭线性的。由于T和 将一余维线性流形映射为一余维线性流形。此外, 的有限余维子空间是一个算子值域当且仅当它是闭的,因此我们推断定T将 映射到 上。由于 是无限维的,我们可以使用文献 [14] 的引理2及其推论,得出T是线性或共轭线性的。
最后,为了证明T是有界的,只需证明对于每一个有界线性泛函 使得 ,这意味着存在 使得 ,因此 是有界的。用类似的方法我们可以证明T是共轭线性的。
(iii) Þ (iv):首先,假设T是线性的。由于对任意的 ,,因此可得
其中 。
从而,由( [15],推论1)知,存在一个可逆算子 ,使得 。进而,令 ,则(iv)成立。
假设现在T是共轭线性的,考虑任意一个反酉算子 ,则
其中 。
(iv) Þ (i):由于对任意的 ,,故对任意的 ,我们有
因此由文献( [15],推论4)可知,存在一个可逆算子 使得
记
其中 。
通过计算我们有:
由此可知 稠当且仅当 是稠的。进而由引理2.2可知(i)成立。□
如果 是有限维的Hilbert空间,那么上面的定理2.4的证明将会更简单。然而,我们需要指出的是在有限维情形下,此时T没有必要是线性或者共轭线性的。下面我们给出具体的定理:
定理2.5 设 是有限维复Hilbert空间且 , 是 上的一个von Neumann代数。 为von Neumann代数上的一个正锥。若 是一个双射,则下列叙述等价:
(i) 在两个方向上保持绝对连续;
(ii) 在两个方向是保持奇异;
(iii) 存在一个半线性双射 使得对任意的
。
最后需要注意的是定理2.5中不包含 的情形,因此此时我们不能再应用射影几何的基本定理。
致谢
本文作者衷心感谢审稿人和读者的意见和建议。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(11801397);国家留学基金管理委员会资助项目(202006935001)。
文章引用
车晶晶,刘爱芳. von Neumann代数上保持绝对连续和奇异的映射
Maps Preserving Absolute Continuity and Singularity on a von Neumann Algebra[J]. 应用数学进展, 2021, 10(05): 1661-1667. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.105177
参考文献
- 1. Gehér, G.P., Tarcsay, Z. and Tamás, T. (2020) Maps Preserving Absolute Continuity and Singularity of Positive Operators. New York Journal of Mathematics, 26, 129-137.
- 2. Li, C.K. and Tsing, N.K. (1992) Linear Preserver Problems: A Brief Introduction and Some Special Techniques. Linear Algebra and Its Applications, 162, 217-235. https://doi.org/10.1016/0024-3795(92)90377-M
- 3. Li, C.K. and Pierce, S. (2001) Linear Preserver Problems. The American Mathematical Monthly, 108, 591-605. https://doi.org/10.1080/00029890.2001.11919790
- 4. Qi, X.F. and Hou, J.C. (2013) Strong Skew Commutativity Preserving Maps on von Neumann Algebras. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 397, 362-370. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2012.07.036
- 5. Molnár, L. (2009) Maps on Positive Operators Preserving Lebesgue Decompositions. The Electronic Journal of Linear Algebra, 18, 222-232. https://doi.org/10.13001/1081-3810.1307
- 6. 杜宁. von Neumann代数上保持自Jordan积和半*-Jordan积的映射[D]: [硕士学位论文]. 西安: 陕西师范大学, 2013.
- 7. 费秀海, 张建华. von Neumann代数上保持投影的映射[J]. 南京师大学报: 自然科学版, 2016, 39(4): 5-7.
- 8. Li, C., Zhao, F. and Chen, Q. (2018) Nonlinear Maps Preserving Product X*Y + Y*X on von Neumann Algebras. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 44, 729-738. https://doi.org/10.1007/s41980-018-0048-3
- 9. Gabriyelyan, S.S. (2011) Absolute Continuity and Singularity of Two Probability Measures on a Filtered Space. Journal of Theoretical Probability, 24, Article No. 595. https://doi.org/10.1007/s10959-011-0359-2
- 10. Osada, H. and Shirai, T. (2016) Absolute Continuity and Singularity of Palm Measures of the Ginibre Point Process. Probability Theory and Related Fields, 165, 725-770. https://doi.org/10.1007/s00440-015-0644-6
- 11. Cherny, A. and Urusov, M. (2006) On the Absolute Continuity and Singularity of Measures on Filtered Spaces: Separating Times. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance, Springer, Berlin, Heidelberg, 125-168. https://doi.org/10.1007/978-3-540-30788-4_7
- 12. 侯晋川, 高明杵. von Neumann代数中的一秩元及乘子[J]. 数学年刊A辑(中文版), 1994(5): 596-602.
- 13. Ando, T. (1976) Lebesgue-Type Decomposition of Positive Operators. Acta Scientiarum. Mathematicarum (Szeged), 38, 253-260.
- 14. Kakutani, S. and Mackey, G.W. (1946) Ring and Lattice Characterizations of Complex Hilbert Space. Bulletin of the American Mathematical Society, 52, 727-733. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1946-08644-9
- 15. Fillmore, P.A. and Williams, J.P. (1971) On Operator Ranges. Advances in Mathematics, 7, 254-281. https://doi.org/10.1016/S0001-8708(71)80006-3