Advances in Applied Mathematics
Vol.
12
No.
11
(
2023
), Article ID:
75848
,
8
pages
10.12677/AAM.2023.1211473
关于复合算子 的高阶可积性研究
李群芳
赣州师范高等专科学校数学系,江西 赣州
收稿日期:2023年8月25日;录用日期:2023年11月17日;发布日期:2023年11月23日
摘要
本文研究了满足A-调和方程的微分形式高阶可积性问题。文中利用微分形式的Hölder不等式及同仑算子与格林算子的相关结果首先证明了 条件下作用于满足A-调和方程微分形式的复合算子 的局部高阶可积性,然后在此基础上进一步给出了 条件下的高阶可积性。
关键词
高阶可积性,微分形式,复合算子,调和方程
Study on Higher Integrability of Composition Operator
Qunfang Li
Department of Mathematics, Ganzhou Teachers College, Ganzhou Jiangxi
Received: Aug. 25th, 2023; accepted: Nov. 17th, 2023; published: Nov. 23rd, 2023
ABSTRACT
In this paper, we have studied higher order integrability for differential forms satisfying A-harmonic equation. Based on Hölder inequality of differential forms and some results of Homotopy operator and Green’s operator, we first establish local higher order integrability for composition operator applied to differential forms satisfying A-harmonic equation with the condition . Furthermore, we also give higher order integrability under the condition .
Keywords:Higher Integrability, Differential Forms, Composition Operator, Harmonic Equation
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
2009年,文献 [1] 中证明了 -John域上作用于微分形式复合算子 的Poincaré-型嵌入不等式
(1)
其中 为同仑算子T与投影算子H的复合算子,, ,常数 满足 ,微分形式u满足非齐次A-调和方程 。
2014年,文献 [2] 给出了复合算子 的如下Poincaré-型不等式
(2)
其中 为Hardy-Littlewood极大算子、P为potential算子, 为 上的一有界凸区域。
2020年,文献 [3] 给出了如下作用于Dirac-调和方程 的光滑微分形式的迭代算子 的局部 -权 -积分不等式。
(3)
这里D是Dirac算子, , , , , 。
显然,上述结果均是用微分形式的 -范数去估计算子的 -范数,如式(2)以微分形式的加权 -范数 去估计Potential算子P加权 -范数 ,若 ,则Potential算子P的 -范数 就无法用式(2)中的微分形式的 -范数 来估计了,此时就需要讨论Potential算子 是否具有比微分形式更高阶的范数。称算子范数高于微分形式范数的研究为算子的高阶范数研究。由于复合算子的范数估计远比单算子的范数估计复杂,故本文选择复合算子 的高阶可积性作为研究内容,分别在 与 条件下证明了复合算子 的局部高阶可积性。
2. 记号及预备知识
微分形式是 上可微函数的推广,称函数 为微分0-形式,称 是微分l-形式,其中有序l-丛 , , ,关于的微分形式的相关结果可参见文献 [4] - [10] 。记 ( )是n维欧氏空间, 是 上有界子集,其勒贝格测度记为 。设B与 是 中具有相同球心的球体,其直径满足 。记d为外微分算子, 表示由全体微分l-形式所成的l-维向量空间。设 是一微分l-形式,定义作用于 上的Hodge星算子 为
其中 , , 。利用外微分算子d和Hodge星算子 定义Hodge上的微分算子 , 。如在 中,取微分形式
则
且
称下列非线性偏微分方程
(4)
为齐次A-调和方程,其中算子 对几乎所有的 , ,满足
上述 为一常数且 是与方程(4)有关的确定指数。定义同仑算子为
其中 , 满足 ,线性算子 满足
记G为定义在 上的Green算子,且满足Poisson方程 ,其中H为调和投影算子。更多关于A-调和方程、同仑算子与Green算子的介绍及相关成果可参见文献 [11] 。
在本文相关结论的证明将应用到下述引理。
引理1 [12] 设是球体B上的一微分形式, , ,则
(5)
(6)
引理2 [13] 设u是 上一光滑微分形式, ,则对 上任一球体B,存在一不依赖于u的常数C,使得
引理3 [12] 设 , ,则 ,且
其中Q为 上一球体, , 。
引理4 [14] 设u是 上满足A-调和方程(4)的一微分形式,则对所有满足 的球体B,存在一不依赖于u的常数C,使得
其中 , 。
引理5 [15] 设 为 上的一有界域, 是定义在 上的单调递增凸函数且满足 。若微分形式 , ,则 ,且对任一实数 有
其中 为任一实数, 为Radon测度, ,常数 。
在引理5中,若令 为球体B,, , ,则 演变为 ,故而从任一满足 的球体B有
(7)
3. 本文主要结论
本节将分别在 和 两种条件下证明有界域上作用于微分形式的复合算子 的局部高阶可积性。
定理1 设 是满足A-调和方程的微分形式, , ,T为同仑算子,G为Green算子。若 ,则复合算子 ,且对所有满足 的球体B,存在一不依赖于u的常数C,有
其中 , 为一特定的常数。
证明:(i) 若 ,则在球体B上 几乎处处成立,故 为一闭形式,从而 为A-调和方程的解,从而由引理4可得
(8)
其中 , 为一特定常数。
综合式(8)式及引理1的(6)式、引理2知
(9)
其中 。(9)式等价于
(10)
(ii) 若 ,则(7)式对 成立,即有
(11)
利用 -空间的单调性及 ,可得
(12)
综合引理3、引理1的(5)式、引理2,可得
(13)
综合式(11) (12) (13),便有
(14)
综合式(10) (14)可得:若是A-调和方程(4)的解,则 ,且
故定理1证毕。
在定理1中,当 时, ,此时p可以充分大,故p可大于q,此时称定理1为复合算子在 条件下的高阶可积性,下面证明在条件下定理仍然成立。
定理2 设是满足A-调和方程(4)的微分形式, , ,T为同仑算子,G为Green算子。若 ,则复合算子 ,且对所有满足 的球体B,存在一不依赖于u的常数C,有
其中 , 为一特定的常数。
证明:(i) 若 ,则使用定理1证明(i)中同样的方法可证定理仍然成立。
(ii) 若 ,取 , ,由于 ,则 ,故有 且 。
先后利用引理3、引理1的(5)式、引理2,得
(15)
其中 。利用 -空间的单调性及 ,可得
(16)
式(16)等价于
(17)
综合式(15) (17),有
(18)
由于 ,故(7)式对 成立,于是应用(7)式可得
(19)
经计算可得 , ,综合利用 -空间的单调性及式(18) (19),可得
(20)
式(20)等价于
(21)
式(21)表明:当 时,定理2成立。
综合(i) (ii)可得定理2成立,故定理证毕。
4. 总结
本文证明了 和 两种条件下有界域上作用于微分形式的复合算子 的局部高阶可积性。今后,我们可在基础上进一步研究有界域上相关算子的全局高阶可积性。
基金项目
2021年度江西省教育厅科学技术研究项目“关于调和方程解的高阶可积性理论研究”(编号:GJJ213509)。
文章引用
李群芳. 关于复合算子T°d°G的高阶可积性研究
Study on Higher Integrability of Composition Operator T°d°G[J]. 应用数学进展, 2023, 12(11): 4798-4805. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.1211473
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