电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应 Thermal Effect of Functionally Graded Piezoelectric Materials with Crack by Electric Shock

doi:10.12677/ijm.2012.11001

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International Journal of Mechanics Research 力学研究, 2012, 1, 1-7

http://dx.doi.org/10.12677/ijm.2012.11001 Published Online September 2012 (http://www.hanspub.org/journal/ijm.html)

Thermal Effect of Functionally Graded Piezoelectric Materials

with Crack by Electric Shock*

Xing Li, Yongyi Long

School of Mathematics and Computer Science, Ningxia University, Yinchuan

Email: li_x@nxu.edu.cn

Received: Aug. 9th, 2012; revised: Aug. 17th, 2012; accepted: Aug. 24th, 2012

Abstract: This paper investigates the thermal effect of crack in functionally graded piezoelectric strip by electric shock,

firstly, the system complex governing equations can be obtained by using the constitutive relations of functionally

graded piezoelectric materials, secondly, the Laplace and Fourier integral transform techniques are used to reduce the

problem to the solution of singular integral equations, thirdly, these singular integral equations are solved numerically

by employing Gauss-Chebyshev quadrature formulas and the numerical results are obtained, then the effect of the pa-

rameters of the materials and the size of the crack to the thermal effect are discussed.

Keywords: Functionally Grade Piezoelectric Materials; Crack; Singular Integral Equation; Thermal Effect

电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应*

李星，龙永义

宁夏大学数学计算机学院，银川

Email: li_x@nxu.edu.cn

收稿日期：2012 年8月9日；修回日期：2012年8月17 日；录用日期：2012 年8月24日

摘要：本文探讨在高电冲击载荷作用下，压电介质中裂纹尖端的热效应问题的奇异积分方程方法，通过引入

热源功率，利用绝热近似，由简化的热传导方程得到了裂纹尖端在电冲击作用下短时间范围的温度场。通过构

造位错密度函数，并利用 Laplace 变换和 Fourier 变换将原方程转化为 Cauchy核的奇异积分方程，进而利用

Chebyshev 多项式展开以及 Gauss-Chebyshev 积分公式对该奇异积分方程进行数值求解，同时讨论了裂纹尺寸对

温度升高值和升高区域大小的影响。

关键词：功能梯度压电材料；裂纹；奇异积分方程；热效应

1. 引言

通常对压电介质热相关问题的研究都是在热场

与力电场互不耦合的假设下进行的，Fu 等[1]关于压电

介质断裂的实验研究表明在电载荷下，压电介质的断

裂韧性大大高于力载荷下的断裂韧性，并且在压电介

质裂纹尖端产生明显的升温现象。自象忠等[2,3]的研究

则表明在导体中可利用电冲击作用实现裂纹止裂。

Bilyk 等[4]的研究揭示了当施加高电流时，导体内的温

度升高值远远大于只作用力载荷的温度升高值。受上

述压电介质的实验结果和导体中相关研究的启发，本

文利用我们常用的 Laplace 变换和 Fourier 变换将原方

程转化为 Cauchy 核奇异积分方程，进而利用 Chebyshev

多项式展开以及Gauss-Chebyshev 积分公式对该奇异

积分方程进行数值求解的方法[5-9]，探讨在高电冲击载

荷作用下，压电介质中裂纹尖端的热效应问题，通过

引入热源功率，利用绝热近似，由简化的热传导方程

*资助信息：国家自然科学基金(10962008)和(51061015)，以及中国

高等学校博士学科点基金(博导类)(20116401110002)的资助。

电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应

得到裂纹尖端在电冲击作用下短时间范围的温度场

并讨论裂纹尺寸对温度升高值和升高区域大小的影

响。

2. 问题的描述

本模板考虑如图 1所示的结构，采用直角坐标系





yz，其中 z轴为功能梯度压电体的极轴。长为

2c的裂纹位于

轴上，压电体为厚度为2h的无限长

条，裂纹上方区域和下方区域关于 x轴对称，假设裂

纹面上作用有电场冲击载荷。

下面求解承受电冲击作用下，裂纹尖端区域在电

冲击下的热效应。求解上述问题时，在求裂纹尖端附

近的力场和电场时不考虑与温度场相关的因素，在求

解裂纹尖端的力–电场后再考虑温度的影响，该问题

中压电介质的几何方程、本构方程分别为：

2xz







，2yz y











，–







E，

–







E，zz







E (1)

 



 

44 15

15 11

()

cy ey

ey y



















































(2)

其中，



、



、E、



、



、D分别代表应变张量、

反平面位移、电场强度矢量、电势、应力张量、电位

Figure 1. Model of thermal effect of functionally graded piezoelec-

tric materials

图1. 功能梯度压电带热效应问题的结构示意图

移矢量，





cy，





ey，分别为剪切模量、

压电常数、介电常数。



平衡方程和Maxwell 方程为：

xy t















, 0





 (3)

假设功能梯度压电材料的剪切模量，压电常数，

介电常数和密度沿其厚度方向按指数函数变化，即：

44 015 0

11 00

cceeee



 



(4)

裂纹面边界条件：(–c < x < c)









,0,



 t

，







,0,

Dx tDHt (5)

对称性边界条件：





c





,0, 0xt





， (6)



,0, 0xt





自由边界条件：













,, 0

yz xht





， (7)



,, 0

Dxht



和分别为力场和电场冲击载荷的幅度，





t表

示Heaviside 函数。

3. 问题的求解

定义 Laplace 变换：

 

sfxe

 

x



，



xFpe

p

(8)

这里 Br 代表Bromwith 积分路径。

定义 Fourier 变换：

 

isx

sfxe





x



，



isx

xFse

 



s(9)

把(2)代入(3) ，后再令 0











，可得



















 





(10)

其中

000













。

对(10)式中的时间变量 t进行 Laplace 变换后再对

其中 x变量进行Fourier 变换后最终可得：

电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应



 



,, ,,

sFsyp



syp Fsyp

spFsyp













(11)



 



,, ,,

,, 0

Gsyp Gsyp

Gsyp













(12)

令：



,, ,

syp Aspe



，代入(11)式：





222





 

 (13)

故



,, ,,

ty ty

sypA speAspe

其中





 







 





(14)

则在 Laplace 域中有：



 

1,,

tyty isx

xyp

speA speex



 

 





 (15)

同理可得：



 

1,,

ty ty isx

xyp

speA speex



 

 





 (16)

其中

322





 



 ，

422







 



 (17)

由变换 0







 ，有：



 

1,,

tyty isx

ty ty isx

xyp

speA speex





 



 





















(18)

即在 Laplace 域中的形式解为(15)和(18)式。

引入位错密度函数：

 

*,0,

fxp x















 (19)

 

*,0,

gxp x













c

 (20)

由(15)，(18)和(19)，(20)以及边界条件(6)，得：

 

,, ,

cist

spA spftpet

is 



 (21)







1,d

cist

AspAsp

tpe t

gtpe t









 











(22)

由本构方程(2)，边界条件(7)及(15)，(18)，得：

 

01122

033 44

th th

cetAspetAspe

eetAs p etAs pe





























(23)





 

01122

033 44

2, ,

th th

eetAsp etAs p e

etAspe tAspe























(24)

联立(21)-(24)，得：

th th

te te





(25)

th th

te te

te e

te te



























(26)

其中



1,d

cist

ftpet

gtpe t







(27)

把(25)，(26) 代入(15)，(1 8)，由本构方程(2)，边

界条件(5)得到如下第一类 Cauchy奇异积分方程组：

电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应











1dd

1,,, d

,,,d

tpg tp

tx tx

Kxtpftpt

eKxtpgtpt









 













(28)

 





ππ

,,(, )d

,,, d

ftp gtp

ett

tx tx

eKxtpftpt

Kxtpgtpt p





















(29)

其中：

 

11 1

0,1sind

Usp stxs







 (30)

 

12 2

0,1sin d

Uspstxs







 (31)

 

21 222

0,1sind

KUspstx









s

(32)

034 34

034

012 12

012

1th th

th th

ette tte

Uste te

ette tte

cte te

















 





 

(33)

34 34

1th th

th th

tte tte

Ustete



  (34)

奇异积分方程组(28)，(29)的单值条件为：



0, 0











(35)

引入变量，

tuc

rc并令







*,,

tp Fup，







*,,

tp Gup，

 

,,,,,1,2

ij ij

KxtpK urpij



积分方程组(28)，(29)化为：

 



1dd

ππ

,,, d

,,,d

FupGup

ur ur

cKrupFupu

ec KrupGupu p



























ππ

(, ,),d

,,, d

FupGup

euu

ur ur

ec KrupFupu

KrupGupu p



















(37)







0, 0Fp (38)





0, 0Gp

利用

(39)





p和





0,Gp的Chebyshev 多项式展开

形式：

 

,Rup

 (40)

p Fupu



 

1u

将(4

,Sup

,,gtp Gup (41)

0)~(41)代入(36)~(39) ，并利用 Gauss-Che-

byshev 积分公式[10]，得如下线性方程组：









012



(36)

1llm

ur N p

1,,

llm

Rup

cKr u p

ur N

Su p

eecKrup





























(42)





Rup

eKr u p









022

llm

ur N

Su pD

cKru p

urN p













 









(43)





Ru p



 (44)





Su p





其中：

(45)



cos,1, 2,,





 



 N

(46)



cos,1, 2,,1

 N









式2)~(45)是一个以和为未知

数的具有个方程的组，求

 (47)



Ru p

方程



Su p

2N解即可得到





Ru p和









1,2, ,lN。

电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应

4. 裂纹尖端的温度场

本小节对裂纹尖端热效应的讨论基于以下两个

假设不耦合此在热

力电

程。这种设是成立的，因为根据 ilyk 等[4]的研究

磁场扩散的时间尺度远小

于热

：

1) 热场与力、电场互，因传导方

程中不包括场的量；2) 短时间内的近似绝热过

假B

表明当作用电流载荷时，电

传导的时间尺度，因此在电磁场扩散的时间尺度

范围内可近似为绝热过程。

根据上述假设，作为压电介质中热传导议程的一

级近似，绝热条件下的方程为：

pc Tt (48)

其中 0

c为比热，对无外部热源作用的情况，根据白象

忠等[2]对导电薄板中利用电冲击阻滞裂纹扩展的研

究，可引入热源功率来等效外部点热源作用。导体中

的热源功率定义为：

pE

(49)

其中，

为导体中的电流密度矢量。

功能梯度压电材料属于电介质材料，而对于电介

质，电流密度矢量可表示为：





J (50)

类似于导体问题，在压电材料中由式(49)和(50)

引入热源功率，将其代入式(48)并对时间积分，得到

的压电介质中温度场为：

 



,, t

ytE

,, d

Dxy



 (51)







由几何方程(1)，本构方程(2)以及式(15)，(18)，有：



 

1,,

2π

1,,

ty ty isx

sAspeAspees

isAspeA spees



 



 



 





 





(52)

2π

Exyp



 

1122

33 44

1,,

2π

1,,

2π

tyty isx

ty tyisx

Exyp

etAs p etAs p ees

tA spetAspees



 



 





 











(





 



15 11

113 4

1,,

2π

1(, )(, )d

2π

tyty isx

ty ty isx

Dxyp

isA speAspees

isAspeAspees





 



 













 





 





(54)





 

15 11

112 2

113 34 4

1,,

2π

1,,

2π

tyty isx

ty ty isx

Dxyp

tAs p etAs pees

tA spetAspees





 



 

























(55)

把(25)~(26)代入上式，并利用(42)~(45)的解，得到

(48)中电场强度和电位移强度在 Laplace 变换域中

为：

的解



,, ,,,

,,,

xexl

ex l

Ru p

Exyp cK uxypN

Su p

Kuxyp N



















(56)



ey l

Su p

Kuxyp N







,, ,,,

yeyl

Ru p

ExypcKu xypN















(57)



,, ,,,

,,,

xxl

Ru p

DxypcKuxypN

Su p

Kuxyp N



















(58)



,, ,,,

,,,

yyl

dy l

Ru p

Dxyp cK uxypN

Su p

KuxypN



















53)

(59)

其中





,,,

exi

uxyp，





,,,

eyi

uxyp，



d,,,

ux yp，









1,2

dyi ,,,Kuxyp i均为已知函数，具体形式如

下：

电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应



34 43

21 12

12 34

0012 34

,,,

cos d

th tyth ty

thty thty

th thth th

Kuxyp

ete

te te

te tete te

scu xs





 



















 (60)







4334

,,,

cos d

th tyth ty

th th

Kuxyp

te te

cu xs

te te



 













(61)



th t

hth th

te te



 





3 34

12 21

03434

12 12

012

,,,

n d

ythty

th tyth ty

th t

Kuxyp

ettette

ttee

te te

scuxs



























(62)



34 43

34 34

,,,

sin d

th tyth ty

th th

Kuxyp

tte tte

cu xs

te te



 









 (63)







12 21

34 43

012

15 11

0012

,,,

cos d

tht ythty

th th

th tyth ty

th th

Kuxyp

ete te

te te

cu xs

te te











































(64)







43 34

,,,

cos d

th tyth ty

th th

Kuxyp

te te

cu xs

te te





 













(65)







21 12

34 43

012 12

15 11

0012

34 34

,,,

sin d

th tythty

th th

th tyth ty

th th

Kuxyp

ette tte

ete te

tte tte

cu xs

te te







































(66)







43 34

34 34

,,,

sin d

th tyth ty

th th

Kuxyp

tte tte

te te

scuxs





 

 







(67)

通过 Laplace 变换的数值反演，得到时间域中的

电场强度和电位移，然后根据(51)即可求出裂纹尖端

的温度场。其中(60)-(67)在积分路径上不存在奇异点，

可直接进行数值计算。

5. 结果与讨论

本文假定裂纹面 0y



处为压电材料

材料性质如下[7-9]：

BaTiO ，其

44 44c Gpa



，，

e

Kg/m

11.4 C/m

3，只考虑电

11 1.28310 C/





冲击作用，令 00

Vm ，



5700





。

图2给出了在不同的裂纹尺寸下，裂纹尖端温度

随时间变化的关系，结果表明在时间一定

温度随

的情况下，

ch的增大而升高，并且温度在刚

升达到一个峰值后逐渐趋于一个稳定状态。

图3给出了材料参数对温度的影响，结果显示这

些曲线在振

开始直线上

荡后趋于稳态。

结果表明：当作用高电冲击载荷时，会在裂纹尖

端引起较高的温度变化。在此情况下，裂纹尖端的温

Figure 2. Thermal effects of the size

4of crack (β = 0.5，τ0 = 0，D0 = 5

图

× 10)

2. 裂纹尺寸对温度的影响(β = 0.5，τ0 = 0，D0 = 5 × 104)

Figure 3. Thermal effect of the parameters β of the materials (h

0.5 c，τ= 0，D= 5 × 104)

0 0

图3. 材料参数β对温度的影响(h = 0.5 c，τ0 = 0，D0 = 5 × 104)

电冲击下功能梯度压电带中裂纹尖端热效应

度效应是

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