海森堡型群上的 Qr1,r2函数空间 The Qr1,r2 Spaces on the H-Type Groups

doi:10.12677/PM.2021.114082

Pure Mathematics
Vol. 11 No. 04 ( 2021 ), Article ID: 42134 , 9 pages
10.12677/PM.2021.114082

海森堡型群上的 $Q_{r_{1}, r_{2}}$ 函数空间

周珊，黄小青，董建锋

●How to Cite this Article

上海大学理学院，上海

收稿日期：2021年3月21日；录用日期：2021年4月23日；发布日期：2021年4月30日

摘要

函数空间理论在调和分析中有着十分重要的作用。本文研究海森堡型群 $N$ 上的双指标Q型函数空间 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 。在Siegel型上半空间 $N \times R^{+}$ 上利用Carleson测度给出 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 的等价刻画，并且给出了 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 与 $B M O^{β} (N)$ 的嵌入关系。

关键词

海森堡型群，Poisson核，Carleson测度

The $Q_{r_{1}, r_{2}}$ Spaces on the H-Type Groups

Shan Zhou, Xiaoqing Huang, Jianfeng Dong

College of Sciences, Shanghai University, Shanghai

Received: Mar. 21^st, 2021; accepted: Apr. 23^rd, 2021; published: Apr. 30^th, 2021

ABSTRACT

Function spaces play an important role in harmonic analysis. In this paper, we study the Q-type space $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ on the H-type group $N$ . We show the characterization of $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ by the Carleson measure on the Siegel type domain $N \times R^{+}$ . Furthermore, the embedding result between $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ and $B M O^{β} (N)$ is founded.

Keywords:H-Type Group, Poisson Kernel, Carleson Measure

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本函数空间理论是分析学中的一个经典问题，经典的 $Q_{p} (D)$ ( $0 < p < 1$ )空间可以看成 $B M O A (D)$ 空间的一种扩展。早在1995年时，由Aulaskari、肖和赵等人建立了初始的 $Q_{p}$ 空间 [1] [2]。其最初是用来研究复平面 $C$ 的单位圆盘 $D$ 上全纯函数类的共性不变性质。

对任意的 $p > - 1$ ，我们定义 $Q_{p} (D)$ 是由全纯函数构成的函数空间，这些全纯函数需满足

${‖ f ‖}_{Q_{P}} = {(\sup_{w \in D} \int_{D} {| f^{'} (z) |}^{2} g^{p} (z, w) d A (z))}^{\frac{1}{2}} < + \infty$ ，

其中 $g (z, w) = \log | (1 - \bar{w} z) / (z - w) |$ 是 $D$ 上的格林函数， $d A (z)$ 为 $D$ 上的Lebesgue测度。

文献 [2] [3] [4] [5] 证明了在复平面上，p > 1时， $Q_{p}$ 是Bloch空间B。 $- 1 < p < 0$ 时， $Q_{p}$ 仅包含常数函数。特别地， $Q_{0}$ 为Dirichlet空间D； $Q_{1} = B M O A$ 。随后，Essen、彭与肖等人研究了 $R^{n}$ 上的 $Q_{α}$ 空间 [6]。肖根据Q空间理论考虑了Navier-Stokes方程解的适定性问题 [7]。在文献 [8] [9] [10] 中有更多关于 $Q_{α} (R^{n})$ 的实际应用问题。Q型函数空间的结构与BMO的结构极其相似。对于非欧几里得空间，刘、彭和王将 $Q_{p} (D)$ 空间推广到海森堡群 $H^{n}$ 上 [11]。此外，Q型空间也被广泛地应用到偏微分方程中。在 [9] 中，李和翟研究了有初值的quasi-geostrophic方程的适定性与正则性问题。在研究某些极大算子的性质时，Carleson测度和帐篷空间是有效的工具。Carleson和Luecking利用Carleson测度分别刻画了Hardy空间及Bergman空间 [12] [13]。在 [14] 中，董利用Carleson测度证明了 $Q_{p} (N)$ 的等价刻画。

本文主要研究海森堡型群 $N$ 上的双指标Q型空间 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 。关于海森堡型群，1980年在文献 [15] 中Kaplan首次引入海森堡型群，并研究了海森堡型群上次Laplace算子基本解的表达式及其性质。本文结构如下，第一节介绍了海森堡型群及Poisson核的相关知识。第二节中给出 $B M O^{β} (N)$ 和 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 的定义，并给出了 $B M O^{β} (N)$ 和 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 的嵌入关系。最后，在第三节中利用Carleson测度及Poisson积分证明了 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 的等价刻画。

下面是本文的主要结果

定理1. i) 若 $r_{1} + r_{2} = {r^{'}}_{1} + {r^{'}}_{2}$ ，且 $r_{1} < {r^{'}}_{1}$ ，则 $Q_{{r^{'}}_{1}, {r^{'}}_{2}} (N) \subset Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ ；

ii) 若有 $r_{2} < 0$ 或 $r_{1} > \frac{d + 2}{d}$ ，则 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 仅包含常数函数；

iii) 若任意的 $β > 0$ ，有 $r_{1} < 1$ 且 $β + 1 = r_{1} + r_{2}$ ，那么 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N) = B M O^{β} (N)$ 。

定理2. 假设 $f \in L_{l o c}^{2} (N)$ 满足 $\int_{N} \frac{f (n)}{1 + {| n |}^{2 d}} d n < \infty$ 。则对任意的 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 满足 $1 < r_{1} \leq \frac{d + 2}{d}$ 及 $r_{1} + r_{2} \in (1, \frac{d + 2}{d})$ ，我们说 $f \in Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 当且仅当存在一常数C使得

$\int_{S (I)} {| \nabla F (z) |}^{2} a^{d (1 - r_{1}) + 1} d z \leq C {| I |}^{r_{2}}$

对所有的方体 $I \subset N$ ，也就是， ${| \nabla F (z) |}^{2} a^{d (1 - r_{1}) + 1} d z$ 是 $r_{2}$ -Carleson测度。

2. 预备知识

2.1. 海森堡型群 $N$

令 $G$ 为二阶幂零李代数，其上有内积 $〈 \cdot, \cdot 〉$ ，中心表示为 $z$ 。我们称 $G$ 为海森堡型李代数，若 $[z^{⊥}, z^{⊥}] = z$ 且对任意的 $t \in z$ ，映射 $J_{t} : z^{⊥} \to z^{⊥}$ 表示为

$〈 J_{t} u, w 〉 : = 〈 t, [u, w] 〉$ ， $u, w \in z$ ，

且 $| t | = 1$ 时，J_t为正交映射。海森堡型群为单连通的二阶幂零李群，其李代数是海森堡型李代数。

给定 $ρ \neq 0$ ，且属于 $z$ 的对偶，在 $z^{⊥}$ 上定义一斜对称矩阵 $A (ρ)$ 为 $〈 A (ρ) u, w 〉 = ρ ([u, w])$ ， $u, w \in z$ 。 $z$ 中的元素 $Z_{ρ}$ 定义为

$〈 A (ρ) u, w 〉 = ρ ([u, w]) = 〈 J_{Z_{ρ}} u, w 〉$ 。

选择 $z^{⊥}$ 的一组标准正交基 ${E_{1} (ρ), \cdot \cdot \cdot, E_{n} (ρ), {\bar{E}}_{1} (ρ) \cdot \cdot \cdot, {\bar{E}}_{n} (ρ)}$ 使得

$A (ρ) E_{i} (ρ) = | Z_{ρ} | J_{\frac{Z_{ρ}}{| Z_{ρ} |}} E_{i} (ρ) = | ρ | {\bar{E}}_{i} (ρ), A (ρ) {\bar{E}}_{i} (ρ) = - | ρ | E_{i} (ρ)$ 。

若 $\dim z = m$ ， ${ε_{1}, \cdot \cdot \cdot, ε_{m}}$ 为 $z$ 的一组标准正交基，满足 $ρ (ε_{1}) = | ρ |$ ， $ρ (ε_{j}) = 0 (1 \leq j \leq m)$ ，则

$(z, t) = (x, y, t) = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} E_{i} + y_{i} {\bar{E}}_{i}) + \sum_{j = 1}^{m} t_{j} ε_{j}$ 。

这样的坐标称为海森堡坐标。一般海森堡型群的运算为

$(z, t) (z^{'}, t^{'}) = (z + z^{'}, t + t^{'} + \frac{1}{2} [z, z^{'}])$ ，

其中 ${[z, z^{'}]}_{j} = 〈 z, U^{j} z^{'} 〉$ ， $U^{j} (j = 1, \dots, m)$ 为合适的斜对称矩阵。特别地， $〈 z, U^{1} z^{'} 〉 = \sum_{j = 1}^{n} ({x^{'}}_{j} y_{j} - {y^{'}}_{j} x_{j})$ [16]。

本文中的海森堡型群 $N$ 由集合 $R^{P} \times R^{q} = {(x^{'}, u^{'}) : x^{'} \in R^{P}, u^{'} \in R^{q}}$ 构成，其中 $x^{'} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}) \in R^{p}$ ， $u^{'} = (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{q}) \in R^{q}$ ，且元素满足运算 $(x^{'}, u^{'}) \cdot (y^{'}, v^{'}) = (x^{'} + y^{'}, u^{'} + v^{'} + \frac{1}{2} [x^{'}, y^{'}])$ ，其中 ${[x^{'}, y^{'}]}_{j} = 〈 x^{'}, U^{_{j}} y^{'} 〉$ ， $U^{j} (j = 1, \dots, q)$ 为合适的斜对称矩阵。显然这里的p为偶数。对 $a \in R^{+}$ ，定义Siegel型上半空间 $N \times R^{+}$ 为 $S = {(w, a) : w \in N, a \in R^{+}}$ ，其中 $w = (x^{'}, u^{'}) \in N$ ， $S$ 中的元素也可记为 $(x^{'}, u^{'}, a)$ 。且定义 $N$ 为 $S$ 的边界，a则称为点 $(w, a)$ 到 $S$ 边界的高度。 $N$ 在 $S$ 上有保高度的作用。贯穿下面的文章，对 $z = (x^{'}, u^{'}, a)$ 、 $s = (y^{'}, v^{'}, a_{0}) \in S$ ，我们写作 $z = (w, a)$ 、 $s = (n, a_{0})$ ，其中 $a, a_{0} \in R^{+}$ ，、 $w = (x^{'}, u^{'})$ 、 $n = (y^{'}, v^{'}) \in N$ 。海森堡型群上的伸缩 $δ_{t} (w)$ 定义为 $t \cdot w = (t x^{'}, t^{2} u^{'})$ 。

$N$ 上可以定义一组等价的范数

$| w | = {(\frac{1}{16} {| x^{'} |}^{4} + {| u^{'} |}^{2})}^{\frac{1}{4}}$

和

${| w |}_{\infty} = \max {\frac{1}{2} | x_{1} |, \dots, \frac{1}{2} | x_{p} |, \sqrt{| u_{1} |}, \dots, \sqrt{| u_{q} |}}$ 。

我们在 $N$ 和 $S$ 上分别使用Lebesgue测度 $d w = d x^{'} d u^{'}$ 和 $d z = d w d a$ ，在极坐标下 $d w = d x^{'} d u^{'} = r^{d - 1} d r d σ_{w}$ ， $d σ_{w}$ 为单位球面的面积元。在 $N$ 中以 $n = (y^{'}, v^{'})$ 为心半径为r的球体我们定义为 ${w = (x^{'}, u^{'}) : | n^{- 1} w | < r}$ 。而 $N$ 中以 $n = (y^{'}, v^{'})$ 为心l(I)为边长的方体I则定义为

$I = {w : {| n^{- 1} w |}_{\infty} \leq \frac{l (I)}{2}}$ 。

这里I的体积我们用 $| I |$ 表示，易知 $| I | = 2^{p - q} {[l (I)]}^{d}$ ，其中 $d = p + 2 q$ 。以 $2^{k} l (I)$ 为边长且与I同心的方体我们用 $I_{k} (k \in N)$ 表示。 $t I (t > 0)$ 是与I同心边长为 $t l (I)$ 的方体。

2.2. Carleson测度与Poisson积分

对任意以 $n = (y^{'}, v^{'})$ 为心的方体 $I \subset N$ ，定义Carleson盒子 $S (I) \subset S$ 为

$S (I) = {z = (x^{'}, u^{'}, a) = (w, a) \in S : {| n^{- 1} w |}_{\infty} \leq \frac{l (I)}{2}, a \leq l (I)}$ 。

$S$ 上的一正Borel测度 $μ$ 称为p-Carleson测度，如果对p > 0，存在常数M > 0，使得

$μ (S (I)) \leq M {| I |}^{p}$

这里 $I \subset N$ 。

容易得到

$\begin{array}{l} X_{j} = \frac{\partial}{\partial x_{j}} + \frac{1}{2} x_{j} C_{j i}^{l} \frac{\partial}{\partial u_{l}}, 1 \leq j, i \leq p, 1 \leq l \leq q; \\ T_{k} = \frac{\partial}{\partial u_{k}}, 1 \leq k \leq q \end{array}$

为原点处 $\frac{\partial}{\partial x_{j}}$ 的左不变向量场， $T_{k}$ 为 $N$ 的中心，其中 $C_{j i}^{l}$ 为结构常数 [17]。另外它们满足交换关系 $[x_{j}, y_{j}] = - \frac{1}{2} (x_{i} + x_{j}) C_{j i}^{l} T_{l}$ ，除此之外的交换子是0。 $N$ 的李代数等同于 $R^{p + q}$ 。

对 $N$ 上任意的光滑函数f，f的梯度定义为

$\nabla f (w) = (X_{1} f (w), \cdot \cdot \cdot, X_{p} f (w), T_{1} f (w), \cdot \cdot \cdot, T_{q} f (w))$ ，

根据 [18]，估计 ${| \nabla f (w) |}^{2}$ 时，我们仅考虑

$\nabla f (w) = (X_{1} f (w), \cdot \cdot \cdot, X_{p} f (w))$ 。

令 $R = \frac{\partial}{\partial a}$ ，类似地，对 $z \in S$ ， $S$ 上函数的梯度及它的度量定义为

$\tilde{\nabla} F (z) = (X_{1} F (z), \cdot \cdot \cdot, X_{p} F (z), T_{1} F (z), \cdot \cdot \cdot, T_{q} F (z), R F (z))$ 。

在估计 ${| \tilde{\nabla} F (z) |}^{2}$ 时，仅考虑

${| \tilde{\nabla} F (z) |}^{2} = \sum_{k = 1}^{p} {| X_{k} F (z) |}^{2} + {| R F (z) |}^{2}$ 。

方便起见，下文中 $N$ 和 $S$ 中的梯度都用 $\nabla$ 表示。

$S$ 上的Poisson核 [19]，由 $P_{a} (\cdot)$ 表示，定义为

$P (z) = P (w, a) = P_{a} (w) = \frac{c a^{d}}{{[{(a^{2} + \frac{1}{4} {| x^{'} |}^{2})}^{2} + {| u^{'} |}^{2}]}^{\frac{d}{2}}}$ ，

其中 $z = (w, a) \in S$ ，c为常数。

假设f为 $N$ 上的可测函数，且满足 $\int_{N} \frac{| f (w) |}{1 + {| w |}^{2 d}} d w < + \infty$ ，那么 $S$ 上f的Poisson积分定义为

$F (z) = f * P (z) = \int_{N} f (n) P_{a} (n^{- 1} w) d n$ 。

关于Poisson核。我们有下面的引理

引理1. i) $\int_{N} P_{a} (w) d w = 1$ ；

ii) 记Z为 $X_{j} (j = 1, \cdot \cdot \cdot, p)$ 中的任意一个，则

$| Z P_{a} (w) | \leq {\begin{cases} C a^{- d - 1}, a \geq | w | \\ C {| w |}^{- d - 1}, a < | w | \end{cases}, | R P (z) | \leq {\begin{cases} C a^{- d - 1}, a \geq | w | \\ C {| w |}^{- d - 1}, a < | w | \end{cases}$ 。

3. $Q_{r_{1}, r_{2}}$ 空间结构

本节中，我们先给出 $B M O^{β} (N)$ 的空间结构，然后，给出 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 的定义。

定义3.1. 对任意的 $f \in L_{l o c} (N)$ ，我们称 $f \in B M O^{β} (N)$ 若f满足

${‖ f (w) ‖}_{B M O^{β}}^{2} = \sup_{I} \frac{1}{{| I |}^{β}} \int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w < + \infty$ ，

这里 $f (I) = \frac{1}{| I |} \int_{I} f (w) d w$ ，sup取遍 $N$ 上所有方体。

注意到由 $B M O^{β} (N)$ 的定义，容易得出 $B M O^{β}$ 在 $N$ 上是一个Banach空间。

引理2. 对任意方体I和J，若 $I \subset J \subset N$ 则有

i) $\frac{1}{{| I |}^{β}} \int_{I} {| f (w) - c |}^{2} d w = \frac{1}{{| I |}^{β}} \int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w + {| f (I) - c |}^{2} \cdot {| I |}^{1 - β}, c \in C$ ；

ii) $\int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w = \inf_{c} \int_{I} {| f (w) - c |}^{2} d w$ ；

iii) $\frac{1}{{| I |}^{1 + β}} \int_{I} \int_{I} {| f (w) - f (n) |}^{2} d w d n = \frac{2}{{| I |}^{β}} \int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w$ ；

iv) $\int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w \leq \int_{J} {| f (w) - f (J) |}^{2} d w$ 。

证明论证主要根据下面两个结果

$\begin{matrix} {| f (w) - c |}^{2} = {| f (w) - f (I) |}^{2} + [f (w) - f (I)] \bar{[f (I) - c]} \\ + \bar{[f (w) - f (I)]} [f (I) - c] + {| f (I) - c |}^{2} \end{matrix}$ (3.1)

和

$\int_{I} [f (w) - f (I)] d w = \int_{I} \bar{f (w) - f (I)} d w = 0$ (3.2)

由(3.2)，对(3.1)的等式两边同时在方体I上积分即得到(i)。(ii)是(i)的直接结论。(iii)是根据

$\frac{1}{{| I |}^{1 + β}} \int_{I} \int_{I} {| f (w) - f (n) |}^{2} d w d n = \frac{1}{{| I |}^{β}} \int_{I} d n (\frac{1}{| I |} \int_{I} {| f (w) - f (n) |}^{2} d w) = \frac{2}{{| I |}^{β}} \int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w$

最后，(iv)是利用(ii)，从而，

$\int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w \leq \int_{I} {| f (w) - f (J) |}^{2} d w \leq \int_{J} {| f (w) - f (J) |}^{2} d w$ 。

定义3.1. 任意的 $r_{1}, r_{2} \in R$ ，我们定义 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 为满足

${‖ f ‖}_{Q_{r_{1}, r_{2}}}^{2} = \sup_{I} \frac{1}{{| I |}^{r_{2}}} \int_{I} \int_{I} \frac{{| f (w) - f (n) |}^{2}}{{| n^{- 1} w |}^{d r_{1}}} d w d n < + \infty$ ，

的可测函数构成的函数空间，其中sup取遍 $N$ 中所有方体。

注1. i) $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 为一线性空间；

ii) $Q_{0, 2} (N) = B M O^{1} (N)$ ；

iii) $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 在 $N$ 伸缩、平移、旋转下不变。

命题 3.1. 一可测函数f属于 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 等价于

$\sup_{I} \frac{1}{{| I |}^{r_{2}}} \int_{{| n |}_{\infty} < l (I)} \int_{I} {| f (w n) - f (w) |}^{2} d w \frac{d n}{{| n |}^{d r_{1}}} < + \infty$ 。

定理1的证明. i) 若 $r_{1} + r_{2} = {r^{'}}_{1} + {r^{'}}_{2}$ ， $r_{1} < {r^{'}}_{1}$ 。令 $f \in Q_{{r^{'}}_{1}, {r^{'}}_{2}} (N)$ ，则对方体 $I \subset N$ ，有

$\begin{matrix} \int_{I} \int_{I} \frac{{| f (w) - f (n) |}^{2}}{{| n^{- 1} w |}^{d r_{1}}} d w d n = \int_{I} \int_{I} \frac{{| f (w) - f (n) |}^{2}}{{| n^{- 1} w |}^{d {r^{'}}_{1}}} \cdot {| n^{- 1} w |}^{d ({r^{'}}_{1} - r_{1})} d w d n \\ \leq C {| I |}^{r_{1}} {‖ f ‖}_{Q_{{r^{'}}_{1} + {r^{'}}_{2}}}^{2} \end{matrix}$

所以 $Q_{{r^{'}}_{1}, {r^{'}}_{2}} (N) \subset Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 。

ii) 考虑 $f \in Q_{r_{1}, r_{2}}$ ，显然当 $r_{2} < 0$ 时有 $f \equiv C$ 。对于 $r_{1} > \frac{d + 2}{d}$ ，我们利用反证法。假设 $f \in Q_{r_{1}, r_{2}} (N) \cap C^{1} (N)$ 是实值函数且不恒为常数。那么，存在一个包含 $X_{0}$ 的锥体 $V \subset g$ ，使得 $| n^{- 1} w | < ε$ 时，任意的单位向量 $X \in V$ ， $X f (w) \geq δ > 0$ 。记 $D = {η = \exp X : | η | < ε, X \in V}$ 。若 $w, n \in I$ ，且 $n^{- 1} w \in D$ ，则有 $f (w) - f (n) \geq δ | n^{- 1} w |$ ，以及有

$\int_{{| n |}_{\infty} < l (I)} \int_{I} {| f (w n) - f (w) |}^{2} d w \frac{d n}{{| n |}^{d r_{1}}} \geq δ^{2} | I | \int_{n \in D} \frac{d n}{{| n |}^{d r_{1} - 2}} = + \infty$

矛盾。由恒同逼近，即得证。

iii) 由于 $β > 0$ 且 $β + 1 = r_{1} + r_{2}$ ，根据(i)，若 $0 \leq r_{1} < 1$ ，从而 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N) \subset Q_{0, β + 1} (N) = B M O^{β} (N)$ 。反过来，若 $f \in B M O^{β} (N)$ ，对任意的方体 $I \subset N$ ， $n \in N$ 且有 ${| n |}_{\infty} < l (I)$ ，我们可以得到

$\frac{1}{{| I |}^{r_{2}}} \int_{{| n |}_{\infty} < l (I)} \int_{I} {| f (w n) - f (w) |}^{2} d w \frac{d n}{{| n |}^{d r_{1}}} \leq C {| I |}^{β - r_{2}} {‖ f ‖}_{B M O^{β}}^{2} \int_{0}^{l (I)} r^{d (1 - r_{1}) - 1} d r \leq C {‖ f ‖}_{B M O^{β}}^{2}$

当 $r_{1} < 0$ 时，同样地由(i)，得到 $B M O^{β} (N) = Q_{0, β + 1} (N) \subset Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 。那么，反过来，若 $f \in Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ ，对任意方体 $I \subset N$ ，令 $E = {ξ \in I | \min {| ξ^{- 1} w |, | ξ^{- 1} n |} > \frac{1}{8} l (I)}$ 以及 $K (w, n, ξ) = \min {| ξ^{- 1} w |, | ξ^{- 1} n |}^{- d r_{1}}$ ，此时我们得到

$\begin{matrix} {| I |}^{- β} \int_{I} {| f (w) - f (I) |}^{2} d w \leq C {| I |}^{- 1 - β} \int_{I} \int_{I} {| f (w) - f (n) |}^{2} d w d n \\ \leq C {| I |}^{- 2 - β + r_{1}} \int_{I} \int_{I} \int_{I} K (w, n, ξ) {| f (w) - f (n) |}^{2} d w d n d ξ \\ \leq C {| I |}^{- r_{2}} \int_{I} \int_{I} \frac{{| f (w) - f (ξ) |}^{2}}{{| ξ^{- 1} w |}^{d r_{1}}} d w d ξ \\ \leq C {‖ f ‖}_{Q_{r_{1}, r_{2}}}^{2} \end{matrix}$

从而证明了 $f \in B M O^{β} (N)$ 。

定理3. $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 是一个Banach空间。

证明. 显然 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 是一个赋范空间。就完备性而言，我们令 ${f_{k}}$ 为 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 中一Cauchy序列。由定理1，可以知道 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N) \subset B M O^{β} (N)$ ，那么 ${f_{k}}$ 也是 $B M O^{β} (N)$ 中的一Cauchy序列。若 $f_{k} \to f \in B M O^{β} (N)$ ，根据Fatou引理，对 $k \geq 1$ ，

${‖ f_{k} \to f ‖}_{Q_{r_{1}, r_{2}}} \leq \lim_{j \to + \infty} \sup {‖ f_{j} \to f_{k} ‖}_{Q_{r_{1}, r_{2}}}$ ，

故 $f_{k} \to f \in Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 。

4. $Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 的刻画

在这一节中，我们将证明文章中的重要结果。基于这一目标，我们引入下面的引理( [6] [11] [17] 及 [20] )。

引理3. I，J是 $N$ 中以w₀为心的方体，且方体J的边长 $l (I) \geq 3 l (I)$ 。令 $f \in L_{l o c} (N)$ ，对 $1 < r_{1} \leq \frac{d + 2}{d}$ ，存在一独立的常数C使得

$\int_{S (I)} {| \nabla F (z) |}^{2} a^{d (1 - r_{1}) + 1} d z \leq C \int_{J} \int_{J} \frac{| f (w) - f (n) |}{{| n^{- 1} w |}^{d r_{1}}} d w d n + C {[l (I)]}^{2 (d + 1) - d r_{1}} {(\int_{N \ \frac{2}{3} J} \frac{| f (w) - f (J) |}{{| w_{0}^{- 1} w |}^{d + 1}} d w)}^{2}$

根据引理，我们利用Carleson测度具体的刻画海森堡型群上的双指标Q空间，即定理2。

定理2的证明. 必要性，给定 $f \in Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ ，由定理1，有 $Q_{r_{1}, r_{2}} (N) \subset B M O^{β} (N)$ ，从而 $f \in B M O^{β} (N)$ 且 ${‖ f ‖}_{B M O^{β}} \leq {‖ f ‖}_{Q_{r_{1}, r_{2}}}$ ，这里 $r_{1} + r_{2} = β + 1 (β > 0)$ 。令I为 $N$ 中以原点为心的方体。易知若J = 3I，有 $l (J) = 3 l (I)$ ，则

$\int_{N \ \frac{2}{3} J} \frac{f (w) - f (J)}{{| w |}^{d + 1}} d w \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} \int_{3^{k} J \ 3^{k - 1} J} \frac{f (w) - f (3^{k} J)}{{| w |}^{d + 1}} d w + \sum_{k = 0}^{+ \infty} \int_{3^{k} J \ 3^{k - 1} J} \frac{f (3^{k} J) - f (J)}{{| w |}^{d + 1}} d w \leq C {[l (I)]}^{- 1 + \frac{β - 1}{2} d} {‖ f ‖}_{B M O^{β}}$

根据引理3得到

$\int_{S (I)} {| \nabla F (z) |}^{2} a^{d (1 - r_{1}) + 1} d z \leq C {‖ f ‖}_{Q_{r_{1}, r_{2}}}^{2} {| J |}^{r_{2}} + C {[l (I)]}^{d + β d - d r_{1}} {‖ f ‖}_{B M O^{β}}^{2} \leq C {‖ f ‖}_{Q_{r_{1}, r_{2}}}^{2} {| I |}^{r_{2}} \leq C {| I |}^{r_{2}}$

即可知 ${| \nabla F (z) |}^{2} a^{d (1 - r_{1}) + 1} d z$ 是一 $r_{2}$ -Carleson测度。

现在我们转向证明它的必要性。要证明

$\int_{{| n |}_{\infty} < l (I)} \int_{I} {| f (w n) - f (w) |}^{2} d w \frac{d n}{{| n |}^{d r_{1}}} \leq C {| I |}^{r_{2}}$ 。

对于被积函数，我们有下面这样的估计：

$\begin{matrix} | f (w n) - f (w) | \leq | f (w n) - F (w n, | n |) | + | F (w n, | n |) - F (w, | n |) | + | F (w, | n |) - f (w) | \\ = A_{1} + A_{2} + A_{3} \end{matrix}$

由于

$F (w, | n |) - f (w) = \int_{0}^{| n |} \frac{\partial f (w, a)}{\partial a} d a = \int_{0}^{| n |} (R F) d a$ ，

对于A₃，由闵可夫斯基不等式及Hardy不等式 [17]，得

$\int_{{| n |}_{\infty} < l (I)} \frac{1}{{| n |}^{d r_{1}}} (\int_{I} {| A_{3} |}^{2} d w) d n \leq C \int_{0}^{l (I)} [\int_{I} {| \nabla F (w, a) |}^{2} d w] a^{d (1 - r_{1}) + 1} d a \leq C {| I |}^{r_{2}}$ 。

任意得n满足 ${| n |}_{\infty} < l (I)$ ，由于

$\int_{I} {| A_{1} |}^{2} d w = \int_{n I} {| A_{3} |}^{2} d w \leq \int_{3 I} {| A_{3} |}^{2} d w$ ，

所以

$\int_{{| n |}_{\infty} < l (I)} \frac{1}{{| n |}^{d r_{1}}} (\int_{I} {| A_{1} |}^{2} d w) d n \leq C {| I |}^{r_{2}}$ 。

对于A₂，我们有下面的估计

$A_{2} \leq C \int_{0}^{| n |} | \nabla F (w r σ_{n}, | n |) | d r, σ_{n} \in B$ 。

这里B为 $N$ 上的单位球体。则根据闵可夫斯基不等式

$\begin{matrix} {(\int_{I} {| A_{2} |}^{2} d w)}^{\frac{1}{2}} \leq C \int_{0}^{| n |} {[\int_{I} {| \nabla F (w r σ_{n}, | n |) |}^{2} d w]}^{\frac{1}{2}} d r \\ \leq C | n | {[\int_{3 I} {| \nabla F (w, | n |) |}^{2} d w]}^{\frac{1}{2}} \end{matrix}$

从而

$\int_{{| n |}_{\infty} < l (I)} \frac{1}{{| n |}^{d r_{1}}} (\int_{I} {| A_{2} |}^{2} d w) d n \leq C {| I |}^{r_{2}}$ ，

结合A₁，A₂和A₃的估计，所以证得 $f \in Q_{r_{1}, r_{2}} (N)$ 。

文章引用

周珊,黄小青,董建锋. 海森堡型群上的 Q_r₁,r₂函数空间
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